FUVEST 2012 (Q 67) | TETRAEDRO REGULAR | Canal Waldemática
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- Опубліковано 4 жов 2024
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Resolução de uma questão da FUVEST envolvendo Tetraedro Regular, onde pede-se a distância entre dois pontos médios de duas arestas opostas.
O TRIÂNGULO MNV É RETÂNGULO, VEJA: • ADENDO: Vídeo "FUVEST ...
Vou ajudá-lo(a) a enxergar esse triângulo: pare aos 8:04, pause o vídeo, e olhe para a tela... MN que é a distância que a gente quer encontrar e está dentro do Tetraedro, ligando uma aresta da frente com uma de trás, a aresta que está atrás é inclinada em relação à base (chão), quando tracei MV (apótema lateral e altura do triângulo equilátero (face)), a gente acaba obtendo ali um plano que corta o Tetraedro bem ao meio no sentido SUDESTE ao NOROESTE, se você traçar um segmento de reta saindo de M até o vértice debaixo do Tetraedro e vértice do triângulo equilátero (da base), vamos chamar de T, iria formar um triângulo isósceles (MVT) com dois lados iguais MV e MT, ou seja: MV = MT = a raiz de 3 sobre 2 (ambos alturas de um triângulo equilátero (face lateral e da base).... o lado diferente do triângulo isósceles será a aresta detrás do tetraedro (a inclinada), desenhe isso.... você vai ver esse plano inclinado que eu disse.... como o segmento MN será uma mediana desse triângulo isósceles, teremos ela perpendicular à aresta VT, assim o ângulo ali é de 90 graus.
Enunciado
Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
a) a "raiz de" 3
b) a "raiz de" 2
c) a "raiz de" 3 sobre 2
d) a "raiz de" 2 sobre 2
e) a "raiz de" 2 sobre 4
Gabarito: D
#fuvest
#tetraedroregular
Vídeo: FUVEST 2012 (Q 67) | TETRAEDRO REGULAR
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E pra saber que aquele ângulo é reto (de 90 graus)? Não me refiro ao ângulo reto formado pela altura do triângulo equilátero com um de seus lados (base). Me refiro ao ângulo reto do triângulo retângulo principal que vc destacou, aquele que resolve a questão. Como eu não tinha certeza que o ângulo seria reto (não consegui provar ainda, mas pretendo conseguir), eu fiz de uma outra forma, usando um outro triângulo retângulo (que eu tinha certeza que era retângulo) e consegui chegar na mesma resposta, mas confesso que foi bem mais trabalhoso (e demorado). No começo da questão, até me passou pela cabeça tentar resolver da mesma forma que vc fez. Como vc conseguiu chegar na mesma resposta (daí eu não precisei testar, pois vc já testou), só me resta concluir que o ângulo formado pelo triângulo principal que vc destacou é mesmo de fato um ângulo reto. Olha só que doideira, essa poderia ser uma prova (demonstração) por comparação de procedimentos distintos!!!! Hahahaha!!!! Doideira cara!!! Valeu!!! Muito bons os teus vídeos!!!!
Eu usei o seguinte triângulo retângulo:
Um dos catetos desse triângulo retângulo equivaleu à metade da medida da projeção ortogonal do vértice (ponto do vértice) do topo da pirâmide (tetraedro regular) sobre o centro (ponto central) do triângulo equilátero da base da pirâmide (tetraedro regular). Essa nova medida resultou em: (a*(raiz quadrada de 6))/6.
O outro cateto foi resultado da soma da metade da medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero (da base da pirâmide), com a medida do raio da circunferência inscrita a esse mesmo triângulo equilátero da base da pirâmide (também chamado de apótema do triângulo equilátero). Essa soma resultou numa nova medida igual à medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero (da base da pirâmide). O valor é de: (a*(raiz quadrada de 3)/3. E, então, o valor que vc quer encontrar corresponde à medida da hipotenusa desse triângulo retângulo cujo os dois catetos são conhecidos. Essa outra nova medida que fornece a resposta final da questão é de (a*raiz quadrada de 2)/2. Alternativa D. Que trabalhão!!!! Me virei mas consegui acertar!!!
