Wszystkie nieskończoności, których nie ogarniesz
Вставка
- Опубліковано 29 тра 2024
- Nasze koszulki ► naukowybelkot.shoplo.com/
Moja książka ► altenberg.pl/geny/
Patronite ► patronite.pl/NaukowyBelkot
Mix audio ► ratstudios.pl/
To je nieskończoność. Tego nie łogarniesz.
Subskrypcja ► / uwaganaukowybelkot
Facebook ► / uwaganaukowybelkot
Twitter ► / naukowybelkot
Instagram ► / naukowybelkot
Wyłącznie Naukowy Bełkot ► goo.gl/Do7VCc
Grupa na facebooku ► goo.gl/HP8J83
===
Rozkład jazdy:
0:00 Witamy w hotelu Hilberta
2:06 Kiedy 5=5?
6:21 Pierwsza nieskończoność
7:58 Dodatkowy gość
10:38 Nieskończeni goście
13:34 Nieskończone kolejki
16:48 Liczymy wszystkie ułamki...
19:49 ... i liczby od 0 do 1
21:57 Hipoteza continuum
===
Źródła (wybrane):
J. Onyszkiewicz i in. - Wstęp do logiki i teorii mnogości w zadaniach
I. Stewart - Niezwykłe liczby profesora Stewarta
T. Crilly - 50 teorii matematyki, które powinieneś znać
H. Rasiowa - Wstęp do matematyki współczesnej
Dawidzie!
Jako ultrafiltr niegłówny, obiekt teorii mnogości, mieszkający na co dzień w uzwarceniu Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych czuję się zobowiązany, by sprostować kilka spraw.
22:59 To mało istotne, ale wiemy na pewno, że continuum nie jest równe aleph_{aleph_0}, a przykładanie w tym miejscu kartki sugeruje sytuację przeciwną. Ogólny fakt (który jest wnioskiem z twierdzenia Königa) mówi, że continuum nie może być sumą przeliczalnie nieskończenie wielu mniejszych liczb kardynalnych, a tutaj zachodzi równość aleph_{aleph_0}=aleph_0+aleph_1+aleph_2+... Z drugiej strony, każda nieskończona liczba kardynalna innej postaci może być równa continuum.
23:07 Polemizowałbym ze stwierdzeniem, że nie wiemy ile jest równe continuum (to trochę zależy od tego, co to znaczy wiedzieć). Wiemy w tym zakresie wszystko, co da się wiedzieć, natomiast wypowiedziane przez Ciebie zdanie może sugerować, że w przyszłości ktoś mógłby udowodnić, że continuum=aleph_1, lub że taka równość nie zachodzi. W istocie: udowodniono, że w podstawowym zestawie aksjomatów nie jest możliwe udowodnienie żadnego z powyższych. Żeby odpowiedź na pytanie "ile jest równe continuum?" w ogóle istniała, potrzebujemy rozszerzyć naszą aksjomatykę. Takie rozszerzenia są już od dawna rozważane. Ciekawym przykładem jest zależność mówiąca, że pewne dodatkowe własności podzbiorów płaszczyzny zwanych chmurami mogą implikować, że hipoteza continuum zachodzi (albo, że nie zachodzi): Peter Komjath, Three clouds may cover the plane.
23:30 Sprzeczność i niesprzeczność hipotezy continuum wzajemnie się wykluczają. W rzeczywistości pokazano, że niesprzeczna jest hipoteza continuum (co jest równoważne temu, że jej zaprzeczenia nie da się udowodnić - nie znaczy to, że hipoteza continuum jest prawdziwa) oraz że niesprzeczna jest negacja hipotezy continuum (co jest równoważne temu, że hipotezy continuum nie da się udowodnić). Odpowiednim sformułowaniem zamiast tego co powiedziałeś byłoby np. "hipoteza continuum może zachodzić bądź nie zachodzić w zależności od przyjętych dodatkowych aksjomatów".
Zapraszam do zadawania pytań, dyskusji, komentarzy, na kawę i herbatę.
Dzięki za uwagi. Słuszne :)
Przypomnę na górze ten komentarz.
@@naukowy.belkot Jako że ten komentarz został przypięty, to wkleję tutaj swoje wypociny, żeby nie zniknęły w morzu komentarzy, bo uważam, że są istotne. Przy czym to nie jest komentarz do postu @Ultrafiltr Niegłówny (z którym się całkowicie zgadzam), tylko do Twojego filmu, Dawidzie. :)
1. Co do porównywania zbiorów możemy użyć nieskończonej ilości różnych relacji. Najpopularniejszymi metodami porównywania zbiorów są: relacja zawierania zbiorów, porównywanie mocy zbioru i porównywanie miary Lebesgue'a zbioru. O ile moc zbioru liczb naturalnych i liczb całkowitych jest taka sama (aleph 0), jak i miara Lebesgue'a zbioru liczb naturalnych i całkowitych jest taka sama (równa 0), to ze względu na relację zawierania zbiorów, to zbiór liczb całkowitych jest oczywiście większy od zbioru liczb naturalnych. Jednakże wadą porównywania wielkości zbiorów za pomocą relacji zawierania zbiorów jest to, że nie każde dwa zbiory można porównać, ponieważ relacja zawierania nie tworzy porządku liniowego. Za to zawsze można porównać moc dwóch zbiorów (oczywiście o ile wiemy jakie dane zbiory mają moc), ale przez to "tracimy część informacji" , więc ze względu na moc zbioru zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są "tej samej wielkości" - ale moim zdaniem, to określenie zwyczajnie wprowadza w błąd, dlatego zdecydowanie lepiej powiedzieć, że te zbiory są równoliczne lub że mają taką samą moc. Przy czym przy zbiorach skończonych o ile A jest (ostro) zawarty w B, to moc A jest ostro mniejsza od mocy B.
