我想到了一个不是很严谨，但还比较容易实践的解释： Aim：去证明相同面积的矩形中正方形的边长最短，从而反推出相同边长时正方形的面积最大。 Method：1、准备10+相同大小的小正方形（我认为36个最优，因为质因数最多，可以拼出的矩形非常多。再多的话又太麻烦了） 2、让孩子使用所有的小正方形去拼不同的矩形，并记录下每个矩形的边长。 3、可以给孩子不同数量的小正方形，例如先4，再9，16，25，36。。 4、这时可以发现规律，同面积的时候，正方形的边长最短。反之，则是需要证明的理论。（这应该比较难懂，有点类似iff - if and only if。如果孩子能接受的话最好，不能的话还是其他方法好一些。。） 我自认为对于小三的孩子来说，这种程度的解释已经算很难了吧。。至少我小三的时候还在背99乘法表，对数学的认知也仅限于数字，加减乘除和几个图形而已。再加上这道题的本质是最基础的optimisation，一般到中学学了微积分后才有非常严谨的证明方法。所以我觉得怎么看这道题都不该给小三的孩子做。。（个人意见而已，不喜勿喷，留言的话尽量讨论或给我的解释提点建议。多谢！）
如果是用十字形的剪法會不會更容易操作和理解呢？🤔
意即將長方形切成四塊，每一塊的邊長即是L，將4個L的長短邊互相連接，也可以成為一個正方形，而中間的空缺也是在該個邊長情況下，正方形和長方形的面積差
好強耶~~這樣剪更簡單~~
我也是想到這個切法
其實只要把四個長方形擺成 囗 字形就行了！！
這樣會形成邊長固定的 囗
要把中心空洞填滿就必須用正方形
所以正方形的面積最大！！
@@yoyospecial 依題意，56cm繩子圍成的正方形面積僅196cm^2，但圍成圓形才是最大的接近250cm^2。
高中時有幸上王老師的課，那時我物理真的不是很好，考試總是聞之色變，但王老師總是喜歡研究各種簡單的方法，讓學生們可以更容易聽得懂，還會探討公式在物理上的意義。這樣的教學讓我從不及格拉到指考還有70幾分，而且很多觀念都能融會貫通，學過的東西都不容易忘，很多觀念到現在我都還能記得。王老師付出了很多時間，不斷研究著怎麼把艱澀的學術理論講到小孩子也能聽懂，真的受益良多，感謝王老師
我用99乘法表的方式舉個例子來說：
假設一個長方型，長邊和短邊加起來為10
面積如下
1*9=9
2*8=16
3*7=21
4*6=24
5*5=25
6*4=24
7*3=21
8*2=16
9*1=9
可以從長寬的變化看出，當長寬一樣，也就是正方型的時候，面積最大
不知道這樣，小三學生聽不聽得懂🤷🏻♂️
神
簡單明瞭
我記得我國小就是這樣教😂
这个方法好，但需要进阶，即用逼近法，比如：4.5*5.5 ; 4.7*5.3; 4.9*5.1……等等（不知小三有没有教小数、分数），这样还可以建立极限初步概念，从小发育孩子良好的数学思维。
@@woopiter7259 小三還沒教小數，小四才上的。
就計算上來說,這個證明方式很清楚
但視覺上,佑來了老師的方式可以透過實際操作證明
兩種方法一起服用,會更有效果
"面積"顧名思義是個"面"，長方形的"長邊"愈大，整體就愈不像"面"，而會愈像一條"線"(繩子)，自然而然"面積"就會愈來愈小，甚至不見了(只剩下線)。
推一個👍👍👍
這個方法我也想過，可是不能忽略「積少也可能會成多」的可能性
@@宇軒-v5t 我也知道信服度不夠，但對小三而言或許足以；再者，要能夠達到"積少成多"的前提是得要能夠"積"才行，但這繩子是有限的呀!
+1 我也是想到这个。用极值，即当绳子重叠成一条线面积为0的情况告诉孩子面积是会变的
但是这样不能很好的解释中间情况
這種「觀察到的事實」很難解釋，因為事實擺在眼前就是發生了，就算使用剪紙的方法讓小朋友觀察到這件事實，小朋友可能也會繼續問：「為什麼這樣剪會多出一塊？」這問題聽起來就像「為什麼這個事實發生了」我們能做的可能只有使用不同的方法帶他去認識這個事實，剪紙是不錯的方法
很多東西我們都覺得是理所當然
但是卻忽略了當初我們是怎麼理解的QQ
科學教育真的很需要深入淺出的方式
老師加油!
大家加油!
