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何となく色々な数ができていった流れに似てるなと感じる。自然数→最初は足し算だけ整数→引き算を導入(負の数が入る)有理数→割り算と掛け算を導入無理数→解がある二次方程式や指数対数の考えを導入虚数→本来は解の決まらない二次方程式を答えが求まる形で導入
最高です。
指数法則をより厳密的に教えてくれたのでめちゃくちゃ分かりやすかったです！
16:18本題
指数法則は結局の、ところ加法と乗法の等値性で(いうなれば群準同型)、むしろその統一性と連続性の下に関数を拡大していくという考え方ですね。その哲理の上に複素関数への拡張もあるのでしょうね。とはいえオイラー以前の近代的良心の上に理解するべき高校数学と初学者にとっては、この辺りはやはり戻ってきて学ぶようにしないと恐らくむしろこんがらがるのかもしれませんね、歴史と理解の順当性というものでしょうか。必ずしも論理的に体系化されたものから学ぶことは良いとは限らない好例かもしれませんね。
オイラーの定数を実数のカテゴリに入れようとして証明されてないからやっぱ止めようと言って視聴者の知的好奇心を刺激してくるスタイル
実数ではあるけど、有理数かどうかが証明されていないので、有理数の外に書くことをやめた、と言うことですね！
5:27｢郷に入れば郷に従え｣って言葉がぴったり
2の0乗の説明がめちゃくちゃ分かりやすかったです！！
文系出身で高校数学から勉強やり直している私には、とても有難い動画です。
頑張れ！
かっこいいよ！理系出身の俺もやり直してる
同じく・・・入試に数学ないとこ選んだ。今更、別に何かに役たてようととか関係なく、何となく好奇心やけで勉強しとる。はっきり言うと最初、何かたどたどしいなーと思うたけど、素人にもわかりやすいアルゴリズムをふんだ補足説明あるし、凄い良い動画ですよね。
その誠実さを高校生に教えたってくれ
面白い授業をありがとうございます。数学の法則というと、演繹によって論理必然に「発見するものである」と思ってきましたが、指数法則と「整合させるためにそうすることにする」というところが新鮮でした。でもこれも、「指数法則からするとこうなるよね」っていうふうに理解していいのでしょうか？
2の愛情
愛情は大学入らないと学べないのか
中学生です。気になっていたけど聞けなかったのでとても参考になります！
A very very meaningful explanation which I think is more important than computation.
数列[an]=2^1, 2^1.4, 2^1.41,・・・が単調増加列で上に有界(an
最終的に、ネイピア数の指数乗を、多項式の極限で定義するという暴力的手段ですべて解決してしまうと言うね(実数乗、複素数乗、行列乗……)
この動画とは関係ないのですが、取り上げてほしい題材があります。数学の掛谷問題です。どんな切り口角度でも結構ですので是非ともよろしくお願いします
2の1/2乗で2を半分点線にするの好き
分からない人はここだけ面白い、分かる人はここ以外も面白い
は…8の2分の1乗は3…（右半分）
いよいよ次はi乗だ。その次はハミルトン数乗（jやk単独の場合iと同じになりそうなので2個以上が混在してる場合）かな。
実際ハミルトン乗はどうなりますかね？
めちゃくちゃわかりやすいです！ありがとうございます⭐︎
先の動画の流れとして 2.5 < 2^Sqrt[2]を示してみます． 5^5 = 25 * 125 < 32 * 128 = 2^12，49/25 < 2により 2.5 = 5/2 = (5^5)^(1/5) / 2 < (2^12)^(1/5) / 2 = 2^(7/5) < 2^Sqrt[2]．
このアディダスのジャージかっこええ
7:38の２の０乗＝１の意味が、２回繰り返して観てやっとわかった。いい説明だなあと思いました。
分かり易かったです
ここまではわかりました。虚数乗についてもどのように定義するか教えてほしい。
例えば2^iなら底をeに変えるとe^Log(2^i)=e^(i*log2)になりますオイラーの公式よりこの値はcos(log2)+isin(log2)です
クロネッカー「自然数は神が作った、他の数は人間が作った」
神 : 作ってねーよ、あの野郎が勝手に言った
神は人間が作った
@@みーちゃん裏垢 利根川がいうと説得力が違うな～
