[TMiC] 1. Zbiory mierzalne. σ-algebry i σ-pierścienie
Вставка
- Опубліковано 9 вер 2024
- Hej!
W dzisiejszym odcinku zapoznamy się z dwiema ważnymi rodzinami zbiorów - sigma-algebrą i sigma-pierścieniem.
Obie rodziny mogą być wykorzystana do wprowadzenia w sensownych granicach takich pojęć jak przestrzeń mierzalna czy miara. Zwykle do tego celu wykorzystuje się sigma-algebry.
My zajmiemy się porównaniem obu. Sprawdzimy również, co możemy wywnioskować z ich definicji o członkach owych rodzin.
Literatura:
"Podstawy analizy matematycznej"
autor: Walter Rudin
"Wstęp do teorii mnogości i topologii"
autor: Kazimierz Kuratowski - Наука та технологія
![[TMiC] 2. Jak mierzyć zbiory? Miary i przestrzenie z miarą](http://i.ytimg.com/vi/Qj7D01hzT4c/mqdefault.jpg)
![[TMiC] 2. Jak mierzyć zbiory? Miary i przestrzenie z miarą](/img/tr.png)
![[TMiC] 3. σ-algebry generowane przez rodziny zbiorów. Zbiory borelowskie](http://i.ytimg.com/vi/KomvbZnJr9c/mqdefault.jpg)
![[TP] 1. Czym jest przestrzeń topologiczna? Definicja zbiorów otwartych i domkniętych](http://i.ytimg.com/vi/02TE4fnzDxQ/mqdefault.jpg)
Od dr Szewko, komentarz dla zasięgów. Powodzenia ❤
Ja też od dr. Szewko. Przed chwilą p. Szewko to polecił na swoim dzisiejszym podcat. Właśnie takiego podcastu szukałem
Bardzo miło to usłyszeć. Zachęcamy do zadawania pytań i proponowania tematów na nowe odcinki. Pozdrawiamy serdecznie!
Studiowałem fizykę i miałem wielki problem ze zrozumieniem tych sigma algebr ... Całka Lebesgue'a też była dla mnie maskakryczna ... Fajnie, że teraz młodzi studenci mają tyle pomocy ... i może ja w końcu skumam :)
Hej! Teraz właśnie chcę skupić się na wprowadzeniu wszystkich niezbędnych pojęć, by móc swobodnie opowiadać właśnie o całce Lebesgue'a.
Moim marzeniem jest wyłożenie tego tak prosto, jak to tylko się da, nie omijając motywacji wyjaśniającej 'dlaczego tak, a nie inaczej'.
Muszę przyznać, że jak sam spotkałem się z sigma algebrami po raz pierwszy, warunki wydawały mi się bardzo abstrakcyjne i 'arbitralne'. Ktoś usiadł i powiedział, że tak będzie, a my teraz się tego uczymy.
Oczywiście (całe szczęście!) w matematyce mało jest miejsca na takie decyzje. Definicje i konstrukcje wynikają z potrzeby dyktowanej chęcią rozwiązania/ uogólnienia konkretnego problemu/ zagadnienia jednak unikając przy tym problemów, o których autorzy definicji wiedzą, bo pokolenia matematyków przed nimi musiało się już z nimi borykać :D
Dodatkowo pośpiech, w jakim wprowadzane są te pojęcia na studiach, nie pozwala na 'pobawienie się nimi'. Człowiek kończy, wiedząc że całka wymaga miary, miara wymaga przestrzeni mierzalnej, a ona sigma algebry ale... dlaczego?
Gorąca prośba ode mnie - jeśli coś będzie niejasne czy niezrozumiałe, proszę o dawanie znaku. To test również dla mnie czy rozumiem to, o czym mówię :)
Pozdrawiam serdecznie!
@@scottish_cafe Szkoda, że już dawno nie studiuję, bo na pewno miałbym więcej energii, do zadawania pytań, i rozwiewania wątpliwości, ale spróbuję.
Też studiowałem fizykę i też średnio ogarnąłem całkę Lebesgue'a ;)
Ja od dr Szewko, komentarz dla zasięgu :)
Bardzo, bardzo dziękuję! Zbiór Mandelbrota widoczny na Pana miniaturce zachęca do przygotowania materiału o wymiarach fraktalnych :D Pozdrawiam!
