UN CONDENSÉ DE RÉFLEXES 😉
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- Опубліковано 28 гру 2022
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Soit un triangle rectangle d'hypoténuse c et de côtés a et b.
On sait que le périmètre vaut 30 et l'aire 30.
Déterminer les dimensions a, b et c de ce triangle.
"elle est là la beauté des maths".... ah qu'est ce que vous aurez donné comme énergie pour nous rendre sensibles à cette beauté cachée. MERCI
Je pense que l'amour des maths vient beaucoup des profs qu'on a. Et votre entrain est formidable. Grâce à des gens comme vous, je suis sûr qu'on formera les matheux qui manquent en France !
C'est vrai pour n'importe quelle matière!
France is going down.
Je suis parti avec un système à 3 lignes 3 inconnues
AB/2=30 (formule de l'aire du triangle rectangle)
A+B+C=30 (le périmètre du triangle vaut la somme des 3 côtés)
A^2+B^2=C^2(théorème de Pythagore)
Après résolution on trouve 2 couples solution:(5;12;13) et (12;5;13)
Donc a=5 b=12 et c=13 ou a=12 b=5 et c=13
Edit:merci pour les likes
@dr-blood_9981 Salut docteur sanguinaire. J'ai fait pareil et obtenu les memes resultats. Salut de l'autre cote de l'Atlantique
J'ai considérer que :
1. a×b=60 (2 fois l'aire du triangle rectangle),
2. a+b+c=30 (périmètre)
3. a^2+b^2=c^2 (Pythagore)
En éliminant c, j'obtiens :
a+b=17 et a×b=60
a et b peuvent être considérés comme étant les racines d'un polynôme du second degré
X^2-Sx+P=0 avec S=17 et P=60 dont les racines sont 12 et 5.
a et b valent 12 et 5 ou bien 5 et 12.
La vérification confirme ces valeurs.
beaucoup plus rigoureux !
Résoudre dans N (le domaine de définition souvent oublié)
On cherche les couples (a,b) et (b,a) qui satisfont à ab=60 aire du triangle....6 (12)
On cherche le c qui satisfait à c^2=a^2+b^2 Pythagore ...fini...
Cette fois ci c'est le plus simple ...mais moins beau...
Merci...j'ai 68 ans ma TV c'est Headacademy...je renais...il faudra penser à éditer des bouquins...un jour
Par contre, comme a et b ont des rôles identiques dans les 3 équations, on peut intervertir leurs valeurs.
(5, 12, 13) est une solution, mais (12, 5, 13) en est également une.
Résoudre l'équation (17-b)^2 + b^2 = 169, donnera les 2 solutions.
Bonjour Vincent, j'ai eu la même idée que vous, je dirais que a et b joue un rôle symétrique en effet il a dit que (5,12,13) est la seule solution or je crois que c'est faux. Il aurait pu utiliser les complexes pour la résolution du système. a^2 + b^2 = (a+ib)*(a-ib)
Spontanément, je me suis dit: « une petite énigme comme ça, on peut s’attendre à une réponse propre avec des jolies valeurs entières. Donc un (multiple d’un) triplet pythagoricien, ca serait pas mal. Je sais que a+b+c=30. Puisque c est l’hypoténuse, c>a et c>b, donc c>10. Et en vertu de l’inégalité triangulaire, a+b>c, donc c
Exercice très intéressant !!! Je ne suis pas parti du parallèle - que je trouve très subtil - entre le système à 3 équations et l'identité remarquable (a + b)²; parallèle qui permet alors d'aboutir très rapidement à une équation simple à une seule inconnue (c). Voici mon "parcours" (ET BRAVO POUR CETTE VIDÉO !!!) ...
a + b + c = 30 (périmètre)
c = √(a² + b²)
a + b + √(a² + b²) = 30
√(a² + b²) = 30 - a - b
(√(a² + b²))² = (30 - a - b)²
a² + b² = (30 - a - b)²
a² + b² = (30 - a - b)(30 - a - b)
a² + b² = 900 - 30a - 30b - 30a + a² + ab - 30b + ab + b²
a² + b² - 900 + 30a + 30b + 30a - a² - ab + 30b - ab - b² = 0
a² - a² + b² - b² + 30a + 30a + 30b + 30b - ab - ab - 900 = 0
60a + 60b - 2ab - 900 = 0
note: ab/2 = 30 (aire) => ab = 60
comme > alors > devient:
60a + 60b - 120 - 900 = 0
60a + 60b = 120 + 900
60(a + b) = 1020
a + b = 1020/60
a + b = 17
comme > et > => c = 13
a + b = 17 => b = 17 - a
comme > alors > devient:
a(17 - a) = 60
17a - a² = 60
-a² + 17a - 60 = 0 (équation du 2e degré => calcul du discriminant)
delta = 17² - 4*(-1)*(-60) = 289 - 240 = 49
√(delta) = √(49) = 7
a (solution #1) = (-17 + 7)/(2*(-1)) = -10/-2 = 5
a (solution #2) = (-17 - 7)/(2*(-1)) = -24/-2 = 12
si a + b + c = 30 et a = 5 (solution #1) et c = 13 => b = 12
si a + b + c = 30 et a = 12 (solution #2) et c = 13 => b = 5
Résultats et vérification:
> ou >
a = 5; b = 12; c = 13 => périmètre = 5 + 12 + 13 = 30 et aire = (5*12)/2 = 60/2 = 30 périmètre = 12 + 5 + 13 = 30 et aire = (12*5)/2 = 60/2 = 30
J'aime trop cette expression "faut être visionnaire " précis et très pertinent." Elle est là là beauté des maths" et oui tout n'est que formule et combinaison faut juste savoir comment s'y prendre. Ce que vous maîtrisez parfaitement. Encore merci et bonne année à vous. Avec 14 heures et 52 minutes de retard : il n'y a pas d'équivoque en maths n'est pas!!!👍👍👍🥰
Merci beaucoup pour vos vidéos très bien réalisées. Elle m'aide vraiment dans mon quotidien et me redonne goût aux maths.
Vous êtes concis, précis, avec un excellent débit et vous faîtes raisonner sans cesse par votre manière d'enseigner. Vous vivez ce que vous disez, vous y croyez et du coup on y croit avec vous car on comprend tout simplement, et c'est le but recherché quand on vous regarde et qu'on vous écoute. Je vous remercie de nouveau et continuez s'il vous plait vos vidéos. Cordialement.
😍😍 merci beaucoup pour ce retour, très agréable à lire et motivant.
"excellent débit" ??? à la limite de l'incompréhensibilité oui !
Quant au niveau ? Au ras des pâquerettes ! Niveau de 2me année du secondaire ! (Élèves de +/- 14 ans !)
@@jean-pierrelafaille8713 deuxième année du secondaire, du XXème siècle car aujourd'hui aucun élève de troisième n'est capable de résoudre ce problème !
J'ai considéré :
1. a×b=2×30 (aire),
2. a+b+c=30 (périmètre)
3. a^2+b^2=c^2 (Pythagore)
Ensuite dans (2.) j'isole c et je l'élève au carré puis je substitue c^2 dans (3.), en triturant cette nouvelle équation issue de (2.) et (3.) j'arrive à la forme :
a+b=17=S et comme nous avons déjà le produit P : a×b=60=P
alors a et b sont solutions de l'équation du second degré de la forme :
x^2-Sx+P=0 soit
x^2-17x+60=0 qui a pour solution le couple (5 ; 12) pour (a ; b) (ou (b ; a) qui est son symétrique) et 13 pour c.
Je suis passé par cette piste aussi voyant rapidement que le développement donnerait un a² + b² qui du coup serait supprimé de chaque côté.
a+b+c=30; ab=60; a²+b²=c² équivaut à (a+b)²-2ab=c²
utilisons un changement de variables en posant u=a+b et v=ab le système devient
u+c=30; v=60; u²-2v=c² régalons nous en remplaçant v par 60, il vient
u+c=30 et u²-120=c² chic, on a maintenant un système de 2 équations à 2 inconnues soit: u+c=30 et u²=c²+120 ou c=30-u que nous substituons dans la 2ème soit u²=(30-u)²+120
puis u²=900-60u+u²+120 ou 1020-60u=0 donc u=1020/60 donc u=17 mais u=a+b, donc nouveau système a+b=17 et ab=60 se résout facilement par substitution b=17-a il vient
a(17-a)=60 donne a²-17a+60=0
donne a=12, b=5 donc c=13 ou a=5, b=12, c=13 CQFD
Sur la fin j'ai conservé a+b=17 et a×b=60. Une substitution avec b=17-a aboutit à une équation du second degré, ou alors on repère la solution 60=12×5 et 12+5=17.
Il y a en fait 2 solutions au problème : S={a;b;c}={5;12;13} et S={12;5;13}. a et b ont des rôles symétriques.
J'ai trouvé les mêmes solutions que vous, mais sans substitution : en faisant sur (a-b)² le même travail que sur (a+b)² précédemment (qui a donné l'équation d'inconnue c).
On obtient assez vite (a-b)²=49, ce qui donne a-b=7 ou a-b= -7 , pour arriver enfin aux mêmes solutions.
... "a et b onT des ..."
Achetez et UTILISEZ le "Bescherelle de la Conjugaison " !
@@jean-pierrelafaille8713 Il y a une raison particulière de mettre un C majuscule à "conjugaison" ? Vous avez passé de mauvaises fêtes, vous avez besoin d'en parler ? Une raison particulière d'être agressif ?
@@christophe_l_56 Mon Cher Kiki,
Le "Bescherelle de de la Conjugaison" est le titre d'un ouvrage. Il mérite donc une "majuscule" à "Conjugaison".
Quant à mon "agressivité", pourriez-vous être plus explicite ?
Chapeau, et merci pour la qualité des explications.
merci pour toutes ces vidéos, passé de bonnes fêtes prof Iman
Très intéressant ce système pour s’entraîner merci 💪!
Je suis parti de ab=60 et parmi les couples (5;6), (10;6), (12;5), (15;4) et (20; 3) , seul le couple (5;12) est le début d'un triplé de Pythagore... donc 5;12;13...
(Le couple 60;1 était éliminé d'office puisque 61>30). J'ai vérifié ensuite que 5+12+13=30 et le tour était joué. Ça m'a pris environ 15 secondes pour trouver la réponse mais plus de 2 minutes pour taper ce commentaire 😀
Pareil ! Je m’arrête là pour pas perdre de temps en commentaire ;)
Comment avez-vous vu que seul (5;12) est le début d'un triplet de Pythagore?
Est-ce en essayant de trouver la somme 30 et en cherchant un a et un b inférieur à c?