國小數學很重要的一點是動手做看看
不管是影片中提到的剪貼
自己畫畫看
做表格記錄
都是很好的方法
要注意的是小三的數學概念還在圖形輔助，所以拼貼的方法是最好的，尤其是提供大小都一樣的正方形
我姪子好厲害
他把一個正方形剪了三百多個作排列組合來證明正方形是最大的
光圖表紀錄就用了四十幾頁A4
雖然我個人認為這完全不能正方形最大就是了
「小三」的孩子……难道比正室的孩子更重要？😂😂
這個爸爸讓我想到當初看老師的影片時所感受到的用心:其實原理都學過，但是自己沒辦法像影片一樣以簡單易懂的方式呈現出來，而這種將知識用簡潔意賅的方式傳遞出去的專業，就是「教育」了吧。
看老師的影片不只能學到老師想呈現的知識本身，也能學到老師是如何利用手邊資源去呈現這些知識，進而內化成自己的養分，將來孩子們向我們渴求知識時，我希望自己也能像這位爸爸，像老師一樣盡力去滿足他們的求知慾與好奇心，讓他們繼續對知識充滿熱情。
假設把面積分割成「每單位1x1」的小方塊，那麼在邊長56公分的情況下只排成1排，會是27x1的面積。也就是1排27個小方塊。
但是這時如果我們減少1單位的長，增加1單位的寬，會變成26x2。這時可以發現，我們減少1單位的長，就可以從1排27單位的小方塊，變成2排26單位的小方塊。
而在15x13的情況下，我們減去一單位的長，由於這時的寬是13，所以會少掉13個小方塊，因為這時減少1單位的長等於拿掉一排13個小方塊。
而被減去一單位的長還剩下14，所以會在多出來的寬增加1排14個的小方塊。減少13個小方塊，增加14個小方塊，依然能夠比原先的15x13多出1個小方塊。
但是當已經成為正方形的14x14，不論減去任何一邊加到另一邊上，所能獲得的小方塊都會比14x14還要少。
我們減去任何一邊都會少掉14個小方塊，可是被減去之後剩下13單位的長度，這時可以看得出來，新的一排多出的小方塊只會增加13個，所以在14x14的時候已經是面積最大值了。
由此可知，只要方形的長和寬數值還沒相等，就還有機會透過上面所說的方法，使新增加一排的小方塊數量，大於被減去那排的數量，以此增大方型整體的面積。
你这个方法相当于引入了原始的微积分的思想哈哈哈哈哈
看到樓下有留言說，雖然觀察到了這樣的事實，但是到底為什麼這樣？為此我想再試著進一步解釋，盡可能使用小孩都能懂得詞彙，不使用任何深奧難懂的名詞。
四個角都是直角的平行四邊形，這樣的方形對邊是等長的。在周長不變的情況下，兩個長邊減少1，兩個短邊就必須增加1，這樣四邊之和的周長才會維持不變。
假設現在有一個長方形 ▋，長邊是垂直的那兩個邊，短邊是水平的那兩個邊。如果長邊要減少1，那麼兩個長邊都必須減少1，因此方形的面積被剪去的就是一橫排。短邊若要增加1，那麼方形的面積增加的部分就是一直排。
也就是說，減去長邊，少掉的那一橫排小方塊數量，其實就是短邊單位長度的數量。而增加短邊，增加的小方塊數量，其實就是長邊-1之後，單位長度的數量。
假設現在的長方形是26x2，由於短邊是2，所以減去一橫排只會少掉2個小方塊，可是增加的一直排卻有25個小方塊，變成25x3的長方形。
當長邊越短，增加的直排小方塊數量就越少。當短邊越長，減少的橫排小方塊數量就越多。而當長邊短邊越相近，增加與減少的數量也會越相近，由此可知長邊短邊相等的時候，就無法再增加小方塊數量。
如果還要再進一步問，為什麼一定要按照這樣的規則與數量填充小方塊？大概只能說，如果不按照這樣的規則與數量填充，排列出來的形狀就不是方形。
@@zanren750 是的，這樣的方法，搭配動畫或實體小方塊來解釋，我個人認為是容易瞭解的。
如果我是家長
我可能會問他：你真的很想知道嗎？
但當中原理有點難噢！
他還是説想的話
我就直接用配方法跟他説算了
直接教他中學的數學
他聽懂了，立刻送他上數學精英班
聽不懂沒關係，再用其他方法
通常一個小學三年的學生能問岀這種問題應該都是有一些數學天賦在（我覺得是）
不要埋沒了孩子的才能
我們重點應該不在他問的問題，而在於他能問岀這樣的問題
可以用一條繩子圍成圈，手動調成各種長方形及正方形，繩圈內可以放置一樣大小的球，觀察各種長方形與正方形分別能容納的球數。（球也可以用其他更方便的東西替代，不過體積大小要一樣。）
利用磁鐵模擬那個繩子，這樣更好理解出同周長圍成正方形會形成最多的空格，而此時的面積也就會是最大的，但剪紙形成中間空格好像比用磁鐵方便，老師用剪紙可以一次說明所有狀況，而磁鐵圍成正方形要變大就要更多磁鐵了
用8顆磁鐵圍成長方形1:8 2:4面積8，圍成3:3會空出1格而面積為9
用12顆磁鐵圍成長方形1:12 2:6 3:4面積12，圍成3:5會空出3格而面積為15，圍成4:4會空出4格而面積為16
就把可能的各種組合全算一遍用觀察歸納的方式讓小朋友明白其中的規律。小朋友的理解能力還不成熟，用實驗的方法能讓他印象深刻不易忘。
反過來想 : 同面積的圖形 最小周長就是圓形(矩形的話 就是正方形).
原因 : 把圖形抽得越"細長" 周長就會越來越大. (小三聽不懂無限大. 就不講會趨近無限大了.)
我覺得可以拿8個1 x 1(不一定要1 x 1 ，只要是正方形一模一樣大就好)
的樂高 ( 小孩可能比較感興趣 ) ，先圍出一個長方形，然後再擺成一個 3 x 3 的正方形
小朋友就會發現中間有一塊空的，也就是說正方形面積比長方形大
1+3=4
2+2=4
如果單純把+換成*的話，
1*3=3
2*2=4
結論就是在相加值一樣的情況下，兩個同樣的數字相乘能夠得到的答案最大
正確答案應該是圓形最大
周長56，直徑=56/3.14=17.83
半徑是8.92
面積是249.68
不過這國小三年級不可能理解
第二種思路，給積木和繩子實作
一樣長的繩子怎麼框最多的積木
要引導出樂正方形框越多
第三種思路是反過來的
給16個正方形積木，怎麼拚周長最小
引導出一樣大小時，正方形周長最小
反過來引導出那周長一樣時，正方形面積最大
我也是觉得圆形最大
周長固定下，正多邊形面積最大，而且邊數越多面積越大，圓形的面積最大沒錯
@@仕小-w1t 你還是講中文吧
圓形其實可以看作是無限多邊形，越多邊形成越多端點，如果你把這些端點全部用直線連起來，會越接近圓形。
圓形可包含更大的面積
就像一袋彈珠 越滿就越圓
能充份填滿每個死角
正方形是矩形中最接近圓
順帶一提 六邊形是最多邊 而能密鋪平面
所以岩石柱多數是六邊形
用永動機來解釋應該比較好理解
我覺得學習可以分階段讓小朋友理解。小三的話我覺得應該只考慮將繩子圍成矩形來考慮，然後圍成1*27、2*26....14*14的矩形後，剩下的變化就要化簡，把繩子變成硬的，簡單來說周長不變，剩下的變化就如其他大大提到的平行四邊形(稜形)，平行四邊形的面積小三應該也能理解，同底的平行四邊形，越扁高度壓扁當然面積越小，可以推得矩形時面積最大，14*14面積又最大，就把196最為小三階段的最佳解。等到學到其他概念後...圓、圖解、極限...自然會知道最大值是784/π(249.56)。
直接問小朋友: 你覺得一個完整的牛奶盒跟一個壓扁的牛奶盒，哪個牛奶盒裝的牛奶更多呢?
