名古屋大 指数 整数 方程式 Mathematics Japanese university entrance exam
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「家族で行こう！自転車の旅」
#高校数学 #鈴木貫太郎 #オイラー
比例式の処理の練習です。途中出てくる 不定方程式 1/a+1/b+1/c=1 は1Lの水を3つのコップに分配するイメージで、3つ平等に分配した状態からずらすとどうなるか考えると分かりやすいと思います。中学入試の選挙の当選確実問題でよく使うイメージで、このイメージができていれば2001東大のビーカー問題も簡単でしょう。
〔解答〕
題意が成立するための自然数a, b, cの条件は、∃x, y, z∈(1でない正の数) [ x^a=y^b=z^c=xyz ] …※であるが、各辺が正であることに注意すれば、
※ ⇔ ∃x, y, z∈(1でない正の数) [ (logx)/(bc)=(logy)/(ac)=(logz)/(ab)=(logx+logy+logz)/(abc) ]
⇔ ∃s, t, u∈(0でない実数) [ s/(bc)=t/(ac)=u/(ab)=(s+t+u)/(abc) ]
⇔ ∃s, t, u∈(0でない実数) [ s : t : u : s+t+u = bc : ac : ab : abc ]
⇔ bc+ac+ab=abc …①
ここで、① ⇔ 1/a+1/b+1/c=1 …② であるが、
②の左辺の各項を1/3とすると②は成立し、1/a≧1/b≧1/cの関係を保ちながらこの状態から1/aを少しでも減らすと②が成立しなくなるのは明らかで、1/a=1/3となるような状況が他に存在しないことも明らかである。さらに、1/aを1以上とすると対応するb, cが存在しなくなる。よって、(a, b, c)=(3, 3, 3) ∨ a=2 が必要である。
ゆえに、② ⇔ (a, b, c)=(3, 3, 3) ∨ { a=2 ∧ (b-2)(c-2)=4 } …③であるが、0≦b-2≦c-2に注意して、
③ ⇔ (a, b, c)=(3, 3, 3) ∨ { a=2 ∧ (b-2, c-2)=(1, 4), (2, 2) } ⇔ (a, b, c)=(2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)
なお、この手の問題は動画のように文字でおくのが定石です。同値関係を明示すれば、
∃x, y, z∈(1でない正の数) [ x^a=y^b=z^c=xyz ]
⇔ ∃x, y, z, t∈(1でない正の数) [ x^a=t ∧ y^b=t ∧ z^c=t ∧ xyz=t ]
⇔ ∃x, y, z, t∈(1でない正の数) [ x=t^(1/a) ∧ y=t^(1/b) ∧ z=t^(1/c) ∧ xyz=t ]
⇔ ∃t∈(1でない正の数) [ t^(1/a+1/b+1/c)=t ]
⇔ 1/a+1/b+1/c=1
仕事の問題のイメージですかね^^*
X君が1人でやる。Y君が1人でやる。Z君が1人でやる。3人でやる。でも行った仕事の量は変わらない。
なるほどー。面白いです^^*
一つしか答えが出ませんでした。
8^2=4^3=2^6のa=2,b=3,c=6。
これを出すのさえ一苦労でした。
国公立大学は良い問題を出しますね。
問題でa≦b≦cと与えられていなくても自分でそのように設定し、まず1=1/a+1/b+1/c ≦3/aからa≦3を出すまでがルーティンですね
貫太郎さんのおかげで数学の考え方を身につけ名古屋大と早稲田大に合格することができました!本当にありがとうございました！
おめでとうございます㊗️🎊🎉
1/a+1/b+1/c=1 とする前に t≠1 が必要
酒飲みながら問題解いて気持ちいい～～～～～
For English speakers:
[Question]
We consider the following equations of x, y and z:
x^a = y^b = z^c = xyz.
where x, y, z are positive real numbers, a, b, and c are natural numbers, a ≦ b ≦ c. Find all the pairs of (a, b, c) if at least one root of (x, y, z) exists except the case that one of the numbers x, y or z is equal to 1.
[Answer]
We consider that
x^a = y^b = z^c = xyz = t,
where x, y, z ≠ 1. Hence
x = t^(1/a), y = t^(1/b), z = t^(1/c).
