Bonjour à toutes et tous, On continue l'arc sur les suites récurrentes sur cette chaîne. Ayant mal réglé le gain de mon micro pour cette vidéo, le son est un peu dégueu, je m'en excuse. Par ailleurs, elle est plus improvisée que la dernière. Pour information, je suis prof en CPGE, j'essaye donc d'aborder des exercices qui peuvent présenter un intérêt pédagogique pour mes étudiants et vais parfois éviter des méthodes trop astucieuses ou hors-programme. N'hésitez pas en commentaire si vous voyez d'autres méthodes, ou si vous relevez des erreurs. Bonne vidéo !
Bonjour, un grand merci pour vos vidéos, elles sont de réelles puits de connaissances et c’est un plaisir à visionner. Faites en donc plus ! ( si vous avez le temps )
En fait à ce niveau il suffit de dire que l'intervalle 0 1 est un compact donc avec Bolzano il y a au moins une valeur d'adhérence. Cette valeur d'adhérence est un point fixe de f et donc il y a au plus une valeur d'adhérence selon la première question. Donc il y a une seule valeur d'adhérence et donc la suite converge vers cette valeur. Bravo pour vos vidéos
jps que dans une etape de ce raisonement vous utiliser que (x_phi(n)+1) converge vers la meme limite que (x_phi(n)) ((x_phi(n)) est la suite extraite )?
Plus général, R est un compact (C aussi d'ailleurs) donc toute suite réelle admet au moins une valeur d'adhérence. Attention dans votre raisonnement, Bolzano vous dit qu'il existe au moins une valeur d'adhérence et vous dites ensuite "cette valeur d'adhérence" comme si elle était unique. De plus vous utilisez le théorème du point fixe, mais vous n'avez pas montré que (xn) converge vous n'avez donc pas vérifié les hypothèses du théorème
à 9:11 on peut conclure avec le théorème du point fixe : soit une suite convergente du type u(n+1) = f(u(n)) avec f(x) une fonction continue, alors la limite de (u) est un point fixe de f. ici on sais que f est continue, qu'elle admet un unique point fixe et que que (u) converge, on a exactement ce qu'il faut pour utiliser ce théorème
f(x) n'est pas une fonction mais un réel, la fonction c'est f. Attention, ici on ne sait pas que la suite (xn) converge, on sait que la suite (|xn-a|) converge, ce qui n'implique pas nécessairement (xn) converge. Donc pour utiliser le théorème du pt fixe, il faudrait montrer que (xn) converge
@@tamageny664 Non ce théorème n'est au programme qu'en MPSI puis MP. Pas en PCSI. La PSI se repose sur le programme de maths de PCSI donc pas au programme. Pareil pour la PC.
Si on prend 2 boules centrées sur a, la première de taille ||x0-a|| et la 2ème de taille delta, en se plaçant entre les frontières, on définit un espace fermé, on a un max du rapport de contraction,
Merci pour ces vidéos, c'est vraiment bien. Il me semble que pour démontrer que la suite (x_n) tend vers a, il y a une autre façon de voir. On a : pour tout x et y; (x =! y), |f(x) - f(y) < |x - y| donc il existe q (0 < q < 1) tel que |f(x) - f(y) < q|x - y|. Ainsi (si x_0) =! a) on a : |x_n _ a| < q|x_n-1 - a| et par récurrence sur n on trouve : pour tout n >=1; |x_n - a| < q^n|x_0 - a|. Or |q| < 1 donc par le thm d'encadrement la suite (x_n _ a) tend vers 0...
je suis d'accord, j'ai tout de suite pensé a ca. Par contre il n'y a pas besoin de faire une récurence, il faut juste appliquer l'inégalité triangulaire n fois
Attention: le q va dépendre de Xn et donc de n (appelons le qn) ce qui fait que par passage à la limite on devra prendre la borne sup des qn qui pourrait être 1. Bref, je ne pense pas que ce shortcut fonctionne.
Bonjour Monsieur, d'abord merci pour ces videos. je veux juste signaler ce qui me semble une erreur; vous avez mentioné dans 15:09 que la suite (|x_[nk] + 1 - a |) converge aussi vers delta en vous basant sur le fait que (|x_[nk] - a |) converge vers delta. ce n'est pas vrai, la suite ((-1)^n) sa suite extraite des paire converge vers 1 mais la suite ((-1)^(2n+1)) converge vers -1.
Je me suis posé également la question mais je pense que le raisonnement tient: l'argument de décroissance et convergence est pris sur la suite | x_[n] - a |. Cette limite est delta que l'on suppose supérieur à 0. C'est seulement après que l'on introduit la suite extraite des x_[nk] qui converge vers delta + a. Donc @15:10 il est correct de dire que |x_[(nk)+1] -a| converge vers delta (lorsque la suite des nk tant vers +inf). Trivial dit bien "converge toujours vers delta avec les valeurs absolues"
Non, il n’y a pas d’erreur. Il faut raisonner dans l’autre sens. Nous savons que la suite |xn -a| (appelons la Vn) converge vers delta. Donc toute suite extraite de Vn converge vers alpha. C’est le cas, entre autre, de Vnk et Vnk +1.
Bonjour à toutes et tous,
On continue l'arc sur les suites récurrentes sur cette chaîne.
Ayant mal réglé le gain de mon micro pour cette vidéo, le son est un peu dégueu, je m'en excuse. Par ailleurs, elle est plus improvisée que la dernière.
Pour information, je suis prof en CPGE, j'essaye donc d'aborder des exercices qui peuvent présenter un intérêt pédagogique pour mes étudiants et vais parfois éviter des méthodes trop astucieuses ou hors-programme. N'hésitez pas en commentaire si vous voyez d'autres méthodes, ou si vous relevez des erreurs.