我們知道盒子本身(周長)是不變的，而形狀愈扁的牛奶盒可以裝牛奶的容量就愈少，當我們將正方形看成一個完整的牛奶盒，那長方形就是壓扁過的牛奶盒，兩相對比之下，就可以輕鬆得出結論: 相同周長下，長方形比正方形小。
我覺得這個比喻不是很好~因為涉及到了三維Y軸的立體概念~原始的題目是二維平面的問題
@@a19800508 但是如果視三維為二維圖形疊加的結果，其實就不難理解了(我覺得疊加是小朋友可以理解的現象，就好比扁的樂高疊起來也會變成一大塊一樣)
我覺得你的答案對小朋友是最佳解釋了!!!!!
這比喻可以判斷小孩是否智商不足 聰明的小孩會發現 根本不一樣
亂說，壓扁的跟完整的，周長根本不一樣
我想可以用一個實作型的極限來演示: 把一個長方形([])的一個長邊向外推一點點(趨近於零)會變成這樣([ |)，哇~那短的兩邊都少了一點點要拿長的邊來補，我們可以拿兩個長邊的四個端點來補，這樣分攤的話每個只要縮短剛剛"一點點"的一半就好了，那我們來算一下面積變化 -> (分析短邊減少的部分): 短邊原來的一對邊長叫做"短" ，增加的"一點點"的一半叫做"半點"；(分析長邊增加的部分):長邊原來的邊長叫做"長"，增加的"一點點" 叫做"點"(回顧一下: "半點"是"點"的一半) -> 我們有兩塊減少的部分會算面積嗎?(會) 短*半點*2 = 短*點，增加的部分會算嗎?(會) 長*點 -> 那我們這麼做面積增加還是減少呢?(增加~) 為什麼?(因為"長"比"短"還要長)那我們可以一直這樣增加到什麼情況?("長"等於"短"的時候) 為什麼?(因為增加的面積等於減少的面積他就不會再大了)。 大GUY是這樣
老師我剛突然想到一個方法您可以參考看看
(O-X)*(O+X)=O^2-X^2，因此X=0面積才會最大，這種乘法小朋友看不懂正常，那就稍微簡化一下：
我們是要比較O*O跟(O-X)*(O+X)
先拿O*O跟(O-X)*O來比較，前者比後者多X*O
而(O-X)*O右邊的O會再多捕到(O+X)，也就是(O-X)*O跟(O-X)*(O+X)來比較，此時很明顯看出後者比前者多(O-X)*X
現在問題就變成X*O跟(O-X)*X哪個大?
交換率一下，變成比較X*O跟X*(O-X)
因後者的乘數多扣掉X，當然是前者大，因此O*O也就是邊長相等時面積會最大。
我想到了一个不是很严谨，但还比较容易实践的解释：
Aim：去证明相同面积的矩形中正方形的边长最短，从而反推出相同边长时正方形的面积最大。
Method：1、准备10+相同大小的小正方形（我认为36个最优，因为质因数最多，可以拼出的矩形非常多。再多的话又太麻烦了）
2、让孩子使用所有的小正方形去拼不同的矩形，并记录下每个矩形的边长。
3、可以给孩子不同数量的小正方形，例如先4，再9，16，25，36。。
4、这时可以发现规律，同面积的时候，正方形的边长最短。反之，则是需要证明的理论。（这应该比较难懂，有点类似iff - if and only if。如果孩子能接受的话最好，不能的话还是其他方法好一些。。）
我自认为对于小三的孩子来说，这种程度的解释已经算很难了吧。。至少我小三的时候还在背99乘法表，对数学的认知也仅限于数字，加减乘除和几个图形而已。再加上这道题的本质是最基础的optimisation，一般到中学学了微积分后才有非常严谨的证明方法。所以我觉得怎么看这道题都不该给小三的孩子做。。（个人意见而已，不喜勿喷，留言的话尽量讨论或给我的解释提点建议。多谢！）
我能想到最简单的方法，就使用代数的一个公式:(x-y)*(x+y) = x^2 - y^2
设矩形周长为4x。
长+宽 = 2x
由于长>= 宽：可设长 = x+y，宽 = x-y
矩形的特征有 1） 长 >= 宽，2）长和宽>0
1) x+y >= x - y, 可推导出 y>=0
2))宽> 0 ， x - y > 0, x>y
由此可得0
想到的大概也是用1*1的樂高之類的積木排出一個長方形 再用同樣數量去排出正方形
我分享個我國小時候的思考邏輯，矩形拉伸到最長的時候是一條線，面積是0，所以反過來正方形的面積一定最大
我行。（我用文字向你解释会复杂，你用道具向小孩解释便会简单）
A塑造一个正方形。
1想象墙上有一个钉子。
2想象你有一个绳圈。
3把绳圈变成正方形，钉子位置是重心位置，四边与地面垂直或平行。
B塑造无数个长方形。
1因为你手上的是绳圈，你可以把正方形变形成任意一个长方形，但是重心位置不改变，四条边还是和地面垂直或平行。
2看到没有，其实你是在牺牲宽度增加长度。
C问题现在就变成了，我所牺牲的东西，换来的面积，能不能弥补我的损失。
1现在你有没有观察到，我是在牺牲正方形的左右，换来长方形的上下。
2因此问题就变成了正方形牺牲掉的左右，有没有比长方形增加的上下要大。
3长方形的上，等于牺牲乘剩余，正方形的左，等于牺牲乘原来。
4牺牲等于牺牲，原来大于剩余，所以正方形的左大于长方形的上。
D因此，正方形牺牲掉的面积，得不偿失。长方形比正方形小。
最大面積會是接近圓形的正方形….那為啥不直接圍成圓形？？又沒說一定要四邊形，題目有問題吧😮💨
如果按照視頻的問題來說，我覺得可以用格子紙圈範圍來做示範。圈出同樣邊長的長方形和正方形，讓孩子數格子數量就可以讓他們理解面積的差異。
用簡單的乘法應該就能“說服”小朋友了
（我是說“說服”，而不是讓他“理解”）
舉例
周長4，可分成1×2跟2×2
很明顯後者乘出來的數字較大
