f(x)=lnx-px-q라 하자. (i) pinf 일때 f(x) -> inf x->0+일때 f(x) -> -inf f’(x)= 1/x-p이므로 x>0 => f’(x)>0 이므로 구간(0,inf)에서 f(x)는 증가한다. 따라서, 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가진다. (ii) p=0 일때 함수 y=lnx의 치역은 실수 전체의 집합이므로 q값에 상관없이 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가진다. (iii) p>0 일때, f’(x)=1/x-p 00 x>1/p => f’(x)0+ 일때, f(x) -> -inf x->inf 일때, f(x)-> -inf …(*) 이므로 f(x)는 x=1/p에서 극대이자 최댓값을 가진다. 따라서, 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가지지 않기 위해서는 f(1/p) 1/e^(1+q)이다. 미천한 실력이지만 재밌게 풀고갑니다.
저는 구해주신 두 함수가 접할 때의 직선의 방정식 y-lnt = 1/t(x-t) 에서 이 경우보다 기울기(p)가 크면 된다는 생각 전에 q로 먼저 생각했습니다. 엄밀한 증명은 모르겠지만 그래프 상 직관적으로 '접할 때의 q값보다 q가 크다면 둘은 만나지 않는다' 라고 판단했고 y-lnt = 1/t(x-t) --> y = (1/t)x+(lnt-1) 에서의 y절편이 q값이므로 q > lnt-1 . 한편, p=1/t 이므로 q > -ln(p)-1 이다. 로 풀었습니다. 저는 처음에 풀이보고 틀린 줄 알았는데 저걸 정리하면 p > 1/e^(1+q)가 돼서 둘이 동치일거라 파악했습니다. 이게 맞다면, 'ln(x)와 임의의 일차함수가 만나지 않는다면 접했을 때 일차함수보다 기울기가 크거나, y절편이 크고 이 둘은 같은 조건이다.' 하고 정리해볼 수 있을 것 같습니다. 이건 개인적인 의견인데 px+q에 대해서 p,q를 가지고 놀아야 할 때, 같은 결과가 나오더라도 영상 속 풀이처럼 p 위주로 보는게 더 좋다 혹은 자유?롭다고 생각합니다. 왜냐면 p는 방향, q는 높이에 관여하기에 p는 360도 전방향을 고려할 수 있는 변수인 반면, q는 x,y축 양방향만 결정하기 때문입니다. 특정 이차함수와 임의의 일차함수가 만난다 (혹은 만나지 않는다)는 경우에도 선생님 풀이 그대로 풀면 될 것 같아보여서 해보다가 뭔가 오래걸리고 이상해서 찾아봤더니 원,이차함수와 일차함수의 위치 관계는 연립해서 이차방정식 판별식 쓰는게 정석이었네요.. 오류가 있거나 조언해주실게 있다면 알려주시길 부탁드립니다. 좋은 풀이 감사합니다.
@@poiecis 조금 쓸데없는 짓(?)으로 비춰질 순 있지만 이 영상 이후 저는 한동안 lnx와 ax+b (a0 , a≠0) lnx-ax=b ⭢ lnx - ln(e^(ax))=b ⭢ ln(x·e^(-ax))=b ⭢ x·e^(-ax)=e^b ⭢ -ax·e^(-ax)=-a·e^b 이때, 함수 f(x)에 대하여 g(x)=f(x)·e^f(x)라 하자. W(g(x))=W(f(x)·e^f(x))=f(x)이다. < 단, W는 람베르트 W 함수 > < * y=xe^x의 역함수를 W(x)라 하며 정의에 의거, x=W(x)·e^W(x) 또한 성립 > 이를 활용해 이어서 정리하면 ⭢ W( -ax·e^(-ax))= -ax =W(-a·e^b) ⭢ " x = W(-a·e^b)/(-a) " 가 된다. 1) a0 , -a·e^b>0이다. 한편, W(x)의 그래프를 찾아보면 0보다 큰 k에 대해 단 하나의 양수인 W(k) 값이 존재하므로 lnx와 ax+b (a0도 분석할 수 있지만 a>0 일 때 -a·e^b0 일 때, i) b > ln(1/(ea)) ⭢ lnx와 ax+b는 만나지 않음. ii) b < ln(1/(ea)) ⭢ lnx와 ax+b는 2개의 교점을 갖는다. iii) b = ln(1/(ea)) 일 때 ⭢ lnx와 ax+b는 한 점에서 만난다(접한다) 가 됩니다. 영상 속 문제의 요구사항은 (i)이고 b > ln(1/(ea))에서 a를 p, b를 q로 바꾸면 q > ln(1/(ep))이며 정리하면 p > 1/e^(1+q)가 되는 것을 알 수 있습니다. 즉, 선생님의 풀이가 참인걸 다시금 확인할 수 있습니다. * 관련 내용은 인터넷이나 계산기 등에 잘 나와있습니다. + 입시 대비를 위해 이 문제를 공부하실 땐 지엽적일 수 있습니다. 감사합니다
![미적분 최상위권을 위한 삼각방정식 [교토대]](http://i.ytimg.com/vi/g4s9g3a0pzY/mqdefault.jpg)
![미적분 최상위권을 위한 삼각방정식 [교토대]](/img/tr.png)
f(x)=lnx-px-q라 하자.
(i) pinf 일때 f(x) -> inf
x->0+일때 f(x) -> -inf
f’(x)= 1/x-p이므로
x>0 => f’(x)>0 이므로
구간(0,inf)에서 f(x)는 증가한다.
따라서, 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가진다.
(ii) p=0 일때
함수 y=lnx의 치역은 실수 전체의 집합이므로 q값에 상관없이 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가진다.