2. Paradoksy występują tylko w naiwnej teorii mnogości, wynika to ze z pierwszego twierdzenia Gödla (o niezupełności). W aksjomatycznej teorii mnogości (czyli takiej, którą zajmują się dzisiaj matematycy) paradoksy zostały wyeliminowane.
3. Ależ oczywiście, że możemy napisać nieskończoność + 1 = nieskończoność w arytmetyce liczb kardynalnych, przy czym ze względu na to, że istnieją nieskończoności różnych mocy, to z reguły matematyk zamiast przewróconej ósemki użyje symbolu alef i z odpowiednim indeksem lub symbolu continuum. A i z góry uprzedzam, że nie można sobie po prostu skreślić nieskończoności po obu stronach i dojść do wniosku, że 1 = 0, ponieważ nieskończoność minus nieskończoność może nam dać dowolną liczbę jaką tylko zapragniemy.
4. Ależ oczywiście, że jesteśmy w stanie zdefiniować obiekt matematyczny, którego moc zbioru będzie większa niż continuum i jest to choćby zbiór wszystkich funkcji ze zbioru o mocy continuum do zbioru mocy continuum, np. moc wszystkich funkcji odcinka [0;1] do odcinka [0;1].
5. I co do hipotezy continuum, to obecnie jest to problem bardziej filozoficzny niż matematyczny. Ponieważ udowodniono, że hipoteza continuum jest niezależna od układu aksjomatów ZFC (aksjomaty Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru), który jest obecnie jednym z najczęściej przyjmowanych układów aksjomatów przez matematyków. Jestem w stanie sobie stworzyć nawet układ aksjomatów w którym hipoteza continuum będzie prawdziwa (wystarczy, że dopiszę ją do listy aksjomatów ZFC) lub fałszywa (wystarczy, że dopiszę zaprzeczenie hipotezy continuum do listy aksjomatów ZFC). W ramach wyjaśnień - aksjomat w matematyce, to coś co matematycy przyjmują, że jest prawdziwe, bez możliwości dowiedzenia, że to coś jest prawdziwe. Zaś to które aksjomaty są powszechnie akceptowane przez matematyków, to jest dyskusja filozoficzna - dzisiaj najczęściej jest to ZFC lub NBG (aksjomaty von Neumanna-Bernaysa-Gödla, które są konserwatywnym rozszerzeniem ZFC). Aczkolwiek mam nadzieję, że dojdziemy kiedyś do takiego filozoficznie uzasadnionego układu aksjomatów w których hipoteza continuum jest prawdziwa lub fałszywa (ta druga opcja zapewni więcej zabawy :D).
6. Mimo tej całej krytyki ogromny szacunek za odcinek o matematyce. Czekam na kolejne i podaję nawet sugestie:
a) twierdzenia Gödla,
b) pojęcie miary, w szczególności miary Lebesgue’a i zawartości Jordana (niepoprawnie często nazywanej miarą Jordana),
c) dowolny problem milenijny (P vs NP, Hipoteza Hodge’a, Hipoteza Poincarégo, Hipoteza Riemanna, Równania Naviera-Stokesa, Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera).
Przyjemnie poczytać o czymś czego się nie rozumie i nigdy nie będzie w stanie, jednocześnie widząc, że jest ktoś, kto to wszystko ogarnia. Ludzie są niesamowici
@Ultrafiltr Niegłówny
Jednak mały komentarz do Twojego komentarza. Twierdzenie Königa jest prawdziwe, jeżeli założymy prawdziwość aksjomatu wyboru, który po dziś dzień budzi pewne kontrowersje. Więc w aksjomatyce Zermela-Fraenkla BEZ aksjomatu wyboru nie wiemy nawet tyle. ;P
@@adaamke5161 "Przyjemnie poczytać o czymś czego się nie rozumie.........jednocześnie widząc, że jest ktoś, kto to wszystko ogarnia"- racja
Przychodzi nieskończenie wiele matematyków do baru. Pierwszy zamawia piwo. Drugi prosi o pół piwa. Trzeci chciał połowe tego co zamówił matematyk przed nim, i tak dalej i tak dalej. Wkurwiony barman nalał dwa piwa i powiedział
Wy matematycy, nie znacie swoich granic
Bardzo dobry odcinek, bardzo mi sie spodobal. Nic nie zrozumialem XD
Mam to samo
Wymiękłem w 20 minucie, ro jest drugi odcinek z całego kanału, przez który nie przebrnąłem do końca
@@wadszcz ja w 14
Jest to bardzo ciekawe
XDDD
Hotel Hilberta ma tylko jedną wadę: ciężko się tam wyspać, bo ciągle się trzeba przenosić 😉😴
widzę, że nie tylko ja miałem rozkminę, że przy nieskończonej liczbie przenosin, pobyt w hotelu ograniczyłby się wyłącznie do nich. Beznadziejny hotel :D
No i- żeby rzeczywiście zwolnić miejsce dla nowego gościa - zaczynasz się przenosić, gdy gość z pokoju n-1 już wlezie ci do pokoju😊. Bo zwalnianie pokoi od końca, potrwałoby nieskończenie długo
nieskończona ilość skarg i negatywnych komentarzu na bookingu. Koszmar hotelarza.