周長12，可分成1×5、2×4、3×3
同樣能看出3×3是最大的
這樣解釋應該能“說服”小朋友，但他一定還會覺得怪，只是說不出哪裡有問題……
你把一个边长为n的方形画成边长为1的小正方形组成的n*n的图形。这也就是大正方形的面积。
现在，把上边减去一行，高变成n-1。再在右边加上一列。长就变成n+1。这时候，新的图形的边长不变。但是面积，也就是边长为n*(n+1)的长方形的小正方形数量减少了1。同理，越是在加长长边，缩短短边，面积减少越多。这样就很容易证明边长不变，正方形面积最大。
实际上这是利用了简化的微积分原理用单位边长来表现。
不是啊
這是要給國小三年級的小朋友聽的啊
一元一次方程式也要小五小六才會教
@@yuweilin6261 不是方程。只为了说明容易采用了n-1.实际上你可以用任何数字。只要证明同样边长，正方形面积最大就好了。也就是任何从正方形改变出来的长方形面积一定减小。
@@ZZZ-zl4mz 不是，我指的是小五才會開始教一元一次方程式，此時的小朋友才會開始了解何謂未知數的概念，小三的小朋友套用皮亞傑的認知發展論還尚未有抽象思考的能力，需要用實體物體的變化來在課堂上展現給小朋友看，才符合小朋友的近側發展區（ZED）的學習。
你這個舉例說明沒問題，但不適合解釋給小三的小朋友聽。
依題意，56cm繩子圍成的正方形面積僅196cm^2，但圍成圓形才是最大的接近250cm^2。
Tag：土著 嬰兒 站立 胡椒 肥皂 病毒
我也覺得不用想那麼多，就像其它網友說的「用表格列乘法」或「其中一邊減到0的時候面積會變0，所以要反向操作」這樣教就好了。
當我們處在探索世界的階段，很多現象比起強求弄懂原理，先止步於了解規律其實更為合適，一來很多原理的理解對心智有所要求，想要理解超出能力的原理就跟想要舉起超出能力的啞鈴是一樣的；二來很多原理的理解需要前置條件，如果還沒學過加法，當然無法理解乘法，但雖然理解不了，卻也不影響幼稚園時先把九九乘法表背下來；三來很多原理的理解是可以自然而然、水到渠成學會的，以前我在書上看到有個地方的土著，他們會在嬰兒的屁股旁還是哪裡堆土堆，每天堆高一點點，並且相信嬰兒能學會站立離不開大人堅持不懈的幫助，但我們都知道不需要這麼做，嬰兒遲早也會站立。
再舉一個網路上看到的例子，也是一個很重視孩子的爸爸，他希望孩子記住洗手的重要性，便做了一個實驗，他把胡椒粉灑在水面上，然後讓小孩手指沾肥皂水探入，胡椒粉們(?)剎那間遠離那個位置。其實洗潔劑「驅逐」胡椒粉和病毒的原理完全不一樣，但是他的孩子從此就非常重視洗手。
父母求好心切是正常的，大家都希望盡自己的可能將最好的給孩子，不過就「周長相同的情況下怎樣面積最大」這個題目，現階段讓小朋友知道規律就夠了。影片中剪紙的方法，我們大人看了覺得很聰明，原來還有這種教法，好直觀喔！但給小孩子看了得到的結果大概也是「覺得很神奇+記得規律了」這樣。
P.s. 一定要給孩子做好防疫觀念啊！
剪紙方式不錯，除了實作外，如果是用單純用所知的公式是否也可以？矩形面積假設是10x10，當其中一邊少1時，面積等於是少了1x10，而這少的1必須因為周長要一樣而轉嫁到另一邊長去，但增加後因為原本的其中一個邊長剩9了，所以轉嫁過去增加的面積量只剩1x9，這樣拿短的邊的轉換到長邊只會讓面積越來少，相反拿長邊轉換到短邊會越來越多，一直到兩邊相等時情況會剛好反過來(轉折點)。
以剪紙來說，就是剪下一條1x10的矩形並轉90度貼到另一邊去，會剛好凸出1x1出來，而這1x1就是少掉的面積(跟佑老師的方法剛好相反，但可以找到多出來的那一塊)，就是從10x10=100 和 9x11=99少掉的那個1x1。
或許也算是乘法的特性，當100x1這種極端例子，你加的是1那且邊，那值的增加率每個單位會很高，如果是加在100那邊，每個單位增加率都只有少少的1(此段只是概念闡述)。
換個想法，可以說明在同面積時，正方形的週長最小，
所以在同週長的情況，正方形的面積最大。
有一個剪紙方式，可以把一張紙剪成任意大的環，可以用這個去演示越細長週長會越大
「小三」 的 小孩子 父親真偉大~XD
整個題目， 你就發現這個亮點 。。。。 😂 這孩子沒救了！
拿一條25公分的繩子，頭尾接在一起，然後再拿一張方格紙，將繩子放在方格紙上，讓孩子隨意的弄成矩形，然後去看那一種圍的方法裡面有最多格，試一試就知道長寬愈相近，面積就愈大。
可以把長方形剪成兩個面積相同的梯型，再拼成L字的形狀，就像缺了一個小正方形的大正方形，然後再把那個小正方形補上（周界也不會變）。所以所有長方形都都可以變成周界相同但面積比自己大的正方形。
我的方法，直接將長寬的所有整數組合列出來
從0*28 1*27 2*26 … 13*15 14*14
然後請他自己觀察那個數字最大
很多時候可以先從觀察事物變化的規律開始，來學會一些知識
如果要用小學能夠理解的方式
以實物是最好理解的
我會想到以一條沒有彈性繩子做舉例
1.因為周長固定 所以可以把繩子頭尾固定在同一點
2.要讓面積最大 就是繩子套住的範圍最大
3. 一隻手指固定好頭尾的那點 取另一點往外拉 那繩子圈住的範圍會趨近於零(一條線)
4.再繼續多取一點 可以圈出一個三角形 但隨著選取的點不同(邊長) 往外拉出的三角形範圍(面積)也不同
多試幾次會發現
＊只有這三個點互相遠離才會是最大面積
5.再多取一個點也可得到相同結論
6.所以回到題目 假設矩形的長寬為xy 當x=y時 有最大面積
小弟淺見 有錯誤麻煩糾正一下
