【單元1】數學的本質｜高等微積分｜臺大數學系陳金次教授
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- Опубліковано 15 вер 2024
- • 高等微積分｜臺大數學系陳金次教授
高等微積分之授課內容主要為現代數學的基礎，建立微積分或者數學分析領域所使用的數學工具以及架構。
課程脈絡大致上跟著課本（W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis），上學期將涵蓋課本前六章的內容： 實數系的建構、基本點集拓樸理論、數列與級數、 實變函數論的一些內容：連續性、導數、黎曼積分、函數數列與函數級數。
下載講義：ocw.aca.ntu.ed...
這位老師講的實在太好了，解決我多年來的失眠症狀
厲害了
共勉之
我看得津津有味
精神還更好了 是有病嗎😂
滿爛的！一開始就寫錯了！--真是誤人子弟
@@徐仁國-r9x 反正我們都寫不出來 笑
顯然演算法覺得我有這個能力聽懂…
我要谢谢你这位老师，困扰我半辈子的事情终于想明白和理解了。一直以为自己智商有问题高等数学理解不了，今天被这位老师给打通了🤯。原来数学除了公式还得从另外一个角度理解它。谢谢您 谢谢您 👍👍👍。我智力没问题😂😂😂
終於知道跟我家的狗講話牠是什麼感覺
哈哈哈哈哈哈哈
好句
文科門外漢表示放棄
比喻的真好
西方文明就是凭着这个“你家的狗听不懂”的数学语言来作航海用途到东亚来征服你的老祖
宗.
这位教授讲得太好了，我本人也是大学老师，讲不了他这么好，但是他对于i，根号2，数学本质的说法是正确的。
其实说穿了，根号2和i没有什么不同。如果你的世界只有有理数，那么在有理数集中找不到 x^2=2 的解，可是为了应用，你定义了根号2.
同样的，如果你的世界只有实数，那么在实数的集合中你找不到x^2=-1的解，可是为了应用，你定义i
这有什么不同呢？
你可以利用画个等腰直角三角形的方式来理解根号2，你也可以画个实轴，虚轴，利用旋转来理解i，这又有什么不同呢
有理數,無理數都同在實數數軸上, 而虛數卻不在! 所以比喻不太恰當!
一切都是人类的命名，和构造
很認同，只是老師講的很跳tone，多數人跟不上
遇過類似的老師，很愛講宏觀的感想，像是做學術演討會，脫離常態的授課
若能跟上課堂節奏，收獲會非比尋常。
其實他企圖探討基礎卻不夠深刻!
感觉这种授课方式学生学不到什么。
厲害的老師真的會讓學生很感動，能聽到老師的講課，真的很幸福~
講得很好～將邏輯與哲理劃上等號的教授，很厲害～佩服佩服
原本就是一家的東西
@@GSPARROW0818 😃
@Maria Liu 一樣
@Maria Liu 嗯...我是覺得世事都會在某個層面上相同，我的回覆看起來有點武斷😅我是認為他們是來自相同的源起啦😂
開頭覺得老師在謬辨，卻激發起我的思考，到後來重新認識數學並享受老師的教學！
學習的目的本是要讓人思考而不是一貫接受，科學上的是非對錯也是建立在某個基礎定義或假設下才成立的。「沒有一定，皆是虛妄」反而是提醒自己要慎思明辨
以假說真
真理建立在不可再問的假說之上，剛好這個假說是這個宇宙的人一致認同的
水準很低！--我中山物研所隨便一個教授都比他強很多
@@徐仁國-r9x哈哈！中山物硏也好意出來獻世！
@@qiide5510 您在寫無理數的連續式嗎？
讲的算很不错了 主要是有启发大家 了解数学的本质是什么，而非我的大学老师本照本宣科 为了讲课而讲课。我们一直都被教育 这是对的 是 定义 但是为什么是对的没人告诉我们 也不敢告诉我们
大陆的高数教材和教法基本是从苏联学习的，有一个优点就是理论体系完整，但缺点是不太符合初学者的学习习惯和认知规律。后果就是，学完之后难以正真应用，很快就会忘记，也就是说很难转化成数学能力。对比最明显的恐怕是线性代数，大陆的教材让人不知所云，而MIT Gilbert Strang 老人家的线性代数才是初学者的正确学习方式。学了能记得住并且会用，因为知识已经转化成一张张图像了。由具体到抽象，循序渐进，是大多数人的学习习惯。
不管老师讲课的逻辑是不是完全正确（how），我对他的用意（why）是超级服气的。感觉我大学就是缺少这么一节好的入门课，引导我思考学习数学的意义。所以谢谢老师的分享。
大陸數學，物理學教育如何?