En tout cas bien joué, je n'ai pas réalisé que l'aire donnait des couples (a;b) 👍
J'aime ce prf tllm sa façon d'expliquer est hyper cool 😩💗
Wah très intéressant, j’y suis allé en tatonnant pour trouver le résultat en moins de 30 secondes mais effectivement j’aurai totalement pu louper d’autres possibilités si il y en avait.
Y a plus simple (ou en tout cas plus court) :
1) abc est un triangle (rectangle) dont le périmètre est de 30. a, b et c sont donc forcément chacun inférieurs à 30 (et ils ne peuvent pas être nuls).
2) l'aire du triangle est de 30, donc sachant qu'on l'obtient en faisant a x b / 2, ça veut dire que a x b = 30 x 2 = 60
3) abc est un triangle rectangle donc a² + b² = c²
4) on a donc juste à chercher les couples de nombres (dont la valeur est entre 0 et 30 non inclus) qui multipliés entre eux donnent 60, et, en passant par le calcul de la longueur de l'hypoténuse (qui doit être le plus grand côté), sachant que le périmètre est de 30, on verra à chaque fois si ça colle avec le point 4).
On a 4 possibilités : 3x20, 4x15, 5x12 et 6x10.
- si c'est 3 et 20, alors l'hypoténuse fait 30-3-20 = 7. On peut déjà s'arrêter là parce que l'hypoténuse doit être le plus grand des 3 côtés, ce qui n'est pas le cas.
- si c'est 4 et 15, alors l'hypoténuse fait 30-4-15 = 11. Comme dans le premier cas, ça marche pas parce que l'hypoténuse doit être le plus grand des 3 côtés.
- si c'est 5 et 12, alors l'hypoténuse fait 30-5-12 = 13.
5²+12² = 25+144 = 169 et 13² = 169, donc ça marche.
- si c'est 6 et 10, alors l'hypoténuse fait 30-6-10 = 14.
6²+10² = 36+100 = 136 mais 14² = 196², donc ça marche pas.
La solution est donc a = 5, b = 12 et c = 13 OU a = 12, b = 5 et c = 13.
Merci pour vos vidéos. From 🇸🇳🤞🏿💕
l'aire/perimetre minimum pour ce type de triangle rectange ou l'aire = perimetre est 24. Sa tombera pas toujours aussi beau que 30 mais au dessus de 24 il y aura des solutions
Autre façon de faire, plus simple selon moi :
on a :
a+b+c = 30
a*b = 60, (a, b, c des entiers naturels non nuls)
On trouve facilement que les seuls couples de valeur possibles pour a*b = 60 sont (1,60), (2,30), (3,20), (4,15), (5,12), (6,10) (dans l'ordre que l'on veut, peu importe).
On peut éliminer les deux premiers car la somme de a et b serait plus grande que 30. On peut éliminer les deux qui suivent car c, qui est l'hypoténuse serait plus petit que l'un des autres cotés. Il nous reste plus que es deux derniers et avec Pythagore, on trouve que la bonne réponse est (5,12,13)ou (12,5,13)
Il me semble que l'énoncé initial ne se limitait pas aux entiers naturels. Les solutions trouvées à la fin sont certes entières, mais on ne peut pas en être certain au départ, ce qui empêche de faire votre raisonnement.
@@jud.7795 Ah oui, pas faux... Merci pour votre réponse
c'est quand que tu fais le théorème fermat pour les nuls ? (la vidéo est géniale)
C’est pas plutôt les triplets (ê) de pythagore? Ou alors Pythagore a eu des triplés !?
6:12 Bonsoir :). Moi j'ai eu le réflexe à ce moment-là de soustraire l'égalité [(2ab) = 120] à l'égalité [a^2 + b^2 = 169]. On obtient donc le produit remarquable [a^2 + b^2 - 2ab = 169 -120] et donc [(a - b)^2 = 49]. On obtient donc le système de 2 équations du 1e degré composé de [a + b = 17] et [a - b = 7]. Ensuite, c'est un jeu d'enfant !. Très beau problème de math dans son ensemble ! 👍
Attention à ne pas exclure que a-b=-7 ce qui s'avère être une possibilité puisque si a =5 et b=12 on obtient -7 :)
@@Osirion16 Si a=12 et b=5 on obtient -7 ??????????????
@@monsieurbop3469 Non, c est a^2 + b^2=c^2 la valeur de a et b peut etre interchanger, il n y a que le 13 du C qui doit etre respecté
@@Osirion16 Sur l'interchangeabilité de a et de b nous sommes d'accord, mais dans votre précédent commentaire vous avez écrit "Attention à ne pas exclure que a-b=-7 ce qui s'avère être une possibilité puisque si a =12 et b=5 on obtient -7" D'où mes ??????????????
@@monsieurbop3469 Dans l'équation obtenu par Arnauld Bertrand, il écrit que (a-b)^2=49
En faisant la racine carré, cela crée 2 solutions (a-b)=7 ou (a-b)=-7
Cela vient justement montrer l'interchangabilité des valeurs de a et b
a+b=30-c (*)
a*b=60
a^2+b^2=c^2
En élevant (*) au carré, on obtient a^2+b^2+2a*b=(30-c)^2
soit c^2+120=(30-c)^2, donc l'équation du premier degré 120=900-60*c, d'où c=13.
Suivent a+b=17 et a*b=60, qui pourraient se ramener à une équation du second degré, si je ne voyais pas la solution évidente (5,12) -- Je triche en devinant que la solution est entière et en testant les diviseurs de 60, mais ce n'est pas indispensable.
The end.
Un peu plus difficile que vos exercices habituels, mais la solution entière (triangle pythagoricien) facilite grandement la solution.
Moi G fait d'une autre manière
J'ai dit
(BA)÷2=30
B*a=60
A+B+C=30
C=√a²+b²
a=√c²-b²
b=√c²-a²
B+A=30-c
B+a=30-√c²-a²
B+a
Petite formule interessante dans un triangle rectangle de côté a,b,c avec c l'hypoténuse, d'Aire A (ab=2A) et S le demi-périmètre (a+b+c=2S)
a^2+b^2=c^2
a^2+b^2+2ab=c^2+2ab
(a+b)^2=c^2+2ab {on remplace a+b=2S-c ; 2ab=4A}
(2S-c)^2=c^2+4A
c^2-4Sc+4S^2=c^2+4A
-4Sc=4A-S^2
c=(S^2-4A)/4S
c=S^2/S-4A/4S
=> c=S-A/S ✔ {application: A=30; S=30/2=15; c=15-30/15=15-2=13 ✔)
Bon courage Professeur
Super exo ! Juste à la fin pour trouver a et b j'ai utilisé un raisonnement qui revient souvent sur ta chaîne : on a + b = 17 (30 - c) et a x b = 60 et comme ça je trouve ça assez naturel de penser à 5 et 12
Perso, je n'ai pas fait de système. Je suis parti de l'aire (moitié d'un rectangle), puis j'ai décomposé 60 pour voir les solutions possibles. En fin de compte, une seule était possible et ça formait le triplet de Pythagore 5-12-13.
Bon exercice de maths logique.
Bonjour, très intéressant mais il y avait plus simple
P= 30 donc A+B+C = 30
Aire = 30 donc A*B/2=30 d'où A*B =60
On peut décomposer 60 en 12*5; 30*2; 3*20 et 4*15
On élimine 30*2 car ni B ni A ne peuvent être égal à 30 car A+B+C =30
Et on calcule C grâce à P pour les autres cas ce qui donne :
12*5 : C=13
3*20 : C =7
4*15 : C= 11
Or C est l'hypoténuse: il constitue donc le plus grand côté du triangle; ce qui élimine les possibilités : C=7 et C=11.
Il ne reste plus que le couple (12;5;13) ou (5;12;13)
Personnellement j'ai opté pour l'utilisation de l'idtt remarquable (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2 ca:
(a+b+c)^2 = 900 = 2c^2 + 120 + 2bc + 2ca = 120 + 2c*30, on trouve donc c = (900-120)/60 = 13. Après, c'est facile de trouver les deux autres valeurs.
Il y a une autre façon de procéder à la résolution de a été b: c’est d’utiliser la propriété suivantes : dans une équation du second degré x2-bx+c =0 b vaut la somme des racines et c le produit.
a+b=30-13=17
a.b=60
Il suffit alors de résoudre :
x2-17x+60=0
... et on trouve les valeurs de a et de b. Donc on trouve les 2 triplets solutions au problème.
Je n’aurais pas dû employer B et C pour les coefficients de l’équation du second degré. Cela prête à confusion.
Au top ,comme d'habitude.
5:30 On a a^2+b^2 et 2ab, si on fait la différence on obtient a-b (2 solutions) et connaissant à a+b un système linéaire simplissime nous donne le résultat.
N'existe-t-il pas un moyen rapide d'obtenir les deux inconnues d'un système dont on connaît la somme S et le produit P? la résolution de l'équation X²-SX+P=0 permet d'obtenir facilement a et b.
Exactement, c'est ça la méthode à suivre. Il s'est compliqué la vie (comme d'hab, quoi...).
En l'occurrence, une fois qu'on a c=13, on réutilise les hypothèses du début et on a ab=60 et a+b=17.
Sauf que comme il n'est pas précisé si b > a ou non, et que le schéma peut être volontairement mal fait (ou pas à l'échelle, ou seulement représentatif), alors les valeurs entre a et b sont interchangeables non ? On le voit déjà avec (17-b)² + b² = 169 qui va donner 2 solutions pour b.
Donc 2 solutions : soit { a = 5 , b = 12, c = 13 }, soit { a = 12, b =5, c= 13 }
Peut mieux faire ! 😂😅
Juste une petite remarque : si le triplet de pythagore ne saute pas aux yeux, il est beaucoup plus simple de substituer a=17-b dans ab=60 que dans a²+b²=169. L'équation du second degré tombe toute seule sous sa forme réduite (on peut aussi se décomposer 60 en facteurs premiers et tester pour trouver la somme)
Tu te compliques encore la vie mon ami. Une fois que tu sais que c=13, tu as ab=60 et a+b=17 et tu sais grâce aux formules de Viette que a et b sont les solutions de l'équation x²-17x+60=0.
@@italixgaming915 Je suis un indécrottable adepte de la doctrine shadok "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" [En vrai, je ne connaissais pas les formules de Viette. Je me coucherais moins bête ce soir ! (et du coup, merci !)]
@@ourligmor4685 Ca, c'est bien dommage qu'on n'apprenne pas ça au lycée alors que franchement il n'y a rien de compliqué. Quand tu as une équation du second degré de type x²+ab+b=0, si tu appelles s1 et s2 ses deux racines (réelles ou complexes) alors ton équation est équivalente à (x-s1)(x-s2)=0 et quand tu développes ça te fait x²-(s1+s2)x+s1.s2=0 donc a=-(s1+s2) et b=s1.s2. On peut bien sûr généraliser à une équation de degré supérieur.
Je vous kiff depuis le Gabon
Fun fact : Si on voudrait changer le 30 par un autre nombre, alors on peut trouver des solutions réelles pour a,b et c si et seulement si ce nombre choisi appartient à [-infini;12-8*sqrt(2)] U [12+8*sqrt(2);+infini[
Sinon on trouvera des valeurs réelles pour c mais complexes pour a et b
On peut également dire que a = sqr(25) et b = sqr(144).
Ou encore : a = racine cubique de 125 et b = racine cubique de 1728.
Ce qui aboutit à : a = racine n (5^n) et b = racine n (12^n)...ça n'a pas de sens, mais c'est correct. Héhéhé.
Pour trouver a et b, je me suis dit que a+b=17 et ab=60. Et du coup on trouve vite que (5;12) et (12;5) sont les solutions de ce système, sans passer par les triplets de Pythagore
ouai, sinon tu prend les diviseur de 60, tu obtiens les paire possible pour A et B, tu rentre Pythagore et tu obtiens C.
5, 12 et 13 ça nous change de 3, 4 et 5.
Génial 🎉
5:46 pour le système j’ai pris ab=60 et non a^2+b^2 c plus rapide
Sinon excellente vidéo mercii!
T est un triangle abc de base b et de hauteur a.
Aire(T)= 30
Perim(T)=30
Aire(T)= ab/2 = 30
=> ab /2 = 30
=> ab = 60
Perim(T) = 30 = a+b+c
=> a+b+c = 30
on sait que c² = a²+b² car T est rectangle au point R(a;b).
Récap :
a+b+c = 30
ab = 60
a²+b² = c²
Possibilité de 60 :
= 1x60
= 2x30
= 3x20
= 4x15
= 5x12
= 6x10
sauf que a+b+c = 30, ce qui signifie que a et b < 30 il reste donc
3x20
4x15
5x12
6x10
On va chercher pour chacune de ces possibilités de ab,
combien vaudrait c, sachant a+b+c = 30 :
ab c
3x20 7
4x15 11
5x12 13
6x10 14
Et maintenant dans quels cas, a²+b² = c² :
a b c ab a²+b² c² Résultat
3 20 7 60 409 49 Non
4 15 11 60 233 121 Non
5 12 13 60 169 169 OK
6 10 14 60 136 196 Non
Donc on a bien le résultat 5 12 et 13
Donc
c = 13
a = 5 si b = 12 ou 12 si b = 5
b = 12 si a = 5 ou 5 si a = 12
a+b+c=30 et ab=60, testons le triplé de Pythagore a=5 b=12 c=13. Ça fonctionne.
Ici en utilisant l'équation de second degré, les 2 solutions sont positives, on trouve a=5 ou a=12 idem pour b. Ici on a un couplé de solution interchangeable.
Alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche cette petite chose rapidement :
(a+b)+c=30
[(a+b)+c]²=900 donc (a+b)²+c²+2(a+b)c=900 mais (a+b)²=(a²+b²)+2ab=c²+120 (théorème de Pythagore et formule de l'aire) et 2(a+b)c=2(30-c)c=60c-2c²
En additionnant le tout il vient (c²+120)+c²+(60c-2c²)=900 donc 60c=780 donc c=13.
Ensuite on doit simplement trouver a et b en reprenant les hypothèses et en récupérant la valeur de c : ab=60 et a+b=17.
On sait, grâce aux formules de Viette, comment transformer ce système en équation du second degré : a et b sont les deux solutions de :
x²-17x+60=0.
Même si on n'a pas les yeux en face des trous pour voir des solutions entières évidentes, on peut résoudre ça comme un gentil petit élève de Première S avec Delta=17²-4.60=289-240=49 et donc les solutions sont (17-7)/2=5 et (17+7)/2=12.
Voilà, on a fini et le monsieur rame encore.
J'ai une méthode de "bourrin" informatique: 0
Tant que vous limitez le probleme a une manipulation algebrique d'equations derivees des proprietees geometriques du triangle, vous pouvez trouver facilement la solution et donc votre demonstartion au tableau est sans faille. Mais le probleme merite une consideration supplementaire, celle des unites de mesure, car si vous dites S(surface) = P (perimetre) vous impliquez forcement cm2 = cm (ou metres, pouces, etc).
Il faudrait donc preciser que la surface est NUMERIQUEMENT egale au perimetre sinon on pourrait aussi dire que deux vecteurs qui ont le meme module (grandeur) sont egaux, ce qui n'est pas le cas.
J'ai essaye (sans reussir) de mettre en equation le contre-probleme: Combien de triangles rectangles peut on trouver dont le perimetre est NUMERIQUEMENT egal a la surface ? Il me semble qu'il y en a une infinite mais je ne saurais meme pas comment aborder le probleme.
Qu'en pensez vous ??
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la question, mais :
Prenons n'importe quel triangle rectangle, par exemple 3 4 5
A = 6 cm² ; P = 12 cm
Si je multiplie ses dimensions par k, son périmètre est multiplié par k mais son aire par k².
Donc en choisissant k de manière appropriée (ici, on veut k² = 2k, donc k = 2), on obtient un triangle avec les propriétés souhaitées.
Pour le triangle 6 8 10 on a bien A = 24 cm² et P = 24 cm
Évidemment, dans la plupart des cas, on a des valeurs moins "jolies".
Si je pars du 8 15 17 → A = 60 cm² ; P = 40 cm
On veut donc k = 2/3, on obtient ainsi 5,333... , 10 , 11,333...
Ce qui donne A = 26,666... cm² et P = 26,666... cm
J'ai pris des triplets de Pythagore pour avoir des valeurs rationnelles, mais on pourrait procéder de la sorte avec n'importe quelles valeurs réelles et donc pour n'importe quel angle. Du coup il existe une infinité de tels triangles.
@@y.kennard3381 Ce que je tenais a souligner etait la maniere dont le probleme etait enoce car sans preciser qu'une surface ne peut etre egale a un perimetre que du point de vue numerique et sans faire mention des unites de mesure, on cree la fausse impression que cm2 et cm peuvent etre egaux.
Il y a tout un long chapitre en physique qui s'occupe d'analyse dimensionelle et qui met en garde sur la necessite de ne pas confondre les vecteurs et leur module scalaire, la surface etant un produit vectoriel et le perimetre une somme de scalaires.
Une legere mise en garde aurait suffi d'autant plus que le but du probleme etait pedagogique.
Pour trouver a et b à la fin après avoir trouvé C, on peut encore se servir de l'équation a*b=60
Sachant que a*b=60, on peut écrire les facteurs de 60 pour essayer de satisfaire a+b=17
on a (1;60)(2;30)(3;20)(4;15)(5;12) etc... On peut utiliser cette méthode car avec l'équation a+b=17 ( nombre entier ) et a*b=60 ( nombre entier ) on sait que les membres seront forcément entiers ( si on avait a = 1.5 et b = 40 on pourrait obtenir a*b=60 mais il serait impossible d'avoir un entier dans l'équation a+b=17 en utilisant des nombres décimaux )
Ta méthode a l'inconvénient de ne chercher que les solutions entières. Mais grâce aux formules de Viette, quand tu connais la somme et le produit de deux nombres, tu sais transformer ton problème en une équation du second degré. En l'occurrence, l'équation à résoudre ici est : x²-17x+60=0.
@@italixgaming915 Je sais très bien que la méthode ne trouve que les solutions entières, c'est pourquoi j'ai vérifié que la réponse ne pouvait pas être décimale :)
merci beaucoup
J'ai fait ainsi
Périmètre = 30
Aire = 30
Triangle ABC
c² = a²+b²
a+b+c = 30 c = 30 - (a+b)
c² = (30 - (a+b))²
c²= 30²‐60(a+b)+(a+b)²
c²= 900-60(a+b)+a²+b²+2ab
c² = 900-60(a+b)+c²+120
1020-60(a+b) = 0
a+b = 1020/60
a+b = 17 a = 17 - b
17+c = 30
c = 30-17 c = 13
a×b ÷ 2 = 30 a×b = 60 et a+b = 17
a = 5
b = 12
C est tellement bien les maths !!!
Perso j'y suis allé autrement, j'ai remplacé B par 30-a-c puis dans a*b=60 j'ai remplacé b pour trouver c
La ou je remplace le C de 30-a-c par -60/a +30 -a
Il ne reste que des a
On remplace a*b=60 par a*(60 -2a -60/a)=60 puis on fait delta et racine, j'ai pas fait le calcul, mais normalement ça devrait donner 5 pour a puis on déduit pour le reste avec les expressions de b et C
Puis ça
problème très intéressant, merci
Être fort en math est un privilège d'êre bon
En ďépannage mécanique sans déranger le monde
Comme la plus part des sois disant chefs d'atelier nul de chez nul
Attend je met la valise
Attend je regarde google
Attend je téléphone aux chefs des fournisseurs.
Les employeurs choisisses les nuls pour des petits salaires et en compassion une voiture de fonction pour eviter les charges considerables
C'est quel niveau ? Merci pour cette vidéo
Une fois c trouvé, on avait ab et a+b, et on sait que a et b sont solutions de X2 - sX + p = 0.
Ça m'a plu :-)
Coucou. Un petit espoir que tu lises mon message : as tu lu le "théorème du perroquet" He non je ne me moque pas de toi c'est de Denis Guedj une pure merveille. J'ai adoré ta démonstration même si je suis parfaitement incapable de la refaire. Merci pour le partage et bonne année
Je l'ai lu et c'est pas mal :)
Juste avec l’image de la vidéo j’allais prendre mon cahier et j’allais m’y mettre dessus. Ça me prendrait peut-être 5 heures voir plus ou peut-être moins mais j’allais trouver le résultat après avoir rempli presque une 12zaine de page.
Je n'arrivais pas à trouver le triplet de Pythagore directement !
Je flairais l'identité remarquable sans la voir...
Finalement, j'ai vu une piste pour supprimer le a² et b²
a + b + c = 30 => c = 30 - (a + b)
Je remplace c dans le théorème de Pythagore
a² + b² = c² => a² + b² = (30 - (a + b))²
Développement...
a² + b² = 30² - 2 x 30 x (a + b) + (a + b)²
Second développement...
a² + b² = 30² - 2 x 30 x (a + b) + a² +2ab + b²
Je supprime a² + b² de chaque côté et je remplace l'aire ab par 60
0 = 30² - 2 x 30 x (a + b) + 2 x 60
Je passe le - 2 x 30 x (a + b) à gauche et je calcule à droite
60 x (a + b) = 900 + 120 = 1020
a + b = 1020 / 60 = 17 (ouf ça marche !)
Je déduis c = 30 - 17 = 13
Et là forcément avec a + b = 17
Je n'ai pas eu de mal à trouver le triplet de Pythagore
a = 5 , b = 12 et c = 17
Merci
Je pensais avoir utilisé une méthode compliqué pour rien pour trouver C, mais au final tu as utilisé la même, ça me rassure ahah
Un truc qui me gêne dans cette démo (et dans d'autres en commentaires) c'est le "je mets cette équation au carré" comme si c'était normal, sans mise en garde. Faut toujours faire attention avec ces étapes là, car on peut "créer des solutions incorrectes", qui satisfont l'équation mise au carré mais pas l'équation originelle.
Bon, vu qu'il vérifie de toute façon à la fin parce que "raccourci des triplets de Pythagore", ça va. Mais même sans ce raccourci, il aurait fallu vérifier (ou argumenter qu'il n'y a pas de souci ici).
Et il y a le problème des unités aussi, mais ça d'autres l'ont déjà relevé.
Bonne année 2023
Comment t'as fait pour trouver les candidats (5;12) de pythagor ?!!
Plus simple regle 3 4 5 . 30 divisé par 3+4+5 = 2,5
A=3*2,5 7,5
B=4*2,5 10
C=5*2,5 12,5
D'un mauvais réflexe découle un autre choix que celui du triplet pythagoricien... pas vu pas pris. 😅
Juste, pour l'argument de fin, j'ai beaucoup mieux : 3 équations, 3 inconnues => solution unique (oui, d'accord, les 3 équations doivent être indépendantes... Elles le sont de manière évidente)
Vrai ce que tu dis dans un système d'équations LINÉAIRE, mais plus du tout vrai quand des puissances (carré, cube... ou racine) interviennent. Pour preuve élémentaire : la résolution de l'équation du second degré à une inconnue il peut y avoir 0, 1 ou 2 solution dans le corps des réels.
Après avoir obtenu c=13 : a+b=17 et ab=60 Donc, "a" et "b" sont des solutions de x^2-17x+60=0 ∴ (x-5)(x-12)=0 ∴ x = 5, 12 ∴ (a, b) = (5, 12), (12, 5)
‥‥‥ Il n'y a pas d'autre solutions.
J'ai du mal à comprendre parceque vous parlez trop vite mais quand même merci a vous.
Merci, j'aime bien vos vidéos mais je trouve que parfois vous compliquez les choses.
Bien sûr c'est bien de développer les raisonnements complets. En prenant l'exemple, 60 pour l'aire du rectangle ne supportait que 3 solutions plausibles, 4x15, 5x12, 6x10, voire 2x30. Et rapidement, on trouve 5 et 12 par la logique, 144+25=169, 169=13 au carré (sous entendu des nombres entiers)
Et de plus, ce type de raisonnement de "bouts de chandelles" est l'apanage des anciens qui ne sont plus à jour des identités remarquables mais qui ont le bon sens campagnard.
D'autre part, n'hésitez pas à mentionner que vos croquis sont établis sans aucune échelle, le vôtre étant peu représentatif de 5x12)
Merci d'avoir conçu ces exercices qui sont si plaisants à resoudre, J'AIME +++
Si le triangle n'était pas rectangle que serait son aire ?
Aucun problème, je trouve bien "c" égal à 13. Mais (sauf si le dessin est à l'échelle), "a" peut valoir douze et "b" cinq, non?
C'est pas tout à fait ça Monsieur, il y'a deux triplets solutions à ce problème or vous dites qu'il y'en a qu'un seul
c'est pour quelle classe cet exercice? je me suis un peu creusé la tête mais je suis mamie de 76 ans😅
On sait aussi que c²=E/m
Je n'arrive pas à trouver le sens de variations de la fonction
f(x)=-1+e(x+1)+(2ln(x+1))/(x+1)^2
💪💪💪
a = 12 , b = 5 et c= 13
ah, le triangle à 4 côtés inégaux !!!
"On trouverait une solution négative pour b, ce qui serait aberrant"... Ce qu'il faut pas entendre... C'est pourtant assez évident qu'on peut intervertir les valeurs qu'on trouve pour a et b...
Mieux valait tirer ces calculs que de partir sur une pseudo-démonstration par l'absurde : "si on n'avait pas des entiers, ce serait des irrationnels..." : n'importe quoi ! Que d'imprécisions !
👊👊👊
Oufti balaise celui là... 😅
Ça fait transpirer 😅
Pas encore trouvé la vidéo, mais j'ai la réponse.
3 Inconnues => Il faut 3 équations.
1) Périmètre: a + b + c = 30.
2)Aire a.b = 60 (ou (a.b)/2 = 30).
3)Pythagore: a^2 + b^2 = c^2.
a + b + c = 30.
a.b = 60
a^2 + b^2 = c^2.
J'ai élevé toute la première ligne au carré.
a^2 + b^2 + c^2 + 2a.b + 2a.c + 2b.c = 900
Comme a^2 + b^2 = c^2 et 2a.b = 120
On arrive à:
2c^2 + 120 + 2c( a + b) = 900.
Or a + b = 30 - c.
2c^2 + 120 + 2c(30 - c) = 780
2c^2 + 60c - 2c^2 = 780
60c = 780
On arrive à c = 13.
Donc Nouveau système:
a + b = 17
a.b = 60
Comme a = 60/b (et b != 0), on a:
60/b + b = 17
Soit (b^2 -17b + 60)/b = 0 soit b^2 -17b + 60 = 0. Soit d le discriminant.
d = 289 - 240 = 49>0 et racine(d) = 7.
On a donc b = (17 - 7)/2 = 5 et b = (17 + 7)/2 = 12.
On va revenir au même.
Si b=5, alors a = 12 et c = 13.
Si b = 12, alors a = 5 et c = 13.
Les côtés sont donc respectivement 5, 12, 13.
J ai fait 6 10 14 mais yai pas tombé au tiercé 😂 Pythagore pas d accord.
Axb÷2. A+b+c=
a²+17²-2(17a)=169
2a²-34a+289=169
2a²-34a+120=0
a²-17a+60=0
Δ=289-240=49
si a=(17-7)/2=5 alors b=12
si a=(17+7)/2=12alors b=5
J aime bcp tes videos mais la je m excuses mais les triplets de Pythagore avec 5 12 13 je l ais pas du tout ... tu es passé un peu vite la dessus
Ou sinon avec deux petites équations simples :
Tout d'abord, la première équation de manière à ce qu'elle soit sous la forme y = ax + b, où a et b sont des constantes. Pour ce faire, on divise chaque membre de l'équation par x/2:
y = (30 cm^2 * 2) / x = 60 cm^2 / x
Puis la deuxième équation de manière à ce qu'elle soit sous la forme y = cx + d, où c et d sont des constantes. Pour ce faire, nous pouvons remplacer z par x^2 + y^2:
y = 30 cm - x - (x^2 + y^2)^(1/2)
Nous pouvons maintenant résoudre ces deux équations simultanément en trouvant les valeurs de x et y qui satisfont à la fois ces équations. Pour ce faire, nous pouvons égaliser les deux équations et résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de x.
60 cm^2 / x = 30 cm - x - (x^2 + (60 cm^2 / x)^2)^(1/2)
Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour trouver la valeur de x. Si nous le faisons, nous trouvons que x = 10 cm. Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur pour trouver la valeur de y en utilisant la première équation:
y = (30 cm^2 * 2) / x = (30 cm^2 * 2) / 10 cm = 6 cm
Enfin, nous pouvons utiliser ces valeurs pour trouver la valeur de z en utilisant la deuxième équation:
z = 30 cm - x - y = 30 cm - 10 cm - 6 cm = 14 cm
Donc, les valeurs des segments AB, BC et CA sont respectivement de 10 cm, 6 cm et 14 cm.
10+6+14=30cm et 10*6/2=30cm2
CQFD et plus fun :-)
Ben oais ..mais non en fait! Parce que a^2 + b^2 = c^2 or 100 + 36 = 136 et 14^2 = 196 donc tu t'es planté!!!!!😂🤣 Mais on s'en fout, l'important, c'est de participer! Bonne journée!!!
je suis dégouté, cela avait l'air relativement simple et c'est de très haut niveau, bref je n'ai pas les bases pour cela !
Bonjour,
Un triangle rectangle donc c²= a² + b²; en tatônnant un peu en faisant appelle aux les triplets de Pythagore on obtient: a= 12; b= 5 et c= 13
13²= 12² + 5²
169 = 144 +25
169=169
P= a+b+c
P=12 + 5+ 13= 30
Aire du triangle rectangle = (Base x hauteur) / 2
Aire du tringle rectangle = (12 x 5) / 2= 60/2 = 30
D'où: Périmètre du triangle rectangle = aire du triangle rectangle = 30
Merci pour les réflexes qui commencent à venir, Hedacademy 👋
J ai faux apparament
D'après là loi de l'hypoténuse,qui je le rappelle : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carré des 2 autre côté.
et on sait que a+b+c =30
Déjà, on sait que si a=3 et que b=4 obligatoirement c=5 et ça, ça nous donne a+b+c= 12 =Périmètre
Dans le cas de l'exercice, abc sont inconnus .nous savons seulement de la somme de abc donne 30 (donc P=30)
Dans ce cas je vais déterminer le coefficient multiplicateur passer de P=12 à P=30
Je fais donc 30/12 =15/6=5/2= 2,5
Donc je fais a=3*2,5 =7,5 . b=4*2,5=10 . c=5*2,5=12,5 .
Et 7,5+10+12,5=30
Voilà ma méthode de résolution.
Euh j'ai absolument rien compris, a chaque qu'il montre les triplets de pythagores, je suis perdu (3 4 5: ok mais 5 12 13: ? Pas d'explication) du coup ce qui n'ont pas appris les triplets de pythagores, bonne chance pour comprendre le résultats par cette techniques. Au début j'aimais bien les vidéos (voir les exercices et les techniques expliquer) mais la d'un coup, c'est "voilà la solution rapide pour ceux qui ont un bon niveau en math et les autres il faut comprendre rapidement. Donc a moins qu'il y ai une vidéo explicative du triplets de pythagores, je vois pas l'intérêt de montrer cette techniques avec peu d'explications
Je pense qu'il s'est permis de parler de 5 12 13 car c'est le triplet le plus célèbre après 3 4 5. Honnêtement, si on ne doit en retenir que deux, ce sont ces deux-là selon moi.
Mais il n'était pas nécessaire de connaître 5 12 13 pour terminer l'exercice : à partir du moment où il a évoqué 5 12 13, il aurait pu calculer (a-b)² (comme avec (a+b)² juste avant) et cela aurait donné : (a-b)²=a²+b²-2ab=169-120=49.
De là, on déduit que a-b=7 ou -7, ce qui donnera après (a;b)=(12;5) ou (5;12).
Il y avait sûrement d'autres méthodes encore.