畫出2*2的正方形與1*3的長方形去解釋
應該會比較清楚
讓他們算周長與數格子數量
應該就可以了
這裡國小美勞課都會玩剪紙，所以小朋友對這種圖形都沒什麼問題，我覺得剪紙是一個很好的方式啦
我自己的理解是：
試圖證明正方形是矩形中能圍出最大範圍的方式。
假設你有一條環狀的繩子，首先左右拉到底，也就是其中一邊是最大長度、另一邊為0，圍出來的範圍便是長度 乘以0 答案等於0，而當邊長開始改變(長邊的長度移動到短邊)時便是面積開始增加時，而邊長一樣時便是面積最大時，因為只要邊長的變化超過50%：50%時，便回歸到前面的結果>出現了長邊、短邊(面積具有可增加的空間)
>只有邊長相等，才會停止具有增加面積的可能性。
56公分的繩子可以圍成的最大面積是圓形。
r = 56/2π = 8.91
圓面積 = πr^2 = 249 平方公分。
这是视频文案的问题，人家问定周长围成最大面积，他却回答去求最大体积，结果既不是最大面积也不是最大体积，而是“最大矩形面积”。有点乱。老师的表述应该是简洁明了准确才对。
好讚 這頻道活過來了
我覺得可以在你的基礎之上 剪紙這動作變成只是在小學生用的那些小格子本子上面畫圖 只需要數一下那些在一個紙上面的線的長度 和中出來的格子的範圍比較一下 就可以得出想要的結果 還可以動手去比較呢
其實不用刻意減斜角或十字
只需要一刀將長邊剪成正方形的邊長
就會發現另一塊補不齊原本的正方形
我覺得小孩這樣比較好懂欸
頂我上去
拿一塊木板，每一公分釘一個鐵釘，釘越多越好，再給小朋友一條綁好圓周長度的繩子，讓小朋友去套鐵釘，再反問小朋友要怎樣才可以套住最多鐵釘，這時候小朋友應該會發現，有更多的樂趣在裡面，而不是一直理解這個答案的原因
我觉得用纯数学乘法的列举方式，更直观，更容易理解乘法的内涵
假设围成的矩形，一条边是X，一条边是Y
那么周长固定，则 2 ( X + Y ) 是定值
求面积最大，也就是 X * Y 的最大值
而本题的周长是56，
那么 X + Y = 28
求 X * Y 最大值
列举如下
1 * 27 = 27
2 * 26 = 52
3 * 25 = 75
4 * 24 = 96
5 * 23 = 115
6 * 22 = 132
7 * 21 = 147
8 * 20 = 160
9 * 19 = 171
10 * 18 = 180
11 * 17 = 187
12 * 16 = 192
13 * 15 = 195
14 * 14 = 196
这样可以清晰地看到，两个数中，一个特别小，一个特别大，它们乘起来就不大
而两个数的大小逐渐接近，它们的乘积就会变大
最后当两个数一样大的时候，它们的乘积是最大的
那么，为什么围成圆形，比围成正方形，面积更大
可以这样理解，围成正方形，比围成长方形，面积更大，因为它的两个边，长度的差别更小，就更均匀，这样乘积就更大
而圆形，比正方形，整体更加均匀，所以乘积就更大
这样也可以推得，正方形，比三角形的面积大，正五边形，比正方形的面积大
拿2條56公分的線圍成想圍成的仼意矩形，在所圍成的形狀中放入簡單物品，比如説小彈珠或是貼紙，讓小孩去做相對比較，正方形中可放入的東西是比較多的!
先從一個距形為出發點，例如上下邊短 左右邊長，如果增加上下邊邊長各一公分，則左右邊邊長需各減一公分，把圖畫出來可以得知增加的面積比失去的面積更大，直到上下邊長跟左右邊長相同為止，所以正方形面積最大
我會想到的方法是用(a+b)(a-b)=a²-b²這個公式
假設圍出來的正方形邊長是a 當我們改圍成長方形的時候 邊長的變化量就是b
因此 當面積有最大值時意即b²要最小值 也就是0 可推算b=0
😁跟我的想法一樣👍
另外一個思路：
如果一個矩形是用一個一個1公分的格子貼紙或拼圖來拼湊而成的，那麼第一個與最後一個格子，有三個邊露出來在外面，其餘的格子都有兩個邊露在外面，那麼，所有格子排成一排的情況下，第一個和最後一個格子用掉了6，其餘的邊長只能用掉50/2=25個格子，所以總共只有27格。
接著，我們把剛才拼出來的長條矩形，約略對半平分，暫時先把不能平分的一格放旁邊，此時我們得到一個2*13的矩形，算出邊長是30，30的意思是我們可以繼續拼上格子貼紙，我們發現，當排成兩排的時候，四個角落的貼紙有兩個邊露出來，而位置沒有在角落卻在邊上的，有一個邊露出來，點算一下，我們總共有48+4（邊+角）=52個格子；
再來看看如果我們把單一行的長條分成三段來拼湊，此時我們發現，在角上的依然是露出兩個邊，在左右的邊（所謂的矩形的長）與在上下的邊（所謂矩形的寬）上面的格子貼紙，露出一個邊，而被以上的格子包住，位於最裡面的格子，則是一個邊也沒有露出來。
此時學生們的心裏大概就會有一個歸納法的直覺：「我們包起來的格子越多，那麼相同周長得到的面積就會越大！」然後同時就會有一個共生的疑問興起：「那麼什麼時候什麼情況下，我們可以包最多的格子？」直覺反應很可能會是長寬相同的時候，因為1行到兩行、兩行到3行的情況下，面積都是增加的，可見最可能的就是長等於寬的時候面積最大。
當然，此時此刻仍需老師的推導與證明，但是直覺上，學生內心已經接受，正方形是周長最小或面積最大的矩形。
抱歉 說句實話 圍成圓形的面積更大 只是小學三年級未接觸圓形
凡事都用例子解释，会容易明白:
第一步: 拿一条16公分的绳子
第二步: 另外做16个1公分乘1公分的正方形
第三步: 把绳子围成6公分乘2公分
第四步: 把所有1公分乘1公分的正方形放进用绳子围成的6公分乘2公分里面，发现可以填12个
