# 250. (★★★)４項間漸化式

[@kk_zuma]

質問失礼します。この問題ではkの三次方程式の解が3つ出てきていますが、重解を持つ時や、三重解を持つ時の一般項の予想の式はありますか？

[@mathkarat6427]

以前証明したと記憶しています。探せたら探します。

[@聡福地]

この類の怪談を聞きまくっている俺が知らない話がいっぱい…すげえ！

[@mathkarat6427]

お楽しみいただければ幸いです。

[@とんかつ太郎-h8w]

予備知識なしでしたが
a(n+3)+xa(n+2)+ya(n+1)
=z{a(n+2)+xa(n+1)+ya(n)}
を式変形して係数比較で
(x,y,z)=(-8,15,2),(-7,10,3),(-5,6,5) を求めることで
a(n+2)+⚪︎a(n+1)+◻︎a(n)=△という式を3つ立てて解けました！
ただ解法2、3は思いつかなかったのでとてもありがたいです！

[@mathkarat6427]

予備知識なしでの正解は、素晴らしいです。

[@i_love_japan-88]

等比数列化っていろんな問題で使えるんですね

[@mathkarat6427]

はい、どの分野でも使える態勢が入試では大切と思います。

[@MURAKAMI1958]

4項間漸化式すごいです。秘伝の公式もなかなか覚え理解できなかったですが、納得はできたようです。もしよろしければ、
群数列の問題が手につきません。
特に平面、碁盤上に並んだものが空前絶後にわかりにくいので、機会があれば解法をお願いします。
（頑張って勉強もしておきます）

[@mathkarat6427]

「4項間漸化式」は、たまに大学入試で出題されています。
群数列の碁盤を規則的にまわる問題ですね。
あれは、面白いです。ただ、解説がパワポサイズにうまくはめられるかが問題です。
検討いたします。

[@YY-nf3ys]

3通りっぽくて実質1通りなんですよね。

[@mathkarat6427]

「実質1通りなんですよね。」
→　申し訳ありませんが、この意味が把握できておりません。
私の解釈の問題かもしれませんが、アプローチ方法は、3通りどころか、もっとたくさんあります。今回は、シンプルな解法を３通りお伝え致しました。
不愉快に思われたらすみません。

[@YY-nf3ys]

@@mathkarat6427 どの解法(?)でも同じ連立方程式を解かなきゃいけないんだからやってる事は一緒。

[@mathkarat6427]

お返事ありがとうございます。

[@mathseeker2718]

私は自然と解法1を選択して解きました。最初、解法2を思い付きましたが、途中で詰まりました。
公式は良いですね。答えを予想して求めて、帰納法で示すということですね。

[@mathkarat6427]

「私は自然と解法1を選択して解きました。」
→ お見事です。恐らく最速です。
解法2は、やや手間がかかります。
ただし、横国の入試では解法2の誘導でしたが・・・
解法3の４項間漸化式の公式ですが、2005年（横国後期・理系）に、この公式を与えて解かせるという出題がありました。
特性方程式の解がすべて異なれば、n 項間漸化式まで同じ形となります。
ただし、重解の場合は、別途少しの知識が必要となります。

[@mathseeker2718]

@@mathkarat6427 ありがとうございます。この問題の後半も楽しみにしています。楽しい問題をどうもありがとうございます。また関連情報も充実しており、素晴らしいです。

[@mathkarat6427]

こちらこそ、嬉しいコメントに感謝申し上げます。

[@an337]

math karat先生
あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。

[@mathkarat6427]

こちらこそ、よろしくお願いいたします。

[@kaka265]

その解き方で、4項間漸化式を三次関数で特性方程式を立てた時に重解が出たらどう解いたらいいですか

[@mathkarat6427]

重解の場合は、もう少し手間がかかります。３項間漸化式の重解と同じように考えます。

[@Difmor18723hji]

線形代数最強❗

[@mathkarat6427]

力強いコメントありがとうございます。

[@koutenshi69gou]

あけましてございます。今年もよろしくお願いします。
解法１を用いる際、3項間漸化式のように、特性方程式を解と係数の関係を用いて変形してよいですか？

[@mathkarat6427]

式変形は、どのようなテクニックを用いても問題ないと思います。
意図が伝わっていなければ、申し訳ございません。

[@夢しかなし大学生]

できた！

[@mathkarat6427]

素晴らしい！

[@ろくでなし-d7x]

文系の問題ですか？

[@mathkarat6427]

そうです。

[@MURAKAMI1958]

4項間漸化式、解法すごいですね！。
ｋ=２，３，５としてan=２^(ｎ-1)
+3^(n-2)+5^(n-3)で各項の係数をだすって一瞬、微分方程式の解法に似てるかなと思いましたが。高校数学までの方程式解法は係数を探求する様だと感じていいでしょうか。

[@mathkarat6427]

ご体調は回復なさいましたでしょうか？心配しておりました。
n 項間漸化式まで、すべての解が異なれば、同じ要領で一般項を作ることができます。重解が入ると、もう少しテクニックが必要となります。
ご質問の件は、返答が微妙です。すみません。

[@user-ow2pl3qj9n]

特性方程式を丸覚えではなく、等比数列に持っていくことをちゃんと分かってますか?って問題だね
解放１の最初の式変形する形が一番王道そう、移項と連立方程式だけだし

[@mathkarat6427]

「特性方程式を丸覚えではなく・・・」
→　おっしゃる通りと思います。
横浜国立大学は、過去少なくとも3回は、４項間漸化式が出題されています。
３回とも誘導形式が異なるものでした。
「解法１の最初の式変形する形が一番王道そう・・・」
→　おっしゃる通りと思います。

[@しがない滋賀県民]

いいね2^8個目を頂きました

[@mathkarat6427]

恐縮です。ありがとうございます。