Merci prof. L'explication est bien faite, j'espère de mieux faire l'évolution de l'imaginaire i par le moyen de l'espace vectoriel des matrices carrées , pour montrer aux élèves l'origine du nombre imaginaire i et les faire savoir que l'ensemble des nombres complexes c'est l'ensemble des matrices carrées de la forme (a b) (b a) .
Bonjour les clipédiens ! Si tu as envie de nous aider, en aidant Maxime, qui fait son TFE sur clipédia et essaie de comprendre qui nous suit et comment faire évoluer le projet, n'hésitez pas à remplir le sondage mis en ligne ici : nl.surveymonkey.com/r/FXQYBLG Au plaisir de te revoir à travers les vidéos ! Clipédia, La science et moi !
La scolastique enseigne que le mal est une absence de bien ; il n'a donc pas de cause propre ... pas de racine. Avoir de l'imagination permet d'amortir les chocs sur le chemin. On continue le calcul à l'aveugle par des accords de principe, cela s'appelle la foi. Merci le cardan.
Et moins que rien… c'est quoi ??? .comme dirais l'autre.Je plaisante évidement….Je suis un Fan de vos vidéos que je trouve très bien faites a tout point de vue c'est a dire sur le contenu et sur la pédagogie utilisée.Manquerais juste de disposer de ressources pour accéder a des exercices pratique.Merci a vous et continué de nous transmettre votre savoir.
Bonjour. Désolé pour ma naiveté mais j'ai un petit soucis avec i=sqrt(-1). En effet sqrt(3) peut s'écrire sqrt(-(-3)) soit sqrt (-1*-1*3)=sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(3)=i*i*sqrt(3)=-sqrt(3) or sqrt(3) ne peut valoir lui-même -sqrt(3). Où est mon erreur ?
Le fait d'introduire le signe moins , vous introduisez d'office deux solutions puisque -1 = (+i)² = (-i)². Donc +3 = (+/- sqrt(3))² où +sqrt(3) et -sqrt(3) sont deux racines différentes.
Il suffit d’interpréter la multiplication comme une transformation géométrique qui est la rotation dans un plan et le i n’est autre que la rotation de 1 d’angle pi/e et qui nous donne pi*pi n’est autre que la rotation de i d’angle pi/2 d’ailleurs c’est pourquoi on peux dire la multiplication par -1 c’est la rotation d’angle pi et on aura tjr (-1)*(-1) c’est la rotation de (-1) d’angle pi qui est 1.
Merci pour votre effort,mais l'explication de l'ensemble des nombres complexes est au dessous des connaissances requises, à l'ensemble des nombres complexes ( appele aussi R×R= R*2) est muni de deux applications l'une interne et une autre externe du moment que C est un corps tandis que la multiplication est definie comme suit:( aá-bb',ab'+áb) de ce faite on trouve i=(0,1) c'est un couple,et d'aprés la loi externe de la multiplication on trouve bien :(0,1)×(0,1)=-1 du moment qu'il y a un isomorphisme !
l"existence indispensable des nombres imaginaires en mathématique peut-elle justifier l'existence de mondes imaginaires (ensemble C) dans notre monde réel (ensemble R) : dieu, esprits, fantômes etc ?
Je ne sais pas pour ce qui est de dieu, esprits, fantômes etc. Cependant je sais qu'en électronique qui connait des tensions négatives et des formules électriques qui utilisent des carrés et des racines, l'utilisation des "nombres imaginaires" est fort pratique et pourtant l'électronique c'est du réel !
