Je ne sais pas si c'est le cas de tout le monde mais j'ai l'impression que ce monsieur est en train de dire : 1- J'explique mais au fait tout est clair et ça va de soi et il n'y a rien d'ambigu 2- Vous comprenez 3- Sinon, vous comprenez Merci pour ces vidéos
J'ai quitté l'Université section physique-Chimie ,mais la curiosité n'a guerre me laisse tranquille , du côté professionnel que j'ai vécu beaucoup de plombier voulait faire de la climatisation ,même s'il ne connaît ni thermodynamique ni diagramme d'air humide , pour moi lorsque je vois la théorie de la relativité général ,et exactement cette fameuse formule dont Einstein a résumé le comportement de l'univers et même a regretté d'avoir ajouté une constante ,ou bien dans la mécanique quantique lorsqu'on parle d'où passe le photon parmi les deux trou ,ou bien de modéliser la trajectoire d'un grains de pollen dans les mouvements Brownien , toutes sciences mystérieuses nécessite ,ce langage :les pour découvrir ces secrets est c'est le vrai bonheur .Merci PROFESSEUR.
Monsieur, À 7:47 pourquoi on a que des inclusions avec l'image directe et des égalités avec l'image réciproque ? Le fait qu'on prend f-1 sert à supposer une application bijective? comment ça se fait qu'on peut dire que f-1(U A_n) = U (f-1(A_n)) sans condition que f soit linéaire ?
Je ne pense pas car l'ensemble des points de discontinuité peut-être de mesure nulle sans être dénombrable (même si j'avoue ne pas avoir d'exemples en tête)
@@MathsAdultes Excusez-moi ^^' je reformule, à 04:03 pourquoi on a que, pour la notion de la mesurabilité des fonctions, c'est indépendant de la mesure ? Pourquoi on n'a pas besoin des autres axiomes qu'on a défini avant pour la mesure ?
dès que l'on a des tribus sur les ensembles de départ et d'arrivée alors on peut définir les fonctions mesurables on devrait peut-être les appeler les fonctions "tribu-compatibles" ?
J'ai plutôt l'impression que ces fonctions mesurables sont décrites par l'adjectif "mesurable" pour faire le pendant avec les parties de Ω, qu'on qualifie de "mesurables" si et seulement si elles sont dans la tribu. De même qu'une partie de Ω peut être mesurable ou non, indépendamment d'une quelconque mesure, une fonction peut être mesurable ou non, indépendamment d'une quelconque mesure. (Néanmoins, il faut avoir défini une tribu au préalable.)
Un grand merci pour ce magnifique travail. Je souhaitais juste signaler un lapsus aux alentours de 2'47'' lorsque vous prononcer le mot "topologie grossière", il s'agit plutôt de la topologie "discrète" qui est la plus fine.
Merci pour vos vidéos. Pourquoi f est constante sur les points de disconuité ? Aux points de disconuité, f n'est pas défini et donc n'a pas de valeur ?
pourquoi toute suite numerique de N dans R est elle mesurable ? si je prend un ensemble A dans B(R) (borelien de R) alors f^-1(A)n est pas forcement dans P(N). merci de la reponse et de tous les cours :)
f^-1(A) est forcément une partie de N, mais je crois que votre objection c'est pourquoi toute partie dénombrable est mesurable ? et bien c'est parce que un singleton l'est car c'est un fermé et qu'une réunion dénombrable d'ensembles mesurables est mesurable.
Monsieur, Quand vous dites que "Si on veut calculer des intégrales sur une partie de R et on a une tribu sur R, il faut avoir une tribu sur une partie de R..." La tribu trace on la définie de la sorte parceque dans les problèmes c'est plus facile de prendre la trace de B(omega) sur A que de prendre A comme l'espace et définir sa tribu ? ou on ne peut pas définir la tribu de la partie (si on considère pas les parties simples par exemple?) ou la meilleure façon de la définir c'est à partir de la tribu originale?