Thus
t = xyz = t^(1/a + 1/b + 1/c),
1/a + 1/b + 1/c = 1.
Note that this deformation may not be correct if t = 1. For example,
1^3 = 1^7.
Nevertheless, as we assume that x ≠ 1,
t = x^a ≠ 1,
then the deformation
t^(1/a + 1/b + 1/c) = t ⇒ 1/a + 1/b + 1/c = 1
is correct.
Thus we complete the question if the following equation can be solved:
1/a + 1/b + 1/c = 1
where a, b, c are natural number, a ≦ b ≦ c.
If a = 1,
1/b + 1/c = 0,
there is no root.
If a = 2,
1/b + 1/c = 1/2,
2b + 2c = bc,
(b - 2)*(c - 2) = 4,
(b, c) = (3, 6), (4, 4)
as b and c are natural numbers that satisfy a ≦ b ≦ c.
If a = 3,
1/b + 1/c = 2/3,
3b + 3c = 2bc,
2b(c - 3/2) - 3(c - 3/2) = 9/2,
(2c - 3)*(2b - 3) = 9,
(b, c) = (3, 3)
as the same conditions are known.
If a ≧ 4, there is no answer as the following inequality holds:
1 = 1/a + 1/b + 1/c ≦ 3/a,
hence
a ≦ 3.
Therefore the answer is
(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3).
a≤b≤c そして1/a+1/b+1/c =1 よって 1/a + 1/a+ 1/a ≥1 ，
a≤3 を知った 後でa=1 2 3別々代入して b，cを求める
台湾人なので 日本語はうまくてできない 本当にすみません
Sure. Your Japanese is very good. We can guess what you are saying.
Maybe, it's like this:
"a≤b≤c and 1/a+1/b+1/c =1 implies 1/a + 1/a+ 1/a ≥1 ;
thus it is found a≤3. Hereafter, b and c are to be found by plugging in each of a=1, 2, 3.
I'm not good at Japanese 'cause I am a Taiwanese. So sorry.
"
If so, this would be a better expression in Japanese:
a≤b≤c かつ 1/a+1/b+1/c =1、よって 1/a + 1/a+ 1/a ≥1 。
a≤3であることがわかった。この後 a=1, 2, 3 をそれぞれ代入して b,c を求める
。
台湾人なので、日本語はうまくできない。本当にすみません。
I assure you again your Japanese is very good. Way to go.
Thanks.
たま ご指導ありがとうございます
私は言いたいことはあなたのおっしゃる通り
N3レベルだけなので 勉強すべきことはまだまだあるです
改めて ご指導ありがとうございます
日本語で日本人と一緒に数学のことを話し合うことなんで 不思議ですね
ちょうど昨日FocusGoldでやった問題ですが、対数をとる方法しか思いつきませんでした
やはりかんたろう先生の解法はエレガントですね、、
貫太郎さんの動画とジャルジャルの動画は毎日観る習慣になった
今日もわかりやすい解説をありがとうございます。
もし大学数学を知っているならば、線形代数を使っても解けます。(大学生がこちらの動画を見ているかわかりませんが。)
まず、
log(x) = X, log(y) = Y, log(z) = Z
とおくと、初めの方程式は
aX = X + Y + Z,
bY = X + Y + Z,
cZ = X + Y + Z
とおけるので、
(1 - a)X + Y + Z = 0,
X + (1 - b)Y + Z = 0,
X + Y + (1 - c)Z = 0
となり、行列を用いれば、
(1 - a 1 1 ) (X) (0)
(1 1 - b 1 ) (Y) = (0)
(1 1 1 - c) (Z) (0)
と表せます。もしこの係数行列に逆行列が存在するならば、(X, Y, Z) = (0, 0, 0) のみが答えになり、すなわち (x, y, z) = (1, 1, 1) のみが答えになるので題意に反します。ゆえに、係数行列の行列式が 0 であることが求める必要十分条件です。実際に行列式を計算すると、
ab + bc + ca - abc
となり、それが 0 ならば、
1/a + 1/b + 1/c = 1
がわかります。
Hmm.... Let A be the coefficient matrix of this system of equations in question:
(1 - a 1 1 ) (X) (0)
(1 1 - b 1 ) (Y) = (0) ...(Eq.1)
(1 1 1 - c) (Z) (0).
