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ユークリッドの証明ですが、「pは素数である」と言い切ってしまうより、「pは素数か合成数かのどちらかであるが、素数とすると仮定に含まれていないので矛盾。合成数であるとするとp1からpnのどれでも割り切れないので矛盾。」としたほうがより良いと思います。ご指摘頂いたRyoji Takeiさんありがとうございます。
3:01 pが素数になるんじゃないですよ。あくまで、pは「有限個であるとして仮定された全素数のどれを使っても割れない」だけで、pが素数であるか合成数であるかにかかわらず、「どれだけ多くの素数を用意して有限個と仮定しても、必ず仮定された全ての素数で割れない数が存在する、つまり仮定された以外にも素数があることが証明される」ということになり、矛盾がおこるわけです。「仮定した全ての素数で割れない」という事柄は、新たな素数の存在を示すだけで「その数が新たな素数だ」ということにはならないのです。実際、2～13の全ての素数を掛け合わせて1を足した数30031も合成数(59×509)です。
「有限個と仮定した場合に素数になってしまう」と言うのが私は「よくある誤り」だと思います。有限個と仮定したとしても、そのどれでも割り切れない数が表れた時点で、素数が有限であるという前提と矛盾が発生していると同時に、その数が素数の定義に合致するかどうかは確認されておらず、「素数であるか合成数であるか不明」であるはずです。
Ryoji Takei いくつかの素数をかけ合わせて1を足しても素数にならないことは承知しています。もちろん、これは有限個あると仮定した場合の話です。数の大小から考えて、p1からpnは自分自身ではない素数ですから、自分自身以外の他の全ての素数で割り切れないので、素数としたわけです。ただ、2以上の自然数は何らかの素数の倍数になるわけであり、pはそうならなかった（仮定した素数の倍数にならなかった）ので矛盾としても良いのかなと思います。
Ryoji Takei すいません、先ほどのコメントは少し言いたいことからズレていたので、新しく書き換えました。
Ryoji Takei 素数か合成数か不明とおっしゃることもわかります。素数である場合はpが仮定の中に含まれないので矛盾、合成数である場合はp1からpnのどれかで割り切れるはずだが、割り切れず矛盾（この場合、p1からpn以外の素数が存在することになる。それはpとは限らない）。ということかと思います。ただ、私としては先程書いたように、数の大小からp1からpnが自分自身以外の素数と考え、それで割り切れないので、素数と考えた次第です。コメント行き違いのため、連投になり、申し訳ありません。
その場合は、「pは素数である」という結論がでるというわけでなく、「pが新たに表れた素数である」と新たに仮定することで、最初の仮定との矛盾が導けると言う考え方ですよね。どの素数でも割れない数が表れたから、その数を一時的に素数と見做す、そして最初の仮定との矛盾を指摘するという考え方は可能かと思いますが、その「pは素数だ」と言い切ってしまうのと「一時的に素数と見做す」と述べることの間には、説明に使う文言の上で非常に大きな隔たりがあると考えます。例えば最初に素数が有限と仮定していることから「pは合成数だ」と見做しても、最初に仮定した全ての素数で割れないことから同様に矛盾が導けますね。しかしそれなら、仮定した全ての素数で割りきれない数pが表れた時点で、そのpを素数または合成数のどちらとも仮定することなく、最初の仮定が誤りであることを説明できるため、個人的にはpを素数または合成数のどちらかと仮定する必要性は薄く、「pを素数としても合成数としても最初の仮定と矛盾する」ことを指摘するだけで十分かなと思います。昨今の、全ての素数をかけて1を足せば素数が出来るという誤解が一部に広まっているのも、この説明の文言の瑕疵（誤解を招きやすい表現）による物と私は考えています。
どっちも知ってたので多分その二つはだろうなーと思いましたwいやーやっぱり面白いですね〜そして凄く分かりやすくて良いですね！高評価！
この動画のオイラーの証明は調和級数の和をxと置いているからおかしいと最初思った。しかし素数が有限個なら調和級数をxと置けるという趣旨から考えると背理法としては成り立っている。
ユークリッドの背理法による証明はとってもシンプルで分かりやすいね！本当に「＋1」が良いね！素晴らしいね！オイラーの方は積分を使った場合の説明も聞いてみたい。他のも証明も。面白かった！