Bonjour, à 7'47, vous dites que l'image réciproque, contrairement à l'image directe, "c'est fastoche" car commute naturellement avec les opérations d'ensemble (union intersection). Pourriez-vous me donner un exemple montrant que ça ne se passe pas aussi bien avec l'image directe. Merci beaucoup.
@@MathsAdultes A=R+ et B=R-, en effet, merci beaucoup. Et bravo pour vos vidéos. J'en profite pour vous dire que si l'envie vous venait de vous lancer dans une série de cours de géométrie différentielle, surtout n'hésitez pas.
Bonjour, pour la convergence simple de fonctions mesurables, la réciproque est-elle fausse ? Je veux dire: si f est mesurable et si il existe une suite de fonctions (fn) telle que f est limite des fn, les fn sont-elles forcément mesurables ?
Si votre question est "est-ce que toutes les fonctions fn sont mesurables ?" alors la réponse est non, il suffit de remplacer f1 par une fonction non mesurable quelconque ! Par contre si votre question est : "est ce que les fonctions fn sont toutes mesurables à partir d'un certain rang ?" Franchement je n'en ai aucune idée, j'aurais tendance à croire que non... En même temps, comme je tente de l'expliquer dans la vidéo, il n'est pas très risqué de supposer qu'une fonction quelconque est mesurable, si les fn de la suite sont donnés par une formule explicite alors elles sont toutes mesurables, que la suite converge ou non ;-)
Maths Adultes Effectivement ma question était plutôt pour un certain rang, et certes les fonctions non mesurables sont rares, mais en L3 si on me demande de montrer qu’une fonction est mesurable je doute que dire qu’il y a de grande chance qu’elle le soit suffise à mon correcteur 😅 Merci pour cette réponse rapide !
@@MathsAdultes La réponse est oui ( à partir d'un certain rang ) s'il est vrai que toute partie d'un borélien est un borélien. Je ne sais pas hélas si c'est le cas. En effet (si c'est le cas) à partir d'un certain rang N pour n , f - e < fn < f + e, en choisissant la fonction e positive et mesurable, et alors si fn( x ) < a, (f - e)(x)
A priori faux, R étant un borélien qui contient des non-boréliens... Donc plus subtil qu'il n'y parait, en restreignant peut-être la classe des boréliens considérés, ou, reformulé: quelle est la plus grande famille de boréliens de R telle que toute partie d'un d'entre eux est encore un borélien ? A voir pour les experts en boréliens : - )
Peut-on déterminer la plus grande partie héréditaire de l'ensemble des boréliens ? A savoir tous ceux dont toute partie est encore un borélien . Merci.
j'avoue ne pas connaître la réponse à cette question, je pense que tout intervalle réel contient une partie non borélienne, donc ça doit pas être bien gros :-)
@@MathsAdultes oui, on doit se ramener à un intervalle borné en "tassant" R ( qui contient des non-boreliens) au moyen d'une fonction continue, et les non-boréliens gardent peut-être ce statut négatif en se logeant dedans.... Mais je pense que la quantité de Boréliens ( aleph1 je crois) suffit pour qu'il y en ait quand-même pas mal ( même si générés essentiellement par les intervalles). Question ouverte donc.
Bonjour merci beaucoup pour les cours ils m'ont vraiment aidé à comprendre ce module J'aimerais savoir si vous avez des documents ou notes personnelles concernant les méthodes spectrales et applications aux EDP j'en ai urgemment besoin svp
VIDEO EXTRA Merci Professeur Gilles. juste petite correction à faire dans le texte de la diapo à 6 min 08 : "toute application de N dans n' importe quel ESPACE (pas ensemble) mesurable.
