Ist 0.99999999..... gleich 1?
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- Опубліковано 2 тра 2024
- 🧑🏫Heutiges Thema: Ist 0,99999..... jetzt gleich 1 oder nicht?
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Auch verblüffend
Multipliziere eine Zahl 1 unendlich oft mit sich selbst, dann kommst Du in die Nähe der Unendlichkeit.
Somit ist die 1 das Bindeglied zwischen der Null und der Unendlichkeit. 😮
Wunderschön! ❤
Hey Christian,
das Video finde ich ganz gut, mir persönlich würde die schönere Herleitung mit der geometrischen Summe besser gefallen.
P.s. ich finde, die kurzen Haare stehen dir viel besser! :)
Danke :)
In der Schule war ich an dieser Stelle begriffsstutzig und wollte nicht wahrhaben, dass das gleich ist. Bis meine Lehrerin dann fragte: "Welche Zahl liegt denn zwischen den beiden?". Da musste ich passen aber der Groschen war gefallen.
Das Argument deiner Lehrerin ist ein Zirkelschluss.
Es setzt die vollständige 1 als die einzig mögliche gegebene Grundeinheit aller Zahlen bereits vorraus wenn sie dich auffordert eine Zahl "dazwischen "zu nennen.
Man kann nicht etwas dadurch belegen, dass man es schon vorher als gegeben vorraussetzt.
@@skhi7658 Also ich versteh nicht, wo da der Zirkelschluss sein soll. Ich denk mir, zwei Zahlen sind das selbe, wenn ich mir sicher sein kann: Egal welchen Abstand einer angibt, er ist zu groß. Und zu jeder rationalen Zahl, die mir einer als Abstand gibt, finde ich eine Nachkommastelle in der 0,9999... , ab der der Abstand zur 1 kleiner ist.
"Begriffsstutzig" überhaupt nicht! Du hast der Lehrerin nicht alles sofort geglaubt und wolltest es wirklich verstehen. Und die Lehrerin hat nicht mit "ist halt so" geantwortet, sondern dich mit einer klugen Frage dazu gebracht, selber drauf zu kommen. So sollte Lernen sein.
P.S.: Lass dich hier nicht von wirren Aussagen über "mögliche Grundeinheiten" beeindrucken.
@@user-gd9vc3wq2h
Das ist keine "Verwirrung" , sondern ein Faktum der Standardanalysis.
Das vormals unendliche Kontinuum , wird zum unendlichen Kontinuum endlicher Zahlen umgedeutet.
Man nennt dieses neue Kontinuum,.den Zahlenstrahl der reellen Zahlen.
Dedekinds Argument behauptet, dass man mit einem Schnitt durch diesen Zahlenstrahl immer exakt zwei vollständige Mengen (mit unendlich vielen Elementen ) erhält .
So erklärt sich die Identität jeder beliebigen reellen Zahl als symbolische und vollständige 1 und der Glaube an die Identität einer periodischen Reihe wie z. B. 0,9999 ..mit der 1.
Die Nichtstandardanalysis kennt allerdings zusätzlich noch die Hyperreellenzahlen , welche einer reellen Standardzahl zwar maximal benachbart sind, aber eben NICHT damit identisch sind.
Das Rechnen mit solchen Infinitesimalen ist seit Archimedes und später Newton und Leibnitz bekannt und maximal erfolgreich
@@user-gd9vc3wq2hist aber richtig
Die Frage scheint ja ähnlich anzuregen wie das Zonk-Problem bei der Wahrscheinlichkeit. Da muss mal eine Hitliste her.
bei Zonk kam direkt ein Geräusch inkl. Jörg D.
Ich hab viele negative Gedanken an diese Frage, weil ich da vor Jahren mal ein Video eines englischen Mathematikprofessors gesehen hatte.
Der hat es aber VIEL schlechter und für Laien deutlich weniger verständlich erklärt, weshalb es da ziemlich viele Diskussionen in den Kommentaren seines Videos gab.
Die waren dann auch weder freundlich, noch haben sie irgendwie versucht, das verständlich zu erklären.
Die Erklärung hier im Video ist viel einfacher nachvollziehbar und ergibt dann auch für Laien wie mich Sinn.
Tolles Video!
Danke schön! 🙏 Und ich finde, Verständlichkeit ist eine notwendige Bedingung 🙃
@@pharithmetik Er hatte es irgendwie mit einer Multiplikation mit 10 bewiesen. Das Problem war, dass viele Leute dann dachten "naja, eine 9 weniger hinter dem Komma, dann geht das nicht auf".
Dann haben beide Seiten aneinander vorbeigeredet und wurden rauer.
Ich find deine Videos auch als Nicht-Studierender super klasse, da kann man gut was lernen! :)
@@strohkoenig Ja, diesen Beweis findet man hier auch in den Kommentaren!
Also formal sind reelle Zahlen Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen modulo Nullfolgen nach der gängigen Konstruktion. Also müssen wir zeigen, dass sich 1 und 0,999… nur um eine Nullfolge unterscheiden. Die Notation 0,999… steht für die Cauchy-Folge x_n=Σ_{k=1}^n 9*10^{-k} und 1-x_n=1/10^n, was gegen 0 konvergiert.
Das ist nur eine Möglichkeit reelle Zahlen einzuführen. Es gibt auch andere Möglichkeiten.
@@egonotto4172 Ich habe auch geschrieben „gängige Konstruktion“. Welche gibt es denn noch?
@@espltdec1000vbk Z.B. Dedekindsche Schnitte.
@@egonotto4172 Ah ja, so haben wir das sogar in Ana1 gemacht. Gefällt mir aber weniger gut.
wieder was gelernt, wird mich auf der Baustelle zwar nicht viel weiter bringen... aber ich kann angeben bei meinen Kindern xD
Das gleiche beim Limes: Limes geht gegen 0, ist aber nicht exakt 0 ? aber die Lösung ist trotzdem exakt oder mit einem Fehler, der unendlich klein ist ? Eine Frage der Definition, vermutlich
Aber selbst wenn ein Fehler unendlich klein ist, bleibt es ein Fehler und spielt deswegen doch keine Rolle, wo genau er auftaucht?
@@EvilNightwolf
Es ist kein "Fehler" , sondern ein infinitesimaler Restwert.
Dieser Restwert ist zwar kleiner als jede positive reelle Zahl , aber trotzdem immer größer als 0.
Das ist die Definition einer infinitesimalen Größe.
In der physikalischen Realität, spielen solche Größen eine zentrale Rolle und tragen nachweisbar in ihrer Gesamtheit, real und messbar zur Wirklichkeit bei.
