Ich habe damals eine ganze Schulstunde (vor immerhoin 45 Jahren!) mit meinem Mathelehrer über genau diese Frage diskutiert. Letztendlich hat er mich mit dem Vollständigkeitsaxiom der reelen Zahlen überzeugt. Dieses Axiom lautet etwa so: "Wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt mit a < b (Anm.: das impliziert natürlich a ≠ b ("a ungleich b", falls das mit dem Zeichen nicht klappt) ), dann gibt es stets(!) eine Zahl c für die gilt: a < c und c < b. Und anders herum." Umgangssprachlich: "wenn es zwei Zahlen a < b gibt, dann gibt existiert STETS eine Zahl c, die dazwischen passt." Damit hat er argumentiert: "Nennen Sie mir eine Zahl die kleiner ist als 1! Ich werde IMMER in der Lage sein, Ihnen eine Zahl zu nennen, die größer ist als die Ihre und die auch kleiner als 1 ist!". Naja und bei 0,9 Periode klappt das eben nicht, also müssen die Zahlen gleich sein.
In der Schule damals bewiesen mit Intervallschachtelung (1; 0,9) (1;0,99) … Ist eine Intervallschachtelung, in der 1 und 0,Periode 9 drin sind. Aufgrund der Eindeutigkeit folgt die Gleichheit.
Bei dieser Handschrift muss man ja schon dazu schreiben, was gemeint ist. Ohne Zusammenhang würde ich die meisten Neuner nicht erkennen. Das sind für mich keine Neuner, sondern ein Luftballon an ner Schnur, ein Lolli oder sonstwas. Selbst die q sind bessere Neuner.
Die Beweise dafuer sind letztlich genaugenommen nicht wirklich stichhaltig. Der Grund fuer die Gleichheit ergibt sich jedoch aus der Definition der reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen als "Klassen von Cauchy Folgen reeller Zahlen" defiiniert, wobei 2 verschiedene Folgen genau dann zur selben Klasse geoeren, wenn die Differenzenfolge eine Nullfolge ist. Die Differenzenfolge der konstanten Folge a(n)=1 und der Folge a(1)=0,9; a(2)=0,99; a(3)=0,999; ... waere die Folge d(1)=0,1; d(2)=0,01; d(3)=0,001; ... und damit sicher eine Nullfolge, also gehoeren beide Folgen zur selben Klasse und repraesentieren daher die selbe reelle Zahl. Die erste Folge entspricht der 1, die zweite Folge der 0,9999... Das geht aber letztlch ueber das Schulwissen hinaus. Die Krux ist, das im Schulwissen so getan wird. als wisse man genau, was die reellen Zahlen sind, diese aber eigentlich nie wirklichh genau definiert werden. Beim Beweis 1 kann man sich z.B. die (berechtigte) Frage stellen, ob denn eine reelle Zal wirklich genau durchh eine unendliche Dezimalzahl repraesentiert werden kann, ob also tatsaeclich gilt 1/3=0,333... oder ob da nicht eine winzige Differenz verbleibt. Diese Ueberlegung kann dann zur Theorie der hyperreellen Zahlen fuehren. Der 3 ."Beweis" setzt voraus, dass der *Grenzwert* der unendlichen geometrischen Reihe mit a1=1/q q
Danke für den ausführlichen Kommentar. Das meinte ich unten mit "der dritte Beweis kommt einem Beweis schon näher". Da werden einfach Annahmen getroffen, die so klar nicht sind, wie sie scheinen. Ich wollte hier niemanden mit hyperreellen Zahlen und Gruppentheorie belästigen ;-) Auf der anderen Seite müssen wir aber auch nicht bei jedem Beweis mit den Axiomen anfangen sondern dürfen ein paar Sachen als schon bewiesen voraussetzen. Wird sonst schwierig im Mathe-Unterricht... Obwohl, ich fange tatsächlich auch bei Grundschüler.innen mit Symmetrie und den symmetrischen Gruppen an um den Kids klar zu machen, dass eine Zahl kein Ding ist sondern eine Aktion die etwas auf sich selbst abbildet. Meine Erfahrung ist, die Kids kommen dann viel besser mit negativen Zahlen und Brüchen und so zurecht als wenn sie an Zahlen in "Äpfeln" denken und verloren sind wenn man ihnen von zwei Äpfeln drei weg nimmt und wenn man einen zurückgibt haben sie keinen Apfel...