A po co przenosić. Niech idzie wzdłuż korytarza tak długo aż wejdzie w pierwsze drzwi na których nie widnieje karteczka 'zajęte'.
@@akardzisko no, mimo że nie będzie miał miejsca nigdy, to i tak będzie miał dach nad głową, i to na zawsze
Przypomniała mi się obelga z dzieciństwa..
-Ale Ty jesteś nieskończenie głupi !!
-A Ty jesteś nieskończenie głupi +1
-A Ty +2..
No i się zaczynało.
Dobre :) ale się uśmiałem!
fakt faktem było takie coś. dzięki za obudzenie we mnie tych wspomnień 😆.
Było było :D +1 dla ciebie
Nieskończoność to czas, jaki zajmie mi zrozumienie nieskończoności
13:25 1 sasin = 70 mln
Albo -70 mln Zależy jak na to spojrzeć.
Myślicie że w przyszłości będziemy jakieś duże i nieudane inwestycje przeliczać w ten sposób? Np. "budowa tej autostrady pochłonęła już 6 sasinów i do tej pory nie została ona oddana do użytku"? :)
@@stark_2991 Trochę smutne, że taki "sasin" (możliwe, że nieświadomy skali owego karygodnego czynu jaki popełnił) za życia stał się w pewnym sensie "nieśmiertelny".
Potoczna jednostka: 1 sasin == 70 mln PLN - obecnie jest na liście nieformalnego układu S.I. a niewykluczone, że w dalekiej przyszłości będzie mieć charakter formalny.
Takie "heheszki", ale na poważnie.
1 Tusk = 250 000 000 0000 zł dziury w Vat
@@tjustice2904 poczekaj jak po obecnych ustawach będzie liczony 1 Jarosław
Czy S = 70mln ma zwiazek z tym co odjebal sasin?
Nieeee napewno nie
skonczylem politechnike, kierunek matematyka i sie tak dziwnie oglada jak ktos mi tak tlumaczy w prosty sposob XD
Ja też skończyłem ale rozumiałem to wcześniej.
@@swiadomy1 odpadłem na 3 semestrze, pozdrawiam Szanownego profesora Witułę
@@swiadomy1 w sumie na pierwszym roku przerabia się zbiory
Aż się łezka w oku kręci- 1 rok studiowania matematyki i logika 🔥😍
"Ale skomplikujmy jeszcze sytuację..." - Jakby jeszcze nie była wystarczająco skomplikowana :D Bardzo ciekawy materiał. Więcej takich poproszę :)
Wspaniały film. Widzę 70m powodów, aby dać łapkę w górę xd
Wincyj filmów matematycznych!!
@Adrian Rybaczyk .. i o delcie Diraca
Z takich okołotematycznych ciekawostek / uzupełnień, Cantor dotarł do tego że istnieje wiele rodzajów nieskończoności zauważając, że zbiór nigdy nie jest rownoliczny ze zbiorem swoich podzbiorów (a przynajmniej dowód tego faktu znam jako dowod Cantora). Zatem tak jak nie istnieje bijekcja między N a R, podobnie nie istnieje bijekcja między N a zbiorem wszystkich podzbiorów liczb naturalnych (który ma moc continuum). Ale podobnie możemy wziąć zbiór liczb rzeczywistych R i utworzyć zbiór podzbiorów R. Ten drugi zbiór będzie nieskończony ale będzie to już inna, "wieksza" nieskończoność. I tak dalej.
Dzięki temu możemy na przykład stwierdzić, że nie istnieje coś takiego jak zbiór wszystkich zbiorów. Gdyby taki zbiór istniał, to musiałby zawierać wszystkie swoje podzbiory, ale nie może ich zawierać, skoro ten zbiór podzbiorów jest bardziej liczny.
