Из К опустим перпендикуляр КМ на АС. Из тр-ка КМС он равен 1. Рассмотрим треугольники АВК и АМК. У них равны две стороны и угол не между ними. Тогда вторые углы не между попарно равными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180 градусов. Но 180 было бы, если бы КМ лежал на КС, а это не так. (обычно учителя не любят это рассуждение. Вы тоже не любите? а то оно аж на простом этапе всероса встречалось...) Значит, углы равны, треугольники АВК и АМК равны по 1 признаку и угол В прямой.
При чем здесь любишь не любишь. Замечательно, что вы понимаете необходимость исключения /В+/М= 180. Но ваше "доказательство" на мой взгляд никак доказательстовм не является, а утверждением: "Но 180 было бы, если бы КМ лежал на КС". И представьте, что угол A - тупой (а это не запрещено условием, см. текст условия) и что тогда? Но очень признателен за приведенные рассуждения, они крайне важны для зрителей, которые рещают "глазами. Спасибо.
Касательно домашки тоже самое решение- 1) АС =2АВ из за биссектрисы 2) опускаем медиану КМ и видим что ^АВК равен ^АМК по углам биссектрисы и двум сторонам АК и АВ и АМ. 3) угол АКМ равен 60 и равен углу СКМ(угол АКС 120) 4) вывод АК равно КС Даже не надо доказывать что угол 90 градусоа(это следует из то что КМ высота)
Д/З. 1. Продлеваем АВ за точку В на длину АВ=х в точку Р. Тогда тр-к АРС - равноб (АР=АС=2х по св-ву биссектрисы). 2. К - точка пересечения медиан; проведём медиану РМ. Поскольку медианы равноберенного тр-ка равны (BC=PM), то КМ=BK=1 3. Тр-ки ABK и AKM равны по трём сторонам, след-но, угол AKB=AKM=MKC=60 гр. Но тогда KM - медиана и биссектриса одновременно, след-но, угол AMK=ABK=90 гр. 4. Тогда один зелёный угол равен 30 гр. и АК=КС=2
Обычно я за алгебру и символьные вычисления, но в помледний месяц я насмотрелся ваших роликов, поэтому алгебры минимум. Биссектриса, значит, АВ к АС 1к2, то есть х и 2х. АС делим пополам (по х) в точке М и опускаем АМ. Треугольники АВК и АКМ равны (одна сторона по х, одна общая и угол равный). Отсюда КМ=1. Далее опускаем на АС перпендикуляр КН. Это будет катет против угла 30 градусов, значит, он равен 1. Итак, два равных отрезка КМ и КН опускаются на одну и ту же прямую. И там же где-то образуется равнобедренный треугольник, у которого углы равны при основаниях, но при этом один отрезок опущен под 90 градусов. А это значит, что эти прямые совпадают, и они же медиана, они же высота, они же биссектриса. Значит, треугольник равнобедренный и КС=2 ДЗ: Биссектриса, то есть АВ к АС 1к2, значит х и 2х. АС делим пополам, по х, в точке М и соединяем К с М. Треугольники АВК и АКМ равны (общая стороная, сторона х и угол альфа). Значит ВКА=АКМ=60 градусов. А значит, что МКС тоже 60 градусов (180-60-60). А значит КМ ещё и биссектриса. А значит, треугольник равнобедренный и КС=2
Можно ещё так попробовать решить: впишем в угол BAC окружность с центром в точке К (К лежит на биссектрисе). Пусть окр-ть касается АС в точке М, тогда тр-к МКС прямоугольный и КМ равно 1, но отсюда следует, что тогда КВ - тоже радиус (потому что из данной точки нельзя провести к прямой под разными углами два отрезка одинаковой длины, один из которых перпендикуляр; это можно доказать с помощью т.Пифагора), следовательно, угол В прямой. Ну, тогда один зелёный угол 30° и биссектриса равна 2.
Ну тут сразу видно что треугольник прямоугольный. Значит 90+30=120. Оставшийся угол 60. Пополам биссектрисой получится 30. И в основаниях получаем по 30гр.. Соответственно тр-к АКС равнобедренный. Отсюда х=2.
Из вершины А опускаем высоту АВ` на ВС и видим, что она тоже равна половине АС, то есть равна АВ, то есть АВ, это и есть высота, ибо АВВ` равнобедренный, а не может быть в треугольнике два угла по 90 градусов, то есть угол В - прямой. Вот и всё доказательство, что АКС - равнобедренный. Вполне себе по ГОСТу.
Опустим перпендикуляр КМ к АС. Треугольник КМС прямоугольный с углом С=30° и гипотенузой КС=2. Тогда КМ=КС/2=1. Точка К лежит на биссектрисе . Тогда она равноудалена от сторон АВ и АС. КВ=КМ=1. Значит КВ перпендикулярно к АВ. То есть треугольник АВС прямоугольный и угол ВАС=60° .откуда выходит что угол КАС=30° . Треугольник АКС равнобедренный и АК=СК=2
Опускаем высоту АМ из точки А на ВС, АМС прямоугольный с углом С 30°. АМ=АС/2, но АВ=АС/2 по свойству биссектрисы. В то же время АМ как перпендикуляр не больше АВ, значит В=М, треугольник АВС прямоугольный,
Если в треугольнике сторона напротив угла 30 (у нас АВ) равна половине другой стороны (у нас АС) то треугольник прямоугольный ! Для неверящих докажим например проведя из В перпендикуляр ВА1=х , тогда А1=2х и треугольники АВС и А1ВС равны по трем сторонам! Значит угол ВАС=60, КАС=30 и АК=2!
@@GeometriaValeriyKazakovЯ решил точно так же.Это следствие из самой популярной теоремы в геометрии - о прямоугольном треугольнике и угле 30°.При решении задач,этим следствием можно пользоваться без доказательства.