Dzisiaj w pracy będę miał zagwozdkę, czy sigma algebra nietrywialnych kwadratów (które są dodatkowo puste w środku) na R^2 daje P(R)^2
Niby proste zadanko, ale trzeba mierzyć siły na zamiary xd
Zostało mi skonstruować zbiór A należący do sigma algebry, który będzie pełnym kwadratem (oczywiście różnym od całej przestrzeni)
@@koronkoron506 proszę zostawić sobie trochę wolnej przestrzeni w głowie na samą pracę :D pozdrawiam serdecznie!
dopytam tylko o dwie rzeczy - czyli nietrywialny kwadrat to de facto 'brzeg' trywialnego kwadratu? Co rozumie Pan przez P(R)^2? Czy rodzinę wszystkich podzbiorów R^2 (to wtedy P(R^2)), czy też dosłownie P(R)^2, zatem iloczyn kartezjański P(R) x P(R)? :D
@@scottish_cafe
Nietrywialny miałem na myśli nie będący punktem, bycie brzegiem kwadratu jako kolejny warunek - niejasno napisałem. Aczkolwiek punkt i tak łatwo da się uzyskać tutaj, jako iloczyn dwóch kwadratów lub trzech kwadratów.
P(R^2) jako rodzinę podzbiorów R^2. Dzięki za poprawienie, nie wyłapałem tego.
Jak będę miał chwilę pewnie zajrzę do własności topologii i zobaczę w jaki sposób tam bym uzyskał taki zbiór, którego mi brakuje. Podejrzewam, że może mi to bardzo pomóc określić, czy tutaj też będzie należeć.
W sumie nie skonstruuję też za bardzo nieprzeliczalnych sum zbiorów rozłącznych, ale i tak pobawię się przejściem "wymiar wyżej" i próbą skonstruowania czegoś z polem
@@koronkoron506 ostatnie zdanie nasuwa mi na myśl krzywe Peano. W sumie super pomysł na odcinek :D
Ja uczę się matematyki od kilku miesięcy a aktualnie jestem przy analizie matematycznej i algebrze liniowej. Szkoda że Twoje filmy poza moim zasięgiem są na razie :/
Hej! Analiza i algebra to świetny punkt startowy, zwłaszcza jak chcesz zastosować matematykę do czegoś 'rzeczywistego'. Zapewne, gdybyś zaczął od teorii mnogości i topologii, tutaj byłoby teraz nieco łatwiej. Ogółem staramy się prowadzić te odcinki tak, że oglądając wszystkie od początku, powinno dać się zrozumieć każdy nowy. Jednakże faktycznie pewna wprawa jest wskazana. Nie wiem w jakim jesteś wieku, ale mam nadzieję, że pocieszę mówiąc, że wkrótce rozpoczniemy serię właśnie związaną z algebrą liniową! Będzie prowadzona od samych podstaw, tak by była dobrym wprowadzeniem między innymi, do matematyki jakiej uczy się na każdych technicznych studiach (oraz sporo, sporo więcej :) ) . Pozdrawiamy i bardzo zachęcamy do dzielenia się opinią na temat rzeczy, które wydają się trudne do zrozumienia lub niejasno wyjaśnione. To dla nas bardzo ważne. Może przysłuży się to do poprawy jakości i klarowności nagrań!
@@scottish_cafe Dokładnie. Analizy i algebry uczę się ponieważ jest mi przydatna do AI/ML czego też się uczę w wolnym czasie. Ale na analizie i algebrze nie zamierzam poprzestać ale na bardziej wyższą matematykę czuję się jeszcze za słaby. Cieszę się, że będzie coś dla mnie tutaj :) I cieszę się że powstał taki fajny kanał. Btw algebry liniowej aktualnie uczę się z wykładów Gilberta Stranga które się na YT, świetnie tłumaczone. Również pozdrawiam.
@@grzegorz1268 Jeśli chodzi o wykłady z algebry to nie da się pobić wykładów profesora Stranga. Jeśli interesuję się Pan podstawami matematycznymi AI to mam kanał godny polecenia. Prowadzony jest przez dr Stevena Bruntona z Uniwersytetu Waszyngtońskiego. Bez wątpienia znajdzie Pan tam coś dla siebie. www.youtube.com/@Eigensteve
Ja od dr. Szewko
Zapraszam, proszę się rozgościć i nie krępować zadawać pytania, jeśli coś okaże się niezrozumiałe. Można też podsuwać pomysły na kolejne odcinki ;)
Pozdrawiam!