A projeção ortogonal a qual me referi, é a tal altura da pirâmide (do tetraedro regular).
Entendi Arthur, as questões da Fuvest, principalmente primeira fase sempre têm mais de uma forma para resolver e sempre uma é aquela mais rápida, o jeito que você resolveu é mais complicado mas, mais seguro para você que estava com receio de assumir que aquele triângulo que usei é retângulo, e para observar isso, é necessário que você imagine esse triângulo dentro do Tetraedro num plano inclinado, tente desenhar (com régua) e caneta com cores diferentes, respeitando as arestas (e faces) que estão na frente, assim vai enxergar, é muito pessoal adquirir essa visão tridimensional, mas é essencial em questões desse estilo, requer treino.
O TRIÂNGULO MNV É RETÂNGULO, VEJA:
Vou ajudá-lo a enxergar esse triângulo: pare aos 8:04, pause o vídeo, e olhe para a tela... MN que é a distância que a gente quer encontrar e está dentro do Tetraedro, ligando uma aresta da frente com uma de trás, a aresta que está atrás é inclinada em relação à base (chão), quando tracei MV (apótema lateral e altura do triângulo equilátero (face)), a gente acaba obtendo ali um plano que corta o Tetraedro bem ao meio no sentido SUDESTE ao NOROESTE, se você traçar um segmento de reta saindo de M até o vértice debaixo do Tetraedro e vértice do triângulo equilátero (da base), vamos chamar de T, iria formar um triângulo isósceles (MVT) com dois lados iguais MV e MT, ou seja: MV = MT = a raiz de 3 sobre 2 (ambos alturas de um triângulo equilátero (face lateral e da base).... o lado diferente do triângulo isósceles será a aresta detrás do tetraedro (a inclinada), desenhe isso.... você vai ver esse plano inclinado que eu disse.... como o segmento MN será uma mediana desse triângulo isósceles, teremos ela perpendicular à aresta VT, assim o ângulo ali é de 90 graus.
Pensando bem eu devia ter destacado mais isso no vídeo, creio que não ficou claro, falha minha.
Em todo caso... valeu pelo comentário, e vou deixar no topo dos comentários o seu... com a explicação de como chegamos a conclusão de que o triângulo MNV é retângulo em N.
Abraços.
Consegui visualizar o triângulo isósceles (MVT) dentro do tetraedro!!! Um dos lados dele (o lado diferente dos outros dois, VT) é a própria aresta do tetraedro e os outros dois lados são dois lados iguais (congruentes) entre si (MT e MV), sendo que cada um desses dois lados é uma altura de triângulo equilátero!!! Sim! E como N é ponto médio de VT e também como o segmento MN corresponde àquela famosa e conhecida altura de triângulo isósceles (MVT), que liga o ponto médio N da base VT do triângulo isósceles (único lado diferente dos outros dois) ao vértice oposto a essa mesma base (vértice comum aos dois lados iguais do triângulo isósceles, MV e MT, o vértice M), então, o ângulo formado entre VT e MN é mesmo de fato igual a 90 graus. E tanto MNT quanto MNV são dois triângulos retângulos congruentes (iguais). Daí é só aplicar Pitágoras. Muito obrigado pela explicação. Abraços.
PERFEITO o que disse.... esse comentário fica no topo... abraços Arthur e bom feriado.
Fala, Wal!!! Tudo tranquilo?! Espero que sim...
Rapaz, se fizesse essa questão, não ia enxergar tão facilmente aquele ângulo reto no ponto médio.
Sucesso sempre! Logo, logo... você passará dos 10 mil inscritos!
Grande Abraço!!!
E aí Patrick, blz amigo?
