Integralrechnung Substitution: Einfach Erklärt + Beispiel
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- Опубліковано 2 жов 2024
- Mit der Substitution kannst du Integrale transformieren, in der Hoffnung das neu entstandene Integral leichter zu lösen. Für den Einstieg gilt: Substituiere den Term, dessen erste Ableitung ein Faktor im Integranden ist. Welche anfänglichen Eselsbrücken du auch verwenden kannst, erfährst du hier direkt an einem Beispiel!
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Inhalt:
0:06 Was ist die Substitution?
0:46 Welchen Term substituieren?
1:44 Prüfungsbeispiel
7:02 Rücksubstitution
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Mit abstand die besten (Uni-) Videos für Mathe! DANKE!
beste Erklärung die ich finden konnte Danke!
Gott... nach 10 Videos endlich mal eins, bei dem man wirklich versteht was gemacht wurde...
Mein aller größten Respekt und Dank.
Du kannst extrem gut erklären. Wahnsinn.
Deine Videos wurden mir heute bei UA-cam vorgeschlagen und ich wollte nur mal kurz reinschauen. Nach nur einem Video hatte ich sogar richtig Lust auf Mathe und habe direkt ein paar Aufgaben gerechnet.
Wow das freut mich! Vielen Dank für das Kompliment! Hoffe es kriegen noch viel mehr Leute Lust auf Mathe :)
Mein Name ist Jonas und ich liebe deine Muskeln
Dead
Sus
Mathe Peter durch dich hab ich das Thema verstanden nach ewigkeiten. Du bist so ein Jesus
Mega erklärt.. Wieso hat son Typ nur sowenig Bekanntheit
ist die Daniel Jung mafia
👍👍👍👍👍👍
Für Mathe an der Uni mit Abstand der beste Tutor, den es gibt! Bitte weitermachen, dann wirst du auch bald der bekannteste !
Du bist nicht nur ein Genie in Mathe, sondern auch im Lehren und Erklären!
Danke für die vielen extrem guten Videos,
ohne dich wäre die Uni viel schwerer! ヾ(•ω•`)o
Bester Mathelehrer den ich je gesehen habe! Danke, dass es dich gibt haha.
Wow endlich jemand der mir versichert,
dass e^x und e^z und e^irgeendwad, IMMER GENAU SO VERBLEIBT.
Wahnsinn. Mercii!!
Dank dir Mathe an der Uni bestanden. Ehrenmann!
Danke für das Video! Hab mich lange nicht mehr so gefreut ne Aufgabe hinbekommen zu haben, wo mir das Video bei geholfen hatte.
Mathepeter besser als ganze uni! Mann ich hab morgen test und das hat mir soo geholfen. Ich hoffe du kriegst auch geld dafür
Absolut perfekt erklärt, habe es vom Professor und von anderen UA-cam Videos nicht verstanden, jetzt aber endlich durch dein Video DANKE :)
mit Abstand das beste Video zu dem Thema, chapeau
Ganz toll erklärt!!!! Vieeeeeeelen DANK!!!!
Ich gehe gerade nochmal alles für meine Matheklausur morgen durch und ich kann nicht oft genug danke sagen. Ich habe locker schon über 10 Mal eine Erklärung für die Substitution bekommen und es erst jetzt durch dein Video verstanden. Danke, dass du alles so gut und ausführlich erklärst 🖤
Viel Erfolg! Sag Bescheid, wie es gelaufen ist :)
Vielen vielen dank! Ich finde, dass die kleineren Mathe-UA-camr die Themen besser erklären, als die größeren (Namen muss ich denke ich nicht nennen). Dankeschön für das Video, hat mir mega weitergeholfen! :D
tolles video, cooler typ, guter Mathematiker. Weiter so!
Hammer Erklärung! Danke
Vielen Dank. Die Erklärung war echt gut und verständlich. :D
Ich liebe dich einfach.