@@lidialee1289 就拿数学来说吧，我感觉教得有点太直接了，不够形象。
@@柳青竹 各有利弊，但我喜歡這味道~~
中國的教學還是實用主義，唯物下的現象
@@lidialee1289 工科数学 只讲结论😂
感謝演算法讓我找到一個可以助眠的好影片
🤣🤣🤣🤣
我本来不困的 刷到这个就困了
但我看得津津有味呀！
一點都不睏呀！
以前睡覺夢見自己在考試, 醒來後發現自己果然在考試! 謝謝老師!
謝謝老師的講解，非常清楚。也開啟了我對數學有一個全新方向的認識及思考。
恕我直言，评论区里的蠢人还真是多，陈老师压根儿就没有故弄玄虚的想法，他在试图给学生们奠定一个看待数学的正确方式，如果你仔细听，就会觉得陈老师是一个极其朴实的讲者。他的这套数学哲学对于日后的数学学习，乃是程序设计，其实都非常管用。
恕我直言，没看出老师智商有多高，连逻辑学 科学 玄学都分不清，这智商是没有办法写程序的
@@LeeCoangSee 就你這貨跟人講智商？白痴
@@LeeCoangSee 恕我直言，一個習慣貶低學者智商，而讚揚領導智商的環境下，其群體智商應該是比較低的！
@@LeeCoangSee 恕我攔轎
@@LeeCoangSee 老师的智商我不知道，你的情商倒是挺低的
55:11要想往下听 还是需要对微积分基础有一定了解的 微积分本来是分开的 研究的内容不一样 微分就是往微小分 研究的函数里自变量的变化量和因变量变化量的关系 当自变量的变化量趋近于无穷小 因变量的变化量就是函数的导数 再说导数 简单的说一个函数的导数 该点的斜率 积分是研究面积的 任何函数都可以画在xy的坐标象限里 积分就是研究 这个图像和x轴y轴 和x的取值范围 围成的 曲边梯形的面积 如果x的取值在范围内是连续的 那么要求得的面积就是所有x值和对应y值乘积之和 这就是为什么微积分的一个前提是连续性 如果把这个面积函数微分结果是y 就是说如果自变量x的变化量趋近于无穷小 所求的面积的变化量就越接近因变量y 就是把一个函数的积分函数进行微分得到的是原函数 这个发现把微分和积分连在一起 可以说是微积分世界的1+1=2
反过来 如果将一个函数先微分 得到一个新函数 再将新函数积分 得到的也还是原函数 前提也是x的取值也是连续的
聽這課很享受，又激發了我內心的數學魂！謝謝您！
他寫的每個字我都看得懂 但當他們合起來那就是另一回事了
數學裡面的結果會被稱為『定理』(Theorem) 是有依據的。因為數學的理論，根本在於公理化集合理論的建立。
經由近代大數學家 Hilbert 的建議，公理化集合理論解決了兩個問題：
1. 一致性的問題。也就是說，由這些公理所得到的結果，就算是推導過程不同，得到的結果也不可能出現矛盾現象。
2. 獨立性的問題。也就是說，每個公理都是獨立的。無法由其他的公理得到。(第一個公理例外。就是 The empty is a set。)
一般定理的敘述，都是需要滿足某些數學性質當成前提。也就是說，只要滿足前提的條件，則結論必然也會成立。
但是牛頓三大運動定律，無法給出必須要滿足哪些條件才能成立。它是依據實驗的經驗所歸納出來的結果。所以稱為定律而不是定理。特別是在微觀物理裡，牛頓三大運動定律，就無法成立了。
講得很好
高見。老夫受教了。
數學跟物理不一樣啦，物理學是歸納自然現象的原因，數學是純粹邏輯的推倒
原文字意。
定律（law)：是一種自然律，老早就存在於自然。
定理（theorem)：根據定義限定下，推演出來的恆守關係。
數學的本質就是哲學的探究，老師的講解很棒！