👍 Other method Let angle BAC = 2 t In triangle KAC AK/sin 30 = 2/ sin t AK = cosec t In triangle BAK AK/sin B = 1/sint AK = sin B cosec t hence sinB = 1 , B = 90° 2 t = 60° , t = 30° triangle KAC is isosceles triangle AK = 2
Ответ:2 Правда, с тонкой логикой. Обычно училки просто игнорируют "четвертый" признак равенства тругольников, вместо того, чтобы объяснить, почему он НЕ ВСЕГДА верен. Опускаем из К перпендикуляр КН на АС. КН=1. АВК и АКН равны по "четвертому" признаку, т.к. они могут быть НЕ равны только в случае, если пара углов не равны, а дополняют друг друга до развернутого. Но угол АНК=90°. Сл., угол АВК либо равен ему, либо дополняют его до 180°, а это равносильно.
1) Четвертый признак можно писать без кавычек и он ВСЕГДА работает, если его правильно сформулировать! Нужно только добавить: и угол против БОЛЬШЕЙ из двух сторон. В таком виде этот признак изучается во многих странах и применяется наравне с остальными. Любое жюри такое обоснование примет. Сам часто применяю, никогда баллы не снижали. 2) Ваша тонкая логика ошибочна. Не буду вдаваться в детали, постройте два треугольника: АКД со стороной, к примеру, АК =10 и углами А = 25 и Д = 90. Второй треугольник АКВ с той же стороной 10 и углами А = 25, Д = 40 и С =115. Они, естественно не равны. Какой угол во втором треугольнике дополняет 90 до развернутого , или равен 90? В данном случае угол лежит против меньшей стороны. И ничего с этим поделать нельзя.
@@SB-7423 Смотрите внимательно. У треугольников равный угол и ДВЕ попарно равных стороны. Раствором циркуля = второй стороне на третьей стороне можно сделать либо две засечки (о чем я говорил), либо одну точку касания.
@@pojuellavid Я же дал Вам пример! И всегда смотрю очень внимптельно. Перпендикуляр КН ничего не даёт и дать не может. Вот слова Казакова: "А по какому признаку они равны? Дело в том, что моут быть два неравных треугольника с двумя равными стронами и углом напротив одной из них. Иначе все выше зрители так бы и решили. Нарисуйте угол A - и все поймете." И еще: " Перпендикуляр ничего не даст". Это совершенно очевидно. Дополняют друг друга до развернутого углы в этих двух треугольниках, лежащие против АК (я имею ввиду тот пример, который я привёл). А углы, лежащие между попарно равными сторонами (90 и 40) никого ни до чего не дополняют. Если угол задан против меньшей из двух сторон, то невозможно доказать равенство треугольников. И никакими ухищрениями это исправить нельзя. Они МОГУТ быть равны, но УТВЕРЖДАТЬ так- это грубая ошибка.
@@SB-7423 бесполезно с вами спорить. Еще раз: дан угол с лучами #1 и #3 и точка на луче #1 (сторона #1). Из конца отрезка #1 раствором равным стороне #2 на луче #3 делаем засечки. Получаем два треугольника, один из которых равен исходному. Если вместо засечки получается касание (угол #3=90), то треугольник единственный и он равен исходному. И ваще по барабану, где в каком контексте говорил Казаков
@@pojuellavid "Если вместо засечки получается касание (угол #3=90)". Окружность действительно коснется луча АВ. Почему должно быть касание в точке В?? Потому, что Вам хочется, чтобы там был угол 90? Так назначьте его сразу 90. Всего-то делов! Вам нравится эта "тонкая логика"- ну и радуйтесь.. Но к геометрии это отношения не имеет.
АВ/ВК = АС / КС = 1/2 И получается что АВ лежит напротив угла в 30° и равна половине АС значит треугольник прямой с углом В 90°. Опустим перпендикуляр из точки К на сторону АС в точку М, тогда получим три равных треугольника, и АВ = АМ = МС, тогда треугольник АКС равносторонний и АК = КС = 2
Можно из А восстановить перпендикуляр до пересечения с продолжением стороны ВС влево, получим прямоугольный треугольник, в котором биссектриса, превратится в медиану на сторону, равную 4. И куда подавался ваш тупой угол?
да вы что, теорема синусов для большого треугольника! x:sin(30) = 2x:sin(B). сразу же sinB = 1, B прямой угол, длинный катет 3, значит короткий корень из 3-х. Пифагор для АВК и х=2
Ну вы нарешали😂😂😂😂😂😂 Из точки К опускаем высоту вниз в треугольнике АКС. И все !!!! Длина этой высоты 1 а значит обе половинки треугольника равны и далее два треугольника вокруг биссектрисы равны. И биссектриса равна КС то есть 2
@ опустив медиану (мы потом докажем что она еще и высота) вы получите 3 равных треугольника. Два вокруг биссектрисы ( по углам биссектрисы , общей стороне и противоположным сторонам, так как медиана делит нижнюю сторону АС пополам и половина равна АВ из-за свойств биссектрисы. Мне 46 лет- я б..ть школу закончил 9 классов в 1993 году - нас б..ть в уме решать такие задачи учили. Сейчас в школе чему учат мне непончтно- у доски такие учебники что хочется их автору засунуть в жопу, провернуть 3 раза - а потом спросить. : «Больно? И мне с..а больно смотреть как дети тупят над этими гавноучебниками.» P.S. Распечатайте в школу назад советские учебники- хватит распиливать средства на издание безмозглой литературы» P.S. Рекомендую всем -Крамор Алгебра «что то там сстстематизируем и повторяем школьный курс алгебры» Не прорешать эту книгу - тотальная ошибка перед экзаменами по математике
Угол В прямой (я дважды применил теорему синусов, наверное можно проще). Треугольник АКС равнобедренный по равным углам при основании. Биссектриса = 2.