1. Beweis: 0,3333... (also Periode) mal 3 ist eben nicht 0,99999..., das ist genau 1 da 0,3333... eben 1/3 ist. 3. Beweis: Obacht bei unendlichen Reihen. Durch den Riemannschen Umordnungssatz wissen wir, dass wir nur durch die Sortierung der Operanden jede beliebige Zahl erzeugen können. ;)
Naja, die Annahmen aus dem 3. Beweis sind ja schon korrekt, wenn auch nicht vollständig um als Beweis tauglich zu sein. Der erste und der zweite sind ganz klar keine Beweise.
@ Nein, ist es nicht. Riemann hat gezeigt, dass bei unendlichen, konvergenten Reihen, und die haben wir hier, z.B. die Reihenfolge der Summationen nicht mehr irrelevant ist, vgl. auch: Unendlich - Unendlich = Pi (Riemannischer Umordnungssatz). Oder auch das Beispiel, dass ln(2) = 1/2 ln(2) ist -> sprich 1 = 2 ist. 😉
Tut mir leid. Keiner dieser "sogenannten" Beweise konnte mich davon überzeugen, dass null, Periode neun gleich eins ist. Natürlich kann man das so definieren. Aber in der Realität ist eben ein Apfel ein Apfel und wenn ich auch nur ein noch so kleines Stück davon entferne, ist es nicht mehr derselbe Apfel. Er gleicht dem vorherigen Apfel nur noch.
Das liegt daran, dass keiner der "Beweise" wirklich ein Beweis ist, deine Skepsis ist berechtigt. Trotzdem ist die Aussage, dass 0.999... = 1 sei wahr und man kann das wirklich beweisen. Ich empfehle dieses Video hier dazu: ua-cam.com/video/jMTD1Y3LHcE/v-deo.html
ja, hab ich auch gedacht. Aber dann habe ich mir überlegt, ob ich das aus dem Apfel entfernte Stück definieren kann... wie gross ist es? Ich konnte nicht mal einen Term dazu aufschreiben. 1-0.00?
Ich habe damals eine ganze Schulstunde (vor immerhoin 45 Jahren!) mit meinem Mathelehrer über genau diese Frage diskutiert. Letztendlich hat er mich mit dem Vollständigkeitsaxiom der reelen Zahlen überzeugt. Dieses Axiom lautet etwa so: "Wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt mit a < b (Anm.: das impliziert natürlich a ≠ b ("a ungleich b", falls das mit dem Zeichen nicht klappt) ), dann gibt es stets(!) eine Zahl c für die gilt: a < c und c < b. Und anders herum." Umgangssprachlich: "wenn es zwei Zahlen a < b gibt, dann gibt existiert STETS eine Zahl c, die dazwischen passt." Damit hat er argumentiert: "Nennen Sie mir eine Zahl die kleiner ist als 1! Ich werde IMMER in der Lage sein, Ihnen eine Zahl zu nennen, die größer ist als die Ihre und die auch kleiner als 1 ist!". Naja und bei 0,9 Periode klappt das eben nicht, also müssen die Zahlen gleich sein.
Danke für den Hinweis. Das ist auch genial. Und schön, dass Sie sich das 45 Jahre lang gemerkt haben...Respekt!
In der Schule damals bewiesen mit Intervallschachtelung
(1; 0,9) (1;0,99) …
Ist eine Intervallschachtelung, in der 1 und 0,Periode 9 drin sind. Aufgrund der Eindeutigkeit folgt die Gleichheit.
Äquivalent kann man zwei entsprechende Cauchy Folgen definieren,und mit der Vollständigkeit von R argumentieren
Bei dieser Handschrift muss man ja schon dazu schreiben, was gemeint ist. Ohne Zusammenhang würde ich die meisten Neuner nicht erkennen. Das sind für mich keine Neuner, sondern ein Luftballon an ner Schnur, ein Lolli oder sonstwas. Selbst die q sind bessere Neuner.
Ich werd mich in Zukunft bemühen. Und den Ausdruck Luftballons an ner Schnur muss ich mir merken 😅
@@Mathehirsch Ich kann alles Lesen, manche Leute beschweren sich nur um irgendwas sagen zu können. Einfach so weitermachen, super video :D
Die Beweise dafuer sind letztlich genaugenommen nicht wirklich stichhaltig. Der Grund fuer die Gleichheit ergibt sich jedoch aus der Definition der reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen als "Klassen von Cauchy Folgen reeller Zahlen" defiiniert, wobei 2 verschiedene Folgen genau dann zur selben Klasse geoeren, wenn die Differenzenfolge eine Nullfolge ist. Die Differenzenfolge der konstanten Folge a(n)=1 und der Folge a(1)=0,9; a(2)=0,99; a(3)=0,999; ... waere die Folge d(1)=0,1; d(2)=0,01; d(3)=0,001; ... und damit sicher eine Nullfolge, also gehoeren beide Folgen zur selben Klasse und repraesentieren daher die selbe reelle Zahl. Die erste Folge entspricht der 1, die zweite Folge der 0,9999...