02:44 如果AB、AC都要說是粉筆顆粒不連續.那乾脆一開始就先探討究竟有無「1」的存在 ? 因為 無限分割.任何人根本無法用粉筆在黑板上標出 1 ...(照這老師的說法..課都別上了,下課!)..現行的數學,就是建立在「1」存在於數線上且可標示的假設,建立在「以A為圓心,AB為半徑.所有等長的點連成一個軌跡叫做圓!而且必需能連成線」....如果第一堂課老師都要把這前題假設給推翻,那數學課以後都不必上了! 黑板上畫任何東西都是自打嘴巴.可以下課了~
自然數1是存在的。1個長度單位是需要人為規定的。
油管推荐这个8年前视频给我，第一次听到解说关于定律， 定理的不同， 很遗憾 我在大学没有遇到这样的老师。
在视频里面就讲里面的老师好，根本就是在哪里学才是重点
我 认为是我们 缺少 求真的精神。
@@shenjzj3976 只是为了考试
@@shawncheng404 你怎么确定他在大陆上的大学😅
怎麼一堆人愛評判這老師上課的方法，還有自以為自己數學很厲害的，換你上來講肯定講不出幾個字，所謂半瓶水響叮噹。修到高等微積分，其實這些都算是基礎，或者該說引導（當然也是為了怕一開始教太難，學生都退選或簽其他課）。很多老師上課其實也都這樣慢慢的，很催眠。當談論到科學的本質時，原本很難的問題會變得很簡單，簡單的問題反而很難，因此有許多學長姐念數學物理博士念到跑去信耶穌信阿拉。
的確,但如果連這些基礎也不願用心學會根本無法走到後面的科研,況且現在PhD滿街跑,水平實在是無法恭維
佛家論述的那段，我笑了。
數學我不懂，佛教我也不懂，但這解釋實在很有趣，尤其是在數學這門課！
老師，可不可以不要這麼玄！感覺檻好高啊！
雖然聽不太懂~還是謝謝老師!
初入數學聖殿~有這樣的教學真開心
@@Mike-e7h4k 你連別人的不懂都不懂，看來你小學都沒畢業
修過老師的課 是個很認真教學又很有內涵的老師
上課板書居多(偶爾會筆誤) 課程偏難 有心研究的話 會很有幫助
ps. 考試有點...難 會出現跟課堂教的不一樣地方
對 我心裡想說 AB垂直BC^_^
聽上去是天馬行空的教授
既然可以引起熱烈的討論，我個人認為這堂課是有其必要性。
可以將數學這麼白話的說出來，肯定是個狠人！
看到他教學，就想起當年洪成完教的微積分。他用數理邏輯教微積分，在一大堆邏輯符號內兜兜轉轉，害到學生最後連最簡單的微積分也算不出來，要找另一位老師在大二重開補課，簡直是誤人子弟！
台大有太多這種天馬行空，狀似高深，卻盡是誤人子弟老師。他們從不老老實實將一本好的教科書從頭到尾教得清清楚楚，學生的根基如何練得紥實，將來如何作研究？
說的太好了 不會教硬要教 學生真累 後來自學都不覺得有這麼難～
數學本來就是哲學，若每個老師像他這樣教學，很棒
那我的數學就不會這麼差了 QQ
是的，你要知道1+1=2背後是要符合很多原則的
而原則就是哲學，如
只要是邏輯的，都是哲學
你拋個命題出來證明，也是一種哲學(一種思考模式)
真的是城鄉差距，如果是偏鄉老師就是死背+體罰了，難怪台大學生大部分都是台北人
@@vtbcheers9526 是嗎？台北人有那麼多喔
@@jamesadriving8400 是喔差不多一半附近(雙北)
但是也跟各個城市的人口比例有點關係就是了
花蓮台東考生就比較少當然考上的人也會比較少
這堂課讓我回想起了對數學的熱愛，感謝分享
這影片超有幫助，在我失眠的時候。
真的
36:20 所說的 alpha+beta+gamma = 2 pi + lamda 應該是錯的，一個徑度pi是180度，球面三角如果取極限就變成近似平面三角，2pi就是360度。
球面積是4 pi r^2，最大三角形應該在赤道上兩端與北極的連接，面積就是pi r^2，如果r=1，那麼內角和就變成3 pi，但實際上用數的是2 pi，我猜真正的公式應該是alpha+beta+gamma = pi + lamda/r^2
平面，立體，空間，宇宙光線，數學都絞在一起了。
同意。正解！