Bonjour Prof A 18'22 D = U (Oméga k), par suite f est mesurable sur D donc sur Oméga . Ou encore f mesurable sur Oméga = (Oméga o) U (Oméga k) ? A 26'52 l'égalité entre les ensembles c'est toujours pour un x fixé , { inf (fn(x) >a } = U {fn(x) >a } ? Merci.
C'est peut etre une question pas intéréssante.. mais pour la condition de mesurabilité, implicitement on dit que f^(-1) doit exister? Mais du coup l'exemple de la fonction constante n'est pas très clair parceque f^-1 n'existe pas!
attention l'image réciproque d'une partie A de l'ensemble d'arrivée noté f^-1(A) existe toujours même si f n'est pas bijective et donc que f^-1 n'existe pas… J'aurais du le rappeler avant c'est vrai...
@@MathsAdultes Merci infiniment pour vos vidéos, une fois de +. Petite question toutefois qui rejoint celle-là. Pour l'inverse, on sait que (g o f)^-1 = f^-1 o g^-1, mais du coup on a la même chose pour les images réciproques vu que vous l'utilisez dans la preuve c'est bien cela ? Merci d'avance
si f est continue par morceaux sur I ( pas forcément fermé sur un bord ) elle est par définition continue par morceaux sur tout intervalle J compact inclus dans I et alors sur J le nombre de discontinuités est fini. Au pire on recouvre I par une famille (Jn) dénombrable (toujours possible) et le nombre total de discontinuités sur I est dénombrable ( comme union dénombrable de parties finies). Si I est directement un segment, c'est encore plus rapide car là D est fini. Cordialement
ok donc continue par morceaux => nombre de discontinuité dénombrable. Mais la question est pourquoi si le nombre de discontinuité est dénombrable alors c'est Riemann-intégrable ?
@@MathsAdultes La question était sur la mesurabilité, vous avez montré d'abord que continue sur Omega sauf sur D au plus dénombrable => mesurable. Ensuite , continuité par morceaux sur I intervalle quelconque => D au plus dénombrable, donc... Jusque-là on ne parle pas d'intégrale ( sans mesure ). Il faut attendre la suite de vos vidéos :-) si je ne m'abuse.
@@MathsAdultes Je voulais souligner surtout que si I n'est pas un segment, la dénombrabilité de D n'est pas si "automatique" et que justement dans l'intégrale de Riemann, le théorème classique concerne la continuité par morceaux sur un segment (et pas un intervalle quelconque), et normal, il devient impossible d'encadrer par des fonctions en escalier ( au nombre fini de discontinuités )
@@MathsAdultes La fonction sur ] 0 , 1 ] qui sur [ 1/2 , 1] donne 0, sur [ 1/3, 1/2 [ donne 1, etc... est continue par morceaux, mais non Riemann-intégrable ( sans faire intervenir d'intégrale généralisée ).
@@MathsAdultes Dans le cas (restrictif évidemment si on compare à l'intégrale de Lebesgue) d'un fonction sur un segment, elle est Riemann-intégrable elle est bornée ( c'est clair ) et continue presque-partout ( théorème de Lebesgue-Vittali), donc en particulier si l'ensemble des discontinuités est dénombrable (et borné). Rien à faire la continuité ( ou presque) colle à la peau de Riemann. Cela englobe les fonctions monotones comme cas particulier, et plus généralement les fonctions réglées aux discontinuités dénombrable.
À CETTE heure dire concret le monde dès mot le premier moteur ça vous parle "que le monde qu'on se crée en secret un jour d'un decret nous dévoile le monde concret et le monde qu'on crée est abstrait @@DanielBWilliams
"Merci de regarder cette vidéo"?
NON MERCI À VOUS!!
C'est juste génial :)
Je ne sais pas si c'est le cas de tout le monde mais j'ai l'impression que ce monsieur est en train de dire :
1- J'explique mais au fait tout est clair et ça va de soi et il n'y a rien d'ambigu
2- Vous comprenez
3- Sinon, vous comprenez
Merci pour ces vidéos
Merci encore d'avoir éclairci ce qui était à ce jour très obscur en Cours Magistraux !