Bonne vidéo !
Bonjour, un grand merci pour vos vidéos, elles sont de réelles puits de connaissances et c’est un plaisir à visionner. Faites en donc plus ! ( si vous avez le temps )
En fait à ce niveau il suffit de dire que l'intervalle 0 1 est un compact donc avec Bolzano il y a au moins une valeur d'adhérence. Cette valeur d'adhérence est un point fixe de f et donc il y a au plus une valeur d'adhérence selon la première question. Donc il y a une seule valeur d'adhérence et donc la suite converge vers cette valeur.
Bravo pour vos vidéos
jps que dans une etape de ce raisonement vous utiliser que (x_phi(n)+1) converge vers la meme limite que (x_phi(n)) ((x_phi(n)) est la suite extraite )?
Plus général, R est un compact (C aussi d'ailleurs) donc toute suite réelle admet au moins une valeur d'adhérence. Attention dans votre raisonnement, Bolzano vous dit qu'il existe au moins une valeur d'adhérence et vous dites ensuite "cette valeur d'adhérence" comme si elle était unique. De plus vous utilisez le théorème du point fixe, mais vous n'avez pas montré que (xn) converge vous n'avez donc pas vérifié les hypothèses du théorème
Merci, c'est super !
''quelle belle ligne'' quelle bellevideo
à 9:11 on peut conclure avec le théorème du point fixe : soit une suite convergente du type u(n+1) = f(u(n)) avec f(x) une fonction continue, alors la limite de (u) est un point fixe de f.
ici on sais que f est continue, qu'elle admet un unique point fixe et que que (u) converge, on a exactement ce qu'il faut pour utiliser ce théorème
f(x) n'est pas une fonction mais un réel, la fonction c'est f.
Attention, ici on ne sait pas que la suite (xn) converge, on sait que la suite (|xn-a|) converge, ce qui n'implique pas nécessairement (xn) converge. Donc pour utiliser le théorème du pt fixe, il faudrait montrer que (xn) converge
je pense que pour la 1ere question on peu le fait facilemet par theoreme de picard ??
bolzano weierstrass en MP seulement? Je suis a peu près certain qu'il fut au programme de P' ou en sup à l'époque.
On l’a vu en sup cette année, et c’est vu dans toutes les sups il me semble
@@tamageny664 Non ce théorème n'est au programme qu'en MPSI puis MP. Pas en PCSI. La PSI se repose sur le programme de maths de PCSI donc pas au programme. Pareil pour la PC.
Si on prend 2 boules centrées sur a, la première de taille ||x0-a|| et la 2ème de taille delta, en se plaçant entre les frontières, on définit un espace fermé, on a un max du rapport de contraction,
Merci pour ces vidéos, c'est vraiment bien. Il me semble que pour démontrer que la suite (x_n) tend vers a, il y a une autre façon de voir.
On a : pour tout x et y; (x =! y), |f(x) - f(y) < |x - y| donc il existe q (0 < q < 1) tel que |f(x) - f(y) < q|x - y|.
Ainsi (si x_0) =! a) on a : |x_n _ a| < q|x_n-1 - a| et par récurrence sur n on trouve : pour tout n >=1; |x_n - a| < q^n|x_0 - a|.
Or |q| < 1 donc par le thm d'encadrement la suite (x_n _ a) tend vers 0...
je suis d'accord, j'ai tout de suite pensé a ca. Par contre il n'y a pas besoin de faire une récurence, il faut juste appliquer l'inégalité triangulaire n fois
Attention: le q va dépendre de Xn et donc de n (appelons le qn) ce qui fait que par passage à la limite on devra prendre la borne sup des qn qui pourrait être 1. Bref, je ne pense pas que ce shortcut fonctionne.
@@Longpan898 c'est vrai mais la borne sup ne sera pas 1 puisque la fonction est strictement contractante.
Elle serait strictement contractante s’il existait un k
En fait ils font juste prouver le théorème de Picard Banach en version plus facile quoi.
Salut, il manque un signe valeur absolue dans la mignature ! Sinon merci pour le taf
Aïe ! Pas sûr d'avoir la foi de le modifier.. Merci de l'avoir relevé !
Bonjour Monsieur, d'abord merci pour ces videos. je veux juste signaler ce qui me semble une erreur; vous avez mentioné dans 15:09 que la suite (|x_[nk] + 1 - a |) converge aussi vers delta en vous basant sur le fait que (|x_[nk] - a |) converge vers delta. ce n'est pas vrai, la suite ((-1)^n) sa suite extraite des paire converge vers 1 mais la suite ((-1)^(2n+1)) converge vers -1.
Par le fait qu’elle est décroissante si on considère qu’une partie des termes ça converge quand même ? (Peut être un mauvais argument)
Je me suis posé également la question mais je pense que le raisonnement tient: l'argument de décroissance et convergence est pris sur la suite | x_[n] - a |. Cette limite est delta que l'on suppose supérieur à 0. C'est seulement après que l'on introduit la suite extraite des x_[nk] qui converge vers delta + a. Donc @15:10 il est correct de dire que |x_[(nk)+1] -a| converge vers delta (lorsque la suite des nk tant vers +inf). Trivial dit bien "converge toujours vers delta avec les valeurs absolues"
Non, il n’y a pas d’erreur. Il faut raisonner dans l’autre sens. Nous savons que la suite |xn -a| (appelons la Vn) converge vers delta. Donc toute suite extraite de Vn converge vers alpha. C’est le cas, entre autre, de Vnk et Vnk +1.
@@Longpan898🙏merci