圓的大小也該限制
教授的公开课，真是代表了台大的教学水平，台大好棒棒。
想起來以前數學課問了很多哲學的問題都被老師罵，或是說要趕章節（考試）沒空說，導致覺得數學好沒意義。但現在自己能上網找這些資料、資源，好像發現新大陸！謝謝科技😂
你那么问个没完没了，教学计划能完成吗 😂
教学的本来价值是引导求知，不过在基础物质世界都比较紧迫的情况下确实很难 形而上学
不过换句话说 师傅只是领进门。别被现实打击到了 大家都很棒的❤
这些问题其实问下去是无穷多的
一個科目讀通了就是像這位授課者一樣，信手捻來就是精彩！
台大就这点能耐? 这种教授只算是教书匠，一堆僵化的教条
@@pizizhangsg1319 老哥 推薦我有點能耐的課來看看 小弟才疏學淺 需要點養分補充 感恩
@@pizizhangsg1319放輕鬆點兄弟❤
維根斯坦名言：數學家就是發明家！
我的失眠治好囉！
我放那些失眠音樂完全無感 然後放這個聽這教授說話+粉筆聲聽著聽著就睡著了
謝謝演算法，讓我知道有人擦黑板的重要性
大一好像修過他的微積分，上課全靠板書沒有講義，聽完完全沒學到東西。
下學期換選別的老師簡直是天堂，講解易懂，講義又整理清楚，還有一堆例題
真的 當初也是休到這個老師的課
确实感觉准备的不够充分，比较跳跃，没有充分从学习者角度考虑问题，作为一个初中数学老师后面就听不懂在干嘛了
@@刘聪-d3m 课前要预习。中学生很多没有课前预习的习惯。有些话题得假设参与者有一定基础 要不然没法讲，就像黑话行话一样，一样一样的解释很难进行教学
@@刘聪-d3m 中学老师要替学生考虑，大学教授除了完成教案任务外都不能开拓受教育的思维的话，大学存在的意义不大，像小学😂
@@刘聪-d3m 應該只是被你忘了吧？至少台灣這裡要當中等數學老師，高微是必修學分，而這堂課講到的微積分定理跟性質都是高微必學的
费心了，给懵懵懂懂的学生突破认知边界。我虽然学过很多年，再听到也是不舍得放过，受到很多启发。
微积分体系建立部分讲的非常非常好。老师功底挺深厚。
在同侧相交是指对两角度而言，否则只要不等于180度就可以判断在任意一侧相交了。
I took 'advanced calculus' from NTU 40 years ago. At the end of course, I lost the ability to count from 1, 2, 3,... to infinite. Now, I still think there should be only a single course for calculus, no 'advanced' or 'entry-level' as long as that single course maintains reasonable logical rigorousness. For those who wants to dig deeper into the logical argument, just go to something like 'real analysis'. The problem of dividing calculus into 'entry-level' and 'advanced' is that logical reasoning in 'entry-level' course are always sacrificed becuase people think it can be delayed to 'advanced' course. The result is students can do calculus without knowing what is calculus.