Der Limes geht nicht gegen 0, er IST null. Die Folge geht gegen den Limes, dieser ist aber eine feste Zahl. Daher bedeutet die Frage „Ist 0,p9=1“ dasselbe wie „Konvergiert die Folge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; … gegen 1?“
3:25 Es gibt sogar ein Lied:
Pi ist irrational:
ua-cam.com/video/VbxjBGTcJ9c/v-deo.html
Nur schade, daß die Frage nicht schon bei 3:14 auftauchte.
Kann man das nicht auch mit dem Limes beweisen?
Kaum zu glauben! Mich beschäftigt diese Frage schon seit 45 Jahren. Viele Sachen sind mir klar; doch hier bin ich im Zweifel. Auch, wenn es mathematisch exakt ist. Also: Kaum zu glauben...
:) ich glaub es liegt am Dezimalsystem, das wir haben. Im 12er würde das nicht so verwirrend sein. Aber sagen wir's mal so ähnlich als 1/9 ist 1/3 oft geläufiger. 1/3 = 0,333333.... Wenn man nun die ganze Gleichung * 3 nimmt, dann ist 3/3 = 0,999999... . Im 12er System ist 1/3 = 0,4 nun ganze Gleichung * 3 dann 3/3 = 1
@@burgnbg Dieser Beweis iesse sich durch Anpassung erverwendeten Zahen auch leicht aufas Zwoelfersystem uebertragen: Wenn man a und b alls die beiden zusaetzichen Ziffern verwendet, wuerde mman mit der Ziffer b (= 11dezimal) tatt der Dezimalziffer 9 rechnen, und man haette wiedeum zwei verschiedene Schreibweisen fuer die reelle Zahl 1, bei der die "Zweifler" die Gleichheit anzweifeln wueden ...
Unabhaengig von der (ganzzahligen) Basis des verwendeten Zahlensystems gibt es immer fuer jede Zahlmit einer arstellung mit endlichh vielen Nachkommastellen eine weitereDarstellung mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Durch Wechsel der Basis des Zahlensystems wird man das Problem nicht los, man verschiebt es bloss.
@@burgnbg Auch schön erklärt!
Das ist eine praktische , aber keine grundsätzliche Lösung des eigentlichen Problems.
Natürlich kann man durch die Wahl einer geeigneten Grundeinheit das Problem kurzfristig befrieden.
Die Grundfrage ist aber , ob die Idee der Standartanalysis grundsätzlich korrekt ist , oder nicht.
Diese beruht auf der Festlegung eines Grenzwertes durch einen gedachten "Schnitt" in das potentiell unendliche Kontinuum der Zahlen von Richard Dedekind.
Dadurch wird das unendliche Kontinuum in zwei seperate Mengen aufgeteilt , welche nun durch seine Elemente wohldefiniert sind.
Das unendliche Kontinuum ist so zum Kontinuum endlicher Zahlen geworden, in dem eben keine weitere Zahl mehr "zwischen" einen solchen Schnitt passt.
Damit die Idee funktioniert, muss dieser "Schnitt" aber ebenfalls als unendlich fein angenommen werden, so das das eigentliche Problem nicht gelöst, sondern nur sehr clever in diesen abstrakten "Schnitt" , ausgelagert wurde.
@@burgnbg Im 12er System hättest du dafür aber dann 0,bbb... = 1.
Dieses Phänomen tritt in jeder Basis auf!
Aber das ist doch eine rechentechnische Herleitung, kein formaler Beweis. Und könnte man den wirklich mit dieser Idee führen, oder müsste man da nicht argumentieren, dass es kein ε>0 gibt, für das gilt: ε+ 0,999... = 1. sondern, dass das Ergebnis immer größer als 1 wäre?
Also, ich verwende nur Äquivalenzumformungen. Ich wäre bezüglich der "Beweishaftigkeit" nicht so skeptisch
Es kommt darauf an, wo du anfängst.
Der Sinn eines Kalküls ist es ja gerade die mathematische Maschinerie dahinter zu kapseln und die Argumentation zu vereinfachen.
Die Korrektheit des Dezimalzahlenkalküls, das man in der Schule lernt, lässt sich ja mit der Analysis beweisen und du packst ja auch nicht bei jeder Ableitung/Integral die epsilons und deltas wieder aus.
Bei diesen Brüchen scheint das mit dem Kuchen doch immer wieder irgendwie hilfreich.
1 Kuchen geteilt in neun Stücke gibt neun Stücke.
Wenn man das wieder zusammen setzt fehlt da was - die Krümel fehlen
Das mit den kurzen Haaren stimmt übrigens
👍🤗
Sehr goldig mit den Krümeln! 😊
0,9999999... = x (1. Gleichung) / beide Seiten mit 10 multiplizieren => 9,999999... = 10x (2. Gleichung) / die 1. Gleichung von der 2. abziehen => 9,99999... - 0,999999... = 10x- x => 9 = 9x => 1 = x
Auch sehr, sehr cool!
So kann man jede Periode in einen Bruch umwandeln.
@@big_digger2225 👍
Die Antwort ist sehr gut, jedoch sollte sie am Ende noch ein zwei Schritte mehr enthalten.
10x-x=>9x=>9 darausfolgt x=9/9=1
z. Bsp.: 1/7=0.142857p
daraus folgt:
999999x=142857 und
x=142857/999999 (/9)
x=5291/37037 (/11)
x=481/3367 (/13)
x=37/259 (/37)
x=1/7
Dieser Beweis ist tatsaechlich enfacher, als der ueber die geometrische Reihe.
Erste Division sollte nicht 9 sondern 27 sein.
0,999999... = 1, stimmt, wenn man innerhalb der Reellen Zahlen bleibt. Es gibt jedoch noch die Hyperreellen Zahlen, die die Reellen Zahlen um infinite und infinitesimale Zahlen erweitern. In diesem Zahlenbereich ist 0.999999... infinitesimal zur 1 benachbart.
Ja, darüber kann man auch philosophieren 🙃
Der Standardteil von 0.999... und 1 ist in den hyperrellen Zahlen übrigens ebenfalls identisch.
Oder die surrealen Zahlen (von Conway und Knuth). Diese enthalten die hyperreellen Zahlen und natürlich auch die reellen Zahlen als Teilmenge. Es gibt dort Zahlen, die näher bei Null liegen, als jede Reelle Zahl, somit gibt es auch eine Zahl e mit der Eigenschaft 0.9999.... + e =1. Damit sind 0.999... und 1 in dem Zahlensystem nicht gleich. Das gleiche gilt auch in den Hyperreellen Zahlen.
@@bastianfrom77 wenn du von 0.999... bzw. 1 redest, meinst du damit die surrealen Zahlen oder deren Äquivalenzklassen?