А я день рожденья не буду справлять - перпендикуляр не хочу опускать. Опущу 60° и получу два равных треугольника со сторонами 1, общая, Х. Значит биссектриса 60°/60° одновременно и медиана, и высота до кучи. Прямоугольные треугольники с катетами 1, Х равны. Искомый=гипотенузе=2
@@GeometriaValeriyKazakov Вам, Валерий, объяснили, что не один перпендикуляр, а ещё медиана и средняя линия проведённая параллельно левой стороне, которая в 2 раза больше средней линии! Не заметили, что эта средняя линия поделила сторону 3, на два отрезка по 1,5? Ведь это свойство средней линии, не так ли. Ваши решения правильные, но не опровергают единственное в данном случае решение, так как угол который вам не нравится не может быть при таком построении тупым, когда биссектриса делит противоположную ей сторону на 1 и 2, при другом угле у основания, равном 30°. Есть чисто геометрическое доказательство без всяких формул, просто, нужно сделать дополнительные построения, вплоть до построения описанной окружности с центром в который опущен перпендикуляр и проведена медиана из прямого угла!
Домашняя работа. По теореме косинусов: Из ∆АКC, AC^2= 4x^2=l^2+4+2l; из∆AKB: AB^2=x^2=l^2+1-l. Решаю систему :Отнимаю от 1 уравнения 2. Имею: х^2= 1+l. Подставляю во второе уравнение. I^2-2l=0; l=2
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у Твой тупой! Это Казаков про тупой угол поднял возню, скорее всего это тот, который должен быть прямым, и оказался, таки, прямым, только по вычислениям, которые походят из геометрических построений. Свойство биссектрис применил Казаков, а их разве не нужно доказывать, и как? В прямоугольном треугольнике, как и в любом другом, есть и будут биссектрис, медианы и средние линии, связанные с первой геометрической теоремой Пифагора, из неё вытекают все остальные теоремы, которые доказывают и свойства гипотенузы с катететами, медиананами, биссектрисами и средними линиями!
Добрый день! Если по свойству биссектрисы АС:АВ =2:1, а сторона АВ лежит против угла 30°, сторона АС прилежит к углу 30°, мы имеем право сказать что угол В прямой? Тогда угол А =60°, так как АК -биссектриса, то угол КАС=30°=углу С, треугольник АКС равнобедренный АК=КС=2
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий Владимирович, мой сын сейчас в восьмом классе, теорема косинусов ему незнакома, поэтому мы попытались как-то решить на его уровне.
Если из вершины В на АС опустить высоту ВН, то в прямоугольном треугольнике СВН, есть угол С -30°, ВН:ВС=1:2, но как Вы сказали по теореме биссектрисы АВ:АС=1:2, то есть ВН:ВС=АВ:АС, следовательно АВ*ВС=ВН*АС=2 площади треугольника АВС, и АВ*ВС будет равно 2 площади АВС только если угол АВС =90° так мы можем доказать, что мы рассматриваем прямоугольный треугольник? @@GeometriaValeriyKazakov
@@MrShorebird Спасибо. Да, разумеется (я так и сказал) нужно искать другой способ. Здесь лучше рассмотреть отдельно некоторый тр-к ABC со сторонами AB=1 и AC=2 и углом C=30 и доказать, что В=90. Проводим высоту AB1 из точки A к прямой BC. Из прямоугольного AB1C она AB1=1, но и AB=1. Но в AB1B rатет меньше гипотенузы. Поэтому AB=AB1.
зачем так сложно? можно же проще. сначала по свойству биссектрисы - АВ/АС=ВК/КС=1/2. треугольник - ABC прямоугольный (Если в треугольнике напротив угла в 30∘ лежит сторона, равная половине другой стороны этого треугольника, то треугольник прямоугольный.)(можно доказать, если нужно, через теорему синусов x/ sin30 = 2x/sinB откуда угол B равен 90 градусов). угол А=60, следовательно угол КАС = 30. треугольник АКС равнобедренный АК = КС=2. все)). а по поводу дз - в треугольнике АКС проводим медиану КМ из т К к стороне АС. АМ=АС=АВ. треугольник АВК=АКМ (АВ=АМ, АК - общая, угол ВАК= углу КАМ (АК биссектриса), тогда угол ВКА = МКА=60 градусов, тогда угол МКС тоже 60, а тогда КМ еще и биссектриса угла АКС (она же медиана) следовательно треугольник АКС равнобедренный и АК=КС=2
@@GeometriaValeriyKazakov имел ввиду, что вычисляется проще. согласитесь, что применить теоремы синусов, в данном случае, гораздо быстрее приводит к ответу (нет необходимости решать квадратное уравнение). терема косинусов не сложнее и не проще теоремы синусов )) и то и то мощные инструменты ). по поводу гостов - к сожалению не могу сказать (а скорее знать😀) что по госту, а что нет. давно это было 😄
ГОСТ = государственный общесоюзный стандарт. Если память не изменяет где-то перед войной был принят и получил такую аббревиатуру. Потом при раннем Брежневе название стандарта поменялось, а вот аббревиатура осталась старой. Точные даты сходу не вспомню, договорились ведь без Гугла и Википедии :)
Несчастный прямоугольный треугольник, сколько его можно вертеть? Тут ничего нельзя дополнительно строить, кроме перпендикуляра, и то, есть сомнения, что это будет именно перпендикуляр. Геометры, то есть земле меры, были практиками, поэтому тщательно готовили инструментарий для измерения участков земли, так как любая ошибка, могла привести к бунту "обиженных" владельцев участков. Математики теоретики, не очень заботятся о точном начертании геометрических фигур, поэтому, зачастую получается конфуз с размерами, когда меньший указанный размер, выглядит больше, чем указанный по размеру больший, и угол в 30°, выглядит как 60°. Поэтому, существует программа "Плоттер", которая рисует геометрические чертежи, по заданным размерам. Мы пойдём старым путём, принимая во внимание, что этот чертёж точный! 1) Проведём таки,перпендикуляр из точки, которая делит сторону 3, на отрезки 1 и 2, после чего, из верхнего угла, проведём отрезок, в точку контакта перпендикуляра с основанием. Если окажется, что этот отрезок, пересекая с биссектрисой под прямым углом, то этот отрезок будет медианой треугольника. Если треугольник прямоугольный, то половина основания, будет равна медиана и боковой стороне треугольника, то есть, будет равносторонний треугольник со сторонами, равными √3, значит правый угол будет равен левому, ограниченному биссектрисой, и оба будут равны по 30°, это значит, что биссектриса равна 2. Если я не прав, то я Лев, хотя, по гороскопу Скорпион!