其实我们大陆也是这种就是不知道这是怎么来的，就老师给大家这样教，大家跟着这样算
@@贝航 工科都是这样讲，理科才能讲深入些 😂
Quite interesting to read your views toward THE MATH, the rudimentary of the science.
Of course, there ain't any division from the basic to advance level in math at all. It's human job.
It all depends on " HOW MANY THE MOST FUNDAMENTAL MATH" you had learn in the past cumulatively to get understand those profound theory by the time you have dived into the vast field of knowledge and applying in REAL LIFE you need to use. LOLOLOLLL There still have " basic" and " advanced" divisions.
In the same way, for the linquestic talent by your definiton as an example I DO NOT AGREE WITH YOURS AT ALL. LOLOLOLLL... NOT AT ALL...
BTW, ME a typical production example of Taiwan EXCRUCIATE strict Educational System. LOLOLOLLL
For educational nurture, I did earn a lot; but also lost a lot in some aspects somehow.
So think about yourself, math and your level.
看到他教學，就想起當年洪成完教的微積分。他用數理邏輯教微積分，在一大堆邏輯符號內兜兜轉轉，害到學生最後連最簡單的微積分也算不出來，要找另一位老師在大二重開補課，簡直是誤人子弟！台大有太多這種天馬行空，狀似高深，卻盡是誤人子弟老師。他們從不老老實實將一本好的教科書從頭到尾教得清清楚楚，學生的根基如何練得紥實，將來如何作研究？
大哥，求求你别拽英文装逼了，用下汉语吧……
晚安。非常感谢您的分享。我正在学习中文。😊 ❤️ 这对我有很大帮助。请继续努力。🥰🇨🇳
對我數學有信心的不是我自己 而是演算法
数学本质是逻辑性的思维
但是邏輯的本質，需要底層一些不可被推得的「第一因」，叫作「公設」或「公理」。
需要這些不可被問及解釋的初始名詞、定理們，作為邏輯推導的起點。
只要在這範圍內，那我能保證後面推出來的定理們在這範圍內一定對。
科學家到最後都必然走向哲學層次
廣義來說，哲學是科學的前身。
错，数学是完全自己的封闭世界，发现自己定义的世界的规矩
@@user-cv6ew3ff5t 某部分數學的形式是為了滿足世界上現實層面的需求
@@GuanYuChen_1207 你搞反了，是有些世界上的东西可以用数学。数学是抽象世界，行而上谓之为道，世界是具象的，行而下谓之为器。物理才是研究具象的，所以物理学家后面很多信神学，而数学家不是。
@@user-cv6ew3ff5t 不可否認原始的數學形式是由描述現實概念的抽象化而來的，而專注於抽象化概念之衍生為數學，專注於現實層面的應用為物理，我認為兩者本身的根源都在於描述世間萬物的現象，因此我認為兩者是相關且不相互獨立，而且兩者具有相交的部分，是包含於人類所有概念的子集內。
0:00-9:45
老師的訊息重點
1.我們定義i這個字母在數學領域中代表虛數，在表達時為了方便理解我們口頭上稱作不存在，幾乎所有的舉例其實都是在告訴學生要知道沒有不存在的東西只有未知的東西。可以舉更多實際生活會遇到的像風你看不見但吹到你身上你感覺的到。
2.老師舉出過去曾有學生提出平面三角形的例子以及與學生的對話過程，一樣是在給予其他學生跳脫出來看見自己的認知並且重新審視自己思維能力，延伸到用鉛筆畫一條直線如果用顯微鏡看是碳粉聚合是在告訴學生世界是虛實同時構成的所以虛數跳脫特定的數學範疇時就是存在的。如果有繼續延伸到實際的三角形體的空間物件是如何構成的舉例說明，那就是在接著另外教導要靈活思考才能在實際生活工作裡學以致用到融會貫通這件事了。
3.金剛經那段老師就是在表現自己在靈活思考學以致用融會貫通。
如果你把哲學定義在它要到達思想的藝術這個層級的話，老師其實沒有在講哲學，只是在講關於理解。
真的要說老師哪裡沒講好其實沒有
但如果是要走鑽研數學這條路的學生可能就會不適合聽這位老師的課
如果只想專注在數學的學生聽這些大概會覺得超煩吧有完沒完我是來聽數學的😆
我要是在20歲的時候聽這堂課應該根本聽不下去吧會直接把講師當虛數 然後睡覺😆
20:30處左右, 平行公理定義, 為何不是兩角和在不等於180度, 直線L1與L2必會在直線L某一側相交?