指数の2分の1乗とか知らず知らず暗記で使ってたけど、この解説聞けて良かった！指数法則から導き出されるものだったんだな！
指数(x^y)は、1にxをy回掛けるって考えてました。
指数関数をどう定義するかは結構面白いところですよね。杉浦本だとベキ級数展開を定義として採用していたような
わかりやすい
素晴らしい魔法な世界それは数学🎉🎉
指数は自然数から無理数へと拡張できるからな。
０乗や０！だったり虚数などイメージできない表現も数学で表わせたら実際あるんでしょうね。無意識に当たり前すぎてわからないのか何か深い意味がありそうですね。
深い意味があったとしても、この定義を採用したのは数学者の論戦を経ての事だから、別に真理ってわけじゃないんよ・・・。ただ単に妥当なだけな
面白い！最終的に実数の連続性の話になるんですね！
備忘録👏 【 🟢 ２^√2＝ lim[a→√2] ２ª (a∈有理数) 】
大学数学だと、2のルート2乗を極限でない方法で出せるのでしょうか？
いや、むしろ極限で出してもいいことと、それこそが指数法則を満たすようにするための最も自然な方法だということを学べる。
2の√2乗の√2乗は、2の2乗ってとこから何も求まらないわけですか？
そう！なにも求まらないのである！なぜなら外側の√2乗の意味も内側同様にわからないからである！
実際いくつになりますかね？
root(2)乗の定義がはさみうち論法で下からしか抑えていないようでもやもやする・・・。同じような論法で上から抑える方法ってないんでしょうか?
どう押さえても一意なんだってさ。✌️
2^1=22^√2=?2^(3/2)=2√22^2=4
結局最後は説明できていない
無理数が有理数より多いってのは感覚上ではそうだけど証明できるのだろうか、どっちも∞だよね
無限にもいろいろなレベルの無限があります。有理数の集合は可算集合といって、1つ、2つ、3つ…とすべての数に"番号が振れる程度にしか"ないのですが、これが無理数の集合になると、すべての数に番号を振ることができないこと(=可算集合でないこと)が数学的に証明されています。UA-camで「対角線論法」など調べるといろいろ動画がありますので、チェックしてみてください(AKITOさんが最近動画を出しています。私が昔出した動画もあります)
式変形チャンネル なるほど、興味深いですね...
@@bearoffline2887 さらに詳しく言えば、上で言う"番号"って自然数の事ね。で整数や有理数は、自然数で番号振れるけど、実数は自然数を振っていくと、全部振ったとしても実数側が余るねんな。せやけど無理数全体にはきっちり実数で番号振れるねん。番号振ることを、振られる側の数一つに対して振る側の数一つを、違う数同士で被らせずにかつ振られる側全体に定めることと捉えればルール厳しめの函数みたいやん？だからいっそ数にこだわらず集合同士で中身の対応を決めたとき、それが全域で一対一になるようなやり方が一つでも見つかれば、函数作りに関しては、同じ大きさの集合同士だとよんでいいよね・・・っていう考えかたをしたんやな。それじゃあ、片一方からは行き先被らず相手の要素を一つ指定できるけど、逆は無理って時は？もう片方に余った要素があるから、そっちを大きいと言ったら良くね？・・・となって実際自然数全体と実数全体とがそんな関係の一例である事が対角線論法などで示されて｜N｜＜｜R｜これは大きさの概念の一般化ではあるけど、比べる事に特化した一例でしかない。こういうのが面白ければ数学科行こ！
スーパーかけ算九九を思い出した
2のルート2乗とか、2をルート2回掛けるという、現実世界ではワケ分かんない数も、頭の中 (思考の世界) だから成り立つ。思考の世界は何でもありだから。
なるほど指数法則に当てはめるのが無理だから無理数か
指数だけみると、左→√2＾1.4右√2＾2
お忙しい方は、15:00 から御覧ください。
おもろいなあ
虚数は適用されますか
そういえば、よく知られた問題（だと思う）に、√(2)^(√(2)^(√(2)^...)) の極限を求めよ、というのがありますね。答えは2ですが、証明は、式変形チャンネルの視聴者の皆さんには簡単すぎる問題でしょうか。
わ か ら な い
2^√2(2のルート2乗)=2^2^1/2(2の2の2分の1乗)ってしてはいけないみたいだけど何故ですか？2^2^1/2=(2^2)^1/2=4^1/2=2 でおかしくなるっていうのはわかるが、なぜかわからない
