인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 자주달리는 질문유형에 대한 답변입니다. 1. 선생님 지구의 적도와 위도 30°는 구면 위에서 서로 평행한 직선이 아닌가요? (by 미하항 님) ➀ 공에 점 두 개를 찍어보세요. ➁ 두 점을 잇는 최단길이의 선을 그려보세요. ➂ 그 선을 그대로 연장시켜보세요. 그러면 적도선 모양이 나올 겁니다. 즉, 말씀하신 30° 위도선은 실제로 구면에서는 직선이 아닌 곡선에 해당합니다. 2. 곡률이 1/곡률반경인데 어떻게 음수가 되는거지??? (by 김민준 님) 곡면에서는 한 점을 기준으로 무수히 많은 방향의 곡선이 정의됩니다. 여기서 가우스곡률이라는 개념을 쓸 수 있는데, 가우스곡률은 그런 무수한 곡선들의 곡률 중 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률을 곱해서 정의한다 보시면 돼요. 그리고 쌍곡면에서는 그 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률의 방향이 반대방향으로 형성되어서, 최종적으로 음의 곡률이 나온다고 이해하시면 무난할 듯 싶네요.
평행선의 특성을 이용하면 알 수 있습니다 유클리드 기하학에서 평행하는 두 직선은 어떠한 점에서도 거리가 일정합니다 또한 거리에 해당하는 선분을 그렸을 때 평행선과 이루는 모든 각은 90도입니다 극단적으로 적도와 위도 89도에 해당하는 모든 지역을 생각해보겠습니다 적도의 한 지점에서 위도 89도까지 최단거리로 올라간 경로와 위도 89도에 해당하는 선분이 이루는 각은 두 각 모두 90도가 넘어버리기 때문에 위도선끼리는 평행하지 않다는 것을 알 수 있습니다
평행선 공리는 유클리드 평면에서의 주제이지요. 자~ 적도선 상에 임의의 점을 잡아 P라고 하면, 점 P에서 접평면을 만들 수 있어요. 이때 적도선은 접평면 위에서 직선으로 표현됩니다. 마찬가지 방식으로 생각해서, 위도선 상에 어떤 점을 잡더라도, 위도선은 곡선으로 표현되므로(직선이란 최단거리이고, 최단거리는 대원 위에만 있고, 위도선은 대원이 아니기 때문) 평행선은 없고요. 한편 구면상의 직선은 대원으로만 표현된다는 점을 생각하면, 서로 다른 두 직선은 항상 만나기 때문에(대원들은 항상 만남) 평행선 공리는 성립하지 않음 ^^;
혹시나 구면기하학 내용 이해가 어려우신 분들을 위해 간단히 적어보자면.. 구면기하학에서 두 점을 잇는 직선은 구의 표면에서 원입니다.그 원은 구와 동일한 중심을 갖는 원으로 "대원"이라 부릅니다. 즉, 구면에서의 최단거리는 유클리드 관점에서는 부채꼴의 호이고, 구면기하학에서는 "선분"이 됩니다.따라서 직선은 길이가 원주가 되는 것이죠🙂 이 점만 잘 생각하시면 이해하실 겁니다💫
보통 수학이 물리학에 앞서요. 하이델베르크가 원자의 스펙트럼을 수학적으로 표현하다보니 그게 기존에 존재하던 행렬이었거든요. 그래서 행렬역학이 된 거죠. 단, 요즘 기호논리학에 다양한 분과들이 있는데, 양자논리가 있어요. 이것은 양자역학을 논리학에서 처리하기 위해 양자논리를 의도적으로 고안해낸 거죠. 최근에 초끈이론 등과 관련한 양자중력이론 등에서는 수학과 물리학이 동반하는 경우가 있어요. 에드워드 위튼이 초끈의 수학 등으로 필즈상을 수상하는 것처럼요.
@@wkqsha1865 수학과 물리학은 서로에게 영감을 주는거 같아요 물리에서 나온 디렉 델타 함수를 수학자 로랑 슈와르츠가 엄밀하게 수학적으로 설명한다던가 머리겔만이 쿼크를 수학의 군론을 사용하여 이론적으로 예측한것도 있고 초끈이론의 경우는 수학에서 나온 칼라비 야우 다양체,오일러 베타 함수,매듭이론 같은게 영향을 주는거 처럼요 다만 요즘에는 수학이나 물리학이나 서로 고유한 영역을 가지고 연구하는거 같아요 물론 수학자,물리학자 둘다 관심을 가지는 학제간 연구분야도 있지만수학자에게 있어서는 물리적인 의미를 가지는 대상은 전체 수학에서는 특수한 경우고 보다 일반적인 수학의 세계 탐구하는것 같고. 물리학자에게는 세상을 설명하는데 필요한 부분만큼 사용하면 충분하니까요
평행선 공리를 달리 표현하면, 삼각형의 내각의 합이 180도 즉, 2직각이어야 한다는 것과 동치죠? 그런데 구면상에서는 모든 삼각형의 내각의 합이 180도보다 크니까, 평행선이 없는 거라고 생각합니다. 또한 달리 생각해 보면, 구면상의 직선은 대원상의 선분으로 표현되는데 모든 대원은 교차하거든요. 그리고 님의 말씀처럼 대원을 묶어 밧줄을 비끄러 가면, 그것은 대원상의 직선을 평면에 투영한 직선에 대해 곡선으로 표현될 겁니다. 왜냐 하면 우리가 논증하려는 평행선 공리는 유클리드 평면상의 주제이거든요. 따라서 대원은 유클리드 평면에서 직선으로 표현되지만 대원을 벗어난 것은 유클리드 평면에서 곡선으로 표현될 겁니다. 그렇다면 구면상에서는 두 선분은 유클리드의 평행선 공리를 만족시킬 수 없다는 것이 되구요. 혹 제가 착각한 것일 수도 있어요 ^^;
직선이 무엇인지를 알아야 합니다. 직선이 무엇일까요? 선분을 연장시킨 거죠. 그럼 선분은 무엇일까요? 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선이죠. 그렇다면 이제 구 표면에서의 직선이 무엇인지를 봅시다. 구 표면의 두 점을 찍고 이으면 수많은 곡선들을 그릴 수 있죠. 그렇지만 최단 길이를 가지는 곡선은 단 하나, 대원의 호입니다. 대원이 무엇이냐면 구의 중심을 중심으로 하는 원을 말합니다. 대원의 특징은 구 표면에 그릴 수 있는 원 중 가장 크기가 크다는 겁니다. 왜 대원의 호가 최단 길이를 갖는 곡선인지 궁금하시겠죠. 그것은 쉽게 증명할 수 있습니다. 스스로 시도해보시는 것 어떨까요?^^
그리고 유클리드 기하학의 공리가 무너진건 아니고요 공리를 부정하고 다른 공리를 사용해도 유클리드 기하학과 똑같은 수준으로 문제없이 새로운 기하학을 연구할 수 있다는 말이고 유클리드 기하의 공리가 모순을 일으키거나 거짓이다라는건 아니에요 새로운 관점으로 기하를 바라볼 수 있게한게 비유클리드 기하학이 가져다준 의미인거 같아요 물론 수학이 형식화되면서 유클리드 기하학도 힐베르트의 손을 거치며 형식화 되서 점, 선 이런 기하학 용어의 의미는 사라졌지만요
힐베르트가 유클리드 기하학 등을 수퍼 울트라 업그레이드 버전을 만들었다고 봐야죠. 유클리드 공리계가 깨진 것이 아니라, 기호논리식으로 엄격히 형식화해서 보다 강력한 버전으로 만들었다고 봐야죠 ^^; . 괴델 정리는 상엽쌤이 가장 간명하면서도 쉽게 설명해놓은 것이 있고, 보다 완벽하고 엄격한 설명은 임정대, , 요시나가 요시마사의 책과 어니스트 네이글 공저의 책을 참조하시면 좋을 거예요. 특히 요시나가와 네이글의 책은 정평이 나 있어요.