@@julianbruns7459 Um es genauer auszudrücken: In dem Fall 0.9999.... die Äquivalenzklasse.
Auch wenns intuitiv stimmt, finde ich persönlich nicht, dass das irgendwie ein vollständiger Beweis ist. Dann müsste man sich eigentlich noch anschauen, wie solche Perioden überhaupt entstehen, und viel wichtiger: warum 2*0,111..... = 0,222.... ist. Wo wir ganz schnell in so "Hilbert Hotel Geschichten", ums mal salopp auszudrücken, kommen.
Für die Intuition aber trotzdem mega nice, früher hat mir das als Begründung gereicht 🙂
Ich finde es gar nicht so "unvollständig". Eine Periode ist nichts anderes als eine unendliche Summe, und bei denen ist auch relativ klar, was passiert, wenn man sie z.B. mit 2 multipliziert.
"... müsste man sich anschauen..." klingt gut. Dann tu es einfach. Rechne schriftlich 1:9 und 2:9. Da kannst du den Perioden beim Entstehen zugucken. Und weil 2:9 = 2 × 1:9, siehst du auch, dass 0,p2 = 2 ×0,p1 ist.
(Das p steht für einen Perioden-Strich über alle Ziffern, die rechts davon stehen.)
Die Antwort ist eigentlich total simpel: du möchtest bei Mediamarkt ein Kabel für 10€ kaufen, hast aber nur 9,99€.
Ist sicher kein Mathematisch korrekter Beweis, aber ich erkläre es gerne wie folgt:
0,9 + 0,1 = 1
0,99 + 0,01 = 1
0,999 + 0,001 = 1
0,9999 + 0,0001 = 1
0,9^ + 0,0^ = 1 (^ soll der Periodenstrich sein)
Ich muss also um von 0.9 Periode auf 1 zu kommen eine 0 mit unendlich vielen nullen hinter dem Komma addieren.
Eigentlich 0,9^ + 0,0^1 = 1. Die Anzahl der Nullen ist aber bei 0,0^1 unendlich - 1, weil man bei deinen Beispielen oben sieht, dass nach dem Komma von der zweiten Zahl immer eine Null weniger vorhanden ist, als die Anzahl der Neunen nach dem Komma von der ersten Zahl.
Aber Unendlich minus 1 ist immer noch unendlich 👀@@Cloude1983
Ich sage nur Lichtgeschwindigkeit...Daran könnte man es am besten erklären....
Was soll das denn miteinander zu tun haben? Lichtgeschwindigkeit ist doch ein Begriff aus der Physik, während die Existenz und Bedeutung von Grenzwerten eine Frage ist, die die Mathematik allein zu klären hat.
Außerdem benötigt die Verbindung der Physik zur Mathematik irgendein bestimmtes Modell oder Weltbild, wobei sich hier die Spezielle Relativitätstheorie anbietet. (Dann hat man hier alle, die letztere noch nie verstanden haben oder die sie aus sonst einem Grund nicht mögen, hier auch noch!)
@@user-gd9vc3wq2h
Na ja , die Wirklichkeit der Natur sollte doch wohl in unseren formalen Systeme welche diese Wirklichkeit beschreiben sollen , immer das letzte Wort haben.
Mathematik ist doch keine Spielerei welche nur als Selbstzweck dient.
@@user-gd9vc3wq2h
Na ja , die Mathematik ist ja keine selbstbezügliche Spielerei .
Die Wirklichkeit in der Natur sollte doch wohl das letzte Wort darüber sprechen,
wie wir unsere formalen Systeme organisieren.
Diese formalen Systeme dienen ja schließlich dazu , die Realität in der wir Leben , möglichst korrekt modellhaft zu beschreiben.
Ingenieur hier: Ja. Thema beendet.
Sehr pragmatisch 😊
@@pharithmetik Ich versteh euch Mathematiker ja auch.
@@InvitusCode Danke dir! 🙏
Die Frage, ob 0,p9 = 1 ist, lässt sich tatsächlich nicht so einfach beweisen, wie es im Video aussieht. Es wird eine Identität benutzt, die zwar einleuchtend aussieht, die aber nicht begründet wird, und genau darin liegt der Schlüssel zum Verständnis.
Im Video wird behauptet, dass 0,p1 * 9 = 0,p9 sei. Warum ist diese Identität problematisch? Unser Multiplikationsalgorithmus für das Multiplizieren zweier Kommazahlen (sprich: „schriftliches Multiplizieren“) funktioniert so, dass man von hinten nach vorne rechnen muss, d.h., man muss mit der letzten Nachkommastelle anfangen. Hier gibt es aber keine letzte Nachkommastelle, weshalb man den Algorithmus nicht anwenden kann. Damit fällt dieser Beweis, der immer wieder hervorgekramt wird, in sich zusammen. Und seien wir ehrlich: Richtig überzeugend ist er auch nicht, er überzeugt Kritiker nicht davon, dass 0,999999…. nicht kleiner als 1 ist, weil ja immer etwas fehlt.
Um wirklich zu verstehen, warum 0,p9=1 gilt, muss man sich fragen, wie 0,p9 eigentlich definiert ist. Das machen Mathematiker so: Man kann nur dann etwas beweisen, wenn die Definition der Dinge, über die man Aussagen macht, klar ist.
0,p9 ist NICHT 0,9999…, denn diese Zahl gibt es nicht: Niemand (außer Chuck Norris) kann unendlich viele Neuner auf ein Papier schreiben. Eine periodische Zahl ist definiert als GRENZWERT der Zahlenfolge, die dadurch entsteht, dass immer mehr Kommastellen hinzugefügt werden. Bspw. ist 1,p56 der Grenzwert der Folge 1,56; 1,5656; 1,565656; …
Der Grenzwert ist nun aber die Zahl, der sich eine Zahlenfolge beliebig genau annähert. Wenn man es so betrachtet, ist es völlig klar, dass 0,p9 = 1 ist, denn das bedeutet nach Definition der Periode und des Grenzwertes nichts anderes, als dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999; … sich der Zahl 1 ANNÄHERT (beliebig nahe) und das entspricht unserer Intuition. Jede einzelne Zahl der Folge ist natürlich ein kleines bisschen von der 1 entfernt, der Grenzwert aber muss die 1 sein.
Zum Abschluss will ich noch einmal auf die problematische Identität 0,p1 * 9 = 0,p9 zurückkommen. Natürlich ist diese Gleichung korrekt, aber dahinter steckt ein Grenzwertsatz, d.h., die Gleichung ist alles andere als trivial.