Then, det(A)≠0 would imply that (X, Y, Z) = (0, 0, 0), surely contradicting the given condition that none of x, y, and z is 1 (or, as is conveniently expressed, x,y,z≠1). Thus, det(A) = 0 is necessary.
Conversely, det(A)=0 implies that the column vectors of A are linearly dependent. Then, there exist X, Y, and Z such that
(1 - a) (1 ) (1 ) (0)
X (1 ) + Y (1 - b) + Z (1 ) = (0)
...(Eq.2)
(1 ) (1 ) (1 - c) (0)
and such that
(X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0) ...(Eq.3),
where actually Eq.2 and Eq.3 are equivalent to Eq.1 and (x, y, z)≠(1, 1, 1), respectively.
However, that wouldn't immediately mean that such values of (x, y, z) surely satisfy the given condition x,y,z≠1, right? 'Cause
(x, y, z) = (1, 4, 5)
or
(x, y, z) = (3, 1, 5)
might be possible, for example.
Would you elaborate on this point, please?
@@たま-z6n9k さん
ご指摘をありがとうございます。
そうですね。よく考えてみたら確かにその通りです。
det(A) ≠ 0 ⇒ (X, Y, Z) = (0, 0, 0)
が正しいことは私のコメントで述べた通りです。対偶をとって
(X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0) ⇒ det(A) = 0
となります。
また、abc ≠ 0 かつ aX = bY = cZ より、
X = 0 または Y = 0 または Z = 0 ⇔ (X, Y, Z) = (0, 0, 0)
の否定を考えて
X ≠ 0 かつ Y ≠ 0 かつ Z ≠ 0 ⇔ (X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0)
となるので、
X ≠ 0 かつ Y ≠ 0 かつ Z ≠ 0 ⇒ det(A) = 0
です。つまり、det(A) = 0 は題意を満たす (X, Y, Z) が存在する必要条件であって十分条件あるとは必ずしも言えない、ということです。
det(A) = 0 が十分条件かどうかの検証については、すぐには思い付きません。しばらく考えてみます。
@@yuai_mzbn_chocolate さんへ：ご返信ありがとうございます。
お気づきのように、「a,b,cは自然数」という前提の下で（より広く言えばa,b,c≠0という前提の下で）
det(A) = 0
⇔ ab+bc+ca-abc = 0 …①
⇔ 1/a + 1/b + 1/c = 1 …②
が成り立ちます。②が「題意を満たす(X, Y, Z)（あるいは(x, y, z)）が存在するための必要十分条件」であることは、別途コメント済みの別解において確認済みです。
（私の同値式は、自然言語で記述していることもあり、長ったらしくてわかりにくいかも知れませんが…。いとさんが、①,②のそれぞれが必要十分であることを２通りの量化式によって簡潔に示しておられます。）
線形代数的手法によってもこれを示すことができれば、非常に鮮やかですね。
もし上手くいきましたら、是非ご一報いただければ幸いです。
（なお、突然の英文にて失礼いたしました。）■
@@yuai_mzbn_chocolate さんへ：よくよく読み返してみますと、実は、ご返信の中で既に
「det(A)=0が十分条件でもあること」
を示せておられるようですね。理由を以下に述べます。
まず、私の英文コメントにおいて示したように、
det(A)=0
⇒ 係数行列Aの列ベクトルが線形従属
⇒ 「あるX, Y, Zが存在して
(1 - a) (1 ) (1 ) (0)
X (1 ) + Y (1 - b) + Z (1 ) = (0)
...(Eq.2)
(1 ) (1 ) (1 - c) (0)
かつ
(X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0) ...(Eq.3)
を満たす」
と言えます（※より広く言えば、上記の⇒は全て⇔で置き換えてもよいですが…）。ここで、a,b,cが自然数であることから、明らかに上記のX,Y,Zは全て実数から選べると考えてよいでしょう。（実数ベクトルは実数体上においてベクトル空間を成す。）
そして、これも英文コメントした通りですが、上記の論理関係におけるEq.2 は、実は
行列を用いた形式
(1 - a 1 1 ) (X) (0)
(1 1 - b 1 ) (Y) = (0) ...(Eq.1)
(1 1 1 - c) (Z) (0).
