Вывод формул для синуса и косинуса тройного угла
Вставка
- Опубліковано 9 сер 2021
- 4 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Предыдущее видео: • Быстрый способ ➜ (x-6)...
sin3α=3 sinα-4(sinα)^3 и cos3α=4(cosα)^3-3cosα.
Прошу продолжайте такие видео с доказательствами
Согласен полностью. Это великолепный канал (кто бы не писал насчет "недостойных" названий к видео и т.п.).
Про сенокос косит сено впервые услышал ) а раньше зубрил эту формулу
ура, спасибо. позавчера об этом думал, и тут виидео
Валерий, давайте выведение одну из моих любимых формул: объём шара. Для разнообразия контента канала))
Трушин выводил. Через принцип Кавальери. Если поставить рядом перевёрнутый конус, полушар и цилиндр с равными радиусами основания и высотами, то окажется, что в каждом перпендикулярном оси сечении сумма площадей сечений конуса и полушара равна площади сечения цилиндра. Значит, объём цилиндра равен сумме объёмов конуса и полушара. Отсюда легко получить объём полушара и всего шара.
... и теперь одновременно и косинус тройного угла, и его же синус:
exp(i*3*x) = cos(3x) + i*sin(3x)
= [cos(x) + i*sin(x)]^3
= cos(x)^3 - 3*cos(x)*sin(x)^2 + i* [3*cos(x)^2*sin(x) - sin(x)^3]
= 4*cos(x)^3 - 3*cos(x) + i*[(4*cos(x)^2 - 1)*sin(x)] =>
cos(3x) = 4*cos(x)^3 - 3*cos(x)
sin(3x) = (4*cos(x)^2 - 1)*sin(x)
Большое спасибо за полезное видео.
Большое Вам спасибо!!!
вы лучший!
благодарю за сенокоса. Так сразу запомнила
У косинуса n-кратного угла есть хорошая особенность: он является многочленом только от косинуса, т.е. cos nα = P(сos α), где P(x) - некоторый многочлен n-й степени. С синусом это, вообще говоря, не так, а только при нечётных n.
Да, для косинуса это многочлен Чебышёва первого рода:
Tₙ(cos(θ)) = cos(n θ)
который вычисляется рекуррентно:
T₀(x) = 1
T₁(x) = x
Tₙ₊₁(x) = 2x⋅Tₙ(x) - Tₙ₋₁(x)
А для синуса - многочлен Чебышёва второго рода:
Uₙ(cos(θ))⋅sin(θ) = sin((n+1)θ)
который вычисляется аналогично:
U₀(x) = 1
U₁(x) = 2x
Uₙ₊₁(x) = 2x⋅Uₙ(x) - Uₙ₋₁(x)
Ышо есть также мнемоническая форма - синусы сторожат косинусов замки исправны (знаки в скобках и в разложении совпадают) - это для
sin ( a+ - b) ... Косинусы убежали, синусы их доганяют, замки сломаны ( знаки в скобках не соответствуют знакам в разложении) - это для
cos ( a+ - b)
Помню из курса математики, что можно воспользоваться свойством комплексных чисел:
(cos(x) + i sin(x))^n = cos(nx) + i sin(nx). Для третей степени это:
(cos(x) + i sin(x))^3 = cos(3x) +i sin(3x)
С другой стороны можно разложить степень суммы, воспользовавшись биномом Ньютона: (cos(x) + i sin(x))^n. Например, для третьей степени после упрощений получим:
(cos(x) + i sin(x))^3 = cos(x)^3 - 3(sin(x)^2)cos(x) + i*(-sin(x)^3 + 3sin(x)(cos(x)^2))
из этих двух пунктов получаем:
cos(3x) +i sin(3x) = cos(x)^3 - 3(sin(x)^2)cos(x) + i*(-sin(x)^3 + 3sin(x)(cos(x)^2)
А дальше уравниваем действительную и мнимые части:
cos(3x) = cos(x)^3 - 3(sin(x)^2)cos(x) = cos(x)^3 - 3 (1-cos(x)^2) cos(x) =4cos(x)^3 - 3cos(x)
sin(3x) = -sin(x)^3 + 3sin(x)(cos(x)^2) = -sin(x)^3 + 3sin(x)(1-sin(x)^2) = -4sin(x)^3 + 3sin(x)
Аналогичным образом можно получить формулу для любого n.