Então.... o lance é enxergar mesmo esse triângulo retângulo.... da hora.... com relação ao crescimento do canal, eu estou feliz.... mas ainda acho que está demorando.... estou acompanhando com o Analytics, mas tem que ter paciência... kkk... abraço irmão, para você e família.
Bom dia!
Excelente explicação, obrigada!
a questão 7 da FGV 2012 é totalmente igual a essa, a diferença é que ela fornece o tamanho das arestas, fiz exatamente igual a resolução dessa questão, porem nunca dá certo.
Olá Lukas, não conheço a questão da FGV, mas se não deu certo é porque o caminho deve ser outro.
Impecável professor, adorei! Muito obrigadaaaa
Obrigado vc Gabriela.... aproveite os vídeos do canal! ;)
voce e perfeito
Obrigado ;)
Que explicação excelente! Obrigada 💜
De nada Alessandra, obrigado vc também.... curta os vídeos do canal!
Obrigada, muito bom!!
Olá Ana Paula.... obrigado e seja bem-vinda ao canal! ;)
Muito bom! Parabéns!
Obrigado Carla! ;)
lindo perfeito professor otima aula!!
Olá Karol! Obrigado! ;)
Salve, professor! Fui eu quem pedi a resolução dessa e da questão 28 da fuvest 2010. O ruim é que a maioria das questões da Fuvest cobram muita interpretação e raciocínio. Essa questão aí seria muito difícil fazer todo esse raciocínio, mas qnd a gnt vê vc fznd parece super fácil kkkk. Valeu, professor tmj!
kkkkk Gustavo.... boa cara.... foi você então.... com relação a resolução.... é importante fazer muitas questões da Fuvest, daí você percebe que existem algumas questões com resoluções parecidas, portanto é importante tentar resolver antes do vídeo e refazer depois, assim você vai treinar bem.... espero que já tenha visto todos os vídeos da Fuvest do canal, segue a playlist: goo.gl/5RC16M
Foi de 2010 ou 2011 que me pediu? olha o que anotei:
"Professor se der dps tenta resolver a questão 28 da fuvest 2011, por favor. Valeu!!?"
Aguardo seu retorno... tenha um bom dia Gustavo.... desculpa aí não anotar seu nome... kk
abraço
kkkk é da Fuvest 2011 mesmo, professor desculpe o engano. E professor no caso desse vídeo duas arestas não adjacentes seriam duas arestas que não tem os mesmos vértices, né? Valeu professor e até a próxima
Sim... isso mesmo.... no caso do Tetraedro Regular, duas arestas que não possuem vértices comuns são "não adjacentes".... perfeito.... em breve gravo essa de 2011.... abraços até a próxima.
muito bom
Obrigado Rivaldo!
Obrigada!!
Obrigado vc Pam! ;)
muitooo bom!! obrigadaaa
Olá Luiza.... de nada.... seja bem-vinda ao canal! ;)
Professor, poste umas resoluções de conversão de unidades e mais de trigonometria, por favor. Abraços
Pode deixar Adenio, vou gravar sim.... anotei o seu pedido, mas já tinha pensado em fazer um vídeo desse.... sei que é uma dificuldade de muita gente.... abraço e bom dia.
Muito bom
Obrigado Nicole... aproveite os vídeos do canal e seja bem vinda!
Professor, fiquei confuso em uma coisa. Eu estava fazendo umas contas aqui e descobri que o ângulo entre a distância entre os pontos médios de arestas não adjacentes e a face oposta ( triângulo equilátero oposto) é de aproximadamente 35,3° e eu pensei que fosse de 30° . Por que essa diferença?