평면상정보를 취합하어 3차원 공간을 이해하고 그것을 우리가 느끼는 망막의 맺힘으로 설명하기위한 투영 작업을 진행하다보면 도법에는 4점투시 5점투시 6점투시까지 우리눈으론 확인이 불가능한 공간을 2차원 평면에 투영하는게 가능하지만 우리가 보는, 인지하는 3차원의 공간개념을 뛰어넘는 것은 참 어려워보입니다.. 왜곡가능성을 인지시키는 것이 비유클리드기하학의 발돋음에 도움이 되기에 이 점 알랴드리고자 말 남깁니다.
자~ 비순환 무한소수는 무리수죠? 예를 들어, 루트 2는 무리수죠? 그럼 루트 2를 예로서, 무리수가 실제로 일정한 크기를 가진 한 점으로 존재한다는 것을 간단히 증명할 수 있어요. 여기서 루트 2를 생각해 봅시다. 선분 상에 서로 다른 두 점을 취하여 a, b라고 하고 그 길이를 1이라고 하면, 길이 1을 한 변으로 하는 정사각형을 선분상에 작도할 수 있습니다. 이 정사각형의 대각선의 길이는 루트 2. 점 a에서 루트 2를 반지름으로 하는 원을 그려 선분상의 교점을 c라 하면, 점 c는 루트 2입니다. 만약 실수의 연속성과 선분의 연속성을 긍정하면 루트 2가 일정한 크기를 가진 한 점으로 수직선상에 실제로 존재함을 부정할 수가 없습니다. . 아마 위의 설명에 만족하지 않을 것 같군요. 무한소수가 일정한 길이를 갖는다는 자체가 의문시되는 사항이라면, 루트 2의 정체와 루트 2의 값을 구체적으로 구하는 방법이라든가, 루트 2가 비순환 무한소수인지에 관한 엄격한 증명 등등이 선결 문제일 것 같기도 하구요. 이것은 제능력 밖이니까 책자를 참고하시는 것이 좋을 것 같네요.
곡면에서는 한 점을 기준으로 무수히 많은 방향의 곡선이 정의됩니다. 여기서 가우스곡률이라는 개념을 쓸 수 있는데, 가우스곡률은 그런 무수한 곡선들의 곡률 중 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률을 곱해서 정의한다 보시면 돼요. 그리고 쌍곡면에서는 그 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률의 방향이 반대방향으로 형성되어서, 최종적으로 음의 곡률이 나온다고 이해하시면 무난할 듯 싶네요.
선생님께서 말씀하신대로... 가장 큰 곡률이 되는 방향의 곡선과 최소인 곡선(이들은 직교합니다...)인 두 개의 곡률을 곱하기를 해서 결정하는데... 이때 곡률의 방향이 서로 같으면 양수, 반대이면 음수로 본다고 생각하시면 됩니다. 방향이 서로 같으면(럭비골 같은 경우) 최대 최소를 구하면 되고... 방향이 서로 반대이면...(말안장 같은 경우) "반대방향으로 최대"인 것을 최소라고 생각합니다... 프링글스 통의 옆면같이 생긴 공간은... 둘레의 원이 최대곡률이 되고... 이에 수직하는 방향은(즉 최소인 방향은) 직선이 되는데요... 직선의 곡률은 0이므로~ 서로 곱하면 0입니다... 즉., 프링글스 옆면의 가우스 곡률은 0인데... 잘라서 펼치면 평면이나 다름없기 때문에 (평면을 그냥 돌돌 말기만 했을 뿐인 모양이기 때문에) 그렇습니다.
선생님 강의 보고 수학의 오묘함과 모순을 느끼는 사람입니다 그런데 원초적인 몇가지 궁금한게 있어서요 질문하나 던져봅니다 두 점을 지나는 직선이 오직 한개 인 것은 공간에서나 평면 상에서 해보면 이해가 되는데 유클리드 최초의 공리인 직각의 크기가 같음과 직각이 90도라는 것은 증명인가요? 아니면 그렇게 하자는 약속인가요? 또하나 직선은 180도라는 것도 증명인가요? 아니면 일종의 약속인가요?
평행의 정의가 서로 다른 두직선이 만나지 않을 때 라고 하는건 이해가 되는데 비유클리드 기하 체계에서 (예 : 타원기하, 쌍곡기하) 두 직선이 이루는 각은 어떻게 측정할 수 있는거죠? 유클리드 기하에서 두 직선이 이루는 각은 바로 알겠는데 비유클리드 기하에서 두 직선이 이루는 각은 새로운 공리에 따라 다시 정의해야하는 건가요... 궁금합니당 혹시 짐작가시는 분들은 말씀해주시면 감사하겠습니다! :)
@@김지훈-s4x4g 위의 a점에서 다양한 방향으로 접선을 그을 수 있지요? 그 중 임의의 두 접선을 고르면, 한 평면을 얻을 수 있고, 이를 접평면이라고 부릅니다. 곡면에 그어진 두 선분을 c, d라 하면, c, d 상의 각 점으로부터 접평면에 수선을 내려 구한 점들의 집합으로부터 두 선분 c', d'을 얻을 수 있고, c', d'이 이루는 각을 측정할 수 있을 것 같아요. 참고로 두 선분 c', d'이 곡선이라도 a점에서 c', d'에 접선을 긋는 방식으로 해서 각을 구할 수 있을 겁니다 ^^;
한 점과 다른 점을 잇는 가장 짧은 선이 직선이고 적도에서 세 점이 삼각형을 이룬다는 건 그 점들을 잇는 세 직선이 삼각형을 이루고 이 삼각형이 원으로 보이는 게...(이하로 완벽하게 설명이 가능하지만 공간이 부족해서 생략하겠습니다 ㅎㅎ) 제가 쓴 글이 이해가 안 되서 다시 쓰자면 그냥 직선이 3개라 삼각형이 아닌가 싶습니닷!