Мне больше нравится вывод через формулы Муавра, более строго и обобщенно что ли.
сложно назвать сложным. абстрактным скорее всего
Спасибо
А я люблю выводить синус и косинус тройного угла через формулу Муавра.
сделайте видео о выпуклых функциях
Валерий, что там с предыдущим видео. Всё таки ошибка и комплексные корни находить было не корректно? (allozovsky мне это написал)
видео было удалено
Да, в первоначальном варианте я составлял и решал рациональное уравнение, для которого подходят все найденные корни. А потом решил усложнить это уравнение с помощью замены, но там сразу выскакивают три значения кубического корня, поэтому корни рационального уравнения не являются корнями первоначального уравнения с кубическим корнем. Бывает... Поторопился... На будущее всегда буду делать проверку, хотя бы для себя.
@@s1ng23m4n Я как бы понимаю :) Спросил почему.
@@ValeryVolkov Понятно, спасибо.
@@user-gx2fg2ll1j а ну тут у нас всегда возникают дискуссии по поводу количества комплексных решений, когда в уравнении есть корни каких-то выражений))) Все сразу можно и не углядеть)
Это через формулу Муавра, буду рад если покажите этот способ также
Валерий, недавно наткнулся на вашу 4-летнюю трансляцию с разбором ЕГЭ. Вроде бы, вы перестали совсем трансляции запускать (может я пропускаю). Но почему? Это очень интересный формат, и, судя по трансляциям, вы приятный и общительный человек. Возможно, я ошибаюсь, но мне кажется, что это было бы очень интересно с учётом того, что за 4 года подписчиков стало больше.
Может экономически не оправдано.
Эх, тоже верно.
👍
Валерий, здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, найти решение задачи.
Найти все возможные значения выражения:
A³ + B³ + C³ − 3ABC
Где A,B и C - положительные целые числа.
Минимальное возможное значение 0 легко получить из неравенства между средним арифметическим и средним геометричкским (при A = B = C), а потом раскладываем на множители и получаем, что следующее возможное значение будет равно 4.
Странно у меня совсем другое решение:
sin(3x) =
sin(2x + x) =
sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) =
(2sin(x)cos(x)) * cos(x) + sin(x) * (cos²(x) - sin²(x)) =
2sin(x)cos²(x) + sin(x)cos²(x) - sin³(x) =
3sin(x)cos²(x) - sin³(x)
И такая же бадяга с косинусами:
cos(3x) =
cos(2x) * cos(x) - sin(2x) * sin(x) =
(cos²(x) - sin²(x)) * cos(x) - (2sin(x)cos(x)) * sin(x) =
cos³(x) - sin²(x)cos(x) - 2sin²(x)cos(x) =
cos³(x) - 3sin²(x)cos(x)
Ответ:
sin(3x) = 3sin(x)cos²(x) - sin³(x)
cos(3x) = cos³(x) - 3sin²(x)cos(x)
У вас получилось правильно. Просто заменить в первом случае cos^2a=1-sin^2a, во втором наоборот, и раскрыть скобки.
@@user-by5hi8uj6o спасибо, я просто разработал особую формулу для разложения и придерживаюсь ей для разложения n мерных углов
Я в экстазе.
Позорище мне. Пришлось лезть в инет за помощью. В уме не смог решить.
Кому и где на практике такая ерунда нужна
Уже до тригонометрии добрались с вопросами "где на практике". Не ну я "понимаю" люди комплексные числа недочувают иль ещё какую большую абстракцию, но до тригонометрии добраться с таким вопросом... Так мы скоро до умножения с такими вопросами дойдём.
На практике - берешь знакомишься с девушкой и, сидя на лавочке, показываешь ей превращения синусов и косинусов кратных углов. Далее хеппи енд
@@fantom_000 следующий кадр - роддом
@@user-gx2fg2ll1j я вывел на тригонометрии спец формулу по разложению n ого угла и а вообще их применяют во многих сферах в частности в физике, в строительном деле и в особенности в Компьютерной графике
А Вам и не надо. Вам только сложение/вычитание надо, что бабки пересчитывать. Остальное не пригодится.
Спасибо