bonjour M.le Prof. Mi permetto di suggerire che è sfuggito anche ai matematici ,ma non ai filosofi, che √2 ha due soluzioni algebriche che hanno una la loro rappresentazione geometrica; infatti ,se si disegna un triangolo in un qualsiasi quadrante del piano cartesiano e si calcola la radice di 2 si ottiene (- / + 1,414....) che è la lunghezza della diagonale(Hypothènuse) che ha pendenza negativa o positiva e questo accade : quando il triangolo giace con i lati retti sugli assi( +Y )ed (+X) nel I quadrante opposto con ( - Y) ed (- X )nel III quadrante (pendenza negativa)con ipotenusa inclinata da sinistra verso destra;(e questa condizione s'piega anche la regola del prodotto dei segni concordi e discordi); (+/+)=+ ,ovvero +=( +)*(+)= (+ ) ed (-/-)=+,ovvero (-) = (+)*(-)=(- ) ; quando invece i lati(cateti) giacciono sugli assi;( -X) ed ( +Y ) nel II quadrante, ed (+X) ed (-Y) nel IV quadrante la pendenza è positiva ,sale da sinistra verso destra, in buona sostanza si forma un quadrato ruotato di 45 gradi. Cordialità, li, 7 ottobre 2019 Joseph( da Turin/Italie) (giuseppelucianof@gmail.com)
Sorry Sir : you should not ASSUME that EVERYBODY, THE WHOLE WORLD, THE WHOLE GALAXY, THE WHOLE UNIVERSE, understands YOUR language ! Italian is NOT, to my language considered as an international language ! English is ! Even if you can deplore it, it is a FACT, and as you maybe know it, "A FACT IS BETTER THAN A LORD MAYOR" ! So in one word as in many : I did not understand a word of your hystory ! You might as well have saved your time and your efforts !
Désolé mais ta définition de la racine carrée est fausse ( 5:00 ) , tu as oublié de dire que c'est un nombre positif par définition. Et je suppose que toute la suite de la vidéo est basée là dessus et sur le fait que les imaginaires contredisent ceci. En effet quand tu écris (sqrt a) x (sqrt a = a) , (sqrt a) peut parfaitement être positif ou négatif. La définition rigoureuse exige de préciser qu'on prend le nombre positif
Bonjour, j'apprécie beaucoup ce que vous faites, je vous remercie. Cependant faites attention aux erreurs. La racine carree d un nombre est toujours positive. la racine carree de 4, est deux mais pas -2 meme si 2 puissance 2 est egale a 4. Je vous invite a voir le lien pour plus d informations suivant:file:///C:/Users/Rafik%20PC/Downloads/Documents/racinecarree.pdf. Rappelons aussi que la racine carree est une fonction et ne devrais pas avoir deux images dans R.
Le carré d'un nombre est toujours positif mais sa racine carrée pas forcément. Un nombre positif a deux racines carré : une positive et une négative. Par exemple √4= 2 ou -2 . Car -2 au carré = 4. Donc il ne c'est pas trompé la racine carrée n'est pas toujours positive.
@@arthur_amouroux_393 Hé NON, Arthur ! √4 = 2, et non -2 , ne vous déplaise, car la racine carrée d'un nombre (nécessairement positif !) vaut 2 et non -2 ! C'est pourquoi on l'écrit +/-√4 ! On ne peut pas écrire, comme vous le faites : √4= 2 ou -2 ! On peut dire que l'équation x**2 = 4 admet 2 racines : +2 et -2 . C'est tout ! Avec votre point de vue, on démontre sans difficulté que +1 = -1, ce qui est, pour le moins, interpellant !
Il aurait fallu prendre Peter Pan pour l'illustration, c'est lui qui habite au pays imaginaire, pas Alice. Ça connait la physique mais pas ses classiques x)
En vérité, je doute de la paternité de cadran en cette découverte ou à vrai dire pirouette mathématique. En plus de ça avec les nombres complexes ou bien à les bien nommé les nombres inertes les maths frôle l'étymologie des mots et les verbe être.
Les mathématiques ne sont-elles pas déjà, à la base, un monde imaginaire, utopique ? Parce que, certes, c'est choquant de savoir que le carré d'un nombre est égal à -1, mais en soi, à bien y regarder, il est tout aussi choquant que le carré d'un nombre puisse faire 1. C'est une question d'habitude. Mais très bonne vidéo nonobstant.
Aïe, la définition de la racine carrée n'est pas correcte !! Vous ne pouvez pas définir √a par (√a)²=a ! Avec cette définition on pourrait dire que -3 est la racine de 9 (puisque (-3)²=9).
Pas pour moi. J'aime bien savoir à quoi servent les choses. J'ai du mal à accepter de faire quelque chose juste parce qu'on me le dit. J'ai besoin de donner du sens et une raison.
