Grazie mille! E' sempre un grande piacere sentire che i video son stati ben recepiti e che quindi son riuscito a far passare i concetti che volevo divulgare. Comunque si, come hai detto, l'obbiettivo principale dei video è quello di dare una spiegazione pratica e intuitiva (quindi senza mille formalismi) ma comunque rimanendo legati alla formula. Così si capisce il legame tra l'interpretazione "fisica" e la formula matematica.
sto seguendo un corso di termofluidodinamica con cfd e se devo aspettare i professori di analisi per capire bene i concetti ,in modo tale da capire bene la fisica del fenomeno non ci arrivo in fondo! se hai la possibilità di fare altri video sono ben accetti!
Ti capisco perfettamente, di solito nei corsi di analisi non si parla dell'intuizione fisica, che è quella che serve quando si vanno a fare corsi "più ingegneristici". Bella la CFD, ho fatto la tesi magistrale su software open-source CFD, ed effettivamente la fluidodinamica è uno di quelle materie in cui serve una comprensione fisica di operatori differenziali come rotore, divergenza, gradiente. Purtroppo in questo momento sono in una situazione un po' complicata e non riesco a fare altri video, comunque per curiosità, visto che non sei l'unico che lo chiede, su che argomenti ti aspetteresti/vorresti altri video?
si, le trasformate di fourier e laplace sarebbero sicuramente un bel argomento perchè non son per niente facili ma allo stesso tempo è utile averne un'intuizione pratica per quando le si usano in corsi come controlli automatici.
Quindi un campo di velocità ( per un fluido ad esempio ) e le sue variazioni in termini della velocitá stessa puó essere descritto tramite in gradiente? Che ci permette anche di visualizzarlo graficamente ?
Sì e no. Cioè puoi sì calcolare il gradiente della velocità ma essendo la velocità un campo vettoriale il gradