Identidad de Bézout | 4/12 | UPV
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- Опубліковано 26 сер 2024
- Título: Identidad de Bézout
Descripción: Se presenta la identidad de Bézout y se indica cómo obtener los coeficientes que aparecen en dicha identidad (coeficientes de Bézout) a partir del algoritmo de Euclides. Jordan Lluch, C. (2019). Identidad de Bézout. hdl.handle.net/...
Descripción automática: En este video, se explica cómo utilizar la Identidad de Bézout en matemáticas, especialmente en la resolución de ecuaciones diofánticas y para calcular el inverso modular en \( \mathbb{Z}_m \). Se introduce el teorema de Bézout, que establece que para cualquier par de enteros \( a \) y \( b \), existen dos enteros \( x \) e \( y \) tales que el máximo común divisor (MCD) de \( a \) y \( b \) se puede expresar como \( ax + by \).
Se presenta un ejemplo detallado para calcular los coeficientes \( x \) e \( y \) usando el algoritmo de Euclides, que involucra divisiones sucesivas hasta obtener un resto cero. Con este método, se calcula primero el MCD y luego, retrocediendo, se hallan los valores de \( x \) e \( y \).
Adicionalmente, se introduce un corolario que indica que un entero \( c \) puede expresarse como una combinación lineal de \( a \) y \( b \) si y solo si \( c \) es múltiplo del MCD de \( a \) y \( b \). Para ilustrar su uso práctico, el video muestra cómo calcular los coeficientes para expresar el MCD de dos números como una combinación lineal de ellos. Además, se demuestra cómo aplicar este conocimiento para demostrar que dos números son primos entre sí.
En resumen, el video aborda la Identidad de Bézout y cómo permite resolver problemas matemáticos específicos, proporcionando ejemplos y un corolario significativo, apuntando a la importancia de la práctica y el entendimiento para el manejo eficiente de estos conceptos.
Autor/a: Jordan Lluch Cristina
Curso: Este vídeo es el 4/12 del curso Divisibilidad y congruencias. • Divisibilidad y Congru...
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¡Qué bien explicado! Ojalá fueran así todos los profesores de universidad...
Me quedo con las últimas palabras, extrapolables a cualquier aspecto de la vida: "La práctica es la base. La pelota, ahora en tu tejado."
Gracias profesora
Por el tablero extendido de Bezout
i. r. q. x. y
0. 162. _. 1. 0
1. 136. 1. 0. 1
2. 26. 5. 1. -1
3. 6. 4. -5. 6
4. 2. 3. 21. -25
5. 0. _. -68. 81
Siendo MCD= 2
La ecuación de Bezout
21x - 25y = 2
Comprobación
21(162) - 25(136) = 2
Gracias. Muy bien hecho.
Excelente explicación
No sería más fácil, hallar los coeficientes substituyendo y operando algebraicamente?
Es decir, y a modo de ejemplo en el caso de mcd(81,24)=3 y a partir de la lista de los restos (restos despejados en el algoritmo de Euclides)
9 = 81 - (24 x 3)
6 = 24 - (9 x 2)
3 = 9 - (6 x 1)
1) Substituimos 81 por n1 y 24 por n2
9 = n1 - (n2 x 3)
6 = n2 - (9 x 2)
3 = 9 - (6 x 1)
2) Substituimos cada resto por una letra 9=a, 6=b, etc...
a = n1 - (n2 x 3) = n1 - 3n2
b = n2 - (a x 2) = n2 - 2a
3 = a - (b x 1) = a - b
3) Operamos de abajo a arriba, algebraicamente hasta que el mcd quede sólo en función de n1 y n2
3 = a - b = n1 - 3n2-n2 + 2a = n1 - 4n2 + 2a
volvemos a substituir en a
3 = n1 - 4n2 + 2 (n1-3n2) = n1 -4n2 + 2n1 -6n2
3 = 3n1 - 10n2
Resultado:
coeficientes 3 y -10
Comprobación
3 = 3·81 - 10·24 = 243 - 240 = 3
Hola,
bueno, haces más menos lo mismo. Despejo los restos y voy sustituyendo. Lo cuento así porque creo que didácticamente es más claro y rápido.
Saludos
Cristina
4:39 ahí opero el 5 aunque entiendo que lo hizo porqué 5 no era un resto de las divisiones.
me parece que hubo un error en la explicacion de la senora. Fijese que x = 21 e y = -25 no da como resultado 2
Hola,
si te refieres al minuto 6.04, 162*21+(136*(-25)=2.
Saludos
Cristina