VBJ 2^(x^2)という関数と、(2^x)^2という関数は違います。(紙に式を書いてみてください)上の指数関数は、指数の次数が2ですが、下の関数は、指数の次数が1です。つまり、2^2^(1/2)って言うのは、2^{2^(1/2)}ですが、(2^2)^(1/2)でないということですね。
「ルート2乗」とは何か？ 説明は？
虚数乗すると実数が返ってくる不思議
複素数になるとどうなるのか気になります
回転
結局、２のルート２乗はいくつになるのかやってほしかったです
正確な値は√だけでは書けないのかな？
2^1.375が2^(11/8)=√(√(√2048))開平法で有効数字三桁の手計算で2.59正しい値は2.665ですね2^(181/128)≒2^(1.4141)が同様の手計算でかなりいい値まで近似できそうなので開平法の練習したい人にオススメします。
2^(√2)はゲルフォント＝シュナイダー定数と名付けられている超越数（有理係数の代数方程式の解になりえない数）だそうです。mathworld.wolfram.com/Gelfond-SchneiderConstant.html（超越性の証明は私の理解範囲外なので「そういうもの」程度に思っています）。近似値は 2.665144142690225188650297249873139848274211313714659492835...
定理から逆に定義を決めるこれが逆数学というやつか知らんけど
つまり？きれいな数字は出てこないと
コレだから数学はヤメラレネェ
いいね。oから教えてくれる。
あんたは天才、アホの俺でも半分位は理解しました。数学の先生の殆んどが話をどんどん進めていくので一寸したことで分からなくなるので大概ついていけません。アホが理解したとき数学は大変身するかもね。ゆっくりとアホでも分かるような解説を研究していただければ幸いです。
今年の横浜市立大学で出題されましたね
2.66144
何となく色々な数ができていった流れに似てるなと感じる。
自然数→最初は足し算だけ
整数→引き算を導入(負の数が入る)
有理数→割り算と掛け算を導入
無理数→解がある二次方程式や指数対数の考えを導入
虚数→本来は解の決まらない二次方程式を答えが求まる形で導入
最高です。
指数法則をより厳密的に教えてくれたのでめちゃくちゃ分かりやすかったです！
16:18本題
指数法則は結局の、ところ加法と乗法の等値性で(いうなれば群準同型)、むしろその統一性と連続性の下に関数を拡大していくという考え方ですね。その哲理の上に複素関数への拡張もあるのでしょうね。
とはいえオイラー以前の近代的良心の上に理解するべき高校数学と初学者にとっては、この辺りはやはり戻ってきて学ぶようにしないと恐らくむしろこんがらがるのかもしれませんね、歴史と理解の順当性というものでしょうか。必ずしも論理的に体系化されたものから学ぶことは良いとは限らない好例かもしれませんね。
オイラーの定数を実数のカテゴリに入れようとして証明されてないからやっぱ止めようと言って視聴者の知的好奇心を刺激してくるスタイル
実数ではあるけど、有理数かどうかが証明されていないので、有理数の外に書くことをやめた、と言うことですね！
5:27
｢郷に入れば郷に従え｣って言葉がぴったり
2の0乗の説明がめちゃくちゃ分かりやすかったです！！
文系出身で高校数学から勉強やり直している私には、
とても有難い動画です。
頑張れ！
かっこいいよ！
理系出身の俺もやり直してる
同じく・・・入試に数学ないとこ選んだ。今更、別に何かに役たてようととか関係なく、何となく好奇心やけで勉強しとる。
はっきり言うと最初、何かたどたどしいなーと思うたけど、素人にもわかりやすいアルゴリズムをふんだ補足説明あるし、凄い良い動画ですよね。
その誠実さを高校生に教えたってくれ
面白い授業をありがとうございます。数学の法則というと、演繹によって論理必然に「発見するものである」と思ってきましたが、指数法則と「整合させるためにそうすることにする」というところが新鮮でした。でもこれも、「指数法則からするとこうなるよね」っていうふうに理解していいのでしょうか？
2の愛情
愛情は大学入らないと学べないのか
中学生です。気になっていたけど聞けなかったのでとても参考になります！
A very very meaningful explanation which I think is more important than computation.
