저도 몰랐던 건데 수렴하는 수열은 코시 수열이 맞지만 코시 수열이 항상 수렴하는 건 아니더라구요. 왜냐면 코시 수열이 수렴한다는 걸 증명할 때 볼차노-바이어슈트라스 정리를 썼을텐데 그게 유계인 실수열에 대한 정리이기 때문입니다. 그래서 코시 수열이 수렴한다는 정리는 실수 집합의 아주 좋은 성질 중 한 개로 보입니다.
안녕하세요 선생님, 예제 7.3에서 마지막 부분에 1/2 > e(엡실론) 이기때문에 코시수열이 아니여서 발산한다고 했는데 1/2 > e 인 이유가 명확히 와닿지 않아서 그런데 왜 그런것인지 짧게 설명해주실 수 있을까요? 아르키메데스 성질때문인가요? 다른 급수에도 이 방법을 사용하려고 하는데 모든 급수에 이 방법을 사용해도 괜찮은지도 궁금합니다. 한번 시도해봤는데 e 부분에서 막히더라고요 ㅠ..
네, 아르키메데스 성질 때문이라고 생각하셔도 좋습니다. 또는, 수열의 수렴 정의와 코시수열의 정의에서 "임의의 양수 입실론(e)"에 대해서 성립한다는 의미는 상대방의 계속 작은, 더 작은, 더더 작은 e를 가져와서 절대값 기호 안의 값이 e보다 작냐고 따질 때, 그렇다!고 답을 해 줘야 함을 의미합니다. 따라서, 절대값이 0이 아닌 값이 된다면 수렴하지 않는다는 의미이고, 코시수열이 아니라는 의미이기도 합니다. 따라서, 1/2 이 아니라 1/100000000000 인 경우에도 상대방이 이 값 보다 더 작은 e값을 제시할 수 있으므로 수렴한다고 말할 수 없게 됩니다. 답이 되었기를 바래봅니다.
![[해석학] 7.1 무한급수 (Part3. 급수의 선형성, 비교판정법)](http://i.ytimg.com/vi/veIDcbL7tJ8/mqdefault.jpg)
![[해석학] 7.1 무한급수 (Part3. 급수의 선형성, 비교판정법)](/img/tr.png)
2:30 a_n = S_n - S_{n-1}이 성립하기 위한 아주 중요한 조건으로 n>=2가 있습니다.
저도 몰랐던 건데 수렴하는 수열은 코시 수열이 맞지만 코시 수열이 항상 수렴하는 건 아니더라구요. 왜냐면 코시 수열이 수렴한다는 걸 증명할 때 볼차노-바이어슈트라스 정리를 썼을텐데 그게 유계인 실수열에 대한 정리이기 때문입니다. 그래서 코시 수열이 수렴한다는 정리는 실수 집합의 아주 좋은 성질 중 한 개로 보입니다.
코시 수열이 수렴하는 다른 집합은 힐베르트 공간 같은 게 있다고 해요
안녕하세요 선생님, 예제 7.3에서 마지막 부분에 1/2 > e(엡실론) 이기때문에 코시수열이 아니여서 발산한다고 했는데 1/2 > e 인 이유가 명확히 와닿지 않아서 그런데 왜 그런것인지 짧게 설명해주실 수 있을까요? 아르키메데스 성질때문인가요? 다른 급수에도 이 방법을 사용하려고 하는데 모든 급수에 이 방법을 사용해도 괜찮은지도 궁금합니다. 한번 시도해봤는데 e 부분에서 막히더라고요 ㅠ..
네, 아르키메데스 성질 때문이라고 생각하셔도 좋습니다. 또는, 수열의 수렴 정의와 코시수열의 정의에서 "임의의 양수 입실론(e)"에 대해서 성립한다는 의미는 상대방의 계속 작은, 더 작은, 더더 작은 e를 가져와서 절대값 기호 안의 값이 e보다 작냐고 따질 때, 그렇다!고 답을 해 줘야 함을 의미합니다. 따라서, 절대값이 0이 아닌 값이 된다면 수렴하지 않는다는 의미이고, 코시수열이 아니라는 의미이기도 합니다. 따라서, 1/2 이 아니라 1/100000000000 인 경우에도 상대방이 이 값 보다 더 작은 e값을 제시할 수 있으므로 수렴한다고 말할 수 없게 됩니다. 답이 되었기를 바래봅니다.
@@던컨쌤 답변감사합니다!