타원기하학은 비유클리드 기하학인데 아직 유클리드 기하학 관점으로 보고 계시네요.구의 중심과 같은 중심을 같는 원을 대원이라 부릅니다.그렇다면 우리가 부르는 직선의 정의는 구면기하학에서는 대원의 호가 되겠죠.그렇다면 적도 위의 세 점을 잇는 호의 집합은 무엇인가요?직선이고 대원이죠.그러므로 한 꼭지점이 이루는 각이 180°가 된다고 이해하시면 될 것 같아요🙂 아니면 꼭지점을 어떻게 잴 지를 생각해보시면 그 꼭지점에서 접선이 존재하죠?그러므로 180°라 이해하셔도 될 것 같아요
님이, 바닥과 수직이 되도록 자른 단면의 둘레가 결국, 위도선이고 아래에 다른 분들의 질문과 대답의 반복이네요. . 평행선 공리는 유클리드 평면에서의 주제이지요. 자~ 적도선 상에 임의의 점을 잡아 P라고 하면, 점 P에서 접평면을 만들 수 있어요. 이때 적도선은 접평면 위에서 직선으로 표현됩니다. 마찬가지 방식으로 생각해서, 위도선 상에 어떤 점을 잡더라도, 위도선은 곡선으로 표현되므로(직선이란 최단거리이고, 최단거리는 대원 위에만 있고, 위도선은 대원이 아니기 때문) 평행선은 없고요. 한편 구면상의 직선은 대원으로만 표현된다는 점을 생각하면, 서로 다른 두 직선은 항상 만나기 때문에(대원들은 항상 만남) 평행선 공리는 성립하지 않음 ^^;
다시 말해, 유클리드 접평면상에 투영하면 대원은 직선, 위도선은 어떤 식으로 투영해도 곡선으로밖에 표현되지 않아요. . 다른 각도에서 살펴보면, 대원에서 칼날을 평행하게 이동하여 바닥에 수직으로 자른 단면의 둘레를 S라고 해 봅시다. 이제 S상에 두 점을 a, b라 할 때 a, b를 연결하는 임의의 선분들을 무수히 그릴 수 있어요. 그럼 a, b를 연결하는 직선은 무엇일까요? 최단거리가 직선이 아닐까요? 구면상에서 최단거리는 대원 위에 있고 a, b를 잇는 선분 S'는 분명 대원 위의 선분이 아니므로 최단거리도 아니고, 직선도 아닙니다. 고로 S'는 곡선이 아니겠어요? 자~ 우리가 평행선 공리를 논하는 이유는 유클리드 평면에서 그것이 성립하는지를 증명하고자 하는 겁니다. 따라서 유클리드 평면에서 대원을 직선으로 표현했을 때, S는 곡선으로 표현될 수밖에 없습니다. 두 선이 만나느냐 만나지 않느냐는 전혀 중요하지 않습니다. 왜냐? 평행선 공리는 두 직선 사이의 만남 여부가 관심의 촛점이지, 한 직선과 한 곡선의 만남 여부는 전혀 관심 사항이 아닙니다. 실제 한 직선과 만나지 않는 곡선을 무한히 그릴 수 있거든요. 핵심은 직선은 가장 짧은 거리인데, S 위의 어떤 점도 대원에 비해 가장 짧은 거리가 아닌 거죠? 가장 짧은 거리가 아닌 것을 직선이라 할 수 있나요? 그럼 평행선 공리의 두 직선이라는 조건 자체가 성립하지 않는 거죠. 또한 직선과 곡선 사이의 평행 문제는 아무 의미도 없고요. 왜 이런 이상한 일이 발생할까? 바로 평면이 아니라, 굴곡이 있는 구면이기 때문이죠? 그래서 비유클리드 기하학이 성립되는 거고요. 구면상의 서로 다른 두 직선의 경우는 앞 댓글에 적었어요. 이 경우는 무조건 만나요. 고로, 역시 평행선 공리는 성립하지 않습니다.
예를 들어 F = ma 좌표 선택에 따라 달라지는 것은 아니죠. 또한 한 좌표에서의 결과가 다른 좌표를 선택한다고 해서 달라지는 것은 아닐 겁니다. 그런데 우리가 좌표를 선택하는 것은 구체적 수치를 주고 쉽게 계산하기 위해서입니다. 따라서 원 대칭이나 원통 대칭 또는 일반적 표현을 얻기 위해 일반 곡면 좌표형까지, 중에서 계산하기 편한 좌표형을 선택하라는 조언을 주죠. 간이한 좌표 선택에 관한 지침들이 있어요. 예를 들어 평면 x, y, z축에서는 F = ma 각 요소를 세 가지 축으로 분해하는 과정들을 통하죠. 물론 대칭성을 벗어나면 좌표 선택만으로 간이한 계산을 할 수 없고 일반적 표현형으로 만족할 수밖에 없으며, 꼭 계산해야 한다면 컴퓨터 수치계산의 도움을 받아야 할 것 같군요.
우리는 두 점 사이의 최단거리를 직선이라 하지요? 그런데 구면 상에서 두 점 사이에 최단거리가 항상 대원 위에 있다는 것은 쉽게 이해할 겁니다. 따라서 대원이 아닌, 다른 작은 원들 위에 있는 선분의 크기는 최단거리가 아닌고로 이를 유클리드 평면 위에 표현하면 곡선으로 표현될 수밖에 없을 거에요 ^^;
![[수학史] 무한의 선구자. 칸토어](http://i.ytimg.com/vi/NfCIR6TgSFw/mqdefault.jpg)
![[수학史] 무한의 선구자. 칸토어](/img/tr.png)
![[지식in] 기하학적 역설들](http://i.ytimg.com/vi/X9jmrEkf9fE/mqdefault.jpg)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
자주달리는 질문유형에 대한 답변입니다.
1. 선생님 지구의 적도와 위도 30°는 구면 위에서 서로 평행한 직선이 아닌가요? (by 미하항 님)
➀ 공에 점 두 개를 찍어보세요.
➁ 두 점을 잇는 최단길이의 선을 그려보세요.
➂ 그 선을 그대로 연장시켜보세요.
그러면 적도선 모양이 나올 겁니다.
즉, 말씀하신 30° 위도선은 실제로 구면에서는 직선이 아닌 곡선에 해당합니다.
