Bonjour, en calculant (AB)^2 on remarque que c'est égale à AB + 2 I ensuite on multiplie par B à gauche et par A à droite dans l'égalité ce qui fait apparaître un polynôme annulateur de BA qui est scindé et à racines simples d'où le fait que BA est diagonalisable.
Oui parfait ! On peut même observer que C = AB + I est une matrice qu’avec des 1 donc de rang 1 (dim(Ker(C))=2) avec la somme des lignes toutes égales à 3. Ce qui signifie que C est diagonalisable avec X(X-3) comme polynôme annulateur et donc AB est annulé par (X+1)(X-2) = Xˆ2 - X - 2. Cela permet de retrouver ce que vous aviez remarqué sur (AB)ˆ2 sans avoir à le calculer. Moralité : Si on cherche à calculer les v.p. ou à diagonaliser une matrice A, ne pas hésiter à faire ce travail sur la matrice A + aI si c’est plus simple car les v.p. seront juste décalés (et les espaces propres aussi) PS: Toutefois la méthode présentée dans la vidéo apporte énormément de renseignements et est donc très utile pédagogiquement.
@@Vincent1971Tlse Si si c’est complètement vrai tu peux vérifier si tu ne me crois pas. De plus ton argument n’a aucun sens, avoir deux matrices différentes peuvent complètement avoir meme polynome caractéristique, semblable ne veut pas dire égal..
Vous êtes très fort et je trouve l'explication sublime !
Très bien d'amener la réflexion en suivant des pistes, en relevant les subtilités !
Très très bel exo. Merci 🙏🏻
Bonjour, en calculant (AB)^2 on remarque que c'est égale à AB + 2 I ensuite on multiplie par B à gauche et par A à droite dans l'égalité ce qui fait apparaître un polynôme annulateur de BA qui est scindé et à racines simples d'où le fait que BA est diagonalisable.
Oui parfait !
On peut même observer que C = AB + I est une matrice qu’avec des 1 donc de rang 1 (dim(Ker(C))=2) avec la somme des lignes toutes égales à 3. Ce qui signifie que C est diagonalisable avec X(X-3) comme polynôme annulateur et donc AB est annulé par (X+1)(X-2) = Xˆ2 - X - 2. Cela permet de retrouver ce que vous aviez remarqué sur (AB)ˆ2 sans avoir à le calculer.
Moralité : Si on cherche à calculer les v.p. ou à diagonaliser une matrice A, ne pas hésiter à faire ce travail sur la matrice A + aI si c’est plus simple car les v.p. seront juste décalés (et les espaces propres aussi)
PS: Toutefois la méthode présentée dans la vidéo apporte énormément de renseignements et est donc très utile pédagogiquement.
Sinon on utilise juste le fait que AB est toujours semblable à BA et donc ont le même polynôme caractéristique..
@@smokegaming8112 Non ça c’est pas vrai. Car il y a des matrices où AB=0 et BA0.
@@Vincent1971Tlse Si si c’est complètement vrai tu peux vérifier si tu ne me crois pas. De plus ton argument n’a aucun sens, avoir deux matrices différentes peuvent complètement avoir meme polynome caractéristique, semblable ne veut pas dire égal..
Pourquoi u4 est une valeur propre différente des Bui ?
Pcq 0 est la valeur propre associée à u4 alors que toutes les valeurs propres associées aux B_ui sont non nulles...