Warum machen Sie denn einen Unterschied zwischen 0,p9 (oder statt mit dem p üblicherweise mit dem "echten" Periodenstrich über der 9 geschrieben) einerseits und 0,999... andererseits? Für mich, und ich denke, für viele andere Menschen, ist 0,999... nur eine etwas weniger vornehme Schreibweise.
Beim schriftlichen Multiplizieren _muss_ man nicht unbedingt "von hinten nach vorne rechnen". Klar, in der Schule lernt man es so, weil es ohne weitere Überlegungen für alle Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen funktioniert, aber das bedeutet nicht, dass man nicht auch abschnittsweise von "vorne nach hinten" (also von links nach rechts) rechnen _kann_, sofern man die Überträge im Griff hat. Das gilt für Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen genauso wie für geeignete Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. So lässt sich z.B. 2×pi ohne Probleme von links nach rechts rechnen: immer bis vor die nächste Stelle, wo kein Übertrag produziert wird, also
2×3,14'159'265'358979'3'2...
= 6,28'318'530'717958'6'...
Anderes Beispiel 9×
0,101001000100001000001...
(Die Anzahl der Nullen zwischen den Einsen nimmt immer um eins zu.)
Wichtig ist natürlich, dass man das Vorgehen an die gestellte Aufgabe anpasst, und ich behaupte auch nicht, dass alle Multiplikationsaufgaben , wo eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, so gelöst werden können, aber die Behauptung, es gehe gar nicht, ist in der Pauschalität nicht haltbar. Meines Erachtens ist 9×0,111...=0,999... ein Beispiel dafür, wo man die Überträge im Griff hat, weil es nämlich gar keine gibt.
@@user-gd9vc3wq2h Das ist korrekt, aber es ist halt keine normale Multiplikation. Es gilt der Grenzwertsatz lim(a_n*b_n)=lim(a_n)*lim(b_n), deshalb kann man es so multiplizieren. Denken Sie einmal darüber nach: Was Sie eigentlich sagen ist doch, dass 9*0,1=0,9; 9*0,11=0,99; 9*0,111=0,999 usw. Die „…“ stehen für „und so weiter“. Jede einzelne dieser Multiplikationen ist durchführbar (von hinten nach vorne).
@@user-gd9vc3wq2h Ich habe keinen Periodenstrich geschrieben, weil es auf einer Tastatur einfacher ist, ein „p“ zu schreiben, den Periodenstrich muss man sich an dieser Stelle denken.
Das Wichtige ist, dass es die Zahl 0,999… tatsächlich nicht gibt. In der Schule teilt man z. B. 10:9 und erhält 3 und dann wieder denselben Rest. Deshalb geht es mit den Nachkommastellen „immer so weiter“, es folgen also unendlich viele 3er, also 3,333…. Das ist aber eine naive, intuitive Schreibweise. Man kann diese Zahl nicht exakt aufschreiben. Mathematiker machen in solchen Fällen immer dasselbe: Sie erfinden neue Schreibweisen, in diesem Fall 3,p3. Und mit dieser Schreibweise bezeichnen sie den Grenzwert der Folge 3; 3,3; 3,33; 3,333; …
Dasselbe machen Mathematiker dauernd: Das Wurzel-Zeichen, die Bruchschreibweise, Logarithmen, das Zeichen von PI: All das sind Beispiele dafür, dass neue Schreibweisen eingeführt werden, um etwas EXAKT zu beschreiben. Es gilt eben NICHT wurzel(2)=1.41421 und auch NICHT wurzel(2)=1,41421…, denn für was sollen diese drei Pünktchen stehen? Die einzige Möglichkeit, wurzel(2) exakt auszudrücken ist wurzel(2) oder äquivalente Terme wie „4. wurzel“(4).
Noch ein Gedanke, der zum Beispiel von wurzel(2) (abgekürzt im Folgenden mit w(2)) passt: Wie wir wissen, gilt definitionsgemäß w(2)*w(2)=2, also w(2)*w(2)=2,000…
Wenn man aber eine Kommazahl mit sich selbst multipliziert, hat das Ergebnis doppelt so viele Nachkommastellen. Man sieht:
1,41*1,41=1,9881
1,414*1,414=1,999396
1,4142*1,4142=1,99996164
„Offensichtlich“ strebt diese Folge gegen 1,999…, also 1,p9 und auch hier sieht man wieder, dass 1,p9=2 gelten muss.
@@user-gd9vc3wq2h
Vorab: Ich schreibe „0,p9“, weil der Periodenstrich auf der Tastatur schwer umzusetzen ist und UA-cam leider kein TeX unterstützt.
Der entscheidende Unterschied ist, dass es die Zahl 0,999… nicht gibt. Zumindest nicht im naiven Sinn: Niemand kann die Zahl 0,999… hinschreiben, weil niemand unendlich viele 9en aufschreiben kann. Daher stellt sich die Frage, was man mit 0,999… eigentlich meint.
Gehen wir noch mal ein paar Schritte zurück: Wenn man 10:3 dividiert, erhält man 3,3 und merkt dann, dass wieder ein Rest von 10 übrig bleibt. Daher werden sich die Stellen immer wiederholen werden. Dafür wird dann die Schreibweise 3,p3 eingeführt. Gemeint ist damit aber der GRENZWERT der Folge 3,3; 3,33; 3,333; 3,3333 usw.
Damit ist 0,p9 der Grenzwert der Folge 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 usw.. „Offensichtlich“ ist dieser Grenzwert 1.
(Formaler Beweis: Es bezeichne a_n die obige Folge, also a_1=0,9; a_2=0,99 usw. Dann gilt a_n=1-0,1^n und lim(a_n)=1-lim(0,1^n)=1-0=1.)
Das Entscheidende ist also, dass 0,p9 keine „normale“ Kommazahl ist, sondern ein Grenzwert einer Zahlenfolge. Jedes einzelne Folgenglied ist natürlich echt kleiner als 1, aber der Grenzwert ist 1.
Mathematiker machen das übrigens immer so: Sobald etwas auftaucht, das sie mit ihren bisherigen Mitteln nicht mehr ausdrücken können, erfinden sie eine neue Schreibweise, z. B. Wurzeln, Logarithmen, Potenzen usw. oder auch die Zahl pi.
Vielleicht ist das auch erhellend für die Beschäftigung mit 0,p9: Nehmen wir uns die Wurzel aus 2 (dafür schreibe ich jetzt w(2)). Es gilt NICHT
w(2) = 1.4142
und auch NICHT
w(2) = 1.4142…
Die einzige Möglichkeit, diese Zahl auszudrücken, besteht in den Symbolen wie w(2).
Nach Definition gilt w(2)*w(2) = 2 = 2,0000….
Wie soll das aber gehen, denn wenn man eine Kommazahl mit sich selbst multipliziert hat das Ergebnis immer doppelt so viele Nachkommastellen wie die Zahl selbst:
1.41*1.41 = 1,9881
1,414*1,414 = 1,999396
1,4142*1,4142 = 1,99996164
Hier sieht man, dass sich die Folge 1,9999…. nähern muss und das ergibt nur Sinn, wenn 1,9999… = 2 gilt.
Letzte Anmerkung: Wie man sieht, ist dieses Phänomen nicht auf 0,p9 beschränkt. JEDE RATIONALE ZAHL HAT ZWEI MÖGLICHE DARSTELLUNGEN IM DEZIMALSYSTEM!
z. B. 21 = 20,p9
324,34 = 324,33p9
Bei 3:42 min. sagen Sie man *kann* die Periode, wegen ihrer Struktur *auch* als Bruch schreiben, dass ist die Stelle an der Sie dies in dem Fall so definieren, demzufolge gibt es auch den Fall von 0,9 Periode ungleich Eins; was ähnlich zu dem Problem von 0 hoch 0 ist.
Anmerkung:
1/9 ist ja nur eine "endliche" Darstellungsform, eines unendlichen Bruchs, daraus ergibt sich das eigentliche Problem. Weil wir die unendliche Darstellung, quasi verkürzt darstellen. Oder irre ich mich hier?
Die Aussage bei 3:42 ist doch keine Definition, sondern eine Zusammenfassung von bekannten Tatsachen über Zahlen mit Nachkommastellen: Die Zahlen, die endlich viele Nachkommastellen haben, kann man als Bruch schreiben mit einer Zehnerpotez im Nenner, z.B. 0,374 =374/1000.
Die Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben und bei denen diese Nachkommastellen (ab irgendeiner Stelle) periodisch verlaufen (also sich nach einer gewissen Anzahl Ziffern immer wieder wiederholen), kann man als Bruch schreiben mit einem Nenner, der nicht nur Zweien oder Fünfen als Primfaktoren hat, z.B. 0,232323.... = 23/99.
Die Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ohne Periodizität kann man nicht als Bruch schreiben, z.B. pi oder Wurzel(2) oder die Eulersche Zahl e und sehr sehr viele andere, von denen die allermeisten gar keinen Namen haben.
... und nein, wir stellen die Zahl nicht "verkürzt" dar. Es behauptet ja niemand im Ernst, 1/9 wäre (im Dezimalsystem) 0,1 oder 0,11 oder 0,111 oder so, sondern die Tatsache ist eben, dass 1/9 gleich 0,1^ ist, wobei das "^" hier für den Perioden-Strich steht, den man üblicherweise über der 1 schreibt, und der eben genau bedeutet, dass die 1 sich unendlich oft wiederholt.
@@user-gd9vc3wq2h
Sie können aber eine Frage nicht mit einer internen Konvention "beweisen" ,welche das Ergebnis ja bereits als seine Vorraussetzung hat.
Die Frage ob Gott die Bibel diktiert hat, können sie auch nicht dadurch belegen , dass es so in der Bibel steht.
@@user-gd9vc3wq2h *DOCH* die Zahl ist unendlich und wird mit nur 3 oder 4 Zeichen dargestellt!!!! Und das ist ein *riesen* Problem, denn die Rechnug ist an der Stelle infinit!!!
@@itzsoweezee9980 Wenn Sie damit ein Riesenproblem haben wollen, kann ich leider nicht behilflich sein. Aber rumschreien bringt da auch nichts.
Ich kann jedenfalls mit dieser Art "Unendlichkeit" ganz gut umgehen, und die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker auch.
p stehe für den Periodenstrich.
10*0.9p = 9.9p | - 0.9p
9*0.9p = 9 | :9
0.9p = 1
Ich denke, Sie haben das Problem des Fragesteller nicht verstanden. Vermutlich ist der Fragesteller nach Ihrer Antwort nicht schlauer. Der Fragesteller weiß nicht was 0,999... genau bedeutet. Viel besser wäre es gewesen, zu erklären wie 0,99999... definiert ist, nämlich als Grenzwert. Dann hätte der Fragesteller die Chance wirklich zu verstehen warum 0,9999... = 1 gilt.
An 😅 der Säule überzeugt das nicht
Soweit ich das gesehen habe argumentiert hier keiner mit der unendlichen Reihe s = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ....
die gegen 1 konvergiert. Ebenso konvergiert die konstante Folge a_n = 1 für alle n element N gegen 1.
Es kann sein, daß das (noch) nicht Stoff der Lehrveranstaltung war.
Wenn das wahr wäre, dann könnte ein massebehaftetes Elementarteilchen die Lichtgeschwindigkeit erreichen.
Das ist aber nachweisbar nicht der Fall ( Teilchenbeschleuniger am Cern)
Eine Konvergenz gegen einen Wert , erreicht diesen niemals vollständig.
@@skhi7658Was hat das eine jetzt mit dem anderen zu tun?
@@user-gd9vc3wq2h
Die Geschwindigkeit eines beschleunigten Teilchens konvergiert gegen die Lichtgeschwindigkeit , erreicht diese aber nie vollständig.
Deshalb spielt der jeweilige infinitesimal kleine Rest , offensichtlich in der Natur eine tragende Rolle.
Wenn das so der Fall ist. sollten wir das auch in unserer Mathematik berücksichtigen.
@@skhi7658 Du argumentierst wie das Zenon bei seinem Paradoxon mit Archillles und der Schidroete ...
de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te
Es geht doch darum wen du die Periode gegeben hast wie lautet der Bruch (Zähler und Nenner) und das geht nur über die geometrische Reihe.
Sonst probiere einmal
1/7=0.142857 oder
1/13=0.0769230 oder
1/23=0.0434782608695652173913
1/7 maximale Periodenlaenge (6=7-1)
1/13 maximale Periodenlaenge (12=13-1) tatsaechlich 6
1/23 maximale Periodenlaenge (22=23-1)
1/7=142857*(1/1000000)/(1-(1/1000000))
In der Physik tragen auch infinitesimal kleine Werte noch real bei.
Unterhalb der Planck - Skalen sind Beiträge durch den Kasimir Effekt, die Vakuum Polarisation , das anormale magnetische Moment etc. definitiv nachgewiesen.
Auch die Fourier Transformation in der Quantenfeldtheorie funktioniert nicht ohne alle infinit kleinen Beiträge erstmal mit einzubeziehen.
Grenzwerte , Renormierung und Störungstheorie schützen leider nicht vor den realen Unendlichkeiten.