Super materiał, cieszę się że powstał ten film :)
@Adrian Rybaczyk O homolekcji nie słyszałem, ale w matematyce mamy takie pojęcia jak homomorfizm, bimorfizm, izomorfizm, endomorfizm, automorfizm, monomorfizm, epimorfizm, dyfeomorfizm, homeomorfizm etc. Mamy nawet pojęcie jądra homomorfizmu. :D Na analizie matematycznej miałem nawet wykład o dobrych jądrach z którego zapamiętałem, że "jądra Fejéra dobre są" :D
Kolega jeszcze o homotopii zapomniał, to kolejna zbereźna rzecz.
Jakub Matuszczyk ograniczyłem się do morfizmów 😝
Dokładnie Cantorowi udalo sie udowodnić, ze nie da się udowodnic, ze istnieje zbiór wszystkich zborów
Do teraz pamiętam te zagadnienie ze studiów, ale lepiej wytłumaczone niż na wykładzie profesora ... jemu się nie chciało aż tak łopatologicznie tłumaczyć.
Jak ja na to czekałem! Świetny materiał i liczę na więcej "matematycznych" filmów. Serdecznie pozdrawiam!
Podbijam. Dokładnie to samo chciałem napisać.
Aż przypomniały mi się stare dobre czasy Teorii Mnogości na studiach. ❤️
Ja dzięki Dawidowi w końcu to jakoś pojąłem
Wiedziałem film o tym temacie, ale i tak musiałem zobaczyć jak ty to tłumaczysz :)
23:40 - nie do końca. Jest to problem rozwiązany poprzez stwierdzenie, że hipoteza ta jest niezależna od innych aksjomatów. Oznacza to, że zależnie od przeprowadzanego dowodu, możemy założyć prawdziwość albo nieprawdziwość CH w ten sposób dodając ℵ₁ = ℭ lub ℵ₁ ≠ ℭ do zbioru aksjomatów, z którymi pracujemy. Innego rozwiązania hipotezy kontinuum nie będzie.
Jest to analogiczne do piątego postulatu Euklidesa, który obecnie wiemy, że jest niezależny od pozostałych czterech i można stworzyć spójne teorie geometrii przy założeniu tego postulatu (geometria euklidesowa) jak i przy jego odrzuceniu (geometrie nieeuklidesowe).
I tak i nie. Oczywiście jak wiadomo ZFC jest niezależne od hipotezy continuum, ale cały czas trwają poszukiwania filozoficznie uzasadnionego układu aksjomatów w którym hipoteza continuum jest prawdziwa bądź nie (przy czym większość teoriomnogościowców skłania się ku temu, że hipoteza continuum jest intuicyjnie fałszywa).
A co do porównania do piątego postulatu Euklidesa, to z jednej strony to jest dobre porównanie, a z drugiej nie. Bo wszystkie rodzaje geometrii mieszczą się w ZFC czy NBG, ale hipoteza continuum, to jest tak fundamentalne zagadnienie, że jeżeli matematycy przyjmą jakiś nowy układ aksjomatów i będzie on odpowiadał na hipotezę continuum, to w ramach tego układu aksjomatów hipoteza continuum będzie po prostu fałszywa bądź prawdziwa. Ale prawda jest też taka, że nikt matematykowi nie zabroni z jakim zbiorem aksjomatów chce pracować, patrz chociażby intuicjonalistów dla których ZFC, to znacznie za dużo i "żyją" w ramach IZF czy IKP.
Dawidzie, uwielbiam sposób, w jaki ilustrujesz swoje wykłady! Ten tekturowy hotel i goście w nim - coś absolutnie pięknego!
Świetny materiał! Już to gdzieś kiedyś widziałem, ale i tak się bardzo cieszę, bo wreszcie coś ścisłego.
Bardzo podobał mi się odcinek. Mam pytanie być może pomysł na krótki odcinek na kanale Wyłącznie Naukowy Bełkot: Co ludzkość może zyskać przez rozwiązanie tego typu problemów matematycznych? Jakie problemy pomogłoby to rozwiązać? Z czym moglibyśmy jako ludzkość pójść do przodu? Pozdrawiam :)
UWIELBIAM, UWIELBIAM, UWIELBIAM Twoje filmy. Jesteś w stanie przystępnie przedstawić każdy temat 👏
Podziwiam Cię za pomysły na filmy i sposób w jaki jesteś w stanie wytłumaczyć tak trudne tematy, które ciężko jest pójść i zrozumieć. Każdy film jest super wypracowany, profesjonalny i zrobiony od a do z ❤️ Chętnie widziałabym Cię na moim wydziale na zajęciach z chemii, słuchającym z wielka chęcią tak jak każdego filmu!
Wyobrażam sobie jaki musisz być mądry, dzięki tym filmikom, które dla nas robisz. Szacun 💖
To tylko dowodzi, że matematycy i teologowie są niebezpieczni: mogą doprowadzić człowieka do pokoju bez klamek ;)
Cantor sam dokonał żywota w szpitalu psychiatrycznym szukając w swoich rozważaniach Boga oraz prawdy o wszechświecie.