数列[an]=2^1, 2^1.4, 2^1.41,・・・
が単調増加列で上に有界(an
最終的に、ネイピア数の指数乗を、多項式の極限で定義するという暴力的手段ですべて解決してしまうと言うね(実数乗、複素数乗、行列乗……)
この動画とは関係ないのですが、
取り上げてほしい題材があります。
数学の掛谷問題です。
どんな切り口角度でも結構ですので
是非ともよろしくお願いします
2の1/2乗で2を半分点線にするの好き
分からない人はここだけ面白い、分かる人はここ以外も面白い
は…8の2分の1乗は3…（右半分）
いよいよ次はi乗だ。
その次はハミルトン数乗（jやk単独の場合iと同じになりそうなので2個以上が混在してる場合）かな。
実際ハミルトン乗はどうなりますかね？
めちゃくちゃわかりやすいです！ありがとうございます⭐︎
先の動画の流れとして
2.5 < 2^Sqrt[2]
を示してみます．
5^5 = 25 * 125 < 32 * 128 = 2^12，49/25 < 2
により
2.5 = 5/2 = (5^5)^(1/5) / 2 < (2^12)^(1/5) / 2 = 2^(7/5) < 2^Sqrt[2]．
このアディダスのジャージかっこええ
7:38の２の０乗＝１の意味が、２回繰り返して観てやっとわかった。いい説明だなあと思いました。
分かり易かったです
ここまではわかりました。虚数乗についてもどのように定義するか教えてほしい。
例えば2^iなら底をeに変えるとe^Log(2^i)=e^(i*log2)になります
オイラーの公式よりこの値はcos(log2)+isin(log2)です
クロネッカー「自然数は神が作った、他の数は人間が作った」
神 : 作ってねーよ、あの野郎が勝手に言った
神は人間が作った
@@みーちゃん裏垢
利根川がいうと説得力が違うな～
指数の2分の1乗とか知らず知らず暗記で使ってたけど、この解説聞けて良かった！
指数法則から導き出されるものだったんだな！
指数(x^y)は、1にxをy回掛けるって考えてました。
指数関数をどう定義するかは結構面白いところですよね。杉浦本だとベキ級数展開を定義として採用していたような
わかりやすい
素晴らしい魔法な世界それは数学🎉🎉
指数は自然数から無理数へと拡張できるからな。
０乗や０！だったり虚数などイメージできない表現も数学で表わせたら実際あるんでしょうね。
無意識に当たり前すぎてわからないのか何か深い意味がありそうですね。
深い意味があったとしても、この定義を採用したのは数学者の論戦を経ての事だから、別に真理ってわけじゃないんよ・・・。
ただ単に妥当なだけな
面白い！最終的に実数の連続性の話になるんですね！
備忘録👏 【 🟢 ２^√2＝ lim[a→√2] ２ª (a∈有理数) 】
大学数学だと、2のルート2乗を極限でない方法で出せるのでしょうか？
いや、むしろ極限で出してもいいことと、それこそが指数法則を満たすようにするための最も自然な方法だということを学べる。
2の√2乗の√2乗は、2の2乗ってとこから何も求まらないわけですか？
そう！なにも求まらないのである！
なぜなら
外側の√2乗の意味も内側同様にわからないからである！
実際いくつになりますかね？
root(2)乗の定義がはさみうち論法で下からしか抑えていないようでもやもやする・・・。同じような論法で上から抑える方法ってないんでしょうか?
どう押さえても一意なんだってさ。✌️
2^1=2
2^√2=?
2^(3/2)=2√2
2^2=4
結局最後は説明できていない
無理数が有理数より多いってのは感覚上ではそうだけど証明できるのだろうか、どっちも∞だよね
無限にもいろいろなレベルの無限があります。
有理数の集合は可算集合といって、1つ、2つ、3つ…とすべての数に"番号が振れる程度にしか"ないのですが、これが無理数の集合になると、すべての数に番号を振ることができないこと(=可算集合でないこと)が数学的に証明されています。UA-camで「対角線論法」など調べるといろいろ動画がありますので、チェックしてみてください(AKITOさんが最近動画を出しています。私が昔出した動画もあります)
式変形チャンネル なるほど、興味深いですね...