と同値であり、これをもって置き換えることができます。
.
ここで、当初の連立方程式
aX = X + Y + Z,
bY = X + Y + Z,
cZ = X + Y + Z
とEq.1との同値性に鑑みれば、ゆうIさんのご返信にあった通り、
「abc ≠ 0 かつ aX = bY = cZ より、
X = 0 または Y = 0 または Z = 0 ⇔ (X, Y, Z) = (0, 0, 0)
の否定を考えて（※あるいは双方向それぞれの対偶を合わせて）
X ≠ 0 かつ Y ≠ 0 かつ Z ≠ 0 ⇔ (X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0)」
が成り立ちます。
以上を合わせますと、det(A)=0のとき、これにより存在を保証されるEq.1の実数解
(X, Y, Z)≠(0, 0, 0)
は、同時に
X ≠ 0 かつ Y ≠ 0 かつ Z ≠ 0
も満たしていることになります。ゆえに、このとき
X=log x, Y=log y, Z=log z（すなわちx=e^X, y=e^Y, z=e^Z）
とおけば、題意の条件を満たす1ではない正の実数の組(x, y, z)が確かに存在すると言えます。■
=================================
※なお、det(A)=0の必要性については、ゆうIさんの最初のコメントにおける
>ゆえに、係数行列の行列式が 0 であることが求める必要十分条件です
を
「ゆえに、係数行列の行列式が 0 であることが必要です」
で置き換えれば、既に言えていることになります。■
去年の1年間でこの問題4,5回解いたなぁ(懐かしい)(トラウマ)
先日（７日前？）の東大の問題を彷彿とさせますね。
ua-cam.com/video/YRTzjXfWsmE/v-deo.html
実際、a, b, cが満たすべき必要条件
(1/a) + (1/b) + (1/c)=1 …⑧
を見つけさえすれば、前提条件a≦b≦c…②と合わせて、解の範囲を絞るような不等式を導くことができます。むしろ、
「⑧,②および下記①を合わせたものが、問題文中に提示されたa,b,cの条件と同値である」
と厳密に示すことが、面倒なように思われます。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜a, b, cが満たすべき条件＞
・「 a, b, cは自然数」…①
・ a≦b≦c …②
・「x^a=y^b=z^c=xyzを満たすような、1ではない正の実数の組(x, y, z)が存在」…③
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
①の下で（a, b, c≠0であることに注意して）、同値関係
③ ⇔ 「a(logx) = b(logy) = c(logz) = (logx)+(logy)+(logz)を満たすような、
1ではない正の実数の組(x, y, z)が存在」
⇔ 「aX = bY = cZ = X+Y+Zを満たすような、
0ではない実数の組(X, Y, Z)が存在」
⇔ 「aX = bY = cZ = X+Y+Z = t…④ を満たすような、
0ではない実数の組(X, Y, Z, t)…⑤ が存在」
…⑥
が成り立つ。さらに①,⑤の下で（a, b, c, t≠0であることに注意して）、
④ ⇔ aX = bY = cZ = t かつ X+Y+Z = t
⇔ X=t/a かつ Y=t/b かつ Z=t/c かつ X+Y+Z = t
⇔ X=t/a かつ Y=t/b かつ Z=t/c かつ (t/a)+(t/b)+(t/c) = t
⇔ 「X=t/a かつ Y=t/b かつ Z=t/c かつ (1/a)+(1/b)+(1/c) = 1」…⑦
となる。よって、結局①の下では、
③ ⇔ ⑥
⇔「⑦を満たすような、0ではない実数の組(X, Y, Z, t)…⑤ が存在」
⇔ (1/a)+(1/b)+(1/c) = 1 …⑧
となる。
従って、「①かつ②かつ⑧」を満たすような3数の組(a, b, c)を求めればよい。