Jako psychiatra stwierdzam, że w takim razie też jestem niebezpieczna ;)
Czyli jeżeli każdy gość hotelu zapłacił by jedynie 1gr, to właścicel miałby nieskończone zyski, więc równie dobrze właścicieli hotelu mogło by być nieskończenie wiele 🤯
pomyśl o nieskończenie wysokich podatkach do zapłacenia. ;) Niby masz nieskończenie wiele pieniędzy, więc jeszcze by Ci zostało, ale niesmak pozostaje...
@@AdamMObara racja 😆
ale za takie podatki to można nieskończenie wiele inwestycji dla ludzi zrobić
@@evvunja ale przy nieskończonych zasobach pieniądz jest bezwartościowy i hotel bankrutuje :(
przy nieskończonym pieniądzu, jest nieskończony dodruk i nieskończona inflacja... więc de facto pierwszy gość zapłacił nieskończenie wiele więcej od ostatniego...
świetna realizacja! W bardzo przystępny i przyjemny dla ucha jak i dla oka tłumaczysz i pokazujesz różne zagadnienia.
Nie istotne co zrobiłeś i co zrobisz, to jest Twój NAJLEPSZY film.
Szacun.
Dawidzie ! Tak ostatnio ponownie oglądałem twoje stare filmy i strasznie brakuje twoich subiektywnych rankingów! Więcej proszę tego cuda !
Dawno nie mailem tak spranego mózgu :O Więcej odcinków matematycznych ! Tutaj chociaż można się czegoś nauczyć
uwielbiam takie tematy rozwalające mózg :)
Jak zwykle świetny film!
Myślę, że hotelarze uznają ten odcinek za herezję i powiedzą, że matematycy nie znają się na hotelarstwie.
Powinien ktoś wymyślić ulepszony Hotel Hilberta w którym zamiast klient się przenosić, przemieszczały by się pokoje. To musiała by być technologia na miarę 22 wieku 😁
@@piotrznarnii9462 Przecież już dziś są w planach hotele na obrotowych platformach,
gdzie goście w ciągu doby mieliby okazję oglądać pełną panoramie 360 stopni.
jesu tak właśnie xd nie mogłam się skupić przez myśl z tyłu głowy jak bardzo jest to sprzeczne z istotą hotelarstwa xD
@@piotrznarnii9462 Czytając ten komentarz przypomniał mi się film "Cube" z 1997 roku, gdzie przedstawiona była idea poruszających się wewnątrz sześcianu pokoi. ;P
dokładnie pozdrawiam technik hotelarz
Super odcinek! Uwielbiam matematyczne zagadnienia przedstawione w tak ciekawy sposób :) Gratuluję filmiku i czekam na wiecej matmy! :)
O nie, już się cieszyłem, że nagrałeś nowy film a patrzę i okazało się że miałem to już na studiach przy teorii mocy zbiorów.
W końcu coś matematycznego na tym kanale ;) świetny film! Oby więcej takich 😁
Z tym hotelem bardziej chodzi o to że jak kolejnemu klientowi przydzielisz pokój n+1 to dotarcie na miejsce zajmie mu wieczność, a jeśli każdy zmieni pokój o jeden to nikt nie zmarnuje zbyt wiele czasu. Nieskończoność nie może być zajęta w całości, to jedynie kwestia optymalizacji procesu.
Świetny film! Oby pojawiło się więcej propozycji na kanale związanych z matematyką 😊❤
Super odcinek☺️
👌 świetny program
Nawet z Tindera ciężko nauczyć się tyle o dobieraniu w pary!
Dzienny komentarz od koprolity ☑
Przeczytany
@@zastosuj_6557 dzikie gofry.
super wizualizacja :)
Co do wypisywania liczb wymiernych to jest fajny trik. W pierwszym wierszu zapisujesz 1/1 w drugim robisz dwie kreski ułamkowe i do jednej przepisujesz licznik do drugiej mianownik (jedynki) i uzupełniasz sumą licznika i mianownika powstają: 1/2 i 2/1 z tymi robisz to samo w kolejnym wierszu i masz: 1/3, 3/2 oraz 2/3 i 3/1 … itd. w rezultacie masz listę wszystkich liczb wymiernych, każdą w najprostszej (skróconej) postaci.
Dobrze że jest taki kanał na yt
13:27 czy to "s:n" to jakiś rebus? Bo patrząc na powyższe 70 mln chyba wiem, co powinienem wstawić w miejsce dwukropka xd
😂
zbiór pln = 70 mln, s:n = sąd najwyższy, wtedy i tylko wtedy wyrok więzienia?
@TheMugShot @Wojciech Kedzierski @NZS Bango "S" to jest standardowe oznaczenie na zbiór, zaś "n" to standardowe oznaczenie na liczbę naturalną. Więc oznaczenia są całkowicie na miejscu, może tylko liczba 70 000 000 została dobrana nieprzypadkowo. ;)
@@Hadar1991 to był żart ;) prawda jest taka, że sasin tak samo jak tzw opozycja totalna należą do zbioru bezkarnego
@@nzsbango Oby, aczkolwiek PiS tą najnowszą ustawą działająca wstecz, chce bezkarnymi pozostawić tych, którzy łamią prawo w "Imię interesu społecznego i walki z epidemią". Mam nadzieję, że nawet obecny Trybunał Konstytucyjny uwali tę ustawę.
Ale to nieskończenie skomplikowane :) Dobrze się Ciebie słucha nawet przy takich ściśle matematycznych tematach
Niesamowite jak potrafisz w pozornie zrozumiały sposób opowiadać o rzeczach niezrozumiałych :)
Alew spaniały odcinek!
1. Co do porównywania zbiorów możemy użyć nieskończonej ilości różnych relacji. Najpopularniejszymi metodami porównywania zbiorów są: relacja zawierania zbiorów, porównywanie mocy zbioru i porównywanie miary Lebesgue'a zbioru. O ile moc zbioru liczb naturalnych i liczb całkowitych jest taka sama (aleph 0), jak i miara Lebesgue'a zbioru liczb naturalnych i całkowitych jest taka sama (równa 0), to ze względu na relację zawierania zbiorów, to zbiór liczb całkowitych jest oczywiście większy od zbioru liczb naturalnych. Jednakże wadą porównywania wielkości zbiorów za pomocą relacji zawierania zbiorów jest to, że nie każde dwa zbiory można porównać, ponieważ relacja zawierania nie tworzy porządku liniowego. Za to zawsze można porównać moc dwóch zbiorów (oczywiście o ile wiemy jakie dane zbiory mają moc), ale przez to "tracimy część informacji" , więc ze względu na moc zbioru zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych są "tej samej wielkości" - ale moim zdaniem, to określenie zwyczajnie wprowadza w błąd, dlatego zdecydowanie lepiej powiedzieć, że te zbiory są równoliczne lub że mają taką samą moc. Przy czym przy zbiorach skończonych o ile A jest (ostro) zawarty w B, to moc A jest ostro mniejsza od mocy B.
2. Paradoksy występują tylko w naiwnej teorii mnogości, wynika to ze z pierwszego twierdzenia Gödla (o niezupełności). W aksjomatycznej teorii mnogości (czyli takiej, którą zajmują się dzisiaj matematycy) paradoksy zostały wyeliminowane.
3. Ależ oczywiście, że możemy napisać nieskończoność + 1 = nieskończoność w arytmetyce liczb kardynalnych, przy czym ze względu na to, że istnieją nieskończoności różnych mocy, to z reguły matematyk zamiast przewróconej ósemki użyje symbolu alef i z odpowiednim indeksem lub symbolu continuum. A i z góry uprzedzam, że nie można sobie po prostu skreślić nieskończoności po obu stronach i dojść do wniosku, że 1 = 0, ponieważ nieskończoność minus nieskończoność może nam dać dowolną liczbę jaką tylko zapragniemy.
4. Ależ oczywiście, że jesteśmy w stanie zdefiniować obiekt matematyczny, którego moc zbioru będzie większa niż continuum i jest to choćby zbiór wszystkich funkcji ze zbioru o mocy continuum do zbioru mocy continuum, np. moc wszystkich funkcji odcinka [0;1] do odcinka [0;1].
5. I co do hipotezy continuum, to obecnie jest to problem bardziej filozoficzny niż matematyczny. Ponieważ udowodniono, że hipoteza continuum jest niezależna od układu aksjomatów ZFC (aksjomaty Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru), który jest obecnie jednym z najczęściej przyjmowanych układów aksjomatów przez matematyków. Jestem w stanie sobie stworzyć nawet układ aksjomatów w którym hipoteza continuum będzie prawdziwa (wystarczy, że dopiszę ją do listy aksjomatów ZFC) lub fałszywa (wystarczy, że dopiszę zaprzeczenie hipotezy continuum do listy aksjomatów ZFC). W ramach wyjaśnień - aksjomat w matematyce, to coś co matematycy przyjmują, że jest prawdziwe, bez możliwości dowiedzenia, że to coś jest prawdziwe. Zaś to które aksjomaty są powszechnie akceptowane przez matematyków, to jest dyskusja filozoficzna - dzisiaj najczęściej jest to ZFC lub NBG (aksjomaty von Neumanna-Bernaysa-Gödla, które są konserwatywnym rozszerzeniem ZFC). Aczkolwiek mam nadzieję, że dojdziemy kiedyś do takiego filozoficznie uzasadnionego układu aksjomatów w których hipoteza continuum jest prawdziwa lub fałszywa (ta druga opcja zapewni więcej zabawy :D).
6. Mimo tej całej krytyki ogromny szacunek za odcinek o matematyce. Czekam na kolejne i podaję nawet sugestie:
a) twierdzenia Gödla,
b) pojęcie miary, w szczególności miary Lebesgue’a i zawartości Jordana (niepoprawnie często nazywanej miarą Jordana),
c) dowolny problem milenijny (P vs NP, Hipoteza Hodge’a, Hipoteza Poincarégo, Hipoteza Riemanna, Równania Naviera-Stokesa, Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera).