BIG.M ありがとうございます！やはり、ユークリッドの証明の方がシンプルで良いですね。積分は1＋1/2＋1/3＋・・・が∞となることを示すのに使えます。面積を利用しますね。
ユークリッドの背理法は知っていたんですけど、オイラーのは知らなかったです勉強になりますm(_ _)m
ミライサク ユークリッドの証明は有名ですね。どちらも素晴らしい方法ですよね。
ユークリッドの背理法は知ってました オイラーの解き方やもう一つ別の解法を示した動画がほかにあって見ていたのですが忘れてしまいましたねこういう文章が短い問題って面白いですよね～ 有名どころでは 円周率が3.05より大きいことを証明せよ みたいな
ns7700 よくご存知ですね！確か円周率は東大の問題でしたね。あと、京大の「tan1°は有理数か」とかも美しい問題ですね！
京大の問題は初めて知りましたこういうちょっとした雑学？みたいなものにすごく興味があるので時間があれば動画見たり調べたりしていますね
調和級数を使って数列的にも示せるのですね。1通りしか覚えてませんでした。
廃人予備軍 どちらも素晴らしい方法ですね！
なあにこれえ（白目
えうふ。 気持ちはよくわかります笑
まだ中学二年生だからかわからないけどオイラーの公式の無限に発散するって言う部分が全く理解できずに撃沈しました（；＿；）
無理ですわw
aku zyaさんでも、これは厳しいですよね。
素数だからなんとなくゼータ関数とか関係あるかなーと思ったけど、ちゃんと証明するのは容易ではありませんね。
かも オイラー積を利用して考える方法も面白いですね。こんなの自分では考えられませんが…
これ、中学生には難しいですは、、、、
木村友城 確かに中学生には厳しいと思います。大人が答えを見ても理解しにくいでしょうね。
ピタゴラスの方法は簡単だと思いますよ。
すいません理解しているか答え合わせをしたいです。というのも当方高校からの数学などの学問は事情あり学べませんでした。なのでうｐ主、もしくわ理解している方、宜しければ見て頂きたいです。Ryoji Takeiさんのコメントも最終的には参考にさせていただきました。理解できているかまとめてみます。うｐ主が仰ったユークリッドの証明に関しましてはまず、Pの仮の素数の証明ということですよね。例えば解り易くP1(２)、P2(３)、P3(５)のみだとします。そこに１を足すことによって、数は３１になります。それが一応のPになる。P１、P２だけでも同じですよね。そこに１を足したら７になる。それをP１やP２で割ろうとしても割れないから素数として仮の証明になる。まずこれだけで解り易くすると素数の仮の証明ということですよね。次に命題に沿ってP数(１，２，３…)が有限個あると同じ式に挿入して仮定するんですよね。しかし、有限個を足すと仮の素数が存在しているので矛盾するということですよね。これは数が多いと解り易く、P1、P2、P3、P4(P4を有限とする)を使うと２×３×５×７＋１＝２１１これは仮の素数だから掛けた数で割れないここまではPとイコール関係。しかし２１１という仮の素数の答を出したので既存の掛けた数字よりも大きく、かけた数字で割れない仮の素数を出してしまう。つまり有限という仮定に矛盾が生じてしまう。よって素数は無数である可能性があるということの証明ですよね。そしてよりまとめるとPn(有限)と＋１(仮の素数のもと)がPの証明の式にある限り合成数にはならず、有限でもなく新たな素数の可能性を秘めている。それを言い換えると、Ryoji Takeiさんの式の証明という観点では最初の過程が矛盾しているので素数でも合成数でもなく、式自体がパラドックスになっている。そのため有限でもない。そしてこのパラドックスの式こそがユークリッドの証明の正しい解釈ということですよね。前者の考えは解り易く、後者の考えはユークリッドの証明のまとまった解釈であると考えまとめてみました。解釈は簡単だったのですが一番は２つの内容をまとめることが神経を張っていたので時間がかかりました(笑)数学が出来ると楽しいですね！これで基本的には合っていますでしょうか？それと＋１がなぜ１なんでしょうか？これには公式があるんですか？それともそういった公理が存在するのですか？それとこのユークリッドの証明って現実でも当てはまるような気がしてならないのです。というのも＋１が矛盾の原因だと思ってまして＋１さえなければ矛盾は起こらなかった。数が全て２で割れて平等だった。