@@bearoffline2887
さらに詳しく言えば、上で言う"番号"って自然数の事ね。
で整数や有理数は、自然数で番号振れるけど、実数は自然数を振っていくと、全部振ったとしても実数側が余るねんな。
せやけど無理数全体にはきっちり実数で番号振れるねん。
番号振ることを、
振られる側の数一つに対して振る側の数一つ
を、違う数同士で被らせずにかつ振られる側全体に定めることと捉えれば
ルール厳しめの函数みたいやん？
だからいっそ数にこだわらず集合同士で中身の対応を決めたとき、
それが全域で一対一になるようなやり方が一つでも見つかれば、
函数作りに関しては、同じ大きさの集合同士だとよんでいいよね・・・っていう考えかたをしたんやな。
それじゃあ、
片一方からは行き先被らず相手の要素を一つ指定できるけど、逆は無理って時は？
もう片方に余った要素があるから、そっちを大きいと言ったら良くね？
・・・となって
実際自然数全体と実数全体とが
そんな関係の一例である事が対角線論法などで示されて
｜N｜＜｜R｜
これは大きさの概念の一般化ではあるけど、比べる事に特化した一例でしかない。
こういうのが面白ければ数学科行こ！
スーパーかけ算九九を思い出した
2のルート2乗とか、2をルート2回掛けるという、現実世界ではワケ分かんない数も、
頭の中 (思考の世界) だから成り立つ。思考の世界は何でもありだから。
なるほど指数法則に当てはめるのが無理だから無理数か
指数だけみると、
左→√2＾1.4
右√2＾2
お忙しい方は、15:00 から御覧ください。
おもろいなあ
虚数は適用されますか
そういえば、よく知られた問題（だと思う）に、√(2)^(√(2)^(√(2)^...)) の極限を求めよ、というのがありますね。答えは2ですが、証明は、式変形チャンネルの視聴者の皆さんには簡単すぎる問題でしょうか。
わ か ら な い
2^√2(2のルート2乗)=2^2^1/2(2の2の2分の1乗)ってしてはいけないみたいだけど
何故ですか？
2^2^1/2=(2^2)^1/2=4^1/2=2 でおかしくなるっていうのはわかるが、なぜかわからない
VBJ
2^(x^2)という関数と、
(2^x)^2という関数は違います。
(紙に式を書いてみてください)
上の指数関数は、指数の次数が2ですが、下の関数は、指数の次数が1です。
つまり、2^2^(1/2)って言うのは、
2^{2^(1/2)}ですが、
(2^2)^(1/2)でないということですね。
「ルート2乗」とは何か？ 説明は？
虚数乗すると実数が返ってくる不思議
複素数になるとどうなるのか気になります
回転
結局、２のルート２乗はいくつになるのかやってほしかったです
正確な値は√だけでは書けないのかな？
2^1.375が2^(11/8)=√(√(√2048))
開平法で有効数字三桁の手計算で2.59
正しい値は2.665ですね
2^(181/128)≒2^(1.4141)が同様の手計算でかなりいい値まで近似できそうなので開平法の練習したい人にオススメします。
2^(√2)はゲルフォント＝シュナイダー定数と名付けられている超越数（有理係数の代数方程式の解になりえない数）だそうです。
mathworld.wolfram.com/Gelfond-SchneiderConstant.html
（超越性の証明は私の理解範囲外なので「そういうもの」程度に思っています）。
近似値は 2.665144142690225188650297249873139848274211313714659492835...
定理から逆に定義を決める
これが逆数学というやつか
知らんけど
つまり？きれいな数字は出てこないと
コレだから数学はヤメラレネェ
いいね。oから教えてくれる。
あんたは天才、アホの俺でも半分位は理解しました。
数学の先生の殆んどが話をどんどん進めていくので一寸したことで分からなくなるので
大概ついていけません。
アホが理解したとき数学は大変身するかもね。
ゆっくりとアホでも分かるような解説を研究していただければ幸いです。
今年の横浜市立大学で出題されましたね
2.66144
わかりやすい