@@GeometriaValeriyKazakov Щас! А медиана к середине основания, из точки которой провести параллельную на сторону 3, которая будет равна √3/2, то есть средней линией при основании √3, тоже, ничего не даёт? Ну-ну!
@@P.S.Q.88 Решение, построенное на не доказанных свойствах биссектрис, тоже не является доказанным! У меня не если, а пересеклись медиана с биссектрисой под прямым углом, и образовался равносторонний треугольник из медианы, половины гипотенузы и катера ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника, биссектриса которого с высотой, опущенной в середину гипотенузы, составляет два равных треугольника, которые, в свою очередь, равны треугольнику, образованному биссектрисой с коротким катером и час тью длинного катера, равной 1! Усекли?
@@КонстантинВинников-р6б Нет, не "усекли". Мы все тут тупые, но это понятно только вам и от этого вы очень страдаете, так как здесь вы постоянно сталкиваетесь с тупыми, потому что все остальные тупые. Мне вас очень жаль, сочувствую вам, страдалец-гений вы наш.
опускаем высоту из точки К на АС в точку М . Против угла 30 гр лежит катет половина гипотенузы то есть 1 треугольники АВК и АКМ равни тогда угол В 90 угол а 60 бисектриса делит 60 на 2 по 30 треуголик АКС ранобедренный АК=2
А по какому признаку они равны? Дело в том, что моут быть два неравных треугольника с двумя равными стронами и углом напротив одной из них. Иначе все выше зрители так бы и решили. Нарисуйте угол A - и все поймете.
А свойства прямоугольного треугольника с углом 60 гр. сразу слабо использовать? АВ=АСcos60=1/2АС. Из свойства 1 биссектрисы наш треугольник прямоугольный с углами 30 и 60. отсюда АКС равносторонний по двум углам у основания, отсюда АК=КС=2
Еще раз. У прямоугольного треугольника с углом 60 градусов есть такое свойство: малый катет равен половине гипотенузы. Есть треугольник с одним из углов 30 градусов, а противоположная сторона равна половине самой длинной. Вывод? наш треугольник прямоугольный с углами 30 и 60. Что сложного?
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у 1. В треугольнике АВС АВ относится к АС как 1/2. При этом, АВ лежит против угла в 30 градусов. Это свойство прямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов. Если наш треугольник соответствует свойствам другого треугольника, то он им и является. АВС -прямоугольный треугольник с углами 30, 60 и 90. Что тут не понятного? Угол А равен 60 а биссектриса делит его пополам на 30 и 30. Второой угол АКС равен также 30, следовательно АКС равносторонний треугольник с углами при основании по 30 градусов, а значит его стороны равны. ВСЕ! Или снова не понятно?
![Как считали число пи? [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/A3PL61fHzjs/mqdefault.jpg)
Из К опустим перпендикуляр КМ на АС. Из тр-ка КМС он равен 1. Рассмотрим треугольники АВК и АМК. У них равны две стороны и угол не между ними. Тогда вторые углы не между попарно равными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180 градусов. Но 180 было бы, если бы КМ лежал на КС, а это не так. (обычно учителя не любят это рассуждение. Вы тоже не любите? а то оно аж на простом этапе всероса встречалось...) Значит, углы равны, треугольники АВК и АМК равны по 1 признаку и угол В прямой.
При чем здесь любишь не любишь. Замечательно, что вы понимаете необходимость исключения /В+/М= 180. Но ваше "доказательство" на мой взгляд никак доказательстовм не является, а утверждением: "Но 180 было бы, если бы КМ лежал на КС". И представьте, что угол A - тупой (а это не запрещено условием, см. текст условия) и что тогда? Но очень признателен за приведенные рассуждения, они крайне важны для зрителей, которые рещают "глазами. Спасибо.
По теореме синусов sin(ABK)=sin(AMK).Два варианта. Первый:
Касательно домашки тоже самое решение-
1) АС =2АВ из за биссектрисы 2) опускаем медиану КМ и видим что ^АВК равен ^АМК по углам биссектрисы и двум сторонам АК и АВ и АМ.
3) угол АКМ равен 60 и равен углу СКМ(угол АКС 120)
4) вывод АК равно КС
Даже не надо доказывать что угол 90 градусоа(это следует из то что КМ высота)
АВ=а...по св-ву биссектр АС=2а..теор косин a^2=4a^2+9-12a*(√3/2)...a=√3..значит В прямой... значит АКС равноб...АК=2
Д/З.
1. Продлеваем АВ за точку В на длину АВ=х в точку Р. Тогда тр-к АРС - равноб (АР=АС=2х по св-ву биссектрисы).
2. К - точка пересечения медиан; проведём медиану РМ. Поскольку медианы равноберенного тр-ка равны (BC=PM), то КМ=BK=1
3. Тр-ки ABK и AKM равны по трём сторонам, след-но, угол AKB=AKM=MKC=60 гр. Но тогда KM - медиана и биссектриса одновременно, след-но, угол AMK=ABK=90 гр.