第五步: 重复第三和第四步
最后再总结。
換一個比較好理解的說法，正方形變成長方形可以想像成先做一次上下壓縮再做一次左右拉伸，在總長不變的前提下，上下壓縮的減少的長度必須等於左右拉伸所伸長的長度，所以上下壓縮減少的面積必然大於左右伸長多出的面積。這樣一來一回，長方形的面積必然會小於正方形的面積。
其實影片已經講出來最簡單的方法了 0:50
只要跟小朋友解釋1*3和2*2的關係就好了
其實可以用反證的方式
假若長寬差距越大，且極大化的情況下，該圖形面積越小，趨近於直線
反之得證在長寬沒有差距的情況下（長=寬），面積就會最大
将线对折一拉，面积是零。然后在中间左右一拉，面积就从零增加，然后又开始减少到零。所有，拉到中间程度时，就是最大的。
但是，最大的面积是圆形。
用四根手指去拉时，看是拉到中间程度时，的面积最大。用8根手指去拉时，8跟手指离中心最远时面积最大。将手指的数量增加越多，得到的面积就越大。所以，用无限的手指去拉开线时，各手指离共同中心最远时，面积最大。此时他是圆形。
如果小学生学过三角形，知道三角形的面积是底乘高，那么可以这样解释：
画一个矩形，固定对角线上两个点，用一个筷子，在另一角点上，移动筷子，可以使三角形变化。当筷子移动到对角线上时，三角形面积零，当移动到中点时，三角形高为最大。底长为对角线，是不变的，而线的长度又是固定的，所以在中点时，正好是等边三角形，也是正方形。
我一直相信「直覺的數學」永遠是最好的教學方法，因為直覺才會有「啊哈」的啟發效果。在進行#贏贏贏的解法前，我覺得可以先用簡單的例子幫小朋友先建立一個觀念，再導入嚴謹的證明。可以先拿一條繩子圍成一個寬邊幾乎為0的長方形，讓小朋友看看這時的長方形面積是極小的，接著把寬邊開始放大，讓小朋友可以明顯感受到在相同的周長下，隨著寬邊變大，面積竟然可以隨之增加；當然，當寬邊繼續放大接近長邊時，面積是接近最大的，但就視覺上並不明顯，所以不用下正方形面積最大的結論，而是繼續將寬邊放大超過長邊，最後將寬邊放至最大而使長邊最小，這時長方形的面積又可以明顯地看出接近0了。藉由這個過程讓小朋友知道，當寬邊由極小變至極大時，面積是卻由極小變大又回到極小，而不是一直變大，那是否表示在過程中，面積曾經到達最大？有了這個概念後，再提出正確答案並用#贏贏贏的方法進行證明，小朋友的學習效果應該能加倍吧。
我的第一個想法跟您的一樣，這樣應該可以讓小孩感受到面積從小變大再變小的趨勢，進而引導發現面積最大的時候為正方形。
正方形面积 = 1 * 1 = 1
长方形面积 = （1-a)(1+a)
= 1 - a^2
可以画图，一个原本边长 = 1 的正方形，一边减去a， 一边加上a。减去的面积是 a*1。 多出来的面积是 a*(1-a) < a*1。直接剪纸示范也行。
告訴小孩說「平均」比「極端」好，以後要是念到經濟學，這個概念也可以受用🤣
我想佑老師跟那個老爸都陷入一個誤區
為何得讓小三的孩子理解
記得我們數學老師說過
每個公式都要被證明才能使用
之所以現在只讓你們背公式 就可以馬上使用
是因為你們還小 無法證明那些公式
等你們長大
邏輯能力夠強 自然會要求你們去證明
也就是說
小學記憶力強 邏輯不強 把那些東西背下即可 不需一定要理解
長大後 記憶力變弱 但邏輯變強
這時才去證明或者理解那些小時候背過的東西
個人一些淺見
完全同意!! 而且數學的發展本來就是先觀察、有了猜測就開始"試用"，常常都是用了好一段時間才有人回頭完善定義從而證明；證明嚴謹才能開始用的話、那幾何原本出現以前都沒在玩幾何嗎？微積分也根本發展不出來
我想到的也是圖形
但思路則是「證明如果正方形變長方形會變小」
首先畫一個正方形
然後畫出由正方形一邊縮短，而一邊加長的長方形，疊加在正方形上
就可以由圖形上看出增加的面積小於減小的面積
(增加的面積和減少的面積有一邊一樣長，
但增加的面積的另一邊是，原本的長度減去縮小的長度
而減少的面積的另一邊是，原本的長度
原本的長度一定大於原本的長度減去縮小的長度)
我覺得可以教小朋友用極端值去演算
假如周長20，可以用1*9跟5*5去算會發現正方形的比較大
另外一點也可以給他看佑來了之前有一個講解無限巧克力的影片，我相信會很好學習
最簡單的方式就是分割成小單位
例如國小最喜歡用的1x1x1小方塊
不管高 排成圖形時 數每顆方塊“貢獻”的邊長數
周長固定 只要每顆方塊貢獻越少 就越趨近正方形 面積也會越大
要小三學生明白這道題目, 很大程度上要看學生的聰明和悟性. 悟性高的要比悟性低的要來得有自發性. 老師的力量總是有限的, 盡力而為那就問心無愧了.
拿繩子讓小朋友實際玩一次應該就知道了吧。
1. 要求小朋友用一圈繩子做出最小面積的矩形 -> 小朋友應該要能做出幾乎零面積的一條線
2. 不斷迭代要求小朋友從左右變寬做出面積比上次大的矩形 -> 小朋友最後會做出正方形
3. 超過正方形的矩形，必定是 2 裡面做過的矩形的 90 度旋轉，所以面積一樣，也必定小於正方形。
覺得小三應該不需要嚴謹的數理證明
假設有兩個周長都是56, 且邊長都是整數的長方形Ａ(13x15)和正方形Ｂ(14x14), 我們每次都一起剝掉最外一圈的 0.5X0.5 的正方形, 因為周長一樣的關係, 每次Ａ和Ｂ剝掉的面積也會一樣, 而且剝完之後A和Ｂ周長還是一樣, 都一起少 4 且邊長都少 1. 那結果就是長方形總是比正方形早被剝完. 因為長方形的短邊一定比正方形的邊長小.
