수학 개념은 한 바퀴 다 돌렸는데 문제는 안풀리고…🤨 학원(인강, 과외 등)에서 하라는대로 숙제하고 했는데 여전히 틀리는 문제는 똑같고…🥲 개념이랑 문제가 연결이 안돼서 맨날 외우고…😞 틀린 문제 다시 풀면 또 틀리고…😭 뭘 어떻게 해야하지? 👉🔥실전개념+기출분석 강의 SAVOR🔥 abit.ly/adbvkr abit.ly/adbvkr abit.ly/adbvkr abit.ly/adbvkr abit.ly/adbvkr
(+) 극한값 vs 평균변화율 vs 미분계수 vs 도함수 극한값: 극한으로 보냈을 때의 y값 => limit x->a 일 때 f(x) 평균변화율: 두 지점을 지나는 직선의 기울기 => Δy/Δx = {f(a+Δx) - f(a)}/Δx 미분계수: 특정 지점의 극한으로 보냈을 때의 접선의 기울기(=평균변화율의 극한값) => f'(a) = limit Δx->0일 때 Δy/Δx = limit Δx->0일 때 {f(a+Δx) - f(a)}/Δx 도함수: 미분계수를 정의역 전체로 확장 => f'(x) = limit Δx->0일 때 Δy/Δx = limit Δx->0일 때 {f(x+Δx) - f(x)}/Δx
정말감사합니다!! 많은 도움이 되었습니다. 질문이 하나 있는데요,, 미분가능성 확인할때 1) 연속한지, 2) 좌미계=우미계 이 두가지를 확인한다고 하셨는데 1) 연속한지는 왜 따지는건가요? 좌미계=우미계만 만족된다면 연속은 자동으로 보장되는게 아닌가요? 꼭 저 두가지를 다 따져야 한다면 좌미계=우미계 이면서 불연속인 함수가 있다는말인지요?!
아 꼭 2가지를 함께 따져야하는 건 아닙니다. 말씀하신대로 2)좌미계=우미계만 확인해도 되긴합니다. 다만 1)연속 여부를 확인하는 이유는 아래 2가지입니다. 1. 아예 가능성이 없는 경우를 '빠르게' 판단하기 위함입니다. 일종의 서류탈락(?) 같은거죠. 연속조차도 못하면 좌미계 우미계는 굳이 계산해볼 필요도 없다고 생각하는겁니다. 2. 2개의 식을 얻어내기 위해서입니다. 1번보다는 2번의 이유로 연속여부를 함께 따질때가 많습니다. 도움되셨길 바랍니다^^
아뇨 그렇지 않습니다. 좌우미분계수는 말그대로 왼쪽 오른쪽의 기울기라고 생각하시면되구요, 이 좌우 기울기가 같을때에만 '미분계수가 존재한다'는 인증마크를 주는겁니다. 그리고 그때만 미분가능하다고 하는것이죠. 미분계수가 존재하지 않는경우, 즉 미분 불가능한 경우에도 좌우미분계수는 각각 존재할 수 있습니다. 그리고 마지막에 물어보신게 좌우미분계수를 구하는 과정을 말씀하신거라면, 미분 가능하려면 그 점에서 f'(x)의 '함숫값'이 존재한다는거구요, 미분 불가능하면 함숫값은 없겠지만 좌, 우 극한값은 존재할 수 있는겁니다. 따라서 f'(x)의 좌, 우 극한값이 각각 존재한다 해서 미분가능하다고 봂수는 없는거겠죠. 답변이 충분히 되었는지 모르겠네요ㅜ
제가 정확히 질문을 파악한 게 맞는지는 모르겠으나, 좌미분계수를 구했다고해서 항상 바로 왼쪽이 미분가능하다라고 할 수는 없습니다. 그렇지 않은 반례도 있거든요 (고등학교 과정 외) 좌미분계수를 f'(x)의 좌극한으로 나타낼 수 있었다면 f'(x)가 해당점 바로 왼쪽에서 함숫값이 있었다는 의미고, 그런경우 말씀하신대로 바로 왼쪽에서 미분가능한 것이 맞습니다. 정리하자면, 고등학교때 배우는 수학에서는 질문자께서 말씀하신게 맞지만, 교육과정을 넘어서는 내용에서는 반례도 존재한다는 겁니다.
@@saomath 반수를 준비하는 학생이라 고등범위 내에서만 질문을 합니다. 제가 어렵게 말을 한것같은데 그냥 "좌미분계수는 미분가능하다 왜냐하면 좌미분계수가 존재하기 때문이다 당연하다"라고 제가 이해한게 맞나 싶어서요 말씀드렸다 싶이 그냥 제 호기심이여서요ㅠㅠ 밤늦게까지 답변해주셔서 그저 감동입니다
선생님 궁금한것이 있는데요! 영상 6:04 쯤 문제푸실때 우기울기 구하는 맨 첫번째 리미트식에서 분자에 있는 f(x)-f(-2)를 벗겨내실때 왜 f(-2)를 4-2a+b로 벗기시지않고 -4로 벗겨내신건가요? 이게 우기울기 구하는식이라서 f(x)는 2x로 벗겨야하는것이 맞지만 f(-2)는 그냥 상수아닌가요? 문제조건에선 x=-2일때 f(-2)가 4-2a+b라고 하는것 같은데, 좌기우기 구할때 이 f(-2)까지 달라지는 이유는 무엇인가요? 보니까 그 다음 2007년도 문제에서도 마찬가지이더라구요.!! 너무너무 궁금한데 답변해주시면 감사하겠습니다!
미분가능한 함수가 있다면, x=a에서의 좌미분계수 = 도함수의 x=a에서의 좌극한, 우미분계수 = 도함수의 x=a에서의 우극한 이라고 보시면 됩니다. 물론 엄밀히 따지자면 대학교에서는 이게 성립하지 않는 반례에 대해서 배우기도 하지만, 그런 사례는 흔치 않고 고등수학 과정에서는 위에서 말씀드린대로 알고계셔도 전혀 무방합니다^^
@@saomath 처음 배워서 아직 많이 미흡합니다. 좌기울기와 우기울기가 같으려면 우선 연속이어야 한다는 뜻인가요? 그리고 첫 번째 예시로 보여주셨던 y=|x|는 연속이긴 하나 미분 불가능하고 두 번째는 연속조차 아니여서 미분이 불가능 한거니 미분가능이 연속에 포함되는 건가요?
@@PsyDuckking 질문자님께서 방금 보여주신 유형의 함수를 케이스 펑션(대학마다 부르는 게 다릅니다)이라고 부르는데 이 때의 미분계수는 미분해서 값을 대입하면 안되고 미분계수의 정의를 이용하여 구해야 합니다. 이 함수는 도함수의 극한도 발산이고 미분계수도 발산입니다
![[수2 실전개념] 곱함수의 미분가능성](http://i.ytimg.com/vi/2enQ1_RR5zI/mqdefault.jpg)
수학 개념은 한 바퀴 다 돌렸는데 문제는 안풀리고…🤨
학원(인강, 과외 등)에서 하라는대로 숙제하고 했는데 여전히 틀리는 문제는 똑같고…🥲
개념이랑 문제가 연결이 안돼서 맨날 외우고…😞
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뭘 어떻게 해야하지?
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명품강의입니다😂😂😂😂😂😂
"미분가능" f'(a)가 존재 (=미분계수 존재, 곡선 y=f(x)위의 x=a인 점에서 접선 존재)
미분가능조건(세 가지 모두 만족해야 함.):
1. 연속(극한값 존재): limit x->a일 때 f(x) = f(a) (좌극한=우극한=함숫값)
2. 뾰족점이 없음(미분계수 존재): 좌미분계수=우미분계수
y=∣x∣ -> 미분가능x
y=∣x∣³ -> 미분가능 (x=0에서의 좌우미분계수: 3x²)
y=[x] -> 미분가능x
y=[x]-x -> 미분가능x
3. (교육과정 밖) 수직 접선이 없음: 수직접선은 접선의 기울기가 무한대가 되므로 미분가능하지 않다.
(+) 극한값 vs 평균변화율 vs 미분계수 vs 도함수
극한값: 극한으로 보냈을 때의 y값
=> limit x->a 일 때 f(x)
평균변화율: 두 지점을 지나는 직선의 기울기
=> Δy/Δx = {f(a+Δx) - f(a)}/Δx
미분계수: 특정 지점의 극한으로 보냈을 때의 접선의 기울기(=평균변화율의 극한값)
=> f'(a) = limit Δx->0일 때 Δy/Δx = limit Δx->0일 때 {f(a+Δx) - f(a)}/Δx
도함수: 미분계수를 정의역 전체로 확장
=> f'(x) = limit Δx->0일 때 Δy/Δx = limit Δx->0일 때 {f(x+Δx) - f(x)}/Δx
선생님 사랑합니다,,,,,,,,,,,,,,
정말감사합니다!! 많은 도움이 되었습니다. 질문이 하나 있는데요,, 미분가능성 확인할때 1) 연속한지, 2) 좌미계=우미계 이 두가지를 확인한다고 하셨는데 1) 연속한지는 왜 따지는건가요? 좌미계=우미계만 만족된다면 연속은 자동으로 보장되는게 아닌가요? 꼭 저 두가지를 다 따져야 한다면 좌미계=우미계 이면서 불연속인 함수가 있다는말인지요?!
아 꼭 2가지를 함께 따져야하는 건 아닙니다.
말씀하신대로 2)좌미계=우미계만 확인해도 되긴합니다.
다만 1)연속 여부를 확인하는 이유는 아래 2가지입니다.
1. 아예 가능성이 없는 경우를 '빠르게' 판단하기 위함입니다. 일종의 서류탈락(?) 같은거죠. 연속조차도 못하면 좌미계 우미계는 굳이 계산해볼 필요도 없다고 생각하는겁니다.
2. 2개의 식을 얻어내기 위해서입니다. 1번보다는 2번의 이유로 연속여부를 함께 따질때가 많습니다.
도움되셨길 바랍니다^^
결국 미분계수에 우극한 좌극한을 더해서 하면 되는거군요
수행평가 준비하는데 정말 도움이 됐습니다ㅜㅜ 혹시 어떻게 해야 연속인지는 알겠는데 5:39에서 좌기울기 구할때 분모에 왜 x-(-2)가 들어가는지 알 수있을까요? 죄송합니다..
안녕하세요, 5:32 에서 왜 함숫값은 좌극한이랑 같나요? 우극한의 값도 동일한 f(x) 니까 함숫값도 2x 로 될 수 있는거 아닌가요?
x>-2라고 범위가 나와있네요 함숫값은 포함 안 됩니다
선생님 미분계수가 존재한다는것이 미분가능이고 미분가능을 판단할땐 좌우미분계수를 활용하는건데 이미 좌우미분계수가 있는거니까 극한의 좌우에서는 이미 미분가능하다는건가요?
아 그리고 f(x+h) - f(x)/h가 f'으로 표현 된다는건 이미 미분가능함을 내포하고있나요?
아뇨 그렇지 않습니다.
좌우미분계수는 말그대로 왼쪽 오른쪽의 기울기라고 생각하시면되구요, 이 좌우 기울기가 같을때에만 '미분계수가 존재한다'는 인증마크를 주는겁니다. 그리고 그때만 미분가능하다고 하는것이죠.
미분계수가 존재하지 않는경우, 즉 미분 불가능한 경우에도 좌우미분계수는 각각 존재할 수 있습니다.
그리고 마지막에 물어보신게 좌우미분계수를 구하는 과정을 말씀하신거라면, 미분 가능하려면 그 점에서 f'(x)의 '함숫값'이 존재한다는거구요, 미분 불가능하면 함숫값은 없겠지만 좌, 우 극한값은 존재할 수 있는겁니다.
따라서 f'(x)의 좌, 우 극한값이 각각 존재한다 해서 미분가능하다고 봂수는 없는거겠죠. 답변이 충분히 되었는지 모르겠네요ㅜ
@@saomath 사실 엄청 중요한건 아닌데 제말은 좌미분계수와 우미분계수도 하나의 미분계수로 봐서 좌,우미분계수도 미분가능한지를 여쭤어 본겁니다ㅎㅎ.. 그래야(좌우미분계수가 존재한다 = 좌.우미분계수도 미분가능하다) 미분가능을 판단할때 좌 우미분계수로 판단할수 있지 않을까싶어서 / 미분이 가능하던 안하던 적어도 좌우미분계수가 존재해야하니 극한의 좌우에서 이미 미분이 가능함을 내포한건지를 여쭤본겁니다
@@saomath 아 그리고 f(x+h) - f(x)/h가 f'으로 표현 된다는건 이미 미분가능함을 내포하고 있는것 아닙니까? 저렇게 표현되기 위해서는 미분계수가 존재해야 한다는 것이고 결국 좌미분계수랑 우미분계수가 같아서 미분가능을 내포하고 있는것 아닌가요?
제가 정확히 질문을 파악한 게 맞는지는 모르겠으나, 좌미분계수를 구했다고해서 항상 바로 왼쪽이 미분가능하다라고 할 수는 없습니다. 그렇지 않은 반례도 있거든요 (고등학교 과정 외)
좌미분계수를 f'(x)의 좌극한으로 나타낼 수 있었다면 f'(x)가 해당점 바로 왼쪽에서 함숫값이 있었다는 의미고, 그런경우 말씀하신대로 바로 왼쪽에서 미분가능한 것이 맞습니다.
정리하자면, 고등학교때 배우는 수학에서는 질문자께서 말씀하신게 맞지만, 교육과정을 넘어서는 내용에서는 반례도 존재한다는 겁니다.
@@saomath 반수를 준비하는 학생이라 고등범위 내에서만 질문을 합니다. 제가 어렵게 말을 한것같은데 그냥 "좌미분계수는 미분가능하다 왜냐하면 좌미분계수가 존재하기 때문이다 당연하다"라고 제가 이해한게 맞나 싶어서요 말씀드렸다 싶이 그냥 제 호기심이여서요ㅠㅠ 밤늦게까지 답변해주셔서 그저 감동입니다
꼭 보세요
선생님 궁금한것이 있는데요! 영상 6:04 쯤 문제푸실때 우기울기 구하는 맨 첫번째 리미트식에서 분자에 있는 f(x)-f(-2)를 벗겨내실때 왜 f(-2)를 4-2a+b로 벗기시지않고 -4로 벗겨내신건가요? 이게 우기울기 구하는식이라서 f(x)는 2x로 벗겨야하는것이 맞지만 f(-2)는 그냥 상수아닌가요? 문제조건에선 x=-2일때 f(-2)가 4-2a+b라고 하는것 같은데, 좌기우기 구할때 이 f(-2)까지 달라지는 이유는 무엇인가요? 보니까 그 다음 2007년도 문제에서도 마찬가지이더라구요.!! 너무너무 궁금한데 답변해주시면 감사하겠습니다!
4-2a+b로 벗긴게 맞구요, 벗겨내자마자 연속조건으로 얻어냈던 식 2a-8=b 라는 식과 연립한겁니다 (5:57 참고)
선생님, 미분가능한 함수가 있다면 그 함수의 좌미분계수와 우미분계수는 각각 좌극한값과 우극한값과 같다고 이해해도 되나요?
미분가능한 함수가 있다면, x=a에서의 좌미분계수 = 도함수의 x=a에서의 좌극한, 우미분계수 = 도함수의 x=a에서의 우극한 이라고 보시면 됩니다.