何が言いたいかと申しますと、これは世界が矛盾を秘めているということを言っているのではないかと直感で思うのです。例えばこの矛盾がある世界はこの１だと考えています。そこに無数の素数が存在します。この場合素数を天才だとします。この世界の原因によって天才は素数として気まぐれで希少価値が高められそしてこの矛盾を生じさせた、自分を生み出した世界を対象化しているのだと思います。この１ってなぜ＋１なのか証明されていますか？証明されていないような気がします。実際の所は解りませんが。つまりいつまで経っても１(世界)は素数(天才)には解らないのではないでしょうか？こじつけですかね？僕が言いたい主張から脱線しましたが、つまり平等な世界などこの世に存在せづ天才は誰にも理解されないまま朽ちていく、そして、平等な愛などがこの世には存在しないということを改めて証明されているようで悲しくなります。だから、僕はこの証明に関しては美しさも感じましだが同時に悲しさも感じるアンビバレンスな気持ちになりました。２１歳浪人生(笑)でこのような事実を知るとまたニヒリズムな感覚になり、死を感じてしまいますね。。。(笑)
IQの問題を探していて流石にIQ２００は無理でした(笑)ただ、ユークリッドの証明に近い公式なら考えましたが僕は素数を足し算していました。足し算だと合計が不規則なので何か不規則の中のヒントを見つけらるかと思ったのですが無理でした(笑)本当に＋１はどうやって発見したのかが気になりますね。当方文系の大学に進学を希望しているのですが大学に行ったら理数も勉強したいと思える動画でした。気づかせて頂きありがとうございました。時間があればIQテストも受けてみたいです。youtubeでテレビのIQテストの動画がアップされていたのでIQ140も結構楽に解けたのでうp主の動画でIQ150などあったので時間があれば解きたいと思いました。因みにIQの基準は１５と考えて宜しいのですよね？…チャンネル登録しました、これからも頑張ってください！！
うーわ
何を言っているんだ？(^^)
井伊直弼 そうなりますよね笑
![CORREÇÃO DA PROVA DE INFORMÁTICA - CONCURSO DOS CORREIOS [BANCA IBFC]](http://i.ytimg.com/vi/ymjfEwYBU_8/mqdefault.jpg)
![CORREÇÃO DA PROVA DE INFORMÁTICA - CONCURSO DOS CORREIOS [BANCA IBFC]](/img/tr.png)
ユークリッドの証明ですが、「pは素数である」と言い切ってしまうより、「pは素数か合成数かのどちらかであるが、素数とすると仮定に含まれていないので矛盾。合成数であるとするとp1からpnのどれでも割り切れないので矛盾。」としたほうがより良いと思います。
ご指摘頂いたRyoji Takeiさんありがとうございます。
3:01 pが素数になるんじゃないですよ。
あくまで、pは「有限個であるとして仮定された全素数のどれを使っても割れない」だけで、pが素数であるか合成数であるかにかかわらず、「どれだけ多くの素数を用意して有限個と仮定しても、必ず仮定された全ての素数で割れない数が存在する、つまり仮定された以外にも素数があることが証明される」ということになり、矛盾がおこるわけです。
「仮定した全ての素数で割れない」という事柄は、新たな素数の存在を示すだけで「その数が新たな素数だ」ということにはならないのです。
実際、2～13の全ての素数を掛け合わせて1を足した数30031も合成数(59×509)です。
「有限個と仮定した場合に素数になってしまう」と言うのが私は「よくある誤り」だと思います。
有限個と仮定したとしても、そのどれでも割り切れない数が表れた時点で、素数が有限であるという前提と矛盾が発生していると同時に、その数が素数の定義に合致するかどうかは確認されておらず、「素数であるか合成数であるか不明」であるはずです。
Ryoji Takei
いくつかの素数をかけ合わせて1を足しても素数にならないことは承知しています。
もちろん、これは有限個あると仮定した場合の話です。数の大小から考えて、p1からpnは自分自身ではない素数ですから、自分自身以外の他の全ての素数で割り切れないので、素数としたわけです。
ただ、2以上の自然数は何らかの素数の倍数になるわけであり、pはそうならなかった（仮定した素数の倍数にならなかった）ので矛盾としても良いのかなと思います。
Ryoji Takei