4. Тогда один зелёный угол равен 30 гр. и АК=КС=2
Обычно я за алгебру и символьные вычисления, но в помледний месяц я насмотрелся ваших роликов, поэтому алгебры минимум. Биссектриса, значит, АВ к АС 1к2, то есть х и 2х. АС делим пополам (по х) в точке М и опускаем АМ. Треугольники АВК и АКМ равны (одна сторона по х, одна общая и угол равный). Отсюда КМ=1. Далее опускаем на АС перпендикуляр КН. Это будет катет против угла 30 градусов, значит, он равен 1. Итак, два равных отрезка КМ и КН опускаются на одну и ту же прямую. И там же где-то образуется равнобедренный треугольник, у которого углы равны при основаниях, но при этом один отрезок опущен под 90 градусов. А это значит, что эти прямые совпадают, и они же медиана, они же высота, они же биссектриса. Значит, треугольник равнобедренный и КС=2
ДЗ: Биссектриса, то есть АВ к АС 1к2, значит х и 2х. АС делим пополам, по х, в точке М и соединяем К с М. Треугольники АВК и АКМ равны (общая стороная, сторона х и угол альфа). Значит ВКА=АКМ=60 градусов. А значит, что МКС тоже 60 градусов (180-60-60). А значит КМ ещё и биссектриса. А значит, треугольник равнобедренный и КС=2
Можно ещё так попробовать решить: впишем в угол BAC окружность с центром в точке К (К лежит на биссектрисе). Пусть окр-ть касается АС в точке М, тогда тр-к МКС прямоугольный и КМ равно 1, но отсюда следует, что тогда КВ - тоже радиус (потому что из данной точки нельзя провести к прямой под разными углами два отрезка одинаковой длины, один из которых перпендикуляр; это можно доказать с помощью т.Пифагора), следовательно, угол В прямой. Ну, тогда один зелёный угол 30° и биссектриса равна 2.
Ну тут сразу видно что треугольник прямоугольный. Значит 90+30=120. Оставшийся угол 60. Пополам биссектрисой получится 30. И в основаниях получаем по 30гр.. Соответственно тр-к АКС равнобедренный. Отсюда х=2.
Из вершины А опускаем высоту АВ` на ВС и видим, что она тоже равна половине АС, то есть равна АВ, то есть АВ, это и есть высота, ибо АВВ` равнобедренный, а не может быть в треугольнике два угла по 90 градусов, то есть угол В - прямой.
Вот и всё доказательство, что АКС - равнобедренный. Вполне себе по ГОСТу.
Опустим перпендикуляр КМ к АС. Треугольник КМС прямоугольный с углом С=30° и гипотенузой КС=2. Тогда КМ=КС/2=1.
Точка К лежит на биссектрисе . Тогда она равноудалена от сторон АВ и АС. КВ=КМ=1. Значит КВ перпендикулярно к АВ. То есть треугольник АВС прямоугольный и угол ВАС=60° .откуда выходит что угол КАС=30° . Треугольник АКС равнобедренный и
АК=СК=2
Опускаем высоту АМ из точки А на ВС, АМС прямоугольный с углом С 30°. АМ=АС/2, но АВ=АС/2 по свойству биссектрисы. В то же время АМ как перпендикуляр не больше АВ, значит В=М, треугольник АВС прямоугольный,
Можно, но на тоненького
@@GeometriaValeriyKazakovпочему?
Благодарю.
Данных более, чем достаточно. Треугольник в 30° с противолежащей к прилежащей 1/2 может быть только прямоугольным.
Зуб даю?
Мамой клянусь!!!@@GeometriaValeriyKazakov
Если в треугольнике сторона напротив угла 30 (у нас АВ) равна половине другой стороны (у нас АС) то треугольник прямоугольный ! Для неверящих докажим например проведя из В перпендикуляр ВА1=х , тогда А1=2х и треугольники АВС и А1ВС равны по трем сторонам! Значит угол ВАС=60, КАС=30 и АК=2!
Да, это так, только это нужно доказывать, мы доказали т. косинусов вы Пифагором. Замечательно.
@@GeometriaValeriyKazakovЯ решил точно так же.Это следствие из самой популярной теоремы в геометрии - о прямоугольном треугольнике и угле 30°.При решении задач,этим следствием можно пользоваться без доказательства.
Эта обратная теорема известной, и доказывать все же нужно
@AndranikAdamyan-f3b Спорный вопрос.
Можно просто сослаться на обратную теорему.Мне кажется, этого будет достаточно.
👍
Other method
Let angle BAC = 2 t
In triangle KAC
AK/sin 30 = 2/ sin t
AK = cosec t
In triangle BAK
AK/sin B = 1/sint
AK = sin B cosec t
hence sinB = 1 , B = 90°
2 t = 60° , t = 30°
triangle KAC is isosceles triangle
AK = 2
Ответ:2
Правда, с тонкой логикой. Обычно училки просто игнорируют "четвертый" признак равенства тругольников, вместо того, чтобы объяснить, почему он НЕ ВСЕГДА верен.
Опускаем из К перпендикуляр КН на АС. КН=1. АВК и АКН равны по "четвертому" признаку, т.к. они могут быть НЕ равны только в случае, если пара углов не равны, а дополняют друг друга до развернутого. Но угол АНК=90°. Сл., угол АВК либо равен ему, либо дополняют его до 180°, а это равносильно.
1) Четвертый признак можно писать без кавычек и он ВСЕГДА работает, если его правильно сформулировать! Нужно только добавить: и угол против БОЛЬШЕЙ
из двух сторон. В таком виде этот признак изучается во многих странах и применяется наравне с остальными. Любое жюри такое обоснование примет. Сам часто
применяю, никогда баллы не снижали. 2) Ваша тонкая логика ошибочна. Не буду вдаваться в детали, постройте два треугольника: АКД со стороной, к примеру,
АК =10 и углами А = 25 и Д = 90. Второй треугольник АКВ с той же стороной 10 и углами А = 25, Д = 40 и С =115. Они, естественно не равны. Какой угол во втором
треугольнике дополняет 90 до развернутого , или равен 90? В данном случае угол лежит против меньшей стороны. И ничего с этим поделать нельзя.