①, ②より 1≦a≦b≦c であり、
∴0 < 1/c ≦ 1/b ≦ 1/a ≦ 1
∴1/a < (1/a)+(1/b)+(1/c) ≦ (1/a)+(1/a)+(1/a) = 3/a
となる。よって⑧とから
1/a < 1 ≦ 3/a
であり、
さらに①に注意して
∴ 1 < a ≦ 3
∴ a = 2, 3
であることが必要。
i) a = 2 のとき
② ⇔ 2≦b≦c …⑨
⑧ ⇔
(1/b)+(1/c) = 1/2 …⑩
である。⑨より、
∴0 < 1/c ≦ 1/b ≦ 1/2
∴1/b < (1/b)+(1/c) ≦ (1/b)+(1/b) = 2/b
となる。よって、⑩とから
∴1/b < 1/2 ≦ 2/b
であり、さらに①に注意して
∴2 < b ≦ 4
∴ b = 3, 4
であることが必要。
・a=2, b=3のとき
⑩ ⇔ 1/c = 1/2 - 1/3 = 1/6
⇔ c = 6
・a=2, b=4のとき
⑩ ⇔ 1/c = 1/2 - 1/4 = 1/4
⇔ c = 4
これらは確かに①,⑨を満たす。
ii) a = 3 のとき
② ⇔ 3≦b≦c …⑪
⑧ ⇔
(1/b)+(1/c) = 2/3 …⑫
である。⑪より、
∴1/c ≦ 1/b
∴(1/b)+(1/c) ≦ (1/b)+(1/b) = 2/b
となる。よって、⑫とから
∴2/3 ≦ 2/b
∴ b≦3
となり、
これと⑪を合わせれば
b=3
であることが必要。このとき
⑫ ⇔ 1/c = 2/3 - 1/3 = 1/3
⇔ c = 3
であり、確かに①,⑪も満たされる。
以上により、求めるべき自然数の組は
(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)
である。■
（追記）：ところで、①の下では
(1/a)+(1/b)+(1/c) = 1 …⑧
⇔ bc + ca + ab = abc …(＊)
となります。
上記の解法においては、⑧の形のままのほうが変数が散らばらないので扱いやすいと考え、あえて逆数のままで解の候補を絞っていきました。しかし、それだと「a, b, cは自然数」…①という強力な条件を直接使いにくく（逆数は自然数ではないので）、ある意味不利になります。
まず上記のように⑧のほうを用いてa=2, 3を導いておき、それ以降は下記のように(＊)のほうを用いれば、それぞれ形の利点を有効に活かせるようです。
＜略解／a=2,3を導いた後＞
…
i) a=2のとき
(＊) ⇔ bc + 2c + 2b = 2bc
⇔ bc - 2b - 2c = 0
⇔ (b - 2)(c - 2) = 4
であり、一方
② ⇔ 2≦b≦c ⇔ 0≦b-2≦c-2
である。よって
①かつ②かつ(＊)
⇔ ①かつ (b - 2)(c - 2) = 4 かつ 0≦b-2≦c-2
⇔ ①かつ (b - 2, c - 2) = (1, 4), (2, 2)
⇔ (b, c) = (3, 6), (4, 4)
ii) a=3のとき
(＊) ⇔ bc + 3c + 3b = 3bc
⇔ 2bc - 3b - 3c = 0
⇔ 4bc - 6b - 6c = 0
⇔ (2b - 3)(2c - 3) = 9
であり、一方
② ⇔ 3≦b≦c ⇔ 3≦2b-3≦2c-3
である。よって
①かつ②かつ(＊)
⇔ ①かつ (2b - 3)(2c - 3) = 9 かつ 3≦2b-3≦2c-3
⇔ ①かつ (2b - 3, 2c - 3) = (3, 3)
⇔ (b, c) = (3, 3)
以上により、求めるべき自然数の組は
(a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)
である。■
logとって解きました
対数とってa,b,cの整数問題として考えて、a,b,cが求まって、その求めた組に対してx,y,zが具体的に一組とれること(十分性)の確認で解きました。
＝ｔと置くことに気づかなかった。
対数とってもうまく行かなかった。
まだまだですね。