2. 곡률이 1/곡률반경인데 어떻게 음수가 되는거지??? (by 김민준 님)
곡면에서는 한 점을 기준으로 무수히 많은 방향의 곡선이 정의됩니다.
여기서 가우스곡률이라는 개념을 쓸 수 있는데, 가우스곡률은 그런 무수한 곡선들의 곡률 중 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률을 곱해서 정의한다 보시면 돼요.
그리고 쌍곡면에서는 그 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률의 방향이 반대방향으로 형성되어서, 최종적으로 음의 곡률이 나온다고 이해하시면 무난할 듯 싶네요.
8:40 와드
평면 위 삼각형 내합은 180이죠. 평면!!
이런 제목보고 어떻게 안들어올 수 있냐고 ㅋㅋㅋㅋㅋ
썸네일 어그로 끝판왕 ㅋㅋㅋ
이거 보여주려고 어그로 끌었다...
ㄹㅇㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ
숙제하다가 유튜브를 봐도 죄책감이 없는 채널
지금 그러는중인데 죄책감이 전혀 안느껴짐 ㅋㅋㅋㅋ 이거듣고 다시 가야지
나도 그러는중인데 숙제가 뭐지?
ㄹㅇㅋㅋㅋ
수특 지문 정리하다가 왔다...
이거지 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
가우스 리만 아인슈타인 ... 진짜 천재 중의 천재들!
왜 그런걸 하지? 라는 생각을 가졌다면 전혀 얻을 수 없는 결과... 이게 수학이지 ㄹㅇ
수학이 쓸데 없어서 안 배운다는 사람은 분명 첨단과학이나 공학 분야에는 손도 안 댄 사람이 분명하다 ㅋㅋ
비유클리드 기하학에 대해 자세히 설명해주셔서 감사합니다. 블로그에 링크 공유 좀 하겠습니다. 🙏
학교에서 세특 과제 보고서 작성하는데 참고해도 될까요?
옛날에 중3 수행평가로 피타고라스 증명하고 어쩌구 발표하는거 했었는데 비유클리드 기하학 이라는것도 있어서 안될때도 있다~~~ 라고 했는데 쌤한테 뭘 그런걸 하냐고 욕먹었을때가 생각나네요;;
쌤께서 더이상 어려운건 하기싫으셨나보네요~~~
마음에 안정을 되찾고 오셨으면 좋겠습니다!! 수고하셨어요
선생님 보고싶어요ㅠㅠㅠ 2달이 다 되어 가네요
좋은 내용 감사합니다. 덕분에 재밌게 봤습니다. !!
지구의 위도선만 생각해보더라도 그들은 만나지 않는 평행이 아닌가요? 왜 평행선이 없다는 건가요?
평행선의 특성을 이용하면 알 수 있습니다
유클리드 기하학에서 평행하는 두 직선은 어떠한 점에서도 거리가 일정합니다 또한 거리에 해당하는 선분을 그렸을 때 평행선과 이루는 모든 각은 90도입니다
극단적으로 적도와 위도 89도에 해당하는 모든 지역을 생각해보겠습니다
적도의 한 지점에서 위도 89도까지 최단거리로 올라간 경로와 위도 89도에 해당하는 선분이 이루는 각은 두 각 모두 90도가 넘어버리기 때문에 위도선끼리는 평행하지 않다는 것을 알 수 있습니다
그 위도선은 직접 땅에 대어본다면 우리 관점에서는 곡선 일 것입니다
평행선 공리는 유클리드 평면에서의 주제이지요.
자~ 적도선 상에 임의의 점을 잡아 P라고 하면, 점 P에서 접평면을 만들 수 있어요. 이때 적도선은 접평면 위에서 직선으로 표현됩니다. 마찬가지 방식으로 생각해서, 위도선 상에 어떤 점을 잡더라도, 위도선은 곡선으로 표현되므로(직선이란 최단거리이고, 최단거리는 대원 위에만 있고, 위도선은 대원이 아니기 때문) 평행선은 없고요.
한편 구면상의 직선은 대원으로만 표현된다는 점을 생각하면, 서로 다른 두 직선은 항상 만나기 때문에(대원들은 항상 만남) 평행선 공리는 성립하지 않음 ^^;
가우스가 잘못했네요..
비유클리드 기하학에 자세히 설명해 주셔서 감사합니다
영상 잘 봤습니다
과외 준비하다가 여기까지 온 나. 감동의 기립박수.
뭔 소리인지 이해도 못하는데 왜 계속 보게되지
오 그때 점길이0인데 선분일까?에서 나왔던 공리들에서 이어가는 영상이군요 잘보고갑니다!!
선생님 타원기하학까지는 머리로 받아들일 수 있는게 쌍곡기하학을 보니까 제 머리가 이해를 거부해요
정말 유익한 강의네요. 궁금했던 게 많이 풀렸네요. 유튜브에서 이런 강의 듣는다는 게 축복이네요.
간단하게 10분 요약이나 영상만들면 좋겠네요 처음에 유입될 때 시간이 너무 많아서 탈주하는 사람 많을 듯
저 같은 경우는 1주일에 1편 정도 올라오니 영상이 더 길었으면 좋겠다는 생각이 들어요
10분정도 본 줄 알았는데 25분이나 지났네요 이것이 상대성 이론인가
혹시나 구면기하학 내용 이해가 어려우신 분들을 위해 간단히 적어보자면..
구면기하학에서 두 점을 잇는 직선은 구의 표면에서 원입니다.그 원은 구와 동일한 중심을 갖는 원으로 "대원"이라 부릅니다.
즉, 구면에서의 최단거리는 유클리드 관점에서는 부채꼴의 호이고, 구면기하학에서는 "선분"이 됩니다.따라서 직선은 길이가 원주가 되는 것이죠🙂
이 점만 잘 생각하시면 이해하실 겁니다💫
선생님 나중에 커서 첫월급으로 후원하겠습니다 그때까지 꼮 활동해주세요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
수학과 물리학도 같이 이야기 해주어서 정말 좋네요 ^^
오늘도 수학은 호기심에 의해서 발전된다는 것을 있지 말아야겠어요
보통 수학이 물리학에 앞서요.
하이델베르크가 원자의 스펙트럼을 수학적으로 표현하다보니 그게 기존에 존재하던 행렬이었거든요. 그래서 행렬역학이 된 거죠.
단, 요즘 기호논리학에 다양한 분과들이 있는데,
양자논리가 있어요. 이것은 양자역학을 논리학에서 처리하기 위해 양자논리를 의도적으로 고안해낸 거죠.
최근에 초끈이론 등과 관련한 양자중력이론 등에서는 수학과 물리학이 동반하는 경우가 있어요. 에드워드 위튼이 초끈의 수학 등으로 필즈상을 수상하는 것처럼요.