Coquille dans le slide à 14:15 : A est un borélien de B' et non de B
bien vu !! aargh !
Merci pour la touche d'humour dans cette période de rattrapage
Merci. Vous êtes incroyablement clair !
J'ai quitté l'Université section physique-Chimie ,mais la curiosité n'a guerre me laisse tranquille , du côté professionnel que j'ai vécu beaucoup de plombier voulait faire de la climatisation ,même s'il ne connaît ni thermodynamique ni diagramme d'air humide , pour moi lorsque je vois la théorie de la relativité général ,et exactement cette fameuse formule dont Einstein a résumé le comportement de l'univers et même a regretté d'avoir ajouté une constante ,ou bien dans la mécanique quantique lorsqu'on parle d'où passe le photon parmi les deux trou ,ou bien de modéliser la trajectoire d'un grains de pollen dans les mouvements Brownien , toutes sciences mystérieuses nécessite ,ce langage :les pour découvrir ces secrets est c'est le vrai bonheur .Merci PROFESSEUR.
Monsieur,
À 7:47 pourquoi on a que des inclusions avec l'image directe et des égalités avec l'image réciproque ?
Le fait qu'on prend f-1 sert à supposer une application bijective? comment ça se fait qu'on peut dire que f-1(U A_n) = U (f-1(A_n)) sans condition que f soit linéaire ?
C'est expliqué ici : fr.wikipedia.org/wiki/Image_réciproque
Merci l'artiste !
Bonjour,
à 18:00 la notion de points de discontinuité dénombrable est-elle la même que continue presque partout?
Je ne pense pas car l'ensemble des points de discontinuité peut-être de mesure nulle sans être dénombrable (même si j'avoue ne pas avoir d'exemples en tête)
Bonjour Prof.
Pourquoi la fonction f est constante sur chaque omega k à 18:06 ? Elle est peut-être non définie ? Merci pour votre réponse.
Je dit fonctions mais il faut comprendre "application" désolé pour cette imprécision, donc je suppose que f est définie sur omega en entier...
Merci encore d'avoir éclairci ce qui était à ce jour très obscur en Cours Magistraux
À 04:03 pourquoi on que la mesurabilité des fonctions n'a pas besoin des autres axiomes pour la mesure ?
je ne comprends pas bien votre question, j'ai l'impression qu'il doit manquer un mot...
@@MathsAdultes Excusez-moi ^^' je reformule, à 04:03 pourquoi on a que, pour la notion de la mesurabilité des fonctions, c'est indépendant de la mesure ? Pourquoi on n'a pas besoin des autres axiomes qu'on a défini avant pour la mesure ?
dès que l'on a des tribus sur les ensembles de départ et d'arrivée alors on peut définir les fonctions mesurables on devrait peut-être les appeler les fonctions "tribu-compatibles" ?
@@MathsAdultes Ah je vois!
merci pour votre réponse ^^
J'ai plutôt l'impression que ces fonctions mesurables sont décrites par l'adjectif "mesurable" pour faire le pendant avec les parties de Ω, qu'on qualifie de "mesurables" si et seulement si elles sont dans la tribu.
De même qu'une partie de Ω peut être mesurable ou non, indépendamment d'une quelconque mesure, une fonction peut être mesurable ou non, indépendamment d'une quelconque mesure. (Néanmoins, il faut avoir défini une tribu au préalable.)
MERCI le KHEY prof de maths !!!!
Un grand merci pour ce magnifique travail. Je souhaitais juste signaler un lapsus aux alentours de 2'47'' lorsque vous prononcer le mot "topologie grossière", il s'agit plutôt de la topologie "discrète" qui est la plus fine.
vous avez parfaitement raison !!!
