Interessante... nonostante alcune mancanze come il fatto di non citare l'importante precisazione sulla differenza tra coerenza e correttezza e il non aver ALMENO citato la tecnica di godelizzazione, che in fin dei conti rappresenta un punto fondamentale della dimostrazione del teorema di incompletezza.
ciao! vorrei chiederti una cosa. sai che differenza c'è tra i teoremi di incompletezza di goedel e il teorema di tarski di indefinibilita della verita? mi sapresti illuminare in merito? grazie
Argomento molto interessante! Devo dire che mi hanno sempre turbato i teoremi di G.pur conoscendoli solo marginalmente. Questo per varie ragioni, ma in particolare per una che proverò ad esporti qui. In sostanza mi chiedo, visto che la Matematica si occupa anche di oggetti astratti che non hanno nulla a che vedere con l'universo o la Natura, i teoremi indecidibili ricadono solo all'interno di questa categoria (riguardano solamente oggetti senza riscontro in Natura)? Perché se così non fosse saremmo al punto di dover ammettere che la Matematica non è lo strumento corretto per descrivere e conoscere la Natura. Probabilmente ad oggi è il migliore che abbiamo, ma non potremmo mai descrivere completamente l'Universo tramite la Matematica. Spero di non aver detto una stupidaggine, ma mi piacerebbe avere un tuo parere ;-)
purtroppo non sapremmo mai se i nostri modelli sono fedeli alla realtà o solo approssimativi. Io direi che è l'unico strumento che abbiamo e purtroppo non possiamo farci assolutamente nulla!
Ma ti chiedo, per quanto ne sappiamo oggi i T. di G. sono applicabili anche a modelli che descrivono oggetti reali? Oppure questi teoremi coinvolgono solamente oggetti astratti? Perché, e torno sul punto iniziale, se così fosse avremmo già la risposta del fatto che la Matematica non è sufficiente per descrivere in maniera completa la Natura. E' questo che mi premerebbe capire...
Denis Costalunga i teoremi di godel si applicano solo alla pura e astratta logica. e la Matematica é figlia della logica (é una costruzione logica basata sui soliti operatori logici &&, ||, ecc, e dunque sulle dimostrazioni per assurdo vah); la tua questione é piu complessa: la Matematica é il nostro unico modo di descrivere la realtà? io adoro come la.pensa popper: comunque la realtà non é descrivibile in totale (piú conosci piú sconosci) quindi la Matematica é, per quanto imperfetta come base per i modelli, una tra le migliori tra le imperfette. I teoremi logici si controllano persino al computer e sono validi sempre, quindi.. li reputo un po' "aria fritta".
bel video ma non ho capito una ceppa lecca. Se io "sposto" un teorema matematico da un sistema incompleto ad un altro completo che appartiene sempre alla matematica visto che come hai detto tu questi sistemi completi e coerenti all'interno della matematica ci sono, potrei anche avere la speranza di trovare la dimostrazione o no? in fondo si tratterebbe di formulare un teorema, nel nuovo sistema, equivalente a quello originale, o non è sempre possibile? e in questo caso cosa lo vieta?
L'Aritm. di Peano, mi sembra di ricordare, non descrive solo i Num. Naturali come insieme privo di struttura, ma tiene anche conto delle sue principali operazioni (somma, moltiplicaz.) assiomatizzandole. Da Platone si tendeva a pensare che il mondo reale fosse imperfetto, ma non quello ideale, ma poi coi teor. di G. si è visto che anche il mondo ideale (la matematica assiomatizzata qui), non è completo e coerente (o meglio non si è in grado di dimostrarli....) nella sua base, insomma un po' una delusione(senza un po')!! Però d'altro canto, il lato positivo della questione possiamo dire, ciò prova che la matematica è un processo creativo, insomma la disciplina è tutt'altro che meccanica.
sisi, le assiomatizza e gli assiomi sono così generali che N li soddisfa ma non necessariamente gli assiomi individuano solo N. Ci sono altri modelli che soddisfano Peano. Comunque si, è un'amara realtà che però aumenta ancora di più il mistero della potenzialità del pensiero umano (a mio avviso XD)
Sì una volta ho provato a gettar occhio su una struttura di N non standard, ma non solo non è intuitiva ma non è proprio facile da capire se non ci dedica tempo a sufficienza, quindi sì esistono anche delle " costruzioni esplicite", non solo dimostrazioni di esistenza, ma non sono mai andato veramente a fondo alla questione.
Se tu li usassi per una tua dimostrazione, la tua rimarrà solo una congettura ma non ha valenza dimostrativa, è come dire, ad esempio: "se la congettura di Goldbach fosse vera allora..." quindi si prende per ipotesi che la congettura sia vera e quindi non sai se la tua ipotesi è verificata o meno di conseguenza se si volesse utilizzare il tuo risultato per un'altra dimostrazione rimarebbe l'ipotesi che si prende per vera la congettura e così via, non sarebbe vera come gli altri teoremi che non la utilizzano. Puoi utilizzarla come Ipotesi di una dimostrazione ma anch'essa rimarebe una congettura e non un teorema dimostrato e valente
Bellissima serie. Aspetto altri video! 👌
Comandi XD
Bellissimi questi video, e bellissima la musica che utilizzi come sottofondo. 👍👍👍
ti ringrazio!
Interessante... nonostante alcune mancanze come il fatto di non citare l'importante precisazione sulla differenza tra coerenza e correttezza e il non aver ALMENO citato la tecnica di godelizzazione, che in fin dei conti rappresenta un punto fondamentale della dimostrazione del teorema di incompletezza.