@@wkqsha1865 수학과 물리학은 서로에게 영감을 주는거 같아요
물리에서 나온 디렉 델타 함수를 수학자 로랑 슈와르츠가 엄밀하게 수학적으로 설명한다던가
머리겔만이 쿼크를 수학의 군론을 사용하여 이론적으로 예측한것도 있고 초끈이론의 경우는
수학에서 나온 칼라비 야우 다양체,오일러 베타 함수,매듭이론 같은게 영향을 주는거 처럼요
다만 요즘에는 수학이나 물리학이나 서로 고유한 영역을 가지고 연구하는거 같아요
물론 수학자,물리학자 둘다 관심을 가지는 학제간 연구분야도 있지만수학자에게 있어서는
물리적인 의미를 가지는 대상은 전체 수학에서는 특수한 경우고 보다 일반적인 수학의 세계 탐구하는것 같고.
물리학자에게는 세상을 설명하는데 필요한 부분만큼 사용하면 충분하니까요
잊지
애초에 처음 만들어진 평행선 공준이라는 것이 5번 공준을 단순화시키려다 말도안되게 바꾼 것 같은데요
16:52 구면에서 상상해봤는데 4번 공리가 이해가가 잘 안되는데 설명해주실 분 ㅠㅠ
북극이랑 남극에 점을 찍었다고 생각해보세요. 그럼 수많은 경도선이 그 두 점을 지나죠.
슨생님 대단해요👍👍
고등학교떄는 맨날 잤는데 어른이 되고 나니까 이런게 참 재미있어... ㅠ
구면에서 평행한 직선이 없다는 게 살짝 헷갈리는데... 만약에 밧줄로 원을 둘러싸고 그 밧줄을 구면을 따라 슬라이딩 시켜서 길이가 좀 더 짧은 직선을 만든다면 그 두 개의 직선은 평행 아닌가요???
평행선 공리를 달리 표현하면, 삼각형의 내각의 합이 180도 즉, 2직각이어야 한다는 것과 동치죠?
그런데 구면상에서는 모든 삼각형의 내각의 합이 180도보다 크니까, 평행선이 없는 거라고 생각합니다.
또한 달리 생각해 보면, 구면상의 직선은 대원상의 선분으로 표현되는데 모든 대원은 교차하거든요. 그리고 님의 말씀처럼 대원을 묶어 밧줄을 비끄러 가면, 그것은 대원상의 직선을 평면에 투영한 직선에 대해 곡선으로 표현될 겁니다. 왜냐 하면 우리가 논증하려는 평행선 공리는 유클리드 평면상의 주제이거든요. 따라서 대원은 유클리드 평면에서 직선으로 표현되지만 대원을 벗어난 것은 유클리드 평면에서 곡선으로 표현될 겁니다. 그렇다면 구면상에서는 두 선분은 유클리드의 평행선 공리를 만족시킬 수 없다는 것이 되구요. 혹 제가 착각한 것일 수도 있어요 ^^;
직선이 무엇인지를 알아야 합니다. 직선이 무엇일까요? 선분을 연장시킨 거죠. 그럼 선분은 무엇일까요? 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선이죠. 그렇다면 이제 구 표면에서의 직선이 무엇인지를 봅시다. 구 표면의 두 점을 찍고 이으면 수많은 곡선들을 그릴 수 있죠. 그렇지만 최단 길이를 가지는 곡선은 단 하나, 대원의 호입니다. 대원이 무엇이냐면 구의 중심을 중심으로 하는 원을 말합니다. 대원의 특징은 구 표면에 그릴 수 있는 원 중 가장 크기가 크다는 겁니다. 왜 대원의 호가 최단 길이를 갖는 곡선인지 궁금하시겠죠. 그것은 쉽게 증명할 수 있습니다. 스스로 시도해보시는 것 어떨까요?^^
@@user-vp3lz6et2b 혹시 왜 대원의 호가 최단길이를 갖는 지 알려주실 수 있을까요?
25분 짜리 수학 영상을 이렇게 몰입해서 볼 수 있다니...
대단하신 선생님이시네요
언제 다시오시나요 .. 그립읍니다 진정한 k-math ..
흥미로운 주제네요 좋은 수업 감사합니다 ㅠㅠ 요즘 온라인 개학 때문에 집에서 의욕이 안나는데 선생님처럼 되고 싶다는 생각이 그나마 절 움직이게 만드네요.. !!
오랜만에 올라오는 영상이란 느낌이네요. 잘 봤습니다!
역시 제일 관심있는 수학 분야라그런지 정말 재밌네요! 오늘도 감삼돵!
공리계가 깨진 사건도 다뤘으니 괴델의 불완전성 정리도 다뤄주세요!!
불완전성 정리 영상 이미 있어요.
그리고 유클리드 기하학의 공리가 무너진건 아니고요 공리를 부정하고 다른 공리를 사용해도 유클리드 기하학과 똑같은 수준으로 문제없이 새로운 기하학을 연구할 수 있다는
말이고 유클리드 기하의 공리가 모순을 일으키거나 거짓이다라는건 아니에요
새로운 관점으로 기하를 바라볼 수 있게한게 비유클리드 기하학이 가져다준 의미인거
같아요
물론 수학이 형식화되면서 유클리드 기하학도 힐베르트의 손을 거치며 형식화
되서 점, 선 이런 기하학 용어의 의미는 사라졌지만요
힐베르트가 유클리드 기하학 등을 수퍼 울트라 업그레이드 버전을 만들었다고 봐야죠.
유클리드 공리계가 깨진 것이 아니라, 기호논리식으로 엄격히 형식화해서 보다 강력한 버전으로 만들었다고 봐야죠 ^^;
.
괴델 정리는 상엽쌤이 가장 간명하면서도 쉽게 설명해놓은 것이 있고,
보다 완벽하고 엄격한 설명은 임정대, , 요시나가 요시마사의 책과 어니스트 네이글 공저의 책을 참조하시면 좋을 거예요. 특히 요시나가와 네이글의 책은 정평이 나 있어요.
잘봤습니다. 잼있네요 ㅎ
와 장면 장면이 짜릿짜릿하네요.
유클리드 이야기만나와도... 공리니 공준이니 지루하다고 느껴졌는데 정말 재밌게 잘 풀어주시네요.
잘봤습니다.
버킷 리스트에 의외로 수학을 넣는 사람들이 많을 것입니다.