すいません、先ほどのコメントは少し言いたいことからズレていたので、新しく書き換えました。
Ryoji Takei
素数か合成数か不明とおっしゃることもわかります。
素数である場合はpが仮定の中に含まれないので矛盾、合成数である場合はp1からpnのどれかで割り切れるはずだが、割り切れず矛盾（この場合、p1からpn以外の素数が存在することになる。それはpとは限らない）。ということかと思います。
ただ、私としては先程書いたように、数の大小からp1からpnが自分自身以外の素数と考え、それで割り切れないので、素数と考えた次第です。
コメント行き違いのため、連投になり、申し訳ありません。
その場合は、「pは素数である」という結論がでるというわけでなく、「pが新たに表れた素数である」と新たに仮定することで、最初の仮定との矛盾が導けると言う考え方ですよね。
どの素数でも割れない数が表れたから、その数を一時的に素数と見做す、そして最初の仮定との矛盾を指摘するという考え方は可能かと思いますが、その「pは素数だ」と言い切ってしまうのと「一時的に素数と見做す」と述べることの間には、説明に使う文言の上で非常に大きな隔たりがあると考えます。
例えば最初に素数が有限と仮定していることから「pは合成数だ」と見做しても、最初に仮定した全ての素数で割れないことから同様に矛盾が導けますね。
しかしそれなら、仮定した全ての素数で割りきれない数pが表れた時点で、そのpを素数または合成数のどちらとも仮定することなく、最初の仮定が誤りであることを説明できるため、個人的にはpを素数または合成数のどちらかと仮定する必要性は薄く、「pを素数としても合成数としても最初の仮定と矛盾する」ことを指摘するだけで十分かなと思います。
昨今の、全ての素数をかけて1を足せば素数が出来るという誤解が一部に広まっているのも、この説明の文言の瑕疵（誤解を招きやすい表現）による物と私は考えています。
どっちも知ってたので多分その二つはだろうなーと思いましたw
いやーやっぱり面白いですね〜
そして凄く分かりやすくて良いですね！
高評価！
この動画のオイラーの証明は
調和級数の和をxと置いているからおかしいと最初思った。
しかし素数が有限個なら調和級数をxと置けるという趣旨から考えると背理法としては成り立っている。
ユークリッドの背理法による証明はとってもシンプルで分かりやすいね！本当に「＋1」が良いね！素晴らしいね！オイラーの方は積分を使った場合の説明も聞いてみたい。他のも証明も。面白かった！
BIG.M
ありがとうございます！
やはり、ユークリッドの証明の方がシンプルで良いですね。
積分は1＋1/2＋1/3＋・・・が∞となることを示すのに使えます。面積を利用しますね。
ユークリッドの背理法は知っていたんですけど、オイラーのは知らなかったです
勉強になりますm(_ _)m
ミライサク
ユークリッドの証明は有名ですね。どちらも素晴らしい方法ですよね。
ユークリッドの背理法は知ってました オイラーの解き方やもう一つ別の解法を示した動画がほかにあって見ていたのですが忘れてしまいましたね
こういう文章が短い問題って面白いですよね～ 有名どころでは 円周率が3.05より大きいことを証明せよ みたいな
ns7700
よくご存知ですね！
確か円周率は東大の問題でしたね。
あと、京大の「tan1°は有理数か」とかも美しい問題ですね！
京大の問題は初めて知りました
こういうちょっとした雑学？みたいなものにすごく興味があるので時間があれば動画見たり調べたりしていますね
調和級数を使って
数列的にも示せるのですね。
1通りしか覚えてませんでした。
廃人予備軍
どちらも素晴らしい方法ですね！
なあにこれえ（白目
えうふ。
気持ちはよくわかります笑
まだ中学二年生だからかわからないけどオイラーの公式の無限に発散するって言う部分が全く理解できずに撃沈しました（；＿；）
無理ですわw
aku zyaさんでも、これは厳しいですよね。
素数だからなんとなくゼータ関数とか関係あるかなーと思ったけど、ちゃんと証明するのは容易ではありませんね。
かも
オイラー積を利用して考える方法も面白いですね。こんなの自分では考えられませんが…
これ、中学生には難しいですは、、、、
木村友城
確かに中学生には厳しいと思います。
大人が答えを見ても理解しにくいでしょうね。
ピタゴラスの方法は簡単だと思いますよ。