把同周长的正方形和长方形一个角重合叠放，会发现不重合之处正方形所余部分面积更大。因为那两个不重合部分有一个边长是相等的，比另一边大小就行了。用代数表示就是：假设正方形边长为a，因为周长相等，则长方形边长可以表达为a-b和a+b，(a+b)(a-b)=a²-b²≤a²
1.拿出一條繩圈
2. 一塊密密密痳痳的釘板
3. 小朋友在把繩放在釘板上
4. 圈內有多少釘, 就給他打多少糖
將同等周長之正方形與長方形對齊重疊在一起，此時圖案會形成缺口。而缺口的面積就等於正方形與長方形面積相減，缺口的面積就是多出來的面積。
舉例一來給小三說。
總數10。分成2組數字。可以有：1+9、2+8、3+7、4+6、5+5。
所以5跟5一起可以達到最大的25。
舉例二來說。
2個人手長搭配加起來最多10。想要圈住最多東西。
就是2人手長分配都是5。才能圈住最多東西。
高年級可以再思考: 同樣周長但長寬比不同的各種長方形，用這個方法重組成的正方形，中間空白的區域面積可以形成一個平方數列
例如長寬都是整數的話可以形成這種數列: 1, 4, 9, 16,..., 169
其實佑老師在影片的 0:20 - 0:28 就已經解釋了 (0:26 的靜止圖也很有幫助)。但我這邊提供另一種描述的方式，希望是一種比較直觀/直覺的方法。
我們都知道面積是繩子內的範圍，而圓形是面積最大的形狀。
(在畫出圓形的面積後) 用同一條繩子在圓形內擺出不同的形狀，我們可以看到不同形狀涵蓋的範圍不同 (可參考未涵蓋的範圍/白色部分)，最後可以得知正方形涵蓋的範圍最大 (或是說未涵蓋的範圍最小) 。
其實經典數學裡很多的證明都跟圓形有關，所以數學家才會一直執著於 π 的精準值 (當然最後發現 π 是一個無理數... Oπ)
這時小孩會問，為什麼圓是面積最大的形狀啊
建議可以先用較小的數字來思考，如20公分，以長方形來看，有2個長和2個寬，所以20/2=10，長+寬=10，於是有9*1=9。8*2=16。7*3=21。6*4=24。5*5=25，以上這幾種長方形及正方形，因此觀察歸納出正方形同樣的周長可以圍出的最大面積，以上在課本裡是有放入引導學生觀察了解，進而同樣的歸納應用在56公分的繩子，就知道周長圍出最大面積要用正方形（小三還沒有教圓形圓周率，因此先不把圓形納入），因此運用在生活上，就比較可以理解為什麼咖啡店的蛋糕要切成長方形來販賣，而不是切成正方形，因為長方形面積較小，較符合成本效益，而磁磚為什麼要用正方形，因為可以覆蓋最大面積。以上是個人的思考提供參考
先說結論，所謂的周長只有最外面那圈才算，被包在裡面的體積不被算在內。這也將能解釋為什麼體積增加，可是周長不變，因為增加的那部分體積，並不會影響周長。
一樣使用我另外一則留言的做法，把面積分割成「每單位1x1」的小方塊。每個小方塊的周長是4。
假設現在有個27x1的方形，也就是一排27個小方塊。那麼此時可以清楚發現，頭尾的小方塊有3個邊露在外面，中間的小方塊則有2個邊露在外面。露在外面的邊才會被算入整體周長，不被算入整體周長的邊，正是與其他小方塊相連的邊。
那麼意思也就是說，只要讓越多的小方塊被包裹在裡面，越少的小方塊的邊露在外面。這將可以在周長不變的情況下增加體積；在體積不變的情況下減少周長。
如同佑老師影片中 2:22 所示，增加的那部分體積是在裡面，那麼那部分的體積，並不會表現在整體方形的周長上。自然周長是不變的。
而包裹得越厚，可以使直接露在外面的方塊越少，方塊彼此的接面也會越多，接面的邊不會反應在整體周長上。而在二維的方形上，所謂的越厚，必須顧及到長寬，因此均勻的方形面積最大。當然更均勻的圓形會比方形面積更大。
在14x14的方形中，只有4個角的小方塊的2邊露在外面，其餘的周圍48個小方塊都只會露出一個邊。而剩下中心的12x12則不會有任何一個邊露在外面。
也因為14x14每個方塊露出的邊比起27x1還要少，所以方塊數量當然可以更多，體積就可以更大。
所以為什麼體積增加，周長卻可以不變？
我認為是，只要讓增加的那部分體積，不要被算入周長內，使用最均勻，或者說是勻稱的形狀，將其包裹起來，將可以達到最小周長。
因為正方形是最均衡的長方形，故在相同周長下，每個方向都能夠得到最大的發展空間，則面積最大
一個圖形只要越多角就越大(沒有向內反角和同周長）的情況下，越多角就越像圓形,所以只要一個四邊形佔圓形更多的地方面積就越大。或者最簡單的方法其實是畫格仔紙，然後數格仔。
因為他寫正方
體反而讓我開始試著計算正方體的表面積有沒有比正方形大
結果沒有XD
小朋友很難由數學去懂什麼為什面積長度關係，但他可以由圖形的羅輯去理解，
用4x4的方格組成一個正方形和一個1x16的長方形，為什麼1x16的周長比較大？
因為兩個小正方形的三邊和14個小正方形的兩邊都變成邊長，這種直觀的理解對小朋友比較重要。
我想到的方法感覺有點不太嚴謹：
若有一段頭尾相接的線圈，當它縮成一團時，中間圈起來的面積是0；
當他受到一左一右的等大小拉力，把它拉緊、張開時，中間圈起的部分只有將近「一條縫」，面積比0大；
保留前面條件，但再多施與一上一下拉力，大小與左右拉力相同，此時線圈會被拉成正方形，直觀上，感覺會比前面的一條縫面積大；
以前述正方形對角線交叉處為中心，像外四面八方、對線圈施與等大小的拉力，此時線圈會被拉成圓形，有最大的面積
痾…但好像還是不太能解釋到影片中的問題
要把手穿過沒彈性的繩圈，需要把繩圈撐開才能穿過去，閉著的時候過不去