Danke sehr! Besser erklärt als die anderen großen Mathematik-UA-camr :)
Vielen Dank für deine Arbeit und Engagement, die du für uns alle mit deinem Optimismus zur Verfügung stellst. Du hilfst uns schwierige Hindernisse und Treppen der Mathematik zu verstehen und zum nächsten Level zu kommen. Respekt und für die Zukunft bleib dabei, du machst es super!
Ein Tipp für alle, die Probleme damit haben zu entscheiden welcher Teilterm als Ableitung und welcher als "Stammfunktion" genommen werden muss:
Merkt euch "LIATE" bzw. "DETAIL" Rückwärts ohne D als Faustregel:
L - Log-Funktionen (zB. ln(x))
I - Invertierte Trigonometrische Funktionen (zB. arccos(5x))
A - Arithmetische Funktionen (zB. 4x^3)
T- Trigonometrische Funktionen (zB. sin(3x))
E - Exponentialfunktionen (zB. e^5x)
Euer Term wird aus jeweils zwei dieser fünf Dinge bestehen. Ist der Part höher im Rang so wird diese zu u(x) gesetzt und das andere zu v'(x).
Beispiel: arcsin(3x)*e^3x
arcsin ist höher gelistet und wird ergo zu u(x), derweil e^3x zu v'(x) wird.
matheguru. com/integralrechnung/partielle-integration.html
Coole Merkregel :)
Alle Fälle, die die Regel nicht abdeckt, muss man sich dann einfach nur merken.
Ich hab absolut nix verstanden
Du hilfst mir so gut durchs Studium ! VIELEN DANK ! ❤
Geil erklärt alter!
Mein mathe prof ist echt gut aber du topst alles
MathePeter du bist ein Held! Du rettest so vielen Leuten in Schule und Uni den Hintern!!! DANKE :D
endlich jemand, der es kleinschrittig und ausführlich erklärt! danke !
Der Eddingwurf am Ende ist genauso stabil wie die Erklärung!
top!
peter du bist genial, ich wünsche dir sehr viel erfolg, den harte arbeit gehört belohnt!
Wirklich unglaublich gut strukturiert/zu folgen, gerade für Leute wie mich, die Mathe ehr sprachlich auffassen müssen und mit ner Formel nichts anfangen können... vielen Dank für die Arbeit :)
Habibi du bist mein König
Sehr gut erklärt, nirgendwo sonst so verständlich
diggah du hast das Thema ja drauf. Besser kann man es einem nicht beibringen. DANKE MAN
Danke lieber Gott, bei anderen Videos hat mir das mit dem wegkürzen gefehlt und ich hab nicht gecheckt, wieso manche Zahlen einfach verschwinden
Danke für das Video! Wie mache ich das allerdings, wenn ich es mit Brüchen und Wurzeln zu tun habe?
In der Playlist zur "Integralrechnung" findest du für jeden Fall ein eigenes Video. Also zum Integrieren von Brüchen, von Wurzeln und zur Substitutionsregel. In meinem Online Kurs "Integralrechnung", den ich euch unter dem Video verlinkt habe, findest du auch noch super viele Aufgaben, in denen alles miteinander kombiniert wird.
@@MathePeter danke für die Antwort:)
Du bist klasse... jetzt hab ich's endlich verstanden :D
Richtig gutes Video, hat mir sehr geholfen. Nur ab und an etwas unheimlich, wie viel Spaß Sie an solchen Aufgaben haben ;)
beste erklärung überhaupt! mach weiter so:)
Könntest du es vllt. bitte an dem Beispiel: Integral von (1)/((Wurzel(x))-1) Erklären ?
Das ist eine super Idee für ein Video! Ich versuchs kurz hier im Kommentar, vlt hilft dir das ja auch schon weiter:
(1) Substituiere z = wurzel(x), damit bekommst du auch gleich dx = 2*wurzel(x)*dz = 2*z*dz.
(2) Einsetzen gibt dir 2*∫z/(z-1)dz.
(3) Entweder benutzt du Polynomdivision oder ergänzt dir im Zähler "-1 + 1".
