There is an epsilon delta proof if you really want to know, but the easy way o think about it is that both represent the differential ("smallest rectangular piece") of area.
one thing you neglected to say is that dtheta does not have length units, which is why it must be multiplied by a length unit, in this case R, to get an area.
L'idée que le produit dx•dy représente une aire d'intégration est une aide pour faire des heuristiques de raisonnement mais n'est pas correcte. En réalité, il faut donner une définition de ce qu'est une intégrale en 2 dimensions. Pour cela, on a recours à la notion de forme différentielle (dx et dy sont deux formes différentielles). Le produit de deux formes différentielles se note dx ^ dy, mais on l'omet généralement, et c'est un piège car il ne s'agit pas d'un produit de nombres et il a des caractéristiques très particulières, en particulier, il est anticommutatif, c'est à dire que dx ^ dy = - dy ^ dx (les objets géométriques sur lesquels on réalise des intégrations sont orientés, c'est l'équivalent en 2 dimensions du fait que lorsque l'on inverse les bornes d'une intégrale, on en change le signe). En particulier, dx ^ dx = - dx ^ dx = 0. Si maintenant, on différencie x = r cos theta et y = r sin theta, qu'on calcule le produit dx ^ dy (en faisant très attention à ne pas inverser les dx et les dy), on retombe sur la formule du Jacobien. En réalité, ça marche avec n'importe quel changement de variable et ça peut se définir de la même façon en n'importe quelle dimension. A noter, il n'y a pas de valeur absolue dans la vraie formule, mais vu que dans l'explication "avec les mains" en passant par un calcul d'une petite surface, on ne fait pas attention aux orientations, il se peut que le signe soit faux à la fin. D'où le fait de remettre une valeur absolue à la fin (si on assimile dx ^ dy à l'aire d'une petite surface, il faut bien que le résultat soit positif, mais attention au sens des bornes d'intégration !) C'est un peu technique mais j'espère que ça aide !
We write r dee-r d-theta. That is true enough, but wouldn't it be a little more clear, a little more intuitive, if we wrote instead r dee theta dee r? That is, why break up the r dee-theta product, and make the fact that we have a little (curved) rectangle more obscure?
They are both the differential ("smallest rectangular piece") of area. The curvature is so small it can be ignored. The actual reason involves limits and an epsilon delta proof.
You were going really well, but then you thought you were over explaining, which you weren't and it sort of lost me. Given that these videos are available for eternity, you might want to think about how to ensure you are giving all the information a weak reader might need, a way to point at segways in the video.
Here's a θ for your video title, bprp.
That’s ez to search on google
@@AlmeidaStos you can use greek keyboard on your phone too
@@Rando2101
Yes
老师你是我在网上见到讲的最清晰的，太感谢了🙏🙏
I have never really understood why this is until this video. Thanks!
I needed this so much 🙏❤️
I'm going to be a Learning Assistant for a trigonometry class tomorrow. I'm so excited!!!
Congrats bro, you'll rock it!!
Thank you so much!
Good revision
Stupid question but can you do the process in reverse? What would the Jacobian look like then
From a geometrical point of view how can we safely assume that the dA in rectangular coordinates is equivalent to the dA in the polar coordinates?
There is an epsilon delta proof if you really want to know, but the easy way o think about it is that both represent the differential ("smallest rectangular piece") of area.
Anyone have a link to the video he's referring to when he says "that we went over last time" at 1:44?
I just completed the 100 derivatives vid. I feel like i can do anything now. lol. thank you so much
Thank you 👍
Thanks but why the little arc is rdθ ?
one thing you neglected to say is that dtheta does not have length units, which is why it must be multiplied by a length unit, in this case R, to get an area.
That's true in geometry but the reason in calculus is a little more subtle. It has to do with the formula for the length of the arc of a circle.
Can you do this for the spherical coordinates version?
..so usefull , so well done !!
I get the derivative in this transformation can be expressed as a matrix. Ok.
But why is calculating the determinant the correct thing to do?
we are looking for dA and determinant is for area
the actual proof is quite hard and its usually covered in measure theory
L'idée que le produit dx•dy représente une aire d'intégration est une aide pour faire des heuristiques de raisonnement mais n'est pas correcte.
En réalité, il faut donner une définition de ce qu'est une intégrale en 2 dimensions. Pour cela, on a recours à la notion de forme différentielle (dx et dy sont deux formes différentielles). Le produit de deux formes différentielles se note dx ^ dy, mais on l'omet généralement, et c'est un piège car il ne s'agit pas d'un produit de nombres et il a des caractéristiques très particulières, en particulier, il est anticommutatif, c'est à dire que dx ^ dy = - dy ^ dx (les objets géométriques sur lesquels on réalise des intégrations sont orientés, c'est l'équivalent en 2 dimensions du fait que lorsque l'on inverse les bornes d'une intégrale, on en change le signe). En particulier, dx ^ dx = - dx ^ dx = 0.
Si maintenant, on différencie x = r cos theta et y = r sin theta, qu'on calcule le produit dx ^ dy (en faisant très attention à ne pas inverser les dx et les dy), on retombe sur la formule du Jacobien. En réalité, ça marche avec n'importe quel changement de variable et ça peut se définir de la même façon en n'importe quelle dimension.
A noter, il n'y a pas de valeur absolue dans la vraie formule, mais vu que dans l'explication "avec les mains" en passant par un calcul d'une petite surface, on ne fait pas attention aux orientations, il se peut que le signe soit faux à la fin. D'où le fait de remettre une valeur absolue à la fin (si on assimile dx ^ dy à l'aire d'une petite surface, il faut bien que le résultat soit positif, mais attention au sens des bornes d'intégration !)
C'est un peu technique mais j'espère que ça aide !
OMG IT CLICKED. FINALLY. THANK UUUUU.
Edit: "So we see our girlfriend again" LMAOOO.
Lezgo, new upload in the upcoming days
We write r dee-r d-theta. That is true enough, but wouldn't it be a little more clear, a little more intuitive, if we wrote instead r dee theta dee r? That is, why break up the r dee-theta product, and make the fact that we have a little (curved) rectangle more obscure?
Why is dxdy=rdrd(theta)? (geometry vs Jacobian)
They are both the differential ("smallest rectangular piece") of area. The curvature is so small it can be ignored. The actual reason involves limits and an epsilon delta proof.
Can you solve this limit
lim (x;y) -> 0 of xy arc sin (x)/x^2 arccos (x)
You were going really well, but then you thought you were over explaining, which you weren't and it sort of lost me. Given that these videos are available for eternity, you might want to think about how to ensure you are giving all the information a weak reader might need, a way to point at segways in the video.
omg i noticed you dont smile while doing questions now 😭😭😭 what took your smile away?
Amazing bro , thx