好喜歡陳教授的課程，講的很清楚明白
演算法太看得起我了
每次工作完睡不著失眠的時候，我都會來聽教授講課😵💫
想當年我讀電機系的時候去修了兩堂數學系的課。
現在我終於知道為什麼它們是我大學生涯唯二被當的課了。
哪那么夸张 感觉很基础啊 我还是学医的
老師講的很好內
数学是语言，有人没语言天分。我高等微积分是老师怜悯。他每次上课都打领结。历历在目。内容则完全没有任何记忆留存。
@@尚武-i6s po
@@尚武-i6s ni
沒有一點哲學功底人很難以體會和理解個中的精妙。會過分糾結於基本應用上。給初上大學的學生來聽的確不是很適合。但無論如何水平上是非常高的！
数学不是物理，不需要真实存在性，你能给定义就存在。
E correct!
所以我轉到應用數學系去了
如果定義任意兩點可做無限多條直線是否存在？
@@黃子睿-q5o 可能非欧几何能定义
@E 對不起,爲了其他的學生,我必須指出"能給定義就存在"是錯的.
也就是說,定義並不意味存在. 這在數理邏輯中是很有名的一個結論.
比如説,你可以定義一個包含所有集合的集合,但這個集合並不存在. 如果你嘗試去證明它的存在,那麽你會陷入邏輯矛盾.
你也可以定義一個包含所有非集合的集合. 這個集合一樣並不存在. 證明的方法一樣: 如果你嘗試去證明它的存在,那麽你會陷入邏輯矛盾.
第一個例子語言簡單易懂,但是證明稍嫌麻煩. 第二個例子很有名,稱爲 Russell's Paradox. 證明很簡單,只有一行.
Google 一下你就可以找到很多這一類的例子,譬如 Berry's Paradox.
而你所説的,"能給定義就存在",在數理邏輯中,對應於 Frege 提出的 Axiom of Comprehension. 這個 axiom 是上述 paradoxes 的來源. 現在早已被修正了.
每次看到这个视频都是睡着之后UA-cam自动播放播到的，今天第一次清醒着看这老师教得很好
教學果然還是要用粉筆寫的，因為可以給聽眾時間去思考。
教授：你為什麽繞路？
計程車司機：我開的是直線。
感謝你讓我從國中就會微積分的基礎了
数学分析这种课很多人学不好，是因为思维方式完全没有改变，毕竟从小学开始就把1+1=2这种看成常识的人的思维转变很不容易，而数学分析则是默认你对数学一无所知，开头就给你讲实数理论的等等，另外，后面到了实变函数泛函分析其实难点不在这些课本身，而是在于你在初高中认为最简单的集合论其实他并不简单
謝謝教授，當年就是看了這堂課才不唸數學系改去財金系哈哈
@邱凱揚 高微跟商用微積分不一樣
這影片太棒了！
個人建議，可以切1.25倍速率聽，感覺就不錯唷(1.5倍太快了...)