Merci infiniment , svp est ce que vous pouvez faire les groupe de galois merciii
Bonjour, je ne sais pas comment faire un commentaire général sur votre chaîne. C'est un superbe travail. Merci beaucoup pour votre générosité.
Merci pour vos vidéos. Pourquoi f est constante sur les points de disconuité ? Aux points de disconuité, f n'est pas défini et donc n'a pas de valeur ?
si si f est définie partout, c'est une application plutôt qu'une fonction ;-)
Merci pour votre réponse, j'ai compris que f est constante sur D.
pourquoi toute suite numerique de N dans R est elle mesurable ? si je prend un ensemble A dans B(R) (borelien de R) alors f^-1(A)n est pas forcement dans P(N). merci de la reponse et de tous les cours :)
f^-1(A) est forcément une partie de N, mais je crois que votre objection c'est pourquoi toute partie dénombrable est mesurable ? et bien c'est parce que un singleton l'est car c'est un fermé et qu'une réunion dénombrable d'ensembles mesurables est mesurable.
Monsieur,
Quand vous dites que "Si on veut calculer des intégrales sur une partie de R et on a une tribu sur R, il faut avoir une tribu sur une partie de R..."
La tribu trace on la définie de la sorte parceque dans les problèmes c'est plus facile de prendre la trace de B(omega) sur A que de prendre A comme l'espace et définir sa tribu ? ou on ne peut pas définir la tribu de la partie (si on considère pas les parties simples par exemple?) ou la meilleure façon de la définir c'est à partir de la tribu originale?
si on veut avoir une définition de l'intégrale qui ne dépendent pas de la partie de R alors c'est mieux de prendre la tribu trace
Bonjour, à 7'47, vous dites que l'image réciproque, contrairement à l'image directe, "c'est fastoche" car commute naturellement avec les opérations d'ensemble (union intersection). Pourriez-vous me donner un exemple montrant que ça ne se passe pas aussi bien avec l'image directe. Merci beaucoup.
F : R -> R x -> x² par exemple avec A = R+ et B = R- alors f(A) inter f(B) = R+ et f(A inter B) = {0}
@@MathsAdultes A=R+ et B=R-, en effet, merci beaucoup. Et bravo pour vos vidéos.
J'en profite pour vous dire que si l'envie vous venait de vous lancer dans une série de cours de géométrie différentielle, surtout n'hésitez pas.
Peut on dire qu’une compose de fonction borelien o continue est borelien?
oui car si une fonction est continue elle est borélienne
Bonjour, pour la convergence simple de fonctions mesurables, la réciproque est-elle fausse ?
Je veux dire: si f est mesurable et si il existe une suite de fonctions (fn) telle que f est limite des fn, les fn sont-elles forcément mesurables ?
Si votre question est "est-ce que toutes les fonctions fn sont mesurables ?" alors la réponse est non, il suffit de remplacer f1 par une fonction non mesurable quelconque !
Par contre si votre question est : "est ce que les fonctions fn sont toutes mesurables à partir d'un certain rang ?" Franchement je n'en ai aucune idée, j'aurais tendance à croire que non...
En même temps, comme je tente de l'expliquer dans la vidéo, il n'est pas très risqué de supposer qu'une fonction quelconque est mesurable, si les fn de la suite sont donnés par une formule explicite alors elles sont toutes mesurables, que la suite converge ou non ;-)
Maths Adultes Effectivement ma question était plutôt pour un certain rang, et certes les fonctions non mesurables sont rares, mais en L3 si on me demande de montrer qu’une fonction est mesurable je doute que dire qu’il y a de grande chance qu’elle le soit suffise à mon correcteur 😅
Merci pour cette réponse rapide !
@@MathsAdultes La réponse est oui ( à partir d'un certain rang ) s'il est vrai que toute partie d'un borélien est un borélien.
Je ne sais pas hélas si c'est le cas.