Complimenti! Ottima spiegazione, anche per un profano in materia!
molto complicato per le mie misere conoscenze ma ora so grazie a te cosa ha fatto questo Godel, di cui tanto sento parlare ...
ciao! vorrei chiederti una cosa. sai che differenza c'è tra i teoremi di incompletezza di goedel e il teorema di tarski di indefinibilita della verita? mi sapresti illuminare in merito? grazie
Argomento molto interessante!
Devo dire che mi hanno sempre turbato i teoremi di G.pur conoscendoli solo marginalmente.
Questo per varie ragioni, ma in particolare per una che proverò ad esporti qui.
In sostanza mi chiedo, visto che la Matematica si occupa anche di oggetti astratti che non hanno nulla a che vedere con l'universo o la Natura, i teoremi indecidibili ricadono solo all'interno di questa categoria (riguardano solamente oggetti senza riscontro in Natura)?
Perché se così non fosse saremmo al punto di dover ammettere che la Matematica non è lo strumento corretto per descrivere e conoscere la Natura.
Probabilmente ad oggi è il migliore che abbiamo, ma non potremmo mai descrivere completamente l'Universo tramite la Matematica.
Spero di non aver detto una stupidaggine, ma mi piacerebbe avere un tuo parere ;-)
purtroppo non sapremmo mai se i nostri modelli sono fedeli alla realtà o solo approssimativi. Io direi che è l'unico strumento che abbiamo e purtroppo non possiamo farci assolutamente nulla!
Ma ti chiedo, per quanto ne sappiamo oggi i T. di G. sono applicabili anche a modelli che descrivono oggetti reali?
Oppure questi teoremi coinvolgono solamente oggetti astratti?
Perché, e torno sul punto iniziale, se così fosse avremmo già la risposta del fatto che la Matematica non è sufficiente per descrivere in maniera completa la Natura.
E' questo che mi premerebbe capire...
Denis Costalunga i teoremi di godel si applicano solo alla pura e astratta logica. e la Matematica é figlia della logica (é una costruzione logica basata sui soliti operatori logici &&, ||, ecc, e dunque sulle dimostrazioni per assurdo vah);
la tua questione é piu complessa: la Matematica é il nostro unico modo di descrivere la realtà? io adoro come la.pensa popper: comunque la realtà non é descrivibile in totale (piú conosci piú sconosci) quindi la Matematica é, per quanto imperfetta come base per i modelli, una tra le migliori tra le imperfette. I teoremi logici si controllano persino al computer e sono validi sempre, quindi.. li reputo un po' "aria fritta".
Che pace!
bel video ma non ho capito una ceppa lecca. Se io "sposto" un teorema matematico da un sistema incompleto ad un altro completo che appartiene sempre alla matematica visto che come hai detto tu questi sistemi completi e coerenti all'interno della matematica ci sono, potrei anche avere la speranza di trovare la dimostrazione o no? in fondo si tratterebbe di formulare un teorema, nel nuovo sistema, equivalente a quello originale, o non è sempre possibile? e in questo caso cosa lo vieta?
L'Aritm. di Peano, mi sembra di ricordare, non descrive solo i Num. Naturali come insieme privo di struttura, ma tiene anche conto delle sue principali operazioni (somma, moltiplicaz.) assiomatizzandole. Da Platone si tendeva a pensare che il mondo reale fosse imperfetto, ma non quello ideale, ma poi coi teor. di G. si è visto che anche il mondo ideale (la matematica assiomatizzata qui), non è completo e coerente (o meglio non si è in grado di dimostrarli....) nella sua base, insomma un po' una delusione(senza un po')!! Però d'altro canto, il lato positivo della questione possiamo dire, ciò prova che la matematica è un processo creativo, insomma la disciplina è tutt'altro che meccanica.
sisi, le assiomatizza e gli assiomi sono così generali che N li soddisfa ma non necessariamente gli assiomi individuano solo N. Ci sono altri modelli che soddisfano Peano. Comunque si, è un'amara realtà che però aumenta ancora di più il mistero della potenzialità del pensiero umano (a mio avviso XD)
Sì una volta
ho provato a gettar occhio su una struttura di N non standard, ma non solo non
è intuitiva ma non è proprio facile da capire se non ci dedica tempo a
sufficienza, quindi sì esistono anche delle " costruzioni
esplicite", non solo dimostrazioni di
esistenza, ma non sono mai andato veramente a fondo alla questione.
DAvid Hilbert, si legge "A", non "e", era tedesco, non inglese...
ma vengono usati i teoremi non dimostrabili?
Se tu li usassi per una tua dimostrazione, la tua rimarrà solo una congettura ma non ha valenza dimostrativa, è come dire, ad esempio: "se la congettura di Goldbach fosse vera allora..." quindi si prende per ipotesi che la congettura sia vera e quindi non sai se la tua ipotesi è verificata o meno di conseguenza se si volesse utilizzare il tuo risultato per un'altra dimostrazione rimarebbe l'ipotesi che si prende per vera la congettura e così via, non sarebbe vera come gli altri teoremi che non la utilizzano. Puoi utilizzarla come Ipotesi di una dimostrazione ma anch'essa rimarebe una congettura e non un teorema dimostrato e valente
secondo me è un bene l'incompletezza di Godel, a cosa ci servirebbe arrivare alla completezza di ogni cosa? Sarebbe un inferno.
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