@@SB-7423 Смотрите внимательно. У треугольников равный угол и ДВЕ попарно равных стороны. Раствором циркуля = второй стороне на третьей стороне можно сделать либо две засечки (о чем я говорил), либо одну точку касания.
@@pojuellavid Я же дал Вам пример! И всегда смотрю очень внимптельно. Перпендикуляр КН ничего не даёт и дать не может. Вот слова Казакова:
"А по какому признаку они равны? Дело в том, что моут быть два неравных треугольника с двумя равными стронами и углом напротив одной из них.
Иначе все выше зрители так бы и решили. Нарисуйте угол A - и все поймете." И еще: " Перпендикуляр ничего не даст". Это совершенно очевидно. Дополняют
друг друга до развернутого углы в этих двух треугольниках, лежащие против АК (я имею ввиду тот пример, который я привёл). А углы, лежащие между
попарно равными сторонами (90 и 40) никого ни до чего не дополняют. Если угол задан против меньшей из двух сторон, то невозможно доказать
равенство треугольников. И никакими ухищрениями это исправить нельзя. Они МОГУТ быть равны, но УТВЕРЖДАТЬ так- это грубая ошибка.
@@SB-7423 бесполезно с вами спорить. Еще раз: дан угол с лучами #1 и #3 и точка на луче #1 (сторона #1). Из конца отрезка #1 раствором равным стороне #2 на луче #3 делаем засечки. Получаем два треугольника, один из которых равен исходному. Если вместо засечки получается касание (угол #3=90), то треугольник единственный и он равен исходному.
И ваще по барабану, где в каком контексте говорил Казаков
@@pojuellavid "Если вместо засечки получается касание (угол #3=90)". Окружность действительно коснется луча АВ. Почему должно быть касание в точке В?? Потому, что Вам хочется, чтобы там был угол 90? Так назначьте его сразу 90. Всего-то делов! Вам нравится эта "тонкая логика"- ну и радуйтесь..
Но к геометрии это отношения не имеет.
АВ/ВК = АС / КС = 1/2
И получается что АВ лежит напротив угла в 30° и равна половине АС значит треугольник прямой с углом В 90°.
Опустим перпендикуляр из точки К на сторону АС в точку М, тогда получим три равных треугольника, и АВ = АМ = МС, тогда треугольник АКС равносторонний и АК = КС = 2
//
АВ/ВК=√3
Это ДОКАЗАЛ КазАков!
Ха-Ха-Ха
//
Можно из А восстановить перпендикуляр до пересечения с продолжением стороны ВС влево, получим прямоугольный треугольник, в котором биссектриса, превратится в медиану на сторону, равную 4. И куда подавался ваш тупой угол?
да вы что, теорема синусов для большого треугольника! x:sin(30) = 2x:sin(B). сразу же sinB = 1, B прямой угол, длинный катет 3, значит короткий корень из 3-х. Пифагор для АВК и х=2
По свойству биссектрисы AB:AC=1:2.
А раз унгол 30°,то ABC прямоугольный.
Осевидноx=2
Чиатайте комменты. Такое решение не катит
Д. З. Пусть N-середина АС. АВ=АС/2=АN. Треугольники АВК и АКN равны двум сторонам и углу.
Блин, ничего, кроме ад абсурдум по следам подозрений на ум не приходит.
Надо думать.
Ну вы нарешали😂😂😂😂😂😂
Из точки К опускаем высоту вниз в треугольнике АКС.
И все !!!! Длина этой высоты 1 а значит обе половинки треугольника равны и далее два треугольника вокруг биссектрисы равны. И биссектриса равна КС то есть 2
Откуда следует, что "обе половинки треугольника равны"? И если это так, то зачем дальше мудрить? Тогда АК=КС=2
@ опустив медиану (мы потом докажем что она еще и высота) вы получите 3 равных треугольника. Два вокруг биссектрисы ( по углам биссектрисы , общей стороне и противоположным сторонам, так как медиана делит нижнюю сторону АС пополам и половина равна АВ из-за свойств биссектрисы.
Мне 46 лет- я б..ть школу закончил 9 классов в 1993 году - нас б..ть в уме решать такие задачи учили.
Сейчас в школе чему учат мне непончтно- у доски такие учебники что хочется их автору засунуть в жопу, провернуть 3 раза - а потом спросить. : «Больно? И мне с..а больно смотреть как дети тупят над этими гавноучебниками.»
P.S. Распечатайте в школу назад советские учебники- хватит распиливать средства на издание безмозглой литературы»
P.S. Рекомендую всем -Крамор Алгебра «что то там сстстематизируем и повторяем школьный курс алгебры»
Не прорешать эту книгу - тотальная ошибка перед экзаменами по математике
@@AndranikAdamyan-f3b Спкасибо за помощь!
Разве соотношение частей катета, разбитого биссектрисой(1:2) и угол С в 30 градусов сразу не говорят нам о том, что треугольник прямоугольный?
Не , не говорят. У нас нет катета, так как не прямого угла
Доказывается легко теоремой синусов или от противного.
Угол В прямой (я дважды применил теорему синусов, наверное можно проще). Треугольник АКС равнобедренный по равным углам при основании. Биссектриса = 2.
Можно один раз к большому х, 2х и 30.(игнорируя 3)
@GeometriaValeriyKazakov Супер!
Третьем действии х потеряли.
Бывает
3:01 ващета видно, что это квадрат бинома
А я день рожденья не буду справлять - перпендикуляр не хочу опускать.
Опущу 60° и получу два равных треугольника со сторонами 1, общая, Х. Значит биссектриса 60°/60° одновременно и медиана, и высота до кучи.
Прямоугольные треугольники с катетами 1, Х равны.
Искомый=гипотенузе=2
С днём рождения. Здоровья Вам. Спасибо за красивые решения задач.
Поздравляю с Днем Рождения!