Diese Effekte sind klein, aber nicht infinitesimal. Sie haben einen einen endlichen Wert, den man mit Ziffern auf ein Blatt Papier schreiben kann. Das ist also etwas ganz anderes.
@@cdoubleplusgood
Infinitesimal ist eine ins unendlich Kleine gehende , aber stetige reelle Größe .
Exakt darum handelt es sich zum Beispiel bei der Vakuum Polarisation , dessen einzelne Beiträge das plancksche Mindestquantum zwar unterschreiten , aber in Summe dennoch einen realen Effekt erzielen.
Das ist vollkommen analog zu Zahlen die größer als Null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl sind.
Diese Mathematik ist deshalb ein selbstverständliches Handwerkszeug in der theoretischen Physik , dessen Vorhersagen durch reale Abweichungen in den Messwerten indirekt bestätigt werden.
Exakt um diesen Umstand geht es bei der Frage ob 0,9999.... = 1 ist oder nicht.
Also Texte bitte nicht nur lesen , sondern auch verstehen, bevor man kommentiert
@@skhi7658 Der Lamb-Shift hat eine Größenordnung von 1e-6 eV. Das ist nicht nur nicht "infinitesimal", sondern sogar so groß, dass man das schon vor etlichen Jahrzehnten messen konnte.
Mir scheint, du verwendest die Begriffe "infinitesimal" und auch "stetig" hier in einem eher umgangssprachlichen Sinn; jedenfalls nicht so, wie sie in der Mathematik definiert sind. 1e-6 ist aber nicht "unbegrenzt klein", sondern bis zur 0 kann man noch beliebig viele kleinere Zahlen finden. Zwischen 0,999.... und 1 kann man aber keine weitere Zahl einschieben.
Und bitte: Erspare uns solche ad hominem-Einwürfe wie deinen letzten Satz. Ich verstehe nicht, wie man sich zu dieser Art des verbalen Nachtretens hinreißen lassen kann.
@@cdoubleplusgood
Die Lamp - Verschiebung ist doch nur die GESAMTSUMME, aus unendlich vielen infinitesimal kleinen Beiträgen der potentiell unendlich vielen Vakuum - Fluktuationen.
Damit ist unmissverständlich belegt , das stetige reelle Kleinheit oberhalb der 0 , aber unterhalb der kleinsten positiven reellen Zahl , einen ganz realen weil in SUMME messbaren Beitrag zur Realität liefern.
Was genau ist daran so schwer zu verstehen?
@@cdoubleplusgood
Der GESAMTBETRAG der Lamp - Verschiebung ist lediglich die GESAMTSUMME aller infinitesimal kleinen Beiträge ALLER Vakuum - Fluktuationen .
Ihr je individueller Beitrag ist größer als 0 aber kleiner als jede reelle positive Zahl.
Da sie in SUMME aber REAL beitragen , können sie nicht einfach vernachlässigt werden.
Hätte irgendwie nen Beweis erwartet :D
Der Beweis war doch da. Er beruht auf der Gleichung 1/9=0,111..., was man ausrechnen kann, z.B. mit der schriftlichen Division, wie sie in der Schule beigebracht wird.
@@user-gd9vc3wq2h Du verwechselst das mit einer Probe oder sowas. Ein mathematische Beweise ist nicht nur eine einfache Gleichung.
@@YamiSuzume Ich habe schon ein paar mathematische Beweise geführt, und eine Probe durch Nachrechnen ist eine spezielle Form der Beweisführung, so dass es hier nichts zu verwechseln gibt.
Was soll denn jetzt zum Beweis noch fehlen?
@@user-gd9vc3wq2h Wenn ichs wüsste hätcichs geschrieben. Ich meine nur mich zu erinnern, dass ich einst do argumentiert habe wie im video und es nicht ausreichte.
Also, ich bin von einer wahren Aussage ausgegangen und habe nur Äquivalenzumformungen verwendet. Ich wäre bezüglich der Beweishaftigkeit nicht so skeptisch.
Von solchen fragen muss ich rülpsen.
Ich hätte den Beweis interessant gefunden
s. Antwort auf YamiSuzume
Hätte ich, als nicht Mathematiker, ähnlich begründet:
0,‾9 = 3 x 0,‾3 = 3 x 1/3 = 3/3 = 1
Sehe ich auch so. Ist im Prinzip das gleiche wie im Video mit 1 = 9 * 1/9 = 9 * 0,111...
Du setzt vorraus, dass 1/3 = 0.33333333... gilt. Hast du aber nie bewiesen. Und damit stehst du wieder am Anfang
@@dash8497 beweisen kann ich es nicht, habe es nur begründet.
@@dash8497das ist einsehbar mit schriftlicher Division 1 : 3
Nein , das ist ein Zirkelschluss.
Die 1 wird bei Brüchen , also einer Division, immer schon vorausgesetzt .
Sie können einen Umstand nicht belegen, indem sie ihn schon vorab als gegeben voraussetzen
Nein , das ist ein Zirkelschluss.
Die 1 wird bei Brüchen , also einer Division, immer schon vorausgesetzt .
Sie können einen Umstand nicht belegen, indem sie ihn schon vorab als gegeben voraussetzen.
Das macht keinen Sinn. Was meinst du damit das die 1 vorausgesetzt wird?
@@kain5728
Es gibt bei der Division eine Reihenfolge als Rechenvorschrift.
1:3 ist etwas ganz Anderes als 3:1.
Es ergibt deshalb auch ein ganz anderes Ergebnis.
Das ist deshalb der Fall, weil sie immer vorab einen festen Wert als ihre symbolische 1 vorraussetzen müssen , um ihn überhaupt teilen zu können.
Sie können nicht ein Drittel von Etwas haben, ohne vorher festzulegen, wovon es denn ein Drittel sein soll.
Deshalb teilen sie immer durch eine symbolische 1 , welche sie daran erkennen, dass sie in ihrer Division immer vorne steht.
Das ist völlig analog zur Prozentrechnung.
Sie müssen immer erstmal wissen, was ihre jeweiligen 100% eigentlich sein sollen , um überhaupt einen prozentualen Anteil davon berechnen zu können.
Mathematik ist pure Logik.
In der Logik setzen sie immer eine oder mehrere Prämissen vorraus, aus denen sie dann eine gültige Konklusion herleiten.
Wenn sie aber in den Prämissen immer schon bereits vorraussetzen müssen ,was sie im Ergebnis ja erst belegen wollen, so begehen sie eine logische Inkontinenz.
Man nennt das eine Tautologie oder einen Zirkelschluss.
Auch wenn das was er im Video zeigt korrekt ist, das ist definitiv kein Beweis, das ist richtig.