(4) Rechne das Integral 2*∫(1+1/(z-1))dz aus.
Jaja bla bla.
Super Erklärung und super Qualität, danke :)
Du hast viel zu viel Freude mit Mathe
Danke! Größte Hilfe aller Zeiten- mach bitte weiter so- mein Respekt 💙
Das beste Video zu dem Thema auf ganz UA-cam. Danke dir👍
Richtig gut. Sind das eigentlich alles OneTakes? Wirkt mega natürlich :-)
Danke dir! Was ich erzähle ist zwar improvisiert, aber ich brauche oft mehrere Takes :)
Ist es egal ob der g(x) hinter dem g'(x) steht oder ist die Reihenfolge da auch wichtig ? :)
Ist egal, weil man bei einem Produkt ja die Reihenfolge vertauschen darf :)
brutal erklärt
Peter Lehe, Du bist mein absoluter Favorit
Danke!
Weiter so, danke!
Danke 💪🏾💪🏾💪🏾💪🏾💪🏾💪🏾🐶🌞🙏
Der Moment wenn man bei einer Aufgabe nicht weiterkommt, UA-cam anschmeißt, um zu gucken wie man Integration durch Substitution anwendet und dann genau die Aufgabe kommt, bei der man nicht weiterkam XD
Sehr gutes Video, danke dafür. Leider wird bei 3:17 permanent das Wort "Konstante" fälschlicherweise für einen "Faktor" benutzt. Eine Konstante ist ein Term, der unabhängig vom restlichen Teil der Funktion *immer* addiert bzw. subtrahiert wird und nicht von einem Funktionsargument (x, y, etc.) abhängig ist (daher Konstante), z.B. 3*x^2 + 2. Hier wäre 3 der Faktor und 2 die Konstante.
Vestehen was du meinst und trotzdem trifft doch beides zu. In deinem Beispiel ist "2" eine konstanter Summand und "3" ein konstanter Faktor. Mit der selben Begründung: Konstant heißt, dass der Term unabhängig von den Funktionsargumenten ist. Weder die "2" noch die "3" verändern sich, wenn sich die Argumente ändern.
@@MathePeter Wie bereits geschrieben bezieht sich das Wort Konstante auf den gesamten Term und nicht nur einzelne, ausgesuchte Teile des Terms. Ein Polynom besteht ja aus n verschiedenen Termen, die addiert oder subtrahiert werden. Konstant ist der Term nur dann, wenn er für einen beliebigen Wert aller Funktionsargumente immer exakt gleich ist. Deine Argumentation bezieht sich auf ausgesuchte Teile eines Terms und das entspricht nicht den Kriterien einer Konstanten. Mit anderen Worten : "Konstante" bezeichnet nicht eine Zahl, die immer gleich ist, sondern einen ganzen Term, der sich nie verändert.
Dann solltest du den Mathematikern der Welt erklären, dass sie z.B. das Thema "Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten" anders nennen sollen, wenn die konstanten Vorfaktoren in einem Polynom keine Konstanten sind, sondern nur Faktoren.
@@MathePeter darin sehe ich keinen logischen Widerspruch zu dem, was ich gesagt habe. Das Wort Konstant bezieht sich in diesem Fall auf den Koeffizienten selbst, der dann auch einzeln Betrachtet werden darf. Und wenn man dies tut, stellt man fest, dass sich hinter dem Koeffizienten in Wahrheit eine Konstante verbirgt, sofern man diesen einzeln betrachtet.
Ah verstehe, dann meinen wir beide ja doch das gleiche :)
Den konstanten Faktor bezeichne ich als "Konstante", weil ich ihn einzeln betrachte. Wie in der Methode von Lagrange zum Finden einer partikulären Lösung "Variation der Konstanten". Er nennt es ja nur deshalb nicht "Variation des konstanten Faktors", weil er den Faktor einzeln betrachtet als eine Konstante. Wie hier im Video.