물론 엄밀히 따지자면 대학교에서는 이게 성립하지 않는 반례에 대해서 배우기도 하지만, 그런 사례는 흔치 않고 고등수학 과정에서는 위에서 말씀드린대로 알고계셔도 전혀 무방합니다^^
감사합니다
4:20 미분계수가 존재하는 게 연속이라는 말이 잘 이해가 안돼요
미분계수가 존재하더라도 연속이 아닐 수 있잖아요
미분계수가 존재한다는 말은 그 지점에서 미분이 가능하다는 말이고, 미분이 가능하다는 건 이미 연속한다는 얘기입니다.
미분계수가 존재하는데 연속이 아닐수는 없습니다.
@@saomath 처음 배워서 아직 많이 미흡합니다.
좌기울기와 우기울기가 같으려면 우선 연속이어야 한다는 뜻인가요?
그리고 첫 번째 예시로 보여주셨던 y=|x|는 연속이긴 하나 미분 불가능하고 두 번째는 연속조차 아니여서 미분이 불가능 한거니 미분가능이 연속에 포함되는 건가요?
네 모두 맞습니다^^
미분 가능하려면 좌 우 기울기가 같아야하는데, 연속하지 않으면 기본적으로 왼쪽 오른쪽 기울기가 같을수가 없습니다.
그리고 연속한다고해서 항상 좌우 기울기가 같은건 아니므로 연속 안에 미분가능이 포함된다고 볼 수 있는거죠
정확히 이해하셨습니다~!
5:51 에서 좌기울기 a-4 절대 안나오는데 어캐한건가요
0/0 꼴이기때문에 분모에 있는 x+2로 인수분해하기 위해 노력해야합니다.
분자에서 x^2과 -4를 (x+2)(x-2)로 묶고, ax와 2x를 a(x+2)로 묶으면 둘 다 (x+2)가 생기죠.
분자 분모를 x+2로 약분하고 분자에 남음 x-2 +a에 x대신 -2를 대입하면 a-4가 나옵니다^^
궁금한것이 있는데 y=|x| 그래프에서 f’(0)은 좌미분계수와 우미분계수 모두 y=0으로 동일하지 않나요
lxl에서 좌미분계수는 -1 우미분계수는 1으로 정의됩니다
@@saomath 그렇게 정의된다는건가요
네. 미분계수를 구할 때는 점이 2개 필요한데 그 중 하나는 고정된 점이어야 합니다. 그 점을 x=0에 찍고, 나머지 점(움직이는점)을 오른쪽에 찍으면 기울기가 1이 나오고, 왼쪽에 찍으면 기울기가 -1이 나오는거죠.
잘보고갑니다
네 감사합니다^^
👍
Good
간미연
간단히 말해서
미분 가능하면
연속이다
도함수의 극한이랑 좌,우미분계수는 다른개념이잖아요
같습니다…
@@Chronour y=x^2*sin(1/x) (x는 0이아닐때), y=0(x=0일때) 같은 함수는 도함수의 0에서의 극한이 존재하지않는데 미분계수는 존재하잖아요
@@PsyDuckking 질문자님께서 방금 보여주신 유형의 함수를 케이스 펑션(대학마다 부르는 게 다릅니다)이라고 부르는데 이 때의 미분계수는 미분해서 값을 대입하면 안되고 미분계수의 정의를 이용하여 구해야 합니다. 이 함수는 도함수의 극한도 발산이고 미분계수도 발산입니다
@@Chronour 이함수는 도함수의 극한은 발산이지만 미분계수는 0으로 수렴하는데요?
@@Chronour 당연하죠
도함수로 우미분계수 구할 때 6:23 2가 어케 나온건ㄱ다요..ㅠㅠ
미분계산법 공부하시면 2x가 2로 되요
도함수 배우시면 이해되실거에요 2x미분 하면 2나옵니당