@@kain5728
In der Division gibt es eine Reihenfolge, welche unbedingt einzuhalten ist.
Sie müssen den Wert welchen sie teilen wollen, immer zunächst symbolisch als 1 ( 100%) setzen.
Erst DANN können sie diesen Wert teilen.
Sie setzen eine symbolische 1 also immer schon vorraus.
Was sie erst beweisen wollen , dürfen sie in einer Argumentation aber nicht schon vorher als gegeben voraussetzen.
Ihr Argument wird sonst zu einer sinnlosen Tautologie.
Der Beweis für die 1 kann also nicht sein, dass 9/9 ja schließlich 1 ergeben.
Wenn sie 9/9 vorliegen haben , dann haben sie ja bereits vorher schon eine 1 durch 9 geteilt und die 1 also immer schon vorausgesetzt.
Alle Strategien in denen mit Brüchen argumentiert wird , sind also hinfällig.
@@skhi7658 Wenn man diesen Beweis nicht akzeptiert, dann vielleichht folgenden:
Man multipliziert die unendliche Dezimalzahl 0,99999.... mit 10, wodurch sich das Kkoma um eine Stellle nach rechhts verschieb. Anschliessend subtrahiert man die urspruengiche (unendiche) Dezialzahl und erhaelt als Ergebnis die ganze zahl 9 (da fuer jede Nachommmastelle 9 des zehnfachen auch eine Nachkommastelllle 9 der urspruenglichen Zahl existiert, die Differrenz der Nachkommastellen alsojeweils 0 ergibt).
Diese so erhaltene 9 ist aber as (10-1)-fache, also das 9-fache der urspruenglichen Zahl. Wie sich leicht einsehen llaesst, ist aber 9 auch das 9-fache von 1. Wenn man von der Eindeutigkeit der Multiplikationmit 9 ausgeht (2 Zahlen sind dann und nur dann unterschiedlichh, wenn auch ihr 9-faches unterschiedlich ist), folgt daraus die in Fage stehennde Gleichheit ...
gefällt mir
Schülerfrage: Wie kann es sein, dass man Periode mit unendlichen vielen Kommastellen als Bruchzahl bzw. Division von natürlichen schreiben kann? Wie kann es sein, das z.B. 0,12000 größer ist also 0,1111... Periode 1. wenn im Unendlichen immer kleinere Stellenwerte dazu kommen, muss man doch irgendwann größer als 0,02 sein? Hier würden mich Schülernahe Begründungen interessieren :)
Kurze Antwort: Nö, muss man nicht. Die einzelnen Summanden, die addiert werden, werden ja immer kleiner: der nächste ist immer 1/10 des aktuellen. Dann reicht es eben auch zusammen nicht, um über die genannte Schwelle zu komnen.
Und 0,12 ist nun mal größer als 0,111..., denn 0,12 = 12/100 und 0,111... =1/9, wie hier bewiesen wurde. Und dass 12/100 > 1/9 ist, ist gleichbedeutend mit 9×12>100, was ja offensichtlich der Fall ist.
Eine solche Frage brachte damals schon der griechische Phillosoph Zenon von Elea mit seinem Gleichnis von Achillles und der Schillldkkroete auf::
de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te
okay. 1/9 = 0.111... * 9 = 0.999... soweit so gut. und umgekehrt ? 0.999... und wie weiter das die 1 kommt?
9* 1/9 = 9/9 = 1
@@kain5728 danke
Genauso, nur von hinten nach vorne:
0,999... = 3 * 0,333... = 3 * 1/3 = 1
@@cdoubleplusgood
Nee, so funktioniert das nicht.
das natürlich 3 x 1/3 = 1 ist , ist kein Beweis dafür, das 3 x 0, 333... und damit 0, 9999.... ebenfalls 1 ist.
Im ersten Fall haben sie ja eine bereits vorhandene 1 durch 3 geteilt und sie dann nur wieder zusammen gesetzt.
Das ist lediglich eine Tautologie und keine sinnvolle Begründung.
Das Problem mit der Unendlichkeit...Ist nun die Periode von 0,9... immer ein unendlichstes weniger als 1, oder beinhalted die Unednlichkeit der Periode das Gleichnis der Konvergenz zum Absolutwert(sorry, ich bin kein Mathematiker). Man könnte vielleicht auch sagen: 1 - Periode 0,9 = 1/unendlich. Also wieder: Grenzwert einer Funktion = Absolutwert einer zusammenhängenden Gleichung? Verflixt! Ob die Unendlichkeit jemals greifbar sein wird? Bitte korrigiert mich, falls ich falsch liege..ich bin nur ein Fan der Mathematik, aber beim Besten willen nicht so ausgebildet, wie ein Mathematiker...Wo soll das hinführen, wenn Unendlich^2 = unendlich, aber unendlich durch unendlich ein willkürlicher Wert ist, wie etwa Pi oder e. Und das Nur In R! Wie gerne wäre ich Zahlentheoretiker geworden, aber mir war es nicht vergönnt. Bis jetzt. Unt mit 47 schwinden die Chancen, ohne Kohle...Zur Verdeutlichung meines Verständnisses: Als mein Sohn(5) damit ankam, dachte ich tatsächlich ein Googolplex wäre gleich 10^1000. Und es hat recht lange gedauert, bis der Groschen gefallen ist: 10^1000 = 10^10^3. Aber ein Googolplex ist: 10^10^100. obda trivial -> Silly me!
Und dennoch ist es letztendlich nicht GLEICH. Auch wenn der Unterschied nur minimal ist und immer minimaler wird. Und es ist reine Willkür, festzulegen, dass 0,P1 genau gleich 1/9 ist. 😁
Und was ist deiner Meinung nach ein Neuntel, als Dezimalzahl (also als "Kommazahl" im Zehnersystem) dargestellt?
Was soll das denn heißen, "der Unterschied _wird_ immer minimaler"? Der Unterschied hat doch einen festen Wert und ändert sich nicht mit der Zeit.
@@user-gd9vc3wq2h Je weiter man sich an der Periode langhangelt, desto minimaler wird der Unterschied zu 1/9, aber nie ganz genau 1/9.
@@user-gd9vc3wq2h Es ist eben der Versuch einer Darstellungsweise, etwas ungenau, aber auf die Dauer annährend genau. 😁
@@schnullobullo Das "auf Dauer" ist hier sinnlos. Es gibt keine zeitliche Entwicklung oder so etwas. "Periode" heißt, dass die unendlich vielen Nachkommastellen von Anfang an "all inclusive" dabei sind.