最初に(所与の等式)=tと置く方針さえ立てられれば、典型問題ですね。
(a,b,c)=(2,3,6) のとき
(x,y,z)=(s^3,s^2,s) (s≠1)
(a,b,c)=(2,4,4) のとき
(x,y,z)=(s^2,s,s) (s≠1)
(a,b,c)=(3,3,3) のとき
(x,y,z)=(s,s,s) (s≠1)
が等式を満たすので、必要十分であることがわかりますね。
見通しを良くするためとa≧4が不適なことを簡単に書くために、
1/a+1/b+1/c=1について
1≦a≦b≦cより1/a≧1/b≧1/cであり
1/a+/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a
が得られて、a≦3
としてやると良いかもしれません。
これよりも参考書にあるような典型的な処理として、
a≦b≦cよりz≦y≦xだから、x^a=xyz→x^a≦x^3
a自然数より、a≦3
とできると思います。
( *・ω・)ノ私は、
「a≧4の時はb≧4となり、1/c=1-1/a-1/b≧1/2であるから、c≦2＜4≦aより不成立」
って考えました。色々表現があって面白い^^*
@@虻川進 さんへ：
>「a≦b≦cよりz≦y≦xだから、…」
→x, y, zが1未満の正の実数である場合を忘れていませんか？
例えば、(a,b,c)=(2,3,6)に対する(x,y,z)=(1/8, 1/4, 1/2)は
x^a=y^b=z^c=xyz かつ x,y,z>0 かつ x,y,z≠1
を確かに満たしますが、z≦y≦xを満たさず、反例となっています。
x^a≦x^3からa≦3を導く部分（※この部分ではaが自然数かどうかの考察は不要）についても同様で、これが成り立つためにはx>1が必要となります。
（x>1 かつ x^a≦x^3 ⇒ logx>0 かつ alogx≦3logx ⇒ a≦3）
（0
たま あーそうですね、お恥ずかしい
@@虻川進 さんへ：いえいえ、実は私も同じ勘違いをしそうになりました。
混乱した場合は、指数関数のままで考えるのではなく、logを取ったほうがわかりやすいですね。それでは、失礼いたします。■
全然ダメだった。log取ってみたけど、そこで終了。
ログでもいけるでってか、俺はそれでやった
@@加藤琉功 そうですね。logでも、もう一押しすれば解けるんですけどね。
おはようございます。
実は私は社会人ですが、
また数学に触れたくなり、
チャート式（赤ではないですよ）から
また勉強しています。
現役時代は整数問題は一番とっつきにくくて
苦手だったのですが、
貫太郎さんの動画を見るようになって
意外と面白いかも
と思うようになってきました。
毎日、とはいきませんが、
少しずつ勉強していきたいと思います。
よろしくお願いします。
ご覧くださりありがとうございます。
@@kantaro1966 あと現役時代は確率も嫌いでした。答えをみても何か解釈がはっきりとせず、騙されたような気になっていたのかもしれません。
どちらも貫太郎さんがお好きなジャンルでしたよね。
これを機会にどちらも苦手意識をなくそうと思っています。
最初見たとき、対数使うのかなって思った
捌いていくっ！
ごちそうさまでした。
tに置くと言うのは、原理と見ている。
今見ているものが実数の構造を持つと言うことと、
ある原理による作用を数えている
と言う事は違う。
こういう比例式(？)は同値だからとりあえず別の文字を置いてあげたらいいのか
新潟大学でも似た形の式の問題が出たことがあるような。
題意は全然違うけど笑
こういう式を見るととりあえず=t とおきたくなる。
1/a+1/b+1/c=1 (1≦a≦b≦c)まで来たら、
あとは範囲を絞って確認作業。
試行錯誤してたらたまたまうまくいった感じ。
tと置けば典型問題なのか…悔しー
おはようございます
おーエレガント!!
おはよー
”=”で複数の等式を繋げてある形を分解して見やすくする...って発想に気付けばただの典型問題。
与式を実験や考察するクセがあれば解けるけど闇雲じゃ駄目って良い問題。
文字で置けばいいのか…こういう問題苦手かもなあ、復習しておきます