@@GeometriaValeriyKazakov Вам, Валерий, объяснили, что не один перпендикуляр, а ещё медиана и средняя линия проведённая параллельно левой стороне, которая в 2 раза больше средней линии! Не заметили, что эта средняя линия поделила сторону 3, на два отрезка по 1,5? Ведь это свойство средней линии, не так ли. Ваши решения правильные, но не опровергают единственное в данном случае решение, так как угол который вам не нравится не может быть при таком построении тупым, когда биссектриса делит противоположную ей сторону на 1 и 2, при другом угле у основания, равном 30°. Есть чисто геометрическое доказательство без всяких формул, просто, нужно сделать дополнительные построения, вплоть до построения описанной окружности с центром в который опущен перпендикуляр и проведена медиана из прямого угла!
Домашняя работа. По теореме косинусов: Из ∆АКC, AC^2= 4x^2=l^2+4+2l; из∆AKB: AB^2=x^2=l^2+1-l. Решаю систему :Отнимаю от 1 уравнения 2. Имею: х^2= 1+l. Подставляю во второе уравнение. I^2-2l=0; l=2
СПАСИБО.
@@GeometriaValeriyKazakov А если угол тупой?
@@КонстантинВинников-р6б Какой
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у Твой тупой! Это Казаков про тупой угол поднял возню, скорее всего это тот, который должен быть прямым, и оказался, таки, прямым, только по вычислениям, которые походят из геометрических построений. Свойство биссектрис применил Казаков, а их разве не нужно доказывать, и как? В прямоугольном треугольнике, как и в любом другом, есть и будут биссектрис, медианы и средние линии, связанные с первой геометрической теоремой Пифагора, из неё вытекают все остальные теоремы, которые доказывают и свойства гипотенузы с катететами, медиананами, биссектрисами и средними линиями!
@@КонстантинВинников-р6бСпасибо.
Валерий, предлагаю публиковать шутки на Вашем канале такие же красивые как и решения Ваших задач. Спасибо.
Что то сильно просто. Развернули верхний треугольник отн. биссектрисы. Гипотен/катет = 2/1 и 30°. Значит пряиой угол имеем. Х упирается в угол 60°. Пополам = 30°. Внизу имеем равнобедренный. "Ну всёёё"
Не совсем ясно, но думаю, что не доказано. Откуда гипотенуза и катет. нас нет прямоуго угла.
Добрый день! Если по свойству биссектрисы АС:АВ =2:1, а сторона АВ лежит против угла 30°, сторона АС прилежит к углу 30°, мы имеем право сказать что угол В прямой?
Тогда угол А =60°, так как АК -биссектриса, то угол КАС=30°=углу С, треугольник АКС равнобедренный АК=КС=2
По какому праву? Кто разрешил?На самом деле, это доказывается теоремой косинусов, что мы и сделали. Нет такой теоремы.
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий Владимирович, мой сын сейчас в восьмом классе, теорема косинусов ему незнакома, поэтому мы попытались как-то решить на его уровне.
Если из вершины В на АС опустить высоту ВН, то в прямоугольном треугольнике СВН, есть угол С -30°, ВН:ВС=1:2, но как Вы сказали по теореме биссектрисы АВ:АС=1:2, то есть ВН:ВС=АВ:АС, следовательно АВ*ВС=ВН*АС=2 площади треугольника АВС, и АВ*ВС будет равно 2 площади АВС только если угол АВС =90° так мы можем доказать, что мы рассматриваем прямоугольный треугольник? @@GeometriaValeriyKazakov
@@MrShorebird Спасибо. Да, разумеется (я так и сказал) нужно искать другой способ. Здесь лучше рассмотреть отдельно некоторый тр-к ABC со сторонами AB=1 и AC=2 и углом C=30 и доказать, что В=90. Проводим высоту AB1 из точки A к прямой BC. Из прямоугольного AB1C она AB1=1, но и AB=1. Но в AB1B rатет меньше гипотенузы. Поэтому AB=AB1.
@@MrShorebird Да, варианты есть
Видно же из вычислений что треугольник прямоугольный. Нижний треугольник равнобедренный, биссектриса-2
Из каких вычислений? Да, из наших видно и мы это доказали.
@@GeometriaValeriyKazakov А мы, доказали без вычислений, только построениями!
зачем так сложно? можно же проще. сначала по свойству биссектрисы - АВ/АС=ВК/КС=1/2. треугольник - ABC прямоугольный (Если в треугольнике напротив угла в 30∘ лежит сторона, равная половине другой стороны этого треугольника, то треугольник прямоугольный.)(можно доказать, если нужно, через теорему синусов x/ sin30 = 2x/sinB откуда угол B равен 90 градусов). угол А=60, следовательно угол КАС = 30. треугольник АКС равнобедренный АК = КС=2. все)). а по поводу дз - в треугольнике АКС проводим медиану КМ из т К к стороне АС. АМ=АС=АВ. треугольник АВК=АКМ (АВ=АМ, АК - общая, угол ВАК= углу КАМ (АК биссектриса), тогда угол ВКА = МКА=60 градусов, тогда угол МКС тоже 60, а тогда КМ еще и биссектриса угла АКС (она же медиана) следовательно треугольник АКС равнобедренный и АК=КС=2
Замечательно. Но чем же т. косинусов сложнее вашей теоремы синусов?Ну, согласен, чуть проще и кнцовочку я оставил зрителям. Мы решали по ГОСТ
@@GeometriaValeriyKazakov имел ввиду, что вычисляется проще. согласитесь, что применить теоремы синусов, в данном случае, гораздо быстрее приводит к ответу (нет необходимости решать квадратное уравнение). терема косинусов не сложнее и не проще теоремы синусов )) и то и то мощные инструменты ). по поводу гостов - к сожалению не могу сказать (а скорее знать😀) что по госту, а что нет. давно это было 😄
@@max_butenko Я ж написал - проще, ес ли помнишь т. синусов. С т. син проблемы острый -тупой. С косинусов - нет.