Für mich ist niemals 0,9 Periode = 1 ... - für mich bleibt immer ein noch so kleiner Funke, der etwas Neues entstehen lässt. Vielleicht ist das nicht mathematisch u. vielleicht kann man vieles per Definition festlegen, aber es gibt einfach kein Ende. Es muss immer noch etwa dazwischen geben, eine neue Lösung (?), ein neur Weg, eine neuenl Idee. Vielleicht wäre das ja was.... Keine Ende... ❤
Wenn man *alle* Eigenschaften der reellen Zahlen beibehalten moechte (einschliesslich der "Ordnungsgsvollstaendigeit", der fuer den Grenzwert bei den reellen Zahen benoetigt wird), dann kommt man zwangslaeufig zur Glleichheit beider Zahlen.
1 / 9 * 9 ergibt 1, logisch - die 9 kürzt sich weg. Wenn ich 0,1p mit 9 multipliziere, erhalte ich 0.9p; multipliziere ich 1/9 mit 9, erhalte ich 1, was nur einen Schluss zulässt: 1/9 und 0,1p sind zwar gleichwertig, aber halt nicht gleich! Es macht einen Unterschied, welche der beiden Schreibarten ich verwende. Der Unterschied mag unendlich klein sein, aber er ist ganz offensichtlich da.
Was ist denn der Unterschied zwischen "gleichwertig" und "gleich"? Ich sehe keinen.
Und was ist ein Unterschied, der unendlich klein ist?
@@cdoubleplusgood Aktuell kostet 1oz Gold 2301,70 USD, während Silber pro oz nur 26,42 USD kostet. Ob ich nun 1oz Gold oder 81,11oz Silber habe, ist egal, denn beides hat ja den gleichen Wert. Sie sind "gleichwertig". Aber 1oz Gold ist nicht das Gleiche wie 81,11oz Silber.
@@user-gd9vc3wq2h Der Unterschied ist doch offensichtlich: "1 / 9 * 9" kürzt sich die 9 weg. Sie ist und war also nie da; sie steht da nur zur Dekoration und beeinflusst den Term aber nicht. Im Gegensatz dazu muss ich bei "0,1p * 9" den Term tatsächlich berechnen.
@@sebastiankeller9869 Wir jeden hier doch aber von der Art von Equivalenz, wir sie in der Mathematik normalerweise anwenden. Wo also 2 * 1/2 = 1 ist. Auch wenn zwei Rinderhälften nicht das gleiche sind wie ein ganzes Rind. Die Frage ist: Gibt es eine numerische Differenz zwischen 0,9999.... und 1? Und die Antwort ist nun mal: Nein.
Im Ernst Herr Professor, das Video brauche ich mir nicht anzusehen. Null Komma Periode Neun ist natürlich nicht gleich Eins, sondern die Zahl kleiner Eins, die am dichtesten an Eins ist.
Noch verwirrender kann aber ein Vergleich von Null Komma Periode Null mit Null sein. Die Meisten werden sagen, beide Zahlen seien gleich. Btw., ich habe nicht einmal Abi.
Ganz nebenbei: Bist Du ein WGT-Besucher?
Hättest du Abi gemacht, dann wüsstest auch du, dass 0,0 (mit oder ohne Periode) gleich 0 ist. Und du könntest Mathe studieren und lernen, warum es zwischen 0,999... (mit Periode) und 1 keine Zahl gibt, d.h. warum die wirklich gleich sind. Und nach ein paar Jahren könntest du dann vielleicht andere Zahlensysteme kennenlernen, in denen es tatsächlich etwas zwischen 0.999... und 1 gibt. Aber Achtung: da kann man sich wirklich das Gehirn verknoten.
Was ist denn 0,999... als Bruch?
Es gibt keine "Zahl kleiner 1, die am dichtesten an der 1 liegt" (jedenfalls nicht in den reellen Zahlen), da die reellen Zahlen "dicht" liegen, sprich zwischen je zwei belliebigen reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl liegt (nimm im Zweifelsfall den arithmetischen Mittelwert beider Zahllen). Daraus wuerde dann fogen, dass zwischen einer "angenommenen am dichtesten an der 1 liegenden Zahll" und der 1 noch das arithmetische Mittel beider Zahlen (die Haelfte der Summe beider Zahlen) liegen wuerde.. Damit haetten wir aber eine Zahl gefunden die echt zwischen den beden liegt, womit unsere "am dichtesten an der 1 liegende Zahl" eben *nicht* am dichtesten an der 1 gelegen haben kann ...
@@atstrollz6875Eine Dezimalzahl als Bruch darzustellen um vorzutäuschen, dass diese gleich einer anderen Zahl ist, ist ein alter mathematischer Taschenspielertrick, den schon mein Vater beherrschte als ich ein Kind war.
@@juergenilse3259Wenn zwischen zwei reellen Zahlen immer eine weitere Zahl liegt und wir davon ausgehen, dass Null Komma Periode Neun eine reelle Zahl ist, dann nenne mir doch bitte eine Zahl, die zwischen Null Komma Periode Neun und Eins liegt.
Das ist ein Zaubertrick, aber kein Beweis. Mit periodischen Zahlen kann man nicht rechnen.
Natürlich kann man mit periodischen Zahlen rechnen - schließlich sind das ganz normale Bruchzahlen, nur etwas anders geschrieben. Die einfachste Methode ist, alle periodischen Dezimalzahlen zuerst als Brüche (mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner) zu schreiben und dann mit dieser Darstellung zu rechnen. Das Ergebnis kann man wieder als periodische Dezimalzahl schreiben. Alternativ dazu kann man aber in vielen Fällen auch mit der periodischen Darstellung direkt rechnen, und das Video ist ein Beispiel dafür.
Ob man das nun als "Trick" bezeichnen will oder nicht, ist schwer zu sagen. Aber wenn ja, dann sind irgendwie alle Rechenverfahren, insbesondere die schriftlichen, nur Tricks, die darin bestehen, die Dezimalstellen nacheinander abzuarbeiten. Ein alter römischer Buchhalter, hätte er die Aufgabe XCIV × XLIX zu lösen, würde dem wohl zustimmen.
Genau. Ein formales System, kann seine Wahrheit natürlich nicht beweisen, indem es lediglich seine internen Regeln anwendet . Das ist geradezu lächerlich unlogisch.
Für die Plausibilität seiner Axiome braucht es natürlich zureichende Gründe, welcher weitgehend unabhängig von dem System sind.
Heutzutage ist so ein sinnfreier Zirkelschluss , offensichtlich eine legitime Form der Begründung geworden.
Danke , dass wenigstens sie noch logisch denken können.
de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl#Infinitesimale_und_unendlich_gro%C3%9Fe_Zahlen