雲上太行 🙏你的建议
到國外唸書後，才知道原來數學講的是空間和時間，唸的是應用科學，不過硬是到數學系修了三門高等微分方程的課，你沒看錯，一個非數學系的學生，可以修數學系graduate school的課，而且重要的是，我不會聽不懂。修完後很有感觸，難怪諾貝爾數學或眾科學獎、都沒有東方教育甚麼事，東方教育我光看老師的黑板的鬼畫符就暈了，真的有想讓人聽懂嗎?
哪間學校啊
5:00
老师: 你这道题错了。
学生: 你可以接受标准答案，应该也要接受我的答案，不要执着。
老师: ...(低头打分)
学生: 啊，为什么给我零分？！
老师: 都是虚妄的，不要执着。
(◔◡◔)
數學，可以說是人建構的世界。真實的世界即「道」，存在卻不可名狀；但為了傳遞知識，故必須予以名狀。
謝謝教授 我多年的失眠終於好了
实在找不到方法了
其實他是醫師
數學的三個基本課；
1 數學是什麼? 有何用?
2 所有符號的定義與用法。
3 數學的範圍（系統概念）。
講得很有趣!!推!
“凡所有相皆是虚妄，若见诸相非相即见如来”是很有道理的。其实，复数中的“i”是存在的，它就是精神与思想要素。
其实，公理何以成立是可以严格证明的，所有名词或概念最终都能获得关于经验的解读。“凡所有相皆是虚妄，若见诸相非相即见如来”是很有道理的。其实，复数中的“i”是存在的，它就是精神与思想要素。
其实，公理何以成立是可以严格证明的，至少所有基本名词或概念最终都能获得关于经验的定义。
不愧都是數學系教授 跟我們系上一樣1.25倍剛好
陈教授讲的真是太好了！
啊……yes，唯一一個能讓我在五秒內睡著的ASMR
諸相非相，非相諸相
色即是空，空即是色。
23:55上課不只畫圓還化緣
怎么推给我了？难道我就是那个天选之人🙁天选被数学折磨之人？
我的大学数学老师翻开课本就讲课，根本没跟我们讲过这么深刻又意味深长的道理
你要體諒你們老師，在中國話不能亂講……
你别怪老师了，红朝这里不能乱讲话的，中科大史济怀老师给少年班讲数学分析第三学期的最后一节课后面的没录，实在不敢录，你既然能翻墙就用Google搜一下相关资料，比如曾肯成什么的，你就懂了
After graduating from NTU, I got my Ph. D. degree in statistics in US. I am still wondering is there a physical world that you throw a coin n times, number of head divided by n does not converge when n tends to infinite. What will that world like? probably no math, no stat department.
ntu 是什么？
@@user-cv6ew3ff5t 台灣大學
虽然，我不是台湾人，但是真的非常喜欢这位教授对数学的解释。
這位教師用的是古希臘詭辯學派的技巧，不斷在物理與概念兩個場景之間游移，當人講物理，他講概念；當人講概念，他講物理。到最後其實他什麼都沒講！
謝謝演算法在深夜寂寞難耐的時候 推薦我這部
我也是深夜推… （握手
數學的本質就是一個題目一定有兩種解，一個是最佳解，一個是你不會。
何を話してるのか分からないけど、数式のおかげでロルの定理は分かった
OMG...2 hrs of a lecture!!!
Hmmmm... I will come back soon to watch this professor for many times.🤣🤣🤣🤣
Good question at 50:36.
Advanced Calculus covers ALL science math.