1:20
A w podstawówce jak przescigaliśmy się kto poda większą liczbę, i podałem dwie nieskończoności to mi powiedzieli, że nieskończoność może być jedna. 😂
Satysfakcja, że miało się rację po tylu latach😎
,, Nazwali mnie szaleńcem"
@Czwartek W 2007 roku na MIT odbył się "pojedynek wielkiej liczby", który polegał na podaniu możliwie największej liczby skończonej (ale nie można było po prostu podać poprzedniej liczby plus jeden) i wygrała go liczba Raya, która ma następującą definiecję: "Najmniejsza liczba większa niż każda liczba skończona wyrażona w języku teorii mnogości z użyciem googol lub mniej symboli." A co do "dwóch nieskończoności", to muszę Cię zmartwić, bo nieskończoność + nieskończoność = nieskończoność (przy założeniu, że mówimy o nieskończonościach tej samej mocy), więc nie podałeś liczby większej od nieskończoności. :P Chyba że pojedynek odbywał się w świecie liczb porządkowych (nie omawianych w tym odcinku), wtedy najmniejsza liczba nieskończona jest oznaczana jako ω i prawdą jest, że ω < ω + 1 < 2ω :)
Dla mnie taka najlepsza, najbardziej zrozumialna nieskończoność to liczba rosnącą bez końca.
Fakt, że tyle osób ogląda Twoje filmy z własnej woli i dla przyjemności przywraca mi wiarę w społeczeństwo 😅
Więcej matematycznych tematów! 😍
to, że ogląda nie znaczy, ze rozumie. modne tematy i tyle... tylko 1 komentarz mówi o matematyce, a reszta ludzi gada o hotelu i spaniu-tyle z tego zrozumieli...
Czemu jesteś tak świetny Dawid?! Jestem twoim wielkim fanem!!!
No kiedy wreszcie, po jakiejś dwudziestej minucie się zaczęło robić naprawdę interesująco, to odcinek się skończył ;D
Fajny film!!!
Przecież Paul Cohen w 1963 roku udowodnił niezależność hipotezy continuum od powszechnie przyjmowanej w matematyce aksjomatyki. Twierdzenie zatem, że hipoteza continuum jest problemem nierozwiązanym, mija się z prawdą.
Miałem obejrzeć potem, ale przez ten komentarz spojrzałem na koniec. I potwierdzam, końcówka zawiera rażące błędy merytoryczne. Literatura: Guzicki, Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości"
Dawidzie, przydała by się korekta. Można by jeszcze wspomnieć o twierdzeniu Gödel'a (skończony system aksjomatow nie może być domknięty)
No, super wyjaśnione a pamiętam jak mi to zryło beret na pierwszych studiach. Może dlatego po oglądnięciu tego materiału z samego rana, jeszcze zaspany tylko mi się mucha ucieszyła, bo inaczej pewnie miałbym cały dzień w głowie mózgojada :) :) :)
Super odcinek
Eeeeeee! Czemu ten odcinek się skoczył?!?!?!!! Nie wyczerpał mojej nieskończonej ciekawości! Będzie tkwił teraz w kontinuum nieskończoności! Brak mi słów ... by wyrazić swoje niezadowolenie.
Słyszałem o tym na zagranicznym YT ale i tak oglądam PS. Nie o wijaj tak w bawełnę bo mąci w głowie 💪
Jesteś mistrzem.
Wspaniały odcinek.
21:00 dowód na to, że teoria "jeden, dwa, trzy, cztery .... dużo" działa :D
Dziękuję , dzisiaj kłóciłem się z nauczycielem o to ,że nieskończoności nie są równe , notatki zrobione będzie wyjaśniony
Już samo słuchanie i zastanawianie się nad przedstawionymi tezami męczy mózg. I bardzo dobrze! 😀
Fajny odcinek :) Co prawda już to wiedziałem ale zawsze to miłe przypomnienie :) Może odcinek o zastosowaniu liczb zespolonych w świecie fizycznym?
Liczb zespolonych nigdy za wiele. Czasem się przydają np. w matematyce, elektroenergetyce itd. Miałem lata temu do czynienia z tymi "zabobonami". Chętnie bym odświeżył wiedzę.
Oglądając ten film zastanawiałem się co ja robię na rozszerzonej matematyce.
A co ma szkola srednia do teorii mnogosci?
Pozostaje czekać na liczby urojone
Wyglądasz dobrze!
Lubię takie matematyczne rozważania
Dziekuje
Pozdrawiam cię kolego łapka w górę
Fajnie się Ciebie słucha, jasno wyjaśniasz. P.s. spotkałem się już z pojęciem tego nieskończonego hotelu. Pozdrawiam :)
Właśnie czekałem na polską wersje hotelu hilberta
Cała kolekcja koszulek UNB👍. Noszę z dumą.
EDIT: wlepy też już wlepione gdzie trza.
Uwielbiam Twoje filmy. Jesteś super tęga głową.. Gdybyś miał czas, zrób jakiś film o tym, jak kannobidy (thc) reagują w mózgu w połączeniu z alkoholem. Chętnie zobaczę to z naukowego punktu widzenia. Pozdrawiam.