En effet (si c'est le cas) à partir d'un certain rang N pour n , f - e < fn < f + e, en choisissant la fonction e positive et mesurable, et alors
si fn( x ) < a, (f - e)(x)
A priori faux, R étant un borélien qui contient des non-boréliens... Donc plus subtil qu'il n'y parait, en restreignant peut-être la classe des boréliens considérés, ou, reformulé: quelle est la plus grande famille de boréliens de R telle que toute partie d'un d'entre eux est encore un borélien ?
A voir pour les experts en boréliens : - )
Pourquoi vous avez pris la tribus standard sur N dans l'exemple des suites ? et merci :)
Je ne suis pas bien sûr de comprendre votre question, il est naturel lorsque l'on mesure un ensemble fini de compter son nombre d'éléments non ?
Je voulais dire est ce qu’on peut prendre une autre tribus autre que P(N) dans cette exemple
Merci infiniment cher prof.
Est ce que vous comptez faire un cours sur l'analyse fonctionnelle?
pas tout de suite, j'essaye de couvrir le programme de licence déjà :-)
Peut-on déterminer la plus grande partie héréditaire de l'ensemble des boréliens ? A savoir tous ceux dont toute partie est encore un borélien . Merci.
j'avoue ne pas connaître la réponse à cette question, je pense que tout intervalle réel contient une partie non borélienne, donc ça doit pas être bien gros :-)
@@MathsAdultes oui, on doit se ramener à un intervalle borné en "tassant" R ( qui contient des non-boreliens) au moyen d'une fonction continue, et les non-boréliens gardent peut-être ce statut négatif en se logeant dedans.... Mais je pense que la quantité de Boréliens ( aleph1 je crois) suffit pour qu'il y en ait quand-même pas mal ( même si générés essentiellement par les intervalles). Question ouverte donc.
8:00 "c'est ca qui fait que la vie est belle"
franchement , je regardais la vidéo et arrivant là j'ai rigolé au fond de moi sans emettre de voix hhhhh
Bonjour, dans le slide 'Local et global', section Preuve, première ligne, il manque un 'prime' à la tribu \BB : il faut lire \forall A \in \BB^'.
merci pour votre visionnage attentif
quel est la différence entre une fonction mesurable et une fonction borélienne s'il vous plait?
Une fonction borélienne est une fonction mesurables pour les tribus boréliennes de l'espace de départ et d'arrivée :-)
Bonjour merci beaucoup pour les cours ils m'ont vraiment aidé à comprendre ce module
J'aimerais savoir si vous avez des documents ou notes personnelles concernant les méthodes spectrales et applications aux EDP j'en ai urgemment besoin svp
non désolé ce n'est vraiment pas mon domaine de prédilection...
VIDEO EXTRA Merci Professeur Gilles. juste petite correction à faire dans le texte de la diapo à 6 min 08 : "toute application de N dans n' importe quel ESPACE (pas ensemble) mesurable.
Bonjour Prof
A 18'22 D = U (Oméga k), par suite f est mesurable sur D donc sur Oméga . Ou encore f mesurable sur Oméga = (Oméga o) U (Oméga k) ?
A 26'52 l'égalité entre les ensembles c'est toujours pour un x fixé , { inf (fn(x) >a } = U {fn(x) >a } ?
Merci.
f est mesurable sur omega
si vous fixé x, si x appartient à {inf f_n
thanks prof❤❤
Il y a une vraie dualité entre la topologie et la mesure. :o
C'est peut etre une question pas intéréssante.. mais pour la condition de mesurabilité, implicitement on dit que f^(-1) doit exister? Mais du coup l'exemple de la fonction constante n'est pas très clair parceque f^-1 n'existe pas!
attention l'image réciproque d'une partie A de l'ensemble d'arrivée noté f^-1(A) existe toujours même si f n'est pas bijective et donc que f^-1 n'existe pas…
J'aurais du le rappeler avant c'est vrai...
j ai retrouvé les livres de math de la génération Bourbarki, et bien je me demande si vous auriez continué à faire des maths dans les années 70
Donc chaque fonction mesurable est deja supposée surjective car on utilise f^-1
non pas du tout, l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée est toujours définie...
