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先生のおかげで積分速く正確になったつもりだけれど、計算終えてから先生の積分計算見たら速すぎて脱帽
図示うますぎな…。
いつ拝見しても素晴らしい授業！感服です。
円柱は錐体の集合だと捉えることができる。円柱と同じ底面と高さの直円錐１つと、頂点がその直円錐と同じで円柱の側面部分が底面となる無数の微小な錐体の集合。つまり円柱の体積は（底面積×高さ＋側面積×半径）÷３ とも表せる。円柱と他の立体との共通部分の体積を求めるとき、この考え方を適用できるケースでは大抵、被積分関数がｓｉｎθや１－ｃｏｓθのようなとても簡単な式になる。底面の正三角形から半径１の円を引いた面積が３√３－πで、これを底面とした高さ２の錐の体積は（２/３倍して）２√３－２π/３ …（ａ）円柱で削り取られた跡の曲面の面積が合計３×２×２×∫[０～π/３]（１－ｃｏｓθ）ｄθ＝１２×（π/３－√３/２)で、これを底面とした高さ１の錐の体積は（１/３倍して）４π/３－２√３ …（ｂ）求める体積は（ａ）－（ｂ）＝２√３－２π/３－４π/３＋２√３＝４√３－２π
ちょうど旧版の方を今日視聴してたので運命を感じました（？）
断面が出せなかった。円のはみ出てる部分求めるやり方は発想いらんけど方針ミスったなー
最初のbgmってどこで聞けますか？
まじでありがとう愛してる
熊本大学医学部志望は数3 発展いりますか？
@take2438okありがとうございます
四面体の底面は、正三角形。正三角形では、その対称性から、内接円、外接円の中心、重心が全て一致する。z =0のx y 平面において、2:1に内分する点の重心が、原点と一致しているので、円柱の底面の単位円は、これに内接している。高さz=t で切ると、求める2つの立体のはみ出した部分は、円柱の外側かつ四面体の内側。xy平面への正射影で、変化するのは底面の正三角形が、円に外接したところから内接するまでとなる。よってその外接時に高さt=0。その内接時は、単位円に内接するから、三角比よりその一辺が√3となる。高さz=tで切ったときの一辺の長さは、z=0上の底面の一辺が2√3に対し、相似比より√3(2-t)であるからこれが√3となるときだからt=1となり、積分区間が0から1までと決定した。次に、その途中の状態の高さtにおける断面を重ねて面積から体積を出すには、ここでは、θとtの関係式が必須。tで表された三角形の一辺をθで表すことを考える。計算しやすい単位円を利用した直角三角形を作り、その鋭角の方をθとおき、扇形の角の方をπ/3-θとおく。 御指導ありがとうございました🙇🏻♀️🙏
ちなみに、杉谷先生が板書で図示された爪の様な形の部分をy軸に垂直に切ると、切り口は長方形。また、x軸に垂直に切ると直角二等辺三角形がその切り口となる。畏れながら、蛇足ですが、試算してみました。それぞれ、z=0のxy平面において求める面積の図形の底辺を決めることになる。この2つの立体のはみ出し部分が、最大となるときのz=0において正三角形が単位円に外接しているときを、y軸を中心にして左右対称に作図したものを用いる。その対称性から求める体積1/6の箇所をみる。ここで、y=sで切る時、または、x=rで切る時、それらの直線を、はみ出し部分の6箇所の何処に持っていくかがポイント。計算しやすく、かつ、円と正三角形の方程式の交点を有するところにおく。具体的には、y=sで切るときは第四象限の共通部分の下側にそれをとる。するとy=sと正三角形の底角Bの角の2等分線との交点のx座標と、もう一つ、y=sと単位円との交点のx座標を求めてその差を取れば切り口の長方形の底辺の長さが出る。次に長方形の高さをみる。辺BPをzx平面上に正射影する。先ほど求めた交点のx座標の大きい方を直線(x=-√3s,y=0)と直線BP(z=-2/√3 x+2,y=0)を連立させて交点のz座標を求めればよい。 一方、x=rで切るとき同じ図で、求める体積1/6の箇所の何処にそのx=rの直線をとるかだが、それは第一象限に。原点Oとするとzy平面で丁度z軸上とy軸上で直角二等辺三角形になっている△POAとそれに平行な平面x=rをとると切り口はそれの相似だから、同様に直角二等辺三角形の断面積を求めればよいとわかる。xy平面上において直線x=rが単位円と交わる点と、また、正三角形の辺ABと交わる点の双方のy座標を求めてその直角二等辺三角形の底辺の長さを出すとすぐに面積が求まる。積分区間は、長方形の方は-1から単位円と底角Bの二等分線との交点の、相似比から求まるy座標まで。後者は、0から単位円と辺ABの交点の、単位円内の三角比から求まるx座標まで。積分計算で、途中√の積分は、単位円を利用する。楽しく学ばせていただいております。立体の共通部分の体積の単元が終わったら、次はどの単元でしょうか。具体的に、決まりましたらお知らせください。ぜひ予習したいと思っております。御指導ありがとうございました🙇🏻♀️🙏
返信ありがとうございました😭がんばります❗️