Olá Gean.... vc deve estar falando do ângulo do vértice M, ou seja o ângulo NMV; esse ângulo é formado por VM e MN, observando um triângulo isósceles VMP (chamando o vértice da esquerda de P) com VM = MP, perceba que MN será altura relativa à base VP nesse triângulo isósceles e também será uma bissetriz do ângulo PMV (do vértice M) mas formado pelos segmentos MP e MV, portanto como o triângulo VMP não é equilátero então esse ângulo que a bissetriz dividiu não necessariamente será de 30 graus.... somente nos triângulos equiláteros encontramos ângulos internos de 60º, e VM e MP não serão arestas do Tetraedro Regular, serão alturas dos triângulos equiláteros das faces do Tetraedro, somente VP seria uma aresta e lado do triângulo equilátero. Enxergou? Resumindo: o triângulo onde está o ângulo que vc questiona é isósceles e não equilátero.
Wal, joga RPG? hahaha! Muito bom, parabéns!
kkkk Italo.... todo mundo me pergunta quando vê meus dados.... mas eu só tenho cinco.... o D4, D20, D12, D6 e o D8.... são os cinco poliedros de Platão.... veja esse vídeo: ua-cam.com/video/X4TYeg-sCCw/v-deo.html
Abraço e bom dia.
DADO DE 4 😳😳
kkkkkkkk
Saudações, professor! Sei que se pegarmos os pontos médios das arestas do tetraedro regular, irá se formar um octaedro regular cujas arestas valem a/2. O segmento que a questão pede tem a mesma medida da diagonal do octaedro formado. Meu modo de resolver está correto ou é apenas uma coincidência nesta questão?
Olá Jean.... está corretíssimo! Boa!
Obrigado, professor!
Oi professor tudo bem? Eu fiz lei dos cossenos supondo que o ângulo mVn é 60 e não deu certo. Eu errei em agluma conta ou esse ângulo não é 60? muito obrigado desde já
Olá Luiz... não dá para afirmar que esse ângulo é 60 graus.... somente os ângulos dos triângulos das faces triangulares que vão medir 60 graus .
tranquilo, muito obrigado!
Gostei.
Valeu Jorge... tenha um bom dia amigo... abraço.
E se não pudesse passar por dentro? Se só pudesse passar por fora?
Olá Paulo, eu não entendi a sua dúvida, eu até olhei o vídeo de novo, o que fiz foi pegar um triângulo retângulo dentro do Tetraedro, isso porque a gente ligou os pontos e formou esse triângulo DENTRO do Tetraedro, não há outra opção POR FORA como vc perguntou, entenda a figura, vc deve visualizar o sólido em 3D.
Para treinar essa visualização seria bom vc dar uma olhada nessa playlist abaixo, onde eu ensino como desenhar esses sólidos, daí vc vai fazendo e visualizando o sólido em 3D.
Veja aqui se quiser: Aprenda a desenhar: goo.gl/XvNB9n
Por que o triângulo é retângulo? Não entendi a justificativa
Olá Rebeca.... veja a partir de 3:42, onde eu faço o seguimento de reta MN, esse segmento está lá dentro do Tetraedro, depois eu fiz o segmento azul que é um apótema lateral do tetraedro, repare que esse segmento azul se encontra sobre o lado dele, como se fosse uma faixa "colada" na parede (face) do Tetraedro, assim formamos o triângulo MNV (a partir de 6:22), ele está dentro do tetraedro e contido num plano inclinado, sugiro que você faça um desenho, use cores e régua, você vai enxergar.... faça a figura junto comigo.... vai vendo o vídeo.... o lance de enxergar esse triângulo é muito pessoal, fica difícil de explicar, mas tenta aí, faça a figura... e me fala... se entendeu.
abraços e bom dia Rebeca.
Obrigado Paulo....
Rebeca Olívia dos Santos eu acrescentei uma breve explicação de como provar que o triângulo é retângulo.... espero que tenha entendido... reconheço que a falha foi minha por não ter ilustrado melhor no vídeo, para mim é fácil observar o ângulo reto ali... e ás vezes me esqueço disso... kkk... bom estudo e bom feriado para você.
Too easy kkk só que não
kkkk bom dia Rayane