Das geht aber letztlch ueber das Schulwissen hinaus. Die Krux ist, das im Schulwissen so getan wird. als wisse man genau, was die reellen Zahlen sind, diese aber eigentlich nie wirklichh genau definiert werden. Beim Beweis 1 kann man sich z.B. die (berechtigte) Frage stellen, ob denn eine reelle Zal wirklich genau durchh eine unendliche Dezimalzahl repraesentiert werden kann, ob also tatsaeclich gilt 1/3=0,333... oder ob da nicht eine winzige Differenz verbleibt. Diese Ueberlegung kann dann zur Theorie der hyperreellen Zahlen fuehren.
Der 3 ."Beweis" setzt voraus, dass der *Grenzwert* der unendlichen geometrischen Reihe mit a1=1/q q
Danke für den ausführlichen Kommentar. Das meinte ich unten mit "der dritte Beweis kommt einem Beweis schon näher". Da werden einfach Annahmen getroffen, die so klar nicht sind, wie sie scheinen. Ich wollte hier niemanden mit hyperreellen Zahlen und Gruppentheorie belästigen ;-)
Auf der anderen Seite müssen wir aber auch nicht bei jedem Beweis mit den Axiomen anfangen sondern dürfen ein paar Sachen als schon bewiesen voraussetzen. Wird sonst schwierig im Mathe-Unterricht...
Obwohl, ich fange tatsächlich auch bei Grundschüler.innen mit Symmetrie und den symmetrischen Gruppen an um den Kids klar zu machen, dass eine Zahl kein Ding ist sondern eine Aktion die etwas auf sich selbst abbildet. Meine Erfahrung ist, die Kids kommen dann viel besser mit negativen Zahlen und Brüchen und so zurecht als wenn sie an Zahlen in "Äpfeln" denken und verloren sind wenn man ihnen von zwei Äpfeln drei weg nimmt und wenn man einen zurückgibt haben sie keinen Apfel...
1. Beweis: 0,3333... (also Periode) mal 3 ist eben nicht 0,99999..., das ist genau 1 da 0,3333... eben 1/3 ist.
3. Beweis: Obacht bei unendlichen Reihen. Durch den Riemannschen Umordnungssatz wissen wir, dass wir nur durch die Sortierung der Operanden jede beliebige Zahl erzeugen können. ;)
Naja, die Annahmen aus dem 3. Beweis sind ja schon korrekt, wenn auch nicht vollständig um als Beweis tauglich zu sein. Der erste und der zweite sind ganz klar keine Beweise.
@ Nein, ist es nicht. Riemann hat gezeigt, dass bei unendlichen, konvergenten Reihen, und die haben wir hier, z.B. die Reihenfolge der Summationen nicht mehr irrelevant ist, vgl. auch: Unendlich - Unendlich = Pi (Riemannischer Umordnungssatz). Oder auch das Beispiel, dass ln(2) = 1/2 ln(2) ist -> sprich 1 = 2 ist. 😉
zu 3: das ist doch nur bei alternierenden Reihen ein Thema...die hier konvergiert absolut.
@@Mathehirsch Danke, genau das wollte ich auch gerade schreiben. Drum sag ich ja, der Umordnungssatz greift hier nicht.
Tut mir leid. Keiner dieser "sogenannten" Beweise konnte mich davon überzeugen, dass null, Periode neun gleich eins ist. Natürlich kann man das so definieren. Aber in der Realität ist eben ein Apfel ein Apfel und wenn ich auch nur ein noch so kleines Stück davon entferne, ist es nicht mehr derselbe Apfel. Er gleicht dem vorherigen Apfel nur noch.
Das liegt daran, dass keiner der "Beweise" wirklich ein Beweis ist, deine Skepsis ist berechtigt. Trotzdem ist die Aussage, dass 0.999... = 1 sei wahr und man kann das wirklich beweisen. Ich empfehle dieses Video hier dazu: ua-cam.com/video/jMTD1Y3LHcE/v-deo.html
ja, hab ich auch gedacht. Aber dann habe ich mir überlegt, ob ich das aus dem Apfel entfernte Stück definieren kann... wie gross ist es? Ich konnte nicht mal einen Term dazu aufschreiben. 1-0.00?
Schade, dass ich Sie nicht überzeugen konnte. Aber im Unterricht schaff ich's auch nicht, dass mir das alle glauben.
@@andreassteinhauser9508 Danke.
@@Mathehirsch Das liegt vermutlich daran, dass ihre "Beweise" nicht wirklich stichhaltig sind,siehe das von @andreassteinhauser9508 verlinkte Video.