(iii) p>0 일때,
f’(x)=1/x-p
00
x>1/p => f’(x)0+ 일때, f(x) -> -inf
x->inf 일때, f(x)-> -inf …(*) 이므로
f(x)는 x=1/p에서 극대이자 최댓값을 가진다.
따라서, 직선 y=px+q와 곡선 y=lnx가 교점을 가지지 않기 위해서는
f(1/p) 1/e^(1+q)이다.
미천한 실력이지만 재밌게 풀고갑니다.
(참조)
(*)의 증명
ln(x)-px-q= (px-q){lnx/(px+q)-1)에서
x->inf 일때, {lnx/(px+q)-1)-> -1 …(**)
x->inf 일때, (px+q)-> inf (∵p>0) 이므로
x->inf 일때, ln(x)-px-q -> -inf 증명끝
(**)의 증명
1. 로피탈의 정리를 배웠다면 로피탈의 정리로 보이면 됩니다.
2. 로피탈의 정리를 배우지 않는다면 다음의 증명과정을 보여주면 됩니다.
g(x)=sqrt(x)-lnx라 하자.
g’(x)={x-2sqrt(x)}/2xsqrt(x)
x>4 => g’(x)>0 이므로
x>4인 x에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.
0
저는 구해주신 두 함수가 접할 때의 직선의 방정식 y-lnt = 1/t(x-t) 에서 이 경우보다 기울기(p)가 크면 된다는 생각 전에 q로 먼저 생각했습니다. 엄밀한 증명은 모르겠지만 그래프 상 직관적으로 '접할 때의 q값보다 q가 크다면 둘은 만나지 않는다' 라고 판단했고 y-lnt = 1/t(x-t) --> y = (1/t)x+(lnt-1) 에서의 y절편이 q값이므로 q > lnt-1 . 한편, p=1/t 이므로 q > -ln(p)-1 이다. 로 풀었습니다. 저는 처음에 풀이보고 틀린 줄 알았는데 저걸 정리하면 p > 1/e^(1+q)가 돼서 둘이 동치일거라 파악했습니다. 이게 맞다면, 'ln(x)와 임의의 일차함수가 만나지 않는다면 접했을 때 일차함수보다 기울기가 크거나, y절편이 크고 이 둘은 같은 조건이다.' 하고 정리해볼 수 있을 것 같습니다.
이건 개인적인 의견인데 px+q에 대해서 p,q를 가지고 놀아야 할 때, 같은 결과가 나오더라도 영상 속 풀이처럼 p 위주로 보는게 더 좋다 혹은 자유?롭다고 생각합니다. 왜냐면 p는 방향, q는 높이에 관여하기에 p는 360도 전방향을 고려할 수 있는 변수인 반면, q는 x,y축 양방향만 결정하기 때문입니다.
특정 이차함수와 임의의 일차함수가 만난다 (혹은 만나지 않는다)는 경우에도 선생님 풀이 그대로 풀면 될 것 같아보여서 해보다가 뭔가 오래걸리고 이상해서 찾아봤더니 원,이차함수와 일차함수의 위치 관계는 연립해서 이차방정식 판별식 쓰는게 정석이었네요..
오류가 있거나 조언해주실게 있다면 알려주시길 부탁드립니다. 좋은 풀이 감사합니다.
저는 취향차이로 보이긴 하는데, ln(p)를 상정하기 위해 p가 양수여야 한다는 것을 밝히긴 해야할 것 같아요!
@@poiecis 조금 쓸데없는 짓(?)으로 비춰질 순 있지만 이 영상 이후 저는 한동안 lnx와 ax+b (a0 , a≠0)
lnx-ax=b ⭢ lnx - ln(e^(ax))=b ⭢ ln(x·e^(-ax))=b ⭢ x·e^(-ax)=e^b ⭢ -ax·e^(-ax)=-a·e^b
이때, 함수 f(x)에 대하여 g(x)=f(x)·e^f(x)라 하자. W(g(x))=W(f(x)·e^f(x))=f(x)이다. < 단, W는 람베르트 W 함수 >
< * y=xe^x의 역함수를 W(x)라 하며 정의에 의거, x=W(x)·e^W(x) 또한 성립 >
이를 활용해 이어서 정리하면 ⭢ W( -ax·e^(-ax))= -ax =W(-a·e^b) ⭢ " x = W(-a·e^b)/(-a) " 가 된다.
1) a0 , -a·e^b>0이다. 한편, W(x)의 그래프를 찾아보면 0보다 큰 k에 대해 단 하나의 양수인 W(k) 값이 존재하므로 lnx와 ax+b (a0도 분석할 수 있지만 a>0 일 때 -a·e^b0 일 때, i) b > ln(1/(ea)) ⭢ lnx와 ax+b는 만나지 않음. ii) b < ln(1/(ea)) ⭢ lnx와 ax+b는 2개의 교점을 갖는다. iii) b = ln(1/(ea)) 일 때 ⭢ lnx와 ax+b는 한 점에서 만난다(접한다) 가 됩니다.
영상 속 문제의 요구사항은 (i)이고 b > ln(1/(ea))에서 a를 p, b를 q로 바꾸면 q > ln(1/(ep))이며 정리하면 p > 1/e^(1+q)가 되는 것을 알 수 있습니다.
즉, 선생님의 풀이가 참인걸 다시금 확인할 수 있습니다.
* 관련 내용은 인터넷이나 계산기 등에 잘 나와있습니다. + 입시 대비를 위해 이 문제를 공부하실 땐 지엽적일 수 있습니다. 감사합니다