어렸을 때 삼각형에 대해 생각해본 것이 인트로로 나와서 봤는데 역시나 유익하네요
우워어~ 제가 말씀드린 영상이 드디어 나왔네요!!! 이렇게 자세히 또 쉽게 다뤄주셔서 감사함다 상엽쌤ㅎㅎㅎ 잘 들었어요^^
와 최근 영상이네요 잘 보겠습니다 ㅎㅎ
평면상정보를 취합하어 3차원 공간을 이해하고 그것을 우리가 느끼는 망막의 맺힘으로 설명하기위한 투영 작업을 진행하다보면 도법에는 4점투시 5점투시 6점투시까지 우리눈으론 확인이 불가능한 공간을 2차원 평면에 투영하는게 가능하지만 우리가 보는, 인지하는 3차원의 공간개념을 뛰어넘는 것은 참 어려워보입니다.. 왜곡가능성을 인지시키는 것이 비유클리드기하학의 발돋음에 도움이 되기에 이 점 알랴드리고자 말 남깁니다.
오래 전부터 구독해왔는데 벌써 6만이시네요! 한국 수학 유튜버로서 실버버튼 꼭 받으시길 응원할게요! 요즘 댓글로 스트레스 받으시는 것 같아 마음이 아픕니다. 부디 어려운 이 시기에 몸도 마음도 건강하시길 바랍니다.
도대채 순환하지않는무한소수의길이를 어떻게나타내는지 궁금해미치겟ㅅ음
자~ 비순환 무한소수는 무리수죠?
예를 들어, 루트 2는 무리수죠?
그럼 루트 2를 예로서, 무리수가 실제로 일정한 크기를 가진 한 점으로 존재한다는 것을 간단히 증명할 수 있어요.
여기서 루트 2를 생각해 봅시다.
선분 상에 서로 다른 두 점을 취하여 a, b라고 하고 그 길이를 1이라고 하면, 길이 1을 한 변으로 하는 정사각형을 선분상에 작도할 수 있습니다.
이 정사각형의 대각선의 길이는 루트 2.
점 a에서 루트 2를 반지름으로 하는 원을 그려 선분상의 교점을 c라 하면, 점 c는 루트 2입니다.
만약 실수의 연속성과 선분의 연속성을 긍정하면 루트 2가 일정한 크기를 가진 한 점으로 수직선상에 실제로 존재함을 부정할 수가 없습니다.
.
아마 위의 설명에 만족하지 않을 것 같군요.
무한소수가 일정한 길이를 갖는다는 자체가 의문시되는 사항이라면, 루트 2의 정체와 루트 2의 값을 구체적으로 구하는 방법이라든가, 루트 2가 비순환 무한소수인지에 관한 엄격한 증명 등등이 선결 문제일 것 같기도 하구요. 이것은 제능력 밖이니까 책자를 참고하시는 것이 좋을 것 같네요.
wkqsha 1 그럼 좌표평면에서 점으로 나타넬수있나요!
곡률이 1/곡률반경인데 어떻게 음수가 되는거지???
곡면에서는 한 점을 기준으로 무수히 많은 방향의 곡선이 정의됩니다.
여기서 가우스곡률이라는 개념을 쓸 수 있는데, 가우스곡률은 그런 무수한 곡선들의 곡률 중 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률을 곱해서 정의한다 보시면 돼요.
그리고 쌍곡면에서는 그 가장 큰 곡률과 가장 작은 곡률의 방향이 반대방향으로 형성되어서, 최종적으로 음의 곡률이 나온다고 이해하시면 무난할 듯 싶네요.
1/곡률반경이 무조건 양수일거라는 생각도 유클리드 기하학이었네요......
@@lsy_math 와..... 항상 느끼지만 진짜 쉽게쉽게 잘 설명해 주시네요......
선생님께서 말씀하신대로...
가장 큰 곡률이 되는 방향의 곡선과
최소인 곡선(이들은 직교합니다...)인 두 개의 곡률을 곱하기를 해서 결정하는데...
이때 곡률의 방향이 서로 같으면 양수, 반대이면 음수로 본다고 생각하시면 됩니다.
방향이 서로 같으면(럭비골 같은 경우) 최대 최소를 구하면 되고...
방향이 서로 반대이면...(말안장 같은 경우) "반대방향으로 최대"인 것을 최소라고 생각합니다...
프링글스 통의 옆면같이 생긴 공간은...
둘레의 원이 최대곡률이 되고... 이에 수직하는 방향은(즉 최소인 방향은) 직선이 되는데요...
직선의 곡률은 0이므로~ 서로 곱하면 0입니다...
즉., 프링글스 옆면의 가우스 곡률은 0인데...
잘라서 펼치면 평면이나 다름없기 때문에
(평면을 그냥 돌돌 말기만 했을 뿐인 모양이기 때문에)
그렇습니다.
평소 수학에 관심이 많고 흥미가 있었어요. 선생님 영상들을 보면서 가려운 부분이 긁어주는 느낌이 들면서 영상들을 감탄하고 매우 흥미롭게 보고있어요. 유튜브댓글 달아본적이 거의 없는데.. 영상들 제작해주셔서 감사합니다.
앞으로도 영상 많이 올려주세요😍😍
좋은 영상 감사합니다 : )
갈루아 쳐돌이입니다.. 갈루아 한 번 찐하게 다뤄주실수있으신가요..? 영상 항상 잘 보고있어요❤️
저... 쓸데 없는 질문일 수 있는데....
1. 소수가 2진법 8진법 12진법등으로 해도 나타나나요?
이렇게 여러 진법으로 변화할때 소수가 나타는데 어떠한 규칙 같은게 없나요?
2. 원의 내부를 미분이든 적분이든 하면 360도에 가깝게 나타나나요?
왤케 재밌냐....
쌤 람베르트 오메가 함수 부탁드립니다
상엽쌤 ㅎㅎ 수학에 대해 흥미를 주고 관심을 가질 수 있게 노력해주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
딴건 아니고 학생들 흥미를 위해 그레이엄수를 소개해보는건 어떨까요? 재미로 말이죠 ㅎㅎ 좋은 컨텐츠가 될 거 같습니다.~~
항상 수학을 알리기위해 노력해 주셔서 감사합니다
구주연마보고왔습니다
수고 많으십니다. 제가 최근에 p진 해석기하학에 대하여 들었는데 잘 이해가 되지 않더라고요. 이에 대해서 쉽게 소개해주시면 저와 모두를 위해서 좋겠어요. 감사합니다
선생님 강의 보고 수학의 오묘함과 모순을 느끼는 사람입니다 그런데 원초적인 몇가지 궁금한게 있어서요 질문하나 던져봅니다 두 점을 지나는 직선이 오직 한개 인 것은 공간에서나 평면 상에서 해보면 이해가 되는데 유클리드 최초의 공리인 직각의 크기가 같음과 직각이 90도라는 것은 증명인가요? 아니면 그렇게 하자는 약속인가요? 또하나 직선은 180도라는 것도 증명인가요? 아니면 일종의 약속인가요?
놀랍게도 유클리드 제5공준은 피타고라스정리와 필요충분 조건 이라고 합니다.