Fnn de le faire parvenir o de le temps que o le plus o le plus xb de santé publique art et culture et le prix du billet depuis de longues années le plus rapidement que possible que je suis disponible immédiatement et plus récemment de le prendre le plus rapidement que celui du retard i le temps de le temps que je ne suis disponible pour un petit mot le prix est fermé le lundi matin le plus xb la en fin en
La racine carrée d'un nombre négatif et en particulier de -1 n'existe pas. Ce serait bien de le dire et d'expliquer pourquoi. Je rappelle que racine(a) est le nombre positif qui a pour carré a. Cela suppose bien-sûr a positif. x^2=a a en effet 2 solutions, 1 positive notée racine (a) et 1 négative -racine(a). Par contre racine (-1) entraine des contradictions. En effet si racine (-1) x racine (-1)=-1 est correct on a aussi racine (-1) x racine (-1)=racine (-1 x -1) = racine (1) = 1 d'après une propriété des racines carrées. Autre façon de voir le problème : si i est racine de x^2=-1, -i est aussi solution. Laquelle a le droit à la notation racine(-1), impossible à dire car on perd quelque chose d'important dans l'ensemble des nombres complexes : la relation d'ordre ! Par ailleurs je trouve que le tutoiement dans le cadre d'une vidéo pédagogique est assez mal venu.
La racine carrée d'un nombre négatif et en particulier de -1 n'existe pas. Ce serait bien de le dire et d'expliquer pourquoi. Je rappelle que racine(a) est le nombre positif qui a pour carré a. Cela suppose bien-sûr a positif. x^2=a a en effet 2 solutions, 1 positive notée racine (a) et 1 négative -racine(a). Par contre racine (-1) entraine des contradictions. En effet si racine (-1) x racine (-1)=-1 est correct on a aussi racine (-1) x racine (-1)=racine (-1 x -1) = racine (1) = 1 d'après une propriété des racines carrées. Autre façon de voir le problème : si i est racine de x^2=-1, -i est aussi solution. Laquelle a le droit à la notation racine(-1), impossible à dire car on perd quelque chose d'important dans l'ensemble des nombres complexes : la relation d'ordre ! Par ailleurs je trouve que le tutoiement dans le cadre d'une vidéo pédagogique est assez mal venu.
Bon jour. Je ne vais pas débattre sur les maths, mais sur le tutoiement. En toute modestie, il me semble que nous tutoyons les enfants que nous respectons en réalité bien plus que ceux ou celles que nous vouvoyons. Pourquoi être gêné par l'utilisation de la seconde personne du singulier si ce n'est un égo peut être trop important en notre être. Avec tout mon respect, je ( vous/te) demande d'y réfléchir. Que la sagesse la paix et l'amour illuminent le quotidien
Tu es le meilleur professeur de mathématiques que je suivie en ligne, merci beaucoup. la math n'a jamais été si plaisant.
Très bon professeur avec un bon sens didactique. Formidable !
Merci beaucoup, grâce à vous j’ai compris les nombres imaginaires
Magnifique ! J'ai toujours beaucoup de plaisir à vous écouter. A vous entendre on pourrait croire que les mathématiques sont choses simples.
Tu es vraiment un grand professeur !!!
Très belle séance...comme d'habitude avec Marc 😉👍👏
J'aime vos explications!TOUTE MA GRATITUDE.💝💝💝
Merci prof. L'explication est bien faite, j'espère de mieux faire l'évolution de l'imaginaire i par le moyen de l'espace vectoriel des matrices carrées , pour montrer aux élèves l'origine du nombre imaginaire i et les faire savoir que l'ensemble des nombres complexes c'est l'ensemble des matrices carrées de la forme (a b)
(b a) .
Bonjour les clipédiens !
Si tu as envie de nous aider, en aidant Maxime, qui fait son TFE sur clipédia et essaie de comprendre qui nous suit et comment faire évoluer le projet, n'hésitez pas à remplir le sondage mis en ligne ici : nl.surveymonkey.com/r/FXQYBLG
Au plaisir de te revoir à travers les vidéos !
Clipédia, La science et moi !
Merci beaucoup c’est bien expliqué ❤️
Merci qu'Allah vous guide au paradis.
La scolastique enseigne que le mal est une absence de bien ; il n'a donc pas de cause propre ... pas de racine.
Avoir de l'imagination permet d'amortir les chocs sur le chemin. On continue le calcul à l'aveugle par des accords de principe, cela s'appelle la foi.
Merci le cardan.