@@MathsAdultes Merci infiniment pour vos vidéos, une fois de +. Petite question toutefois qui rejoint celle-là. Pour l'inverse, on sait que (g o f)^-1 = f^-1 o g^-1, mais du coup on a la même chose pour les images réciproques vu que vous l'utilisez dans la preuve c'est bien cela ? Merci d'avance
Bonjour, parfois dans le cours vous nous proposez de voir un vidéo , on se propose de faire le lien et MERCI .
Génial !
Superbe travail
Merci merci
Comme dirait mon prof de maths spé, l'union d'une image réciproque c'est aussi ... jeu de mots, ...
si f est continue par morceaux sur I ( pas forcément fermé sur un bord ) elle est par définition continue par morceaux sur tout intervalle J compact inclus dans I et alors sur J le nombre de discontinuités est fini. Au pire on recouvre I par une famille (Jn) dénombrable (toujours possible) et le nombre total de discontinuités sur I
est dénombrable ( comme union dénombrable de parties finies). Si I est directement un segment, c'est encore plus rapide car là D est fini. Cordialement
ok donc continue par morceaux => nombre de discontinuité dénombrable. Mais la question est pourquoi si le nombre de discontinuité est dénombrable alors c'est Riemann-intégrable ?
@@MathsAdultes La question était sur la mesurabilité, vous avez montré d'abord que continue sur Omega sauf sur D au plus dénombrable => mesurable.
Ensuite , continuité par morceaux sur I intervalle quelconque => D au plus dénombrable, donc...
Jusque-là on ne parle pas d'intégrale ( sans mesure ). Il faut attendre la suite de vos vidéos :-) si je ne m'abuse.
@@MathsAdultes Je voulais souligner surtout que si I n'est pas un segment, la dénombrabilité de D n'est pas si "automatique" et que justement
dans l'intégrale de Riemann, le théorème classique concerne la continuité par morceaux sur un segment (et pas un intervalle quelconque), et normal, il devient impossible d'encadrer par des fonctions en escalier ( au nombre fini de discontinuités )
@@MathsAdultes La fonction sur ] 0 , 1 ] qui sur [ 1/2 , 1] donne 0, sur [ 1/3, 1/2 [ donne 1, etc... est continue par morceaux, mais non Riemann-intégrable ( sans faire intervenir d'intégrale généralisée ).
@@MathsAdultes Dans le cas (restrictif évidemment si on compare à l'intégrale de Lebesgue) d'un fonction sur un segment, elle est Riemann-intégrable elle est bornée ( c'est clair ) et continue presque-partout ( théorème de Lebesgue-Vittali), donc en particulier si l'ensemble des discontinuités est dénombrable (et borné). Rien à faire la continuité ( ou presque) colle à la peau de Riemann. Cela englobe les fonctions monotones comme cas particulier, et plus généralement les fonctions réglées aux discontinuités dénombrable.
Merci infiniment
Merci
ありがとうございました。
exellent prof merci infiniment
merci je finirais pas me réconcilier avec les mathématiques en France,
Pardon, pour la première ligne de la preuve du LOCAL ET GLOBAL est ce que A € B ou A € B' ,je suis perdu ,MERCI.
oui c'est A dans B' désolé pour la faute de frappe !
toutes ressemblance avec Moise le bègue est fortuite a priori
Vous parlez de quoi concrètement ?
À CETTE heure dire concret le monde dès mot le premier moteur ça vous parle "que le monde qu'on se crée en secret un jour d'un decret nous dévoile le monde concret et le monde qu'on crée est abstrait @@DanielBWilliams
@@sionelbaz9899 Désolé mais je ne comprends rien à ce que vous dites.