Więcej takich odcinków :0
Biedny hotelarz... Był kiedyś w "bajce" taki facet. Syzyf miał na imię. I też nieskończenie musiał coś robić.
trudno udowodnić, że coś jest i trudno udowodnić, że czegoś nie ma, brak dowodów nie musi świadczyć o nieistnieniu. A udowodnić coś matematycznie nie jest łatwo.
8:54 Czyli jeżeli dobrze zrozumiałem chcesz od gościa który mieszka w danym pokoju numer jego starego? To zgodne z RODO?
W tym przypadku akurat numer starego pokoju jest łatwo określić, bo nowy jest tylko o jeden wyższy 😉
@@piotrznarnii9462 O. Kto to przyszedł. Pan maruda. Niszczyciel dobrej zabawy i dziecięcych uśmiechów :'>
@Różowy Rozrabiaka o, cześć Maruda 😉
Bardzo chętnie, obejrzał bym odcinek o niesporczakach👌
Kto się pod podpisuje, łapka w górę !
Dzięki
to twoj pierwszy film ever ktorego nie jestem w stanie obejrzec
Tego odcinka jako student filozofii potrzebowałem!
Świetny odcinek
No to teraz odcinek o hipotezie Riemanna ;)
Popieram! 👍☺💟
Na polskim YT jest już jeden super film o tym, ale nie zaszkodziłoby odświeżyć temat.
Super, że zrobiłeś też odcinek z materiałem z zakresu matematyki. Więcej takich!!! Proponuję następnym razem hipotezę Riemanna. :)
20:58. trzeba się jeszcze troszkę bardziej postarać aby nie było problemu z niejednoznacznością zapisu ułamków dziesiętnych, mogło by np być tak że pierwszym ułamkiem na liście jest
0.100000000....
a naszą nową liczbą, która dla każdego n, na n-tej pozycji po przecinku się różni od n-tej liczby na liście jest
0.0999999.... = 0.1
ten problem można łatwo rozwiązać wybierając cyfry nowej liczby ze zbioru {1, .., 8}, wtedy na pewno nie trafimy na już obecną liczbę
W końcu znalazłem idealny filmik do zasypiania 🤣🤣🤣
Dawid ja cię kocham poprostu ,twoje filmy są bardzo dobre i ciekawe ale zepsułeś mi plany ,właśnie postanowiłem zrobić chwilę odpoczynku po 1,5h ćwiczenia matematyki i chciałem żeby mój mózg odpoczął bo robiłem już takie błędy proste że się nie dało ,a tu nie ma nic innego do oglądania , cóż , nie odpocznę 😅
Hipoteza Hilberta jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości, jak również jej zaprzeczenie jest niesprzeczne. To znaczy że NIE DA SIĘ udowodnić jej prawdziwości lub fałszywości. Możemy przyjąć zarówno jedno jaki i drugie i stworzy to 2 niezależne od siebie "matematyki". Podobnie jest aksjomatem że proste równoległe się nigdy nie przecinają - jest to prawdą w geometrii Euklidesowej ale w geometriach zakrzywionych (np. takiej jak w teorii względności Einsteina), nie jest to już prawdą (np. na kuli "proste równoległe" się przecinają)!
No właśnie wczoraj zdawałam egzamin z analizy funkcjonalnej. Po takiej ilości nauki, kiedy zobaczyłam nazwisko Hilberta, mialam już lekką reakcję alergiczną 😂😂😂
Przypomniało mi się jak 15 lat temu w Sharm El Sheikh, w nieskończonym (jeszcze) hotelu mieliśmy problem z zameldowaniem ;) ... I faktycznie kogoś przenosili z naszego pokoju, wtedy myślałem: Bóg wie gdzie, a teraz wszystko jasne
Słuchając o tych nieskończonych pokojach i gościach doszłam do wniosku, że już wiem jak nasz rząd mając mało zapewnia dobro wszystkim dając tyle samo co pierwotnej ilości obywateli. Magia
Ale dziękuje za wytłumaczenie mi sensu funkcji 😂
Dawidzie, może następnym razem będzie coś o szybko rosnących funkcjach? :) G64, Tree, albo można zaszaleć i trzasnąć nieobliczalne funkcje takie jak BIG FOOT lub liczba Raya! Pozdrawiam!
Mimo, że to był jeden z tych odcinków, który musiałam obejrzeć dwa razy, żeby zrozumieć to co chciałeś przekazać, stwierdzam, że był naprawdę interesujący ;)
Dawidzie to jak już jesteś przy zbiorach to może teraz coś o problemie P vs NP?
Zajmując się nieskonczonościami nie da się nie zajmować mistycyzmem :)
Sam miałem różne myśli jak nieskończoność jest nienaturalna i nawet zastanawiałem się czy pochodzimy z nieskończoności i do nieskończoności zmierzamy... z różnym wnioskami...
UWAGA Dowcip : ile pompek potrafi zrobić chuck norris ? WSZYSTKIE