Merci pour cette vidéo!
i²=-1 enfin expliqué simplement !
Géniale interprétation géométrique en vidéo ici :
ua-cam.com/video/2GwSUDm_Rg8/v-deo.html
Bien vu merci
Merci
Et moins que rien… c'est quoi ??? .comme dirais l'autre.Je plaisante évidement….Je suis un Fan de vos vidéos que je trouve très bien faites a tout point de vue c'est a dire sur le contenu et sur la pédagogie utilisée.Manquerais juste de disposer de ressources pour accéder a des exercices pratique.Merci a vous et continué de nous transmettre votre savoir.
C est génial ce cours
Excellent. Merci
J'ai beaucoup apprécié
c'est géniale pour le rappel
Super Prof' c'est très clair, merci
superbe presentation ; merci
Bonjour. Désolé pour ma naiveté mais j'ai un petit soucis avec i=sqrt(-1). En effet sqrt(3) peut s'écrire sqrt(-(-3)) soit sqrt (-1*-1*3)=sqrt(-1)*sqrt(-1)*sqrt(3)=i*i*sqrt(3)=-sqrt(3) or sqrt(3) ne peut valoir lui-même -sqrt(3). Où est mon erreur ?
Le fait d'introduire le signe moins , vous introduisez d'office deux solutions puisque -1 = (+i)² = (-i)².
Donc +3 = (+/- sqrt(3))² où +sqrt(3) et -sqrt(3) sont deux racines différentes.
Votre vidéo est très intéressante merci.
Il suffit d’interpréter la multiplication comme une transformation géométrique qui est la rotation dans un plan et le i n’est autre que la rotation de 1 d’angle pi/e et qui nous donne pi*pi n’est autre que la rotation de i d’angle pi/2 d’ailleurs c’est pourquoi on peux dire la multiplication par -1 c’est la rotation d’angle pi et on aura tjr (-1)*(-1) c’est la rotation de (-1) d’angle pi qui est 1.
Merci, merci, merci!
Dommage de ne pas parler de Niccolò Fontana Tartaglia quand on évoque Cardan ^^
magnifique élocution.
Merci pour votre effort,mais l'explication de l'ensemble des nombres complexes est au dessous des connaissances requises, à l'ensemble des nombres complexes ( appele aussi R×R= R*2) est muni de deux applications l'une interne et une autre externe du moment que C est un corps tandis que la multiplication est definie comme suit:( aá-bb',ab'+áb) de ce faite on trouve i=(0,1) c'est un couple,et d'aprés la loi externe de la multiplication on trouve bien :(0,1)×(0,1)=-1 du moment qu'il y a un isomorphisme !
Magnifique
Bonjour Monsieur c'était très bien mais, que vaut √(I)
je n'arrive toujours pas à comprendre d'où est venu l'axe des nombres imaginaires à la 18:45 cad pourquoi -1=-i et 1=i ? alors que -1=i2
l"existence indispensable des nombres imaginaires en mathématique peut-elle justifier l'existence de mondes imaginaires (ensemble C) dans notre monde réel (ensemble R) : dieu, esprits, fantômes etc ?
Je ne sais pas pour ce qui est de dieu, esprits, fantômes etc. Cependant je sais qu'en électronique qui connait des tensions négatives et des formules électriques qui utilisent des carrés et des racines, l'utilisation des "nombres imaginaires" est fort pratique et pourtant l'électronique c'est du réel !
Bien réels des nombres imaginaires !
ua-cam.com/video/2GwSUDm_Rg8/v-deo.html
Merci !
tres bonne video. super!
2^i=? Cela a t'il un sens?
bonjour M.le Prof.
Mi permetto di suggerire che è sfuggito anche ai matematici ,ma non ai filosofi, che √2 ha due soluzioni algebriche che hanno una la loro rappresentazione geometrica;
infatti ,se si disegna un triangolo in un qualsiasi quadrante del piano cartesiano e si calcola la radice di 2 si ottiene (- / + 1,414....) che è la lunghezza della diagonale(Hypothènuse) che ha pendenza negativa o positiva e questo accade :
quando il triangolo giace con i lati retti sugli assi( +Y )ed (+X) nel I quadrante opposto con ( - Y) ed (- X )nel III quadrante (pendenza negativa)con ipotenusa inclinata da sinistra verso destra;(e questa condizione s'piega anche la regola del prodotto dei segni concordi e discordi); (+/+)=+ ,ovvero +=( +)*(+)= (+ )
ed (-/-)=+,ovvero (-) = (+)*(-)=(- ) ;
quando invece i lati(cateti) giacciono sugli assi;( -X) ed ( +Y ) nel II quadrante, ed (+X) ed (-Y) nel IV quadrante
la pendenza è positiva ,sale da sinistra verso destra, in buona sostanza si forma un quadrato ruotato di 45 gradi.