Тр-ку АВК строим симметричный тр-к АВ1К ОКОЛО ОТРЕЗКА АК. В1 лежит на АС. И ВСЕ ясно
Да, именно так. Еще придется пописать, но ход отличный
@GeometriaValeriyKazakov спасибо. Это все. Ответ 2. Это очевидно
А кто расшифрует ГОСТ без Гугла и Википедии? 😂
Я нет. И почему ГОСП?
@ пардон, имел ввиду ГОСТ
Главное - ОСТрый ум.
ГОСТь канала
ГОСТ = государственный общесоюзный стандарт.
Если память не изменяет где-то перед войной был принят и получил такую аббревиатуру.
Потом при раннем Брежневе название стандарта поменялось, а вот аббревиатура осталась старой.
Точные даты сходу не вспомню, договорились ведь без Гугла и Википедии :)
Складываем по биссектрисе ;) 2
Да симметрия работает
Это вы какую задачу решаете?
@МладшийЛейтенант-в8и
Ту что на картинке. После сложения получаем равнобедренный ;)
@@ОлегКозловский-о8е
Так это показать нужно.
//
Половина комментаторов видит "очевидные" вещи без логического обоснования.
Ха-Ха-Ха
Что-то не так в консерватории, учитель.
//
Несчастный прямоугольный треугольник, сколько его можно вертеть? Тут ничего нельзя дополнительно строить, кроме перпендикуляра, и то, есть сомнения, что это будет именно перпендикуляр. Геометры, то есть земле меры, были практиками, поэтому тщательно готовили инструментарий для измерения участков земли, так как любая ошибка, могла привести к бунту "обиженных" владельцев участков. Математики теоретики, не очень заботятся о точном начертании геометрических фигур, поэтому, зачастую получается конфуз с размерами, когда меньший указанный размер, выглядит больше, чем указанный по размеру больший, и угол в 30°, выглядит как 60°. Поэтому, существует программа "Плоттер", которая рисует геометрические чертежи, по заданным размерам. Мы пойдём старым путём, принимая во внимание, что этот чертёж точный! 1) Проведём таки,перпендикуляр из точки, которая делит сторону 3, на отрезки 1 и 2, после чего, из верхнего угла, проведём отрезок, в точку контакта перпендикуляра с основанием. Если окажется, что этот отрезок, пересекая с биссектрисой под прямым углом, то этот отрезок будет медианой треугольника. Если треугольник прямоугольный, то половина основания, будет равна медиана и боковой стороне треугольника, то есть, будет равносторонний треугольник со сторонами, равными √3, значит правый угол будет равен левому, ограниченному биссектрисой, и оба будут равны по 30°, это значит, что биссектриса равна 2. Если я не прав, то я Лев, хотя, по гороскопу Скорпион!
Перпендикуляр KH ничего не дает.
Решение, основанное на догадках типа "если" и опять "если" не является доказанным решением.
@@GeometriaValeriyKazakov Щас! А медиана к середине основания, из точки которой провести параллельную на сторону 3, которая будет равна √3/2, то есть средней линией при основании √3, тоже, ничего не даёт? Ну-ну!
@@P.S.Q.88 Решение, построенное на не доказанных свойствах биссектрис, тоже не является доказанным! У меня не если, а пересеклись медиана с биссектрисой под прямым углом, и образовался равносторонний треугольник из медианы, половины гипотенузы и катера ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника, биссектриса которого с высотой, опущенной в середину гипотенузы, составляет два равных треугольника, которые, в свою очередь, равны треугольнику, образованному биссектрисой с коротким катером и час тью длинного катера, равной 1! Усекли?
@@КонстантинВинников-р6б Нет, не "усекли". Мы все тут тупые, но это понятно только вам и от этого вы очень страдаете, так как здесь вы постоянно сталкиваетесь с тупыми, потому что все остальные тупые. Мне вас очень жаль, сочувствую вам, страдалец-гений вы наш.
опускаем высоту из точки К на АС в точку М . Против угла 30 гр лежит катет половина гипотенузы то есть 1 треугольники АВК и АКМ равни тогда угол В 90 угол а 60 бисектриса делит 60 на 2 по 30 треуголик АКС ранобедренный АК=2
А по какому признаку они равны? Дело в том, что моут быть два неравных треугольника с двумя равными стронами и углом напротив одной из них. Иначе все выше зрители так бы и решили. Нарисуйте угол A - и все поймете.
При общей стороне и равных противоположных сторонах при равных углах не может быть е@@GeometriaValeriyKazakov
@@GeometriaValeriyKazakov BK=KM=1, равны. AM=х=AC => AK=2
А свойства прямоугольного треугольника с углом 60 гр. сразу слабо использовать? АВ=АСcos60=1/2АС. Из свойства 1 биссектрисы наш треугольник прямоугольный с углами 30 и 60. отсюда АКС равносторонний по двум углам у основания, отсюда АК=КС=2
Почему сразу прямоугольный? Автор говорит, что домашние задачи нужно решать с нуля.
У нас нет никакого прямоугольного. Это фантазии
Еще раз. У прямоугольного треугольника с углом 60 градусов есть такое свойство: малый катет равен половине гипотенузы. Есть треугольник с одним из углов 30 градусов, а противоположная сторона равна половине самой длинной. Вывод? наш треугольник прямоугольный с углами 30 и 60. Что сложного?
Не могу согласиться. B Д/З
@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у 1. В треугольнике АВС АВ относится к АС как 1/2. При этом, АВ лежит против угла в 30 градусов. Это свойство прямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов. Если наш треугольник соответствует свойствам другого треугольника, то он им и является. АВС -прямоугольный треугольник с углами 30, 60 и 90. Что тут не понятного? Угол А равен 60 а биссектриса делит его пополам на 30 и 30. Второой угол АКС равен также 30, следовательно АКС равносторонний треугольник с углами при основании по 30 градусов, а значит его стороны равны. ВСЕ! Или снова не понятно?
Легче теорема синусов.
x/sin30=2x/sinB, sinB=1, B=90°