裝東西到紙袋裡，從上面看原本是扁的，塞完之後會變得圓鼓鼓的
越接近圓形，中間能塞的東西越多，面積大小就越大
目前想到比較好理解的是反向思考的教學，在同樣矩形面積下，正方形需要的周長最短。
因為孩子的疑問是同樣一條繩子，圍出來的面積為什麼有差，我們可以透過同樣面積所需的周長不同打破孩子的疑惑。
教學上可以把原周長正方形切一半，短邊相接拼成一個長方形，這時候就會發現在同面積情況下，長方形的周長都會比正方形的還要長
反過來所以長方形要圍出最大的面積，就得用正方形才行。
在同樣矩形面積下，正方形需要的周長最短。 這個也是很難證明的
反過來把相同面積的正方形跟長方形分成小正方形，並為每個小正方形畫上邊長。然後讓小朋友分別數圍繞在大正方形或長方形的小邊長有多少條，而在「圖形內的小邊長」有多少，讓小朋友明白正方會讓更多的小正方形邊被藏在裡面。
假設兩數相加是10
這兩數相乘最大值是5*5=25
反之 4*6=24
3*7=21⋯⋯
矩形的面積是兩數相乘。
準備一條繩子和一些糖果，
問小朋友什麼樣的情況可以在繩子圍城的矩形內塞最多的糖果（不能往上疊），塞進去的部分都屬於小朋友的。
可以圍到的最大面積應該是圓形而不是正方形，56÷2÷3.1416是圓的半俓，面積是半俓x半俓x3.1416大約是249.56平方厘米，大過196平方厘米
邊長浪費解釋法：
有一長方形100*1，把他裁剪成10個10*1長方形，堆疊成10*10的正方形，會發現有大量的邊長被浪費掉了，反之，一個10*10邊長的正方形則完全沒有浪費任何邊長，完全用於圍面積。
用（X-1）(X+1)那個講法就對了啊
會是X^2-一個正數
如果把繩子剪成 8 等份（不一定需要繩子，也可以用 8 個長短一樣的筷子代表繩子），組成正方體，剛好就是 2*2 個小正方體。如果變成長方，可以變成 1 * 3，剛好是 1 * 3 個小正方體，這樣一來，4 個小正方體肯定比 3 個小正方體大（正方體和長方形周長一樣是由 8 個長度一樣的繩子構成）。因為家裡剛好地面上磚塊就是四四方方，突然想到的
可以先選其中兩個邊作為一組
兩端點固定(成為三角形的底)並且長度和固定，去調整中間頂點的軌跡，(可以用algebra或者繩子和圖釘來演示)
會發現在兩個邊長度相等時，包圍的面積會最大(形成的三角形高最長)
N邊形中的任兩條邊都可以做這樣的調整操作
最後就可以證明出相同周長的N邊形中，正N邊形的面積最大
简单讲就是长方形有四个边，我们假设有周长是100，短边为1，长边为49，那么。长边的两个对边，每1公分围起来的面积就是1平方公分。当我们拉长短边1公分时，长边的两个对边每1公分可以围住2平方公分。相当于复制了一次。总共增加了49平方公分，但是因为长边变短了，所以新的两个1公分宽的长方形会各损失1公分长，各损失1平方公分面积。49+49-2=96。我们可以继续推断，只要短边还没有超过长边，那么应该是稳赚不赔。因为每损失1公分长边，面积都是接近增加一倍，增加的速度会减缓。到长宽相等为止。
我會這麼解釋：
用一條繩子前後相連變成一個圈
首先拉成兩條垂直的線，這時候是最長、最窄的矩形，面積也是0最小
接著慢慢拉成兩條水平的線，這時候是最矮、最胖的矩形，面積還是0也最小
而過程中面積就是慢慢從0變大，大到一定程度後又慢慢變小變回0
所以正中間的時候，就是剛好從"變大的過程"轉成"變小的過程"的關鍵點
而這個時候就剛好是正方形的時候，所以正方形是面積最大的矩形
如果小朋友又問為什麼一定是正中間會從"變大"變成"變小"
可以在把上面的過程反過來做一次
因為從"垂直變成水平"跟"水平變成垂直"其實是一樣意思
只要換個方向看就會是一樣的
那如果不是在正中間的時候轉變
那換方向就會錯
所以一定是在正中間的時候變的
如果在任意一個位置以45度切下去然後分開，旋轉其中一部份。
將會形成一個L形的形狀，將凹入去的邊拉上補下，就會形成新的距形，面積亦會增加。
將上述不停做，最終形狀將會為正方形，亦表示這樣已經是最大了～
當然，直接在中間以45度切下去是最快的🙉
用文字說有點困難，希望能理解了～
我覺得如果要讓一個沒有任何理論知識的小孩理解原理，最直接的方法就是用繩圈把形狀圍出來，然後去數紅豆／彈珠。
而且如果操作沒有失誤的話，塞到滿的形狀一定會是圓形。
可以反過來思考：
「給你相同面積的很多個正方形小格子貼紙，每張貼紙互相把一個邊長，與其他格子貼紙的一個邊長對齊來抵消它。要怎麼貼，才能讓最外面的總邊長（周長）是最少的？」當小朋友動手摸索這些格子貼紙之後就會發現，拿到1、4、9、16⋯⋯（平方數）時，拼成正方形時，最節省周長。反向而同理，相同周長的矩形，以正方形的面積最大。
我倒是想到一個反過來的說法 如果是一個長寬 xy 的長方形
我現在多了兩公分的長度可以擴張
擴在x邊 會多出1*y 的面積出來（兩公分分配到一邊1公分）
擴在y邊 會多出1*x的面積出來
這麼下來在短邊擴張會是比較有利的選擇
而擴完的結果會變得長跟寬的差距變小
那就可以證明一件事，每個邊長不相等的xy長方形
如果我從長的邊先回收一點點長度（使被回收完的x不小於y的情況下）
我等於有了一個長寬wy 的長方形，以及e= x-w的長度可以進行擴張
根據前面的結果，我把多的這段長度擴張到短邊後，面積會更大
（結論：每當從長邊偷一點點長度到短邊時，面積會變大）
那回頭看正方形，無論你從哪一邊偷，被偷的那邊瞬間會變成短邊
等等擴張時還是要還回去，所以正方形是最大化的配置
小三的話可以用繩子圍出來輔助證明