Cordialità,
li, 7 ottobre 2019
Joseph( da Turin/Italie)
(giuseppelucianof@gmail.com)
Sorry Sir : you should not ASSUME that EVERYBODY, THE WHOLE WORLD, THE WHOLE GALAXY, THE WHOLE UNIVERSE, understands YOUR language ! Italian is NOT, to my language considered as an international language ! English is ! Even if you can deplore it, it is a FACT, and as you maybe know it, "A FACT IS BETTER THAN A LORD MAYOR" !
So in one word as in many : I did not understand a word of your hystory ! You might as well have saved your time and your efforts !
Désolé mais ta définition de la racine carrée est fausse ( 5:00 ) , tu as oublié de dire que c'est un nombre positif par définition. Et je suppose que toute la suite de la vidéo est basée là dessus et sur le fait que les imaginaires contredisent ceci.
En effet quand tu écris (sqrt a) x (sqrt a = a) , (sqrt a) peut parfaitement être positif ou négatif. La définition rigoureuse exige de préciser qu'on prend le nombre positif
a quand les quaternions ? et les octonions?
Merci
Bonjour, j'apprécie beaucoup ce que vous faites, je vous remercie. Cependant faites attention aux erreurs. La racine carree d un nombre est toujours positive. la racine carree de 4, est deux mais pas -2 meme si 2 puissance 2 est egale a 4. Je vous invite a voir le lien pour plus d informations suivant:file:///C:/Users/Rafik%20PC/Downloads/Documents/racinecarree.pdf. Rappelons aussi que la racine carree est une fonction et ne devrais pas avoir deux images dans R.
Le carré d'un nombre est toujours positif mais sa racine carrée pas forcément. Un nombre positif a deux racines carré : une positive et une négative. Par exemple √4= 2 ou -2 . Car -2 au carré = 4. Donc il ne c'est pas trompé la racine carrée n'est pas toujours positive.
@@arthur_amouroux_393 Hé NON, Arthur ! √4 = 2, et non -2 , ne vous déplaise, car la racine carrée d'un nombre (nécessairement positif !) vaut 2 et non -2 ! C'est pourquoi on l'écrit +/-√4 !
On ne peut pas écrire, comme vous le faites : √4= 2 ou -2 ! On peut dire que l'équation x**2 = 4 admet 2 racines : +2 et -2 . C'est tout !
Avec votre point de vue, on démontre sans difficulté que +1 = -1, ce qui est, pour le moins, interpellant !
Mercciiiiii bcp
10:30 Véritable entrée en matière pour ceux qui connaissent la règle des signes (rappel i^2=-1 et racine carrée de -1=i)
Merci!!
merci.
Pourquoi les mathématicien n aiment pas que la racine carré d un nombre soit negative
Malick Sow parce que ça ne veut rien dire
Et bien si !
i²=-1 enfin expliqué simplement !
Géniale interprétation géométrique en vidéo ici :
ua-cam.com/video/2GwSUDm_Rg8/v-deo.html
i²=-1 enfin expliqué simplement !
Géniale interprétation géométrique en vidéo ici :
ua-cam.com/video/2GwSUDm_Rg8/v-deo.html
Il aurait fallu prendre Peter Pan pour l'illustration, c'est lui qui habite au pays imaginaire, pas Alice. Ça connait la physique mais pas ses classiques x)
genialllllllllllllllllllllllllllllllllllllllle merci bppp
En vérité, je doute de la paternité de cadran en cette découverte ou à vrai dire pirouette mathématique.
En plus de ça avec les nombres complexes ou bien à les bien nommé les nombres inertes les maths frôle l'étymologie des mots et les verbe être.