言ってることはわからんが書いてあることは手に取るように分かる
微積分用哲學開頭，對數學好但是邏輯不好的學生很傷
微觀世界中，所有看似連續的物資都可以被無限分解，莊子的：一尺之木，日取其半，萬世而不竭。正是微觀窮盡一切而產生極限的概念，而極限也正是微積分的碁石。而從類比（連續）到數位概念，如果從今天所有01組成的數位產品來看，你用底片拍攝的照片和手機拍的照片差在哪裡？也就是用不同的方式來修圖擬真，AI人臉可以和真實人臉相差無幾，在數位世界之中，每個微觀單位都可以無限分割到最小單位，直到你看不出和真實的物體之間差異，這就是極限的概念。
物理上來說，光的成像正好可以說明虛實的現象。你從鏡子看到自己的像如此栩栩如生，但是卻無法摸到實體，這也是對應虛數的概念，你說它是虛數，但是在數學上它卻真實的存在，尤其是三次以上的方程式，有一實數解和若干虛數解，依照數學的邏輯，幾次方程式就應該有幾個根，只是有的是實數而有的是虛數，你看不到不代表不存在。
光從最低頻到最高頻有不同的波長，人類只能看到某些可見光，其他超低或超高頻你看不到不代表不存在，而這些看不到也摸不著的物質就類似虛數概念。
天地萬物生於有，有生於無。道家的世界中，無才是最大的集合，包含了可見和不可見的一切物質。數學源自邏輯與哲學，這堂課上的好，對其人生影響很大。
看清楚，这门课的名字是高等微积分而不是微积分，不是教你怎么算微分积分的，而是教你如何思考问题的，这门课就相当于大陆和俄罗斯的数学分析，美国的实分析(当然实分析内容比这个多)
@@文青冯 我講的就是思考問題的邏輯啊！從宏觀和微觀不同面向看問題本來就是思考角度和方式的不同，你扯高微和微積分幹嘛？你是理解有問題還是語言有障礙？
講到我覺得有點感動
我想老師要表達的是數學是純理性的(觀念的邏輯的）
而不是硬要講的玄
油管推荐这个视频给我一个50岁的老年人，我居然还看了半个小时！😂
50歲可，”老年人”免了。
50 is young. I am 66, spent 1.536246 hours watching it two days ago till 2 am. It has been more than 40.00000 years, I still do not understand what is countable, uncountable.
All of a sudden, I understand what is 'countable', number of years of my residual life is countable, but residual life as 'time', a real number, is uncountable.
@@hsiochen7216 优秀
YOUNG MAN
那个垂直是错误的，不是老师要表达的。但是为什么没人提醒？所有人是不是都清楚了老师要表达的意思？
偷超修一下物理 結果看到這個 還挺好看的owo
球面上的三角內角總和跟平面三角內角總和應該不能套用相同說明吧！
平面三角的三邊可以拆成三直線線段並連接成一直線；而球面三角如果直接拆開並連接是無法成一直線，而是一個曲線。這本質應該就不同了！雖然前面老師說過球面幾何的直線定義，但我覺得這定義存在誤區。
坚持看了一个小时，感觉微积分得重新学了
数学的本质是用符号表示关系，而关系是一个哲学概念。
厲害，第一講貫徹高微
我看張旭老師的微積分不代表我真的想看微積分好嗎！youtube
信不信由你
我查數學老師ASMR出現這個
學那些物理數學在社會生活會用到嗎？？這個老師很會教😁雖然我聽不太懂😎我的智慧也沒那麼高、只是很好奇。😄那麼深入的數學在社會上用的到嗎？會用在哪呢？醫療？還是科學用圖呢？🤭🤭
你開的車 住的房子 馬桶 用的電 自來水 全部都是這些科學的實用成果
你一輩子的都用不到 可是人類一直都在用到 而且我們在持續發現 持續進步
物理应用我不是很清楚，但是数学的话，你就算学个公司理财里面应该都有复利，货币时间价值等等这些吧，风险与报酬和概率论联系也紧密，概率论又依赖于数学分析实分析等等这些
当然我不清楚台湾那里是不是也把数学和物理捆在一起，而不太注重经济应用，如果是这样，简直和大陆教学一样悲哀，数学和金融学经济学会计学这些也是有很多联系的，不应该提到数学永远只想到物理
开阔了我都视野！非常感谢老师的思想！