영상이랑 상관없긴 한데 직선은 곡선에 포함되나요? 무수히 많은 빽빽한 점들 사이를 직선이 이어주고 있다고 생각하면 점들이 빽빽해 질수록 이는 우리가 아는 곡선의 형태가 되는거라고 생각해도 될지... 흐읍 썸바디 헬프미!
좋은 강의 감사합니다!!
쌤많이 사랑해요 ^0^
와~~진짜 재밌다!
수능특강 융합 12번 이해 하려고 왔습니다 ㅎㅎ
비행기 항로도 타원기하학에서의 직선인 건가요??
타국의 영공을 회피하고(국제협정으로 영공을 개방하는 경우도 있음), 목적지까지의 경유지와 보급 및 항로 상의 안전 등등을 고려한 위에, 원칙적으로 대원 즉, 타원기하학에서의 직선을 항로로 할 겁니다.
선생님 수학에 관심이 생겨 최근 구독을 시작하게 되었어요! 그런데 4월부터는 소식이 없으시네요ㅜㅜ 언제 돌아오시나요 기다리고 있어요😥
사실 뭔그 이거 보면 공부하는 사람 된 기분
평행의 정의가 서로 다른 두직선이 만나지 않을 때 라고 하는건 이해가 되는데 비유클리드 기하 체계에서 (예 : 타원기하, 쌍곡기하) 두 직선이 이루는 각은 어떻게 측정할 수 있는거죠? 유클리드 기하에서 두 직선이 이루는 각은 바로 알겠는데 비유클리드 기하에서 두 직선이 이루는 각은 새로운 공리에 따라 다시 정의해야하는 건가요... 궁금합니당 혹시 짐작가시는 분들은 말씀해주시면 감사하겠습니다! :)
헤~ 안녕하세요.
저도 문외한이에요.
제 생각은 삼각형의 한 꼭지점을 a라 하면
a점에 수평면을 접합니다. 그리고 타원상의 삼각형의 선분을 접면에 투영 즉, 수선을 내려긋는거죠. 그렇게 얻은 수평면상의 꼭지점의 각을 구할 수 있을 겁니다.
오 의견감사합니다!! 음...근데 이해를 잘못하겠어요ㅜㅠ 꼭지점에 수평면이 접한다는게 무슨 뜻인가요?
@@김지훈-s4x4g 위의 a점에서 다양한 방향으로 접선을 그을 수 있지요?
그 중 임의의 두 접선을 고르면, 한 평면을 얻을 수 있고, 이를 접평면이라고 부릅니다.
곡면에 그어진 두 선분을 c, d라 하면, c, d 상의 각 점으로부터 접평면에 수선을 내려 구한 점들의 집합으로부터 두 선분 c', d'을 얻을 수 있고, c', d'이 이루는 각을 측정할 수 있을 것 같아요. 참고로 두 선분 c', d'이 곡선이라도 a점에서 c', d'에 접선을 긋는 방식으로 해서 각을 구할 수 있을 겁니다 ^^;
아하 ㅎㅎㅎ 이제 이해됐어요 친절한 설명 감사합니다 :)
숙제중인데 또 이렇게 올리시면... 하아
어림도 없지 정주행ㅋㅋㅋㅋ
너무재밌어!!!!
진짜 설명 짱이다
이런 제목 어떻게 참아 ㄹㅇ .... ㅋㅋㅋ
제가 잘몰라서 그런데 곡률은 보는 시각에 따라 달라지지 않나요? 예를 들면 "(" 같은 모양을 왼쪽에서 보면 곡률이 양, 오른쪽에서 보면 곡률이 음 이런게 아닌가요? 잘아시는 답변좀..
썸네일 안 들어와 볼 수가 없게 만드네;;
공업수학 강의 해주시면 공학도들 다 봐서 잭팟 터질거같은데... 가능하신가요 선생님
와... 학교에서 이 주제로 몇 번 발표했었는데... ㅠㅠ
수학과 가면 이런 내용 배우는건가요?
설명창 책갈피에 (제목) (타임스탬프) 형식으로 적으시면 영상 밑에 빨간바에 그 제목이 생기 거기에 맞춰 이동할 수 있어요. 설명창 순서를 살짝 바꿔보는거 어떠신가요
질문이요! 유클리드 기하학의 첫번째 공준에서, 점과 점 사이의 거리를 무한으로 늘리면, 결국 비유클리드 기하학에서는 인정되지 않는 공준이 되나요?
또잉 선생님 기다렸습니다
수능특강 독서 12번 30분 동안 머리 쥐어잡고 있던 거 이 영상 보고 바로 이해했네요...ㅎ후
왜 안나옴.........
대충 영상을 응원하는 댓글
좌표가 3차함수 이상의 N차 함수 그래프를 세로로 세운 것처럼 중첩되면 어떻게 되는가 ?^0
난 왜 이런 생각을 못 했을까
아냐θㅔ아θㅔ임미다
17:33 적도 위에 세 점이 삼각형을 이루면, 원이 되는데, 비유클리드기하학에서는 원을 내각의 합이 540도인 삼각형으로 정의하는 건가요?? 지나가는 고등학교 이과생인데 너무 궁금하네요
영상에서 직선의 정의에 따라 각기 기하학에서 직선이 다르게 그려진 것을 보아하니 유클리드 기하학의 원의 정의나 용어자체를 비유클리드기하학에선 생각하지 않거나 다르게 생각하지 않을까요?
한 점과 다른 점을 잇는 가장 짧은 선이 직선이고 적도에서 세 점이 삼각형을 이룬다는 건 그 점들을 잇는 세 직선이 삼각형을 이루고 이 삼각형이 원으로 보이는 게...(이하로 완벽하게 설명이 가능하지만 공간이 부족해서 생략하겠습니다 ㅎㅎ)
제가 쓴 글이 이해가 안 되서 다시 쓰자면
그냥 직선이 3개라 삼각형이 아닌가 싶습니닷!
타원기하학은 비유클리드 기하학인데 아직 유클리드 기하학 관점으로 보고 계시네요.구의 중심과 같은 중심을 같는 원을 대원이라 부릅니다.그렇다면 우리가 부르는 직선의 정의는 구면기하학에서는 대원의 호가 되겠죠.그렇다면 적도 위의 세 점을 잇는 호의 집합은 무엇인가요?직선이고 대원이죠.그러므로 한 꼭지점이 이루는 각이 180°가 된다고 이해하시면 될 것 같아요🙂
아니면 꼭지점을 어떻게 잴 지를 생각해보시면 그 꼭지점에서 접선이 존재하죠?그러므로 180°라 이해하셔도 될 것 같아요
진짜 흥미롭다 전과하고 싶다....