すいません理解しているか答え合わせをしたいです。というのも当方高校からの数学などの学問は事情あり学べませんでした。なのでうｐ主、もしくわ理解している方、宜しければ見て頂きたいです。Ryoji Takeiさんのコメントも最終的には参考にさせていただきました。理解できているかまとめてみます。
うｐ主が仰ったユークリッドの証明に関しましてはまず、Pの仮の素数の証明ということですよね。例えば解り易くP1(２)、P2(３)、P3(５)のみだとします。そこに１を足すことによって、数は３１になります。それが一応のPになる。P１、P２だけでも同じですよね。そこに１を足したら７になる。それをP１やP２で割ろうとしても割れないから素数として仮の証明になる。まずこれだけで解り易くすると素数の仮の証明ということですよね。
次に命題に沿ってP数(１，２，３…)が有限個あると同じ式に挿入して仮定するんですよね。しかし、有限個を足すと仮の素数が存在しているので矛盾するということですよね。これは数が多いと解り易く、P1、P2、P3、P4(P4を有限とする)を使うと２×３×５×７＋１＝２１１これは仮の素数だから掛けた数で割れないここまではPとイコール関係。しかし２１１という仮の素数の答を出したので既存の掛けた数字よりも大きく、かけた数字で割れない仮の素数を出してしまう。つまり有限という仮定に矛盾が生じてしまう。よって素数は無数である可能性があるということの証明ですよね。
そしてよりまとめるとPn(有限)と＋１(仮の素数のもと)がPの証明の式にある限り合成数にはならず、有限でもなく新たな素数の可能性を秘めている。それを言い換えると、Ryoji Takeiさんの式の証明という観点では最初の過程が矛盾しているので素数でも合成数でもなく、式自体がパラドックスになっている。そのため有限でもない。そしてこのパラドックスの式こそがユークリッドの証明の正しい解釈ということですよね。前者の考えは解り易く、後者の考えはユークリッドの証明のまとまった解釈であると考えまとめてみました。解釈は簡単だったのですが一番は２つの内容をまとめることが神経を張っていたので時間がかかりました(笑)数学が出来ると楽しいですね！これで基本的には合っていますでしょうか？
それと＋１がなぜ１なんでしょうか？これには公式があるんですか？それともそういった公理が存在するのですか？
それとこのユークリッドの証明って現実でも当てはまるような気がしてならないのです。というのも＋１が矛盾の原因だと思ってまして＋１さえなければ矛盾は起こらなかった。数が全て２で割れて平等だった。何が言いたいかと申しますと、これは世界が矛盾を秘めているということを言っているのではないかと直感で思うのです。例えばこの矛盾がある世界はこの１だと考えています。そこに無数の素数が存在します。この場合素数を天才だとします。この世界の原因によって天才は素数として気まぐれで希少価値が高められそしてこの矛盾を生じさせた、自分を生み出した世界を対象化しているのだと思います。この１ってなぜ＋１なのか証明されていますか？証明されていないような気がします。実際の所は解りませんが。つまりいつまで経っても１(世界)は素数(天才)には解らないのではないでしょうか？こじつけですかね？僕が言いたい主張から脱線しましたが、つまり平等な世界などこの世に存在せづ天才は誰にも理解されないまま朽ちていく、そして、平等な愛などがこの世には存在しないということを改めて証明されているようで悲しくなります。だから、僕はこの証明に関しては美しさも感じましだが同時に悲しさも感じるアンビバレンスな気持ちになりました。
２１歳浪人生(笑)でこのような事実を知るとまたニヒリズムな感覚になり、死を感じてしまいますね。。。(笑)
IQの問題を探していて流石にIQ２００は無理でした(笑)ただ、ユークリッドの証明に近い公式なら考えましたが僕は素数を足し算していました。足し算だと合計が不規則なので何か不規則の中のヒントを見つけらるかと思ったのですが無理でした(笑)本当に＋１はどうやって発見したのかが気になりますね。当方文系の大学に進学を希望しているのですが大学に行ったら理数も勉強したいと思える動画でした。気づかせて頂きありがとうございました。
時間があればIQテストも受けてみたいです。youtubeでテレビのIQテストの動画がアップされていたのでIQ140も結構楽に解けたのでうp主の動画でIQ150などあったので時間があれば解きたいと思いました。因みにIQの基準は１５と考えて宜しいのですよね？…チャンネル登録しました、これからも頑張ってください！！
うーわ
何を言っているんだ？(^^)
井伊直弼
そうなりますよね笑