先生のおかげで積分速く正確になったつもりだけれど、計算終えてから先生の積分計算見たら速すぎて脱帽
図示うますぎな…。
いつ拝見しても素晴らしい授業！感服です。
円柱は錐体の集合だと捉えることができる。円柱と同じ底面と高さの直円錐１つと、頂点がその直円錐と同じで円柱の側面部分が底面となる無数の微小な錐体の集合。つまり円柱の体積は（底面積×高さ＋側面積×半径）÷３ とも表せる。
円柱と他の立体との共通部分の体積を求めるとき、この考え方を適用できるケースでは大抵、被積分関数がｓｉｎθや１－ｃｏｓθのようなとても簡単な式になる。
底面の正三角形から半径１の円を引いた面積が３√３－πで、
これを底面とした高さ２の錐の体積は（２/３倍して）２√３－２π/３ …（ａ）
円柱で削り取られた跡の曲面の面積が合計
３×２×２×∫[０～π/３]（１－ｃｏｓθ）ｄθ＝１２×（π/３－√３/２)で、
これを底面とした高さ１の錐の体積は（１/３倍して）４π/３－２√３ …（ｂ）
求める体積は（ａ）－（ｂ）＝２√３－２π/３－４π/３＋２√３＝４√３－２π
ちょうど旧版の方を今日視聴してたので運命を感じました（？）
断面が出せなかった。円のはみ出てる部分求めるやり方は発想いらんけど方針ミスったなー
最初のbgmってどこで聞けますか？
まじでありがとう
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熊本大学医学部志望は数3 発展いりますか？
@take2438okありがとうございます
四面体の底面は、正三角形。正三角形では、その対称性から、内接円、外接円の中心、重心が全て一致する。z =0のx y 平面において、2:1に内分する点の重心が、原点と一致しているので、円柱の底面の単位円は、これに内接している。
高さz=t で切ると、求める2つの立体のはみ出した部分は、円柱の外側かつ四面体の内側。xy平面への正射影で、変化するのは底面の正三角形が、円に外接したところから内接するまでとなる。よってその外接時に高さt=0。その内接時は、単位円に内接するから、三角比よりその一辺が√3となる。高さz=tで切ったときの一辺の長さは、z=0上の底面の一辺が2√3に対し、相似比より√3(2-t)であるからこれが√3となるときだからt=1となり、積分区間が0から1までと決定した。次に、その途中の状態の高さtにおける断面を重ねて面積から体積を出すには、ここでは、θとtの関係式が必須。tで表された三角形の一辺をθで表すことを考える。計算しやすい単位円を利用した直角三角形を作り、その鋭角の方をθとおき、扇形の角の方をπ/3-θとおく。
御指導ありがとうございました🙇🏻♀️🙏
ちなみに、杉谷先生が板書で図示された爪の様な形の部分をy軸に垂直に切ると、切り口は長方形。また、x軸に垂直に切ると直角二等辺三角形がその切り口となる。畏れながら、蛇足ですが、試算してみました。それぞれ、z=0のxy平面において求める面積の図形の底辺を決めることになる。この2つの立体のはみ出し部分が、最大となるときのz=0において正三角形が単位円に外接しているときを、y軸を中心にして左右対称に作図したものを用いる。その対称性から求める体積1/6の箇所をみる。ここで、y=sで切る時、または、x=rで切る時、それらの直線を、はみ出し部分の6箇所の何処に持っていくかがポイント。計算しやすく、かつ、円と正三角形の方程式の交点を有するところにおく。具体的には、y=sで切るときは第四象限の共通部分の下側にそれをとる。するとy=sと正三角形の底角Bの角の2等分線との交点のx座標と、もう一つ、y=sと単位円との交点のx座標を求めてその差を取れば切り口の長方形の底辺の長さが出る。次に長方形の高さをみる。辺BPをzx平面上に正射影する。先ほど求めた交点のx座標の大きい方を直線(x=-√3s,y=0)と直線BP(z=-2/√3 x+2,y=0)を連立させて交点のz座標を求めればよい。 一方、x=rで切るとき同じ図で、求める体積1/6の箇所の何処にそのx=rの直線をとるかだが、それは第一象限に。原点Oとするとzy平面で丁度z軸上とy軸上で直角二等辺三角形になっている△POAとそれに平行な平面x=rをとると切り口はそれの相似だから、同様に直角二等辺三角形の断面積を求めればよいとわかる。xy平面上において直線x=rが単位円と交わる点と、また、正三角形の辺ABと交わる点の双方のy座標を求めてその直角二等辺三角形の底辺の長さを出すとすぐに面積が求まる。積分区間は、長方形の方は-1から単位円と底角Bの二等分線との交点の、相似比から求まるy座標まで。後者は、0から単位円と辺ABの交点の、単位円内の三角比から求まるx座標まで。積分計算で、途中√の積分は、単位円を利用する。
楽しく学ばせていただいております。立体の共通部分の体積の単元が終わったら、次はどの単元でしょうか。具体的に、決まりましたらお知らせください。ぜひ予習したいと思っております。御指導ありがとうございました🙇🏻♀️🙏
返信ありがとうございました😭がんばります❗️