Les mathématiques ne sont-elles pas déjà, à la base, un monde imaginaire, utopique ? Parce que, certes, c'est choquant de savoir que le carré d'un nombre est égal à -1, mais en soi, à bien y regarder, il est tout aussi choquant que le carré d'un nombre puisse faire 1. C'est une question d'habitude. Mais très bonne vidéo nonobstant.
Aïe, la définition de la racine carrée n'est pas correcte !! Vous ne pouvez pas définir √a par (√a)²=a ! Avec cette définition on pourrait dire que -3 est la racine de 9 (puisque (-3)²=9).
C’est justement ce qu’il explique
31:10 Cardan a pompé sur Tartaglia
Et la racine de i ?
Racine(2)/2 + racine(2)/2 * i 😉
Un physicien ne devrait pas se croire prof de maths ...
Jonathan Dauwe Voilà les gilets jaunes qui ramènent leur fraise
Où sont les nombres de futur de mathématiques :
Messar(n)={ n/0 : n€ IC } ... Tôt et non tard
Cardan n’a jamais dit ca
Formules 25:00
30:40
Explique mais parle lentement
Il suffit d'ajuster la vitesse de lecture !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Y parle pas vite
6 minutes vaines a la fin !
Pas pour moi. J'aime bien savoir à quoi servent les choses. J'ai du mal à accepter de faire quelque chose juste parce qu'on me le dit. J'ai besoin de donner du sens et une raison.
@@phikikilltout2815... Tiens quelqu'un qui aime les mathématiques et qui a une conscience ...! C'est rassurant, Merci.
Fnn de le faire parvenir o de le temps que o le plus o le plus xb de santé publique art et culture et le prix du billet depuis de longues années le plus rapidement que possible que je suis disponible immédiatement et plus récemment de le prendre le plus rapidement que celui du retard i le temps de le temps que je ne suis disponible pour un petit mot le prix est fermé le lundi matin le plus xb la en fin en
Mais quel lassant personnage répétitif...
La racine carrée d'un nombre négatif et en particulier de -1 n'existe pas. Ce serait bien de le dire et d'expliquer pourquoi. Je rappelle que racine(a) est le nombre positif qui a pour carré a. Cela suppose bien-sûr a positif. x^2=a a en effet 2 solutions, 1 positive notée racine (a) et 1 négative -racine(a). Par contre racine (-1) entraine des contradictions. En effet si racine (-1) x racine (-1)=-1 est correct on a aussi racine (-1) x racine (-1)=racine (-1 x -1) = racine (1) = 1 d'après une propriété des racines carrées. Autre façon de voir le problème : si i est racine de x^2=-1, -i est aussi solution. Laquelle a le droit à la notation racine(-1), impossible à dire car on perd quelque chose d'important dans l'ensemble des nombres complexes : la relation d'ordre !
Par ailleurs je trouve que le tutoiement dans le cadre d'une vidéo pédagogique est assez mal venu.
Merci
La racine carrée d'un nombre négatif et en particulier de -1 n'existe pas. Ce serait bien de le dire et d'expliquer pourquoi. Je rappelle que racine(a) est le nombre positif qui a pour carré a. Cela suppose bien-sûr a positif. x^2=a a en effet 2 solutions, 1 positive notée racine (a) et 1 négative -racine(a). Par contre racine (-1) entraine des contradictions. En effet si racine (-1) x racine (-1)=-1 est correct on a aussi racine (-1) x racine (-1)=racine (-1 x -1) = racine (1) = 1 d'après une propriété des racines carrées. Autre façon de voir le problème : si i est racine de x^2=-1, -i est aussi solution. Laquelle a le droit à la notation racine(-1), impossible à dire car on perd quelque chose d'important dans l'ensemble des nombres complexes : la relation d'ordre !
Par ailleurs je trouve que le tutoiement dans le cadre d'une vidéo pédagogique est assez mal venu.
Bon jour.
Je ne vais pas débattre sur les maths, mais sur le tutoiement.
En toute modestie, il me semble que nous tutoyons les enfants que nous respectons en réalité bien plus que ceux ou celles que nous vouvoyons.
Pourquoi être gêné par l'utilisation de la seconde personne du singulier si ce n'est un égo peut être trop important en notre être.
Avec tout mon respect, je ( vous/te) demande d'y réfléchir.
Que la sagesse la paix et l'amour illuminent le quotidien
merci
Merci