아니 썸넬보고 안들어올수가 없 잖 아
썸네일 볼때마다 이야 이게뭐람 이런말만 나와요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
선생님 지구의 적도와 위도 30°는 구면 위에서 서로 평행한 직선이 아닌가요?
➀ 공에 점 두 개를 찍어보세요.
➁ 두 점을 잇는 최단길이의 선을 그려보세요.
➂ 그 선을 그대로 연장시켜보세요.
그러면 적도선 모양이 나올겁니다.
즉, 미하항 님께서 말씀하신 30° 위도선은 실제로 구면에서는 직선이 아닌 곡선에 해당합니다.
@@lsy_math 공을 평평한 바닥에 내려놓고 두 명의 사람이 나란히 서서 한 사람은 공의 중심을, 다른 한 사람은 그 옆에서 바닥과 수직이 되도록 자른다고 하면, 공의 중심을 지나게 자른 단면의 둘레와, 그 옆에서 자른 단면의 둘레는 평행이 아닌건가요?
님이, 바닥과 수직이 되도록 자른 단면의 둘레가 결국, 위도선이고 아래에 다른 분들의 질문과 대답의 반복이네요.
.
평행선 공리는 유클리드 평면에서의 주제이지요.
자~ 적도선 상에 임의의 점을 잡아 P라고 하면, 점 P에서 접평면을 만들 수 있어요. 이때 적도선은 접평면 위에서 직선으로 표현됩니다. 마찬가지 방식으로 생각해서, 위도선 상에 어떤 점을 잡더라도, 위도선은 곡선으로 표현되므로(직선이란 최단거리이고, 최단거리는 대원 위에만 있고, 위도선은 대원이 아니기 때문) 평행선은 없고요.
한편 구면상의 직선은 대원으로만 표현된다는 점을 생각하면, 서로 다른 두 직선은 항상 만나기 때문에(대원들은 항상 만남) 평행선 공리는 성립하지 않음 ^^;
다시 말해, 유클리드 접평면상에 투영하면 대원은 직선, 위도선은 어떤 식으로 투영해도 곡선으로밖에 표현되지 않아요.
.
다른 각도에서 살펴보면,
대원에서 칼날을 평행하게 이동하여 바닥에 수직으로 자른 단면의 둘레를 S라고 해 봅시다.
이제 S상에 두 점을 a, b라 할 때 a, b를 연결하는 임의의 선분들을 무수히 그릴 수 있어요. 그럼 a, b를 연결하는 직선은 무엇일까요? 최단거리가 직선이 아닐까요? 구면상에서 최단거리는 대원 위에 있고 a, b를 잇는 선분 S'는 분명 대원 위의 선분이 아니므로 최단거리도 아니고, 직선도 아닙니다. 고로 S'는 곡선이 아니겠어요?
자~ 우리가 평행선 공리를 논하는 이유는 유클리드 평면에서 그것이 성립하는지를 증명하고자 하는 겁니다. 따라서 유클리드 평면에서 대원을 직선으로 표현했을 때, S는 곡선으로 표현될 수밖에 없습니다. 두 선이 만나느냐 만나지 않느냐는 전혀 중요하지 않습니다. 왜냐? 평행선 공리는 두 직선 사이의 만남 여부가 관심의 촛점이지, 한 직선과 한 곡선의 만남 여부는 전혀 관심 사항이 아닙니다. 실제 한 직선과 만나지 않는 곡선을 무한히 그릴 수 있거든요.
핵심은 직선은 가장 짧은 거리인데, S 위의 어떤 점도 대원에 비해 가장 짧은 거리가 아닌 거죠? 가장 짧은 거리가 아닌 것을 직선이라 할 수 있나요? 그럼 평행선 공리의 두 직선이라는 조건 자체가 성립하지 않는 거죠. 또한 직선과 곡선 사이의 평행 문제는 아무 의미도 없고요. 왜 이런 이상한 일이 발생할까? 바로 평면이 아니라, 굴곡이 있는 구면이기 때문이죠? 그래서 비유클리드 기하학이 성립되는 거고요.
구면상의 서로 다른 두 직선의 경우는 앞 댓글에 적었어요. 이 경우는 무조건 만나요. 고로, 역시 평행선 공리는 성립하지 않습니다.
우왕 신기하당
유클리드: 기하학 ㅈ 까치 하네
대박
근데 좌표가 원형이나 타원형이면 어떻게 되니 ?^0
예를 들어 F = ma
좌표 선택에 따라 달라지는 것은 아니죠.
또한 한 좌표에서의 결과가 다른 좌표를 선택한다고 해서 달라지는 것은 아닐 겁니다.
그런데 우리가 좌표를 선택하는 것은 구체적 수치를 주고 쉽게 계산하기 위해서입니다. 따라서 원 대칭이나 원통 대칭 또는 일반적 표현을 얻기 위해 일반 곡면 좌표형까지, 중에서 계산하기 편한 좌표형을 선택하라는 조언을 주죠.
간이한 좌표 선택에 관한 지침들이 있어요.
예를 들어 평면 x, y, z축에서는 F = ma 각 요소를 세 가지 축으로 분해하는 과정들을 통하죠.
물론 대칭성을 벗어나면 좌표 선택만으로 간이한 계산을 할 수 없고 일반적 표현형으로 만족할 수밖에 없으며, 꼭 계산해야 한다면 컴퓨터 수치계산의 도움을 받아야 할 것 같군요.
극좌표나 원통좌표 같은 게 있어요
저는 유클리드 검색을 검색하다 들어왔는데 물고기를 잡으려다 고래를 잡은 기분입니다:) 흥미롭고 재밌는 영상 너무 갑사합니다.
영상을 쭉 보면서 수학도 하나님이 만든 무한한 세상속에서 사람들이 세상을 정의한 하나의 방법에 불과하다는 생각이 들었습니다.!!
근데 왜 구면 위에서의 직선은 항상 대원이 되는건가요? 다른 작은 원은 안되나요?
우리는 두 점 사이의 최단거리를 직선이라 하지요?
그런데 구면 상에서 두 점 사이에 최단거리가 항상 대원 위에 있다는 것은 쉽게 이해할 겁니다.
따라서 대원이 아닌, 다른 작은 원들 위에 있는 선분의 크기는 최단거리가 아닌고로 이를 유클리드 평면 위에 표현하면 곡선으로 표현될 수밖에 없을 거에요 ^^;
@@wkqsha1865 왜 최단거리가 항상 대원 위에 있는지 알 수 있을까요?
삼각형의 세 내각의 합이
360도인 건 당연하잖아...
?
귀엽네요 ^^;
평면상에서는 180도죠
??
?
문과는 썸네일보고 뭐?시발? 하고 들어옵니다
개신기해
아 ㅋㅋ 내 수학개념 망치지 말라고요 ㅋㅋ