Ehrenmann
Dank dir letztes Semester HöMa I mit 1,3 an der RWTH bestanden. Jetzt geht es weiter mit HöMa II. Vielen vielen Dank. Sobald ich einen Job habe und nicht mehr am Hungertuch nage, spende ich dir etwas ;)
Starke Leistung! Und vielen Dank für den Support, das weiß ich wirklich sehr zu schätzen :)
Danke, bitte mal koop mit daniel jung
Respekt
Wieso substitutieren einige so(du=xyz dx)? Und was ist der unterschied
Wenn du substituierst u=g(x), dann ist die Ableitung u'=g'(x) ja ausgeschrieben du/dx = g'(x). Und diese Gleichung nach du umgestellt ist dann du = g'(x)*dx.
Ich verstehe nicht wieso man sagen kann dx=dz/z' Könntest du nochmals kurz die Herleitung dafür erklären- ich wäre dir echt dankbar! Sonst super Video!
Na klar! z' ist ja nur die Kurzform für dz/dx. Und wenn du die Gleichung z' = dz/dx nach dx umstellst, also *dx rechnest und :z', dann bekommst du dx=dz/z' heraus.
Jetzt macht es auch Sinn😊
Hab den Sprung nie gecheckt weshalb mein Lehrer das x kürzen konnte oder woher die Zahl vor dem Integral herkommt😅
Hat bei mir auch eine Weile gedauert damals 😂
Dickes Danke für die Rettung von so vielen Matheklausuren
Sehr gut und verständlich erklärt.
Du bist der Daniel Jung der Zukunft :D
wtf wie kompakt und verständlich das erklärt wurde hahaha
ich liebe dich, dankeeeee
Danke dir du der beste der es erklären kann, denn ich habe mir viele Videos geschaut aber trotzdem es nicht ganz verstanden danke dir noch mal
Moin Peter, ich habe da mal eine Frage. Und zwar soll ich das Integral von 1+tan^2 (x)/sqrt(tan(x) von 0 bis pi/4 berechnen. Wie würdest du da vorgehen? Ich hatte die Idee den Bruch aufzuspalten in 1+tan^2 (x) • 1/sqrt(tan(x) , dann tan mit u substituieren und dann die Partielle Integration aufzuwenden. Was hältst du von diesem Vorgehen?
Genau, einfach nur tan(x) substituieren, denn die Ableitung davon ist 1+tan^2(x). Heißt du musst dann nur noch 1/sqrt(u) integrieren in den Grenzen von 0 bis 1.
@@MathePeter nachdem ich dann die partielle Integration benutzt habe komme ich auf das Ergebis: -1+2•sqrt(tan^5(x)) .
Kann das hinkommen?
Wenn du Grenzen gegeben hast, sollte am Ende kein x mehr drin vorkommen. Und wie gesagt: partielle Integration würde ich persönlich hier noch machen, weil du allein mit der Substitution u=tan(x) schnell zum Ergebnis kommst.
@@MathePeter ah okay jetzt habe ich es verstanden. Ich habe einfach viel zu kompliziert gedacht.
Danke dir!
Edit: Ich habe jetzt das Ergebnis: 2
Bin zurzeit in der Prüfungsphase und gebe nur noch deine Videos. Ich danke dir vom Herzen.
Bro du bist mein Meister
Beste typ 👍🏻👍🏻💪🏻💪🏻
Mega gut erklärt! War eben in der Vorlesung am Verzweifeln.
Ich glaube, du hast grade meine Arbeit gerettet. Wow.
richtig sympathisch
Seit einigen Monaten, helfen mir unter anderem deine Videos mich durch meine E-HA in Mathe zu kämpfen...da hattest du noch 36k Abonnenten....kann echt nicht verstehen warum so wenige....du machst das mega gut, immer fröhlich und idiotensicher erklärt
Ich glaub in deinen früheren ersten Videos, bist du manchmal ein wenig zu schnell oder setzt einiges voraus
Hab die Werbetrommel auf Studydrive für dich getrommelt....du hast locker 300k verdient
Vielen Dank!! Und ein Grund mehr die alten Videos noch mal neu zu machen und etwas langsamer zu reden :)
Das schnelle reden, erinnert mich an die Videos von Simplywissen...anfangs denkt man sich „okay etwas neues...“
Nach mehreren hundert videos nervt es...bei dir ist es aber nicht so schlimm ;)
Danke, für deine Mühe!
ich küss dein Herz
mathe peter komm mal her
warum? der grund?
ich brauch noch mehr
Gerade richtig erklärt. Nicht zu langsam aber auch nicht zu schnell🙏🤝
Das freut mich!
Danke
mit Abstand beste Erklärung! Super :)
vielen vielen dank! schon abonniert?
Super verständlich erklärt! Macht spaß dir zuzuhören!
das ist ja eigentlich eh nur das gegenteil von der kettenregel oder?
also bei der kettenregel ist ja innere ableitung mal eußere Ableitung.
Hier halt durch die innere ableitung.
Ja genau. Wichtig nur, dass man mit der Kettenregel jede Verkettung ableiten kann, mit der Substitution beim Integrieren aber nicht alles integrieren kann. z.B. hat die Funktion e^(x^2) keine Stammfunktion in geschlossener Form.
@@MathePeter Wie meinst du?
Also es gibt keine "Aufleitung von e^(x^2) oder wie?
Ja genau, ist sogar ziemlich spannend! Da e^(x^2) eine stetige Funktion ist, MUSS sie eine Stammfunktion haben. Aber das Liouville Theorem beweist tatsächlich, dass es nicht möglich ist diese Stammfunktion mit elementaren Funktionen auszudrücken.
Elementare Funktionen sind alle, die sich aus den Rechenoperationen +, -, *, ÷, (...)^x, x.Wurzel, Betrag, Winkelfunktionen, Inversen zusammenbasteln lasen und zwar in nur endlich vielen Termen (damit sind Reihen=unendliche Summen ausgeschlossen). Mathematiker sagen auch: "Nur elementare Funktionen lassen sich in geschlossener Form darstellen."
Das höchste was wir machen können, ist das Integral von e^(x^2) soweit zu "vereinfachen", dass es eine Summe mit unendlich vielen Summanden ist, eine Reihe. Das ganze nennt man dann die "imaginäre Fehlerfunktion". Darum ist die Antwort auf: ob es eine "Aufleitung von e^(x^2)" gibt, sowohl ja, als auch nein haha. Kommt auf den Kontext an, wie man den Term benutzt. Reine Existenz = JA, in geschlossener Form = NEIN 😊
Großes Lob!!
Ich bin dir SOO dankbar, das glaubst du nicht
Macher
Danke!!
Defintiv Konkurrenz für Daniel :D
MatheGott
Du hast mein leben gerettet 😁😁 ich schreib Klausur mathe2 morgen und hatte Problem mit subtutitionsregel..du hast mich gerettet dankeeeeeee
danke für deinen kommentar! freut mich sehr zu lesen, das ich weiter helfen konnte!
sehr gutes Video! Toll erklärt, vielen Dank!
Kann man dz/2x auch als Produkt umschreiben? Was ich nicht verstehe : nach dz*1/2x kürzt sich ja das x raus, aber ist der end term die e hoch z noch mit einem Mal Punkt mit dz verkoppelt? Weil man schreibt ja e hoch z dz aber müsste das nicht ex * dz heißen nach dem kürzen ?
Ja genau, das wird immer multipliziert das dz und auch das dx. Da steht immer ein Malpunkt, auch wenn man ihn nicht mitschreibt.
Deutsch ist sogar keine Muttersprache von mir und ich finde Deine Erklärungen die besten im ganzen UA-cam.
Vielen vielen Dank!!
Die Intro Melodie erinnert mich iwie an The IT Crowd
Dankeschön. Einfach gut!
Das beste Video zu dem Thema.
Vielen Dank
schon wieder sichere 6 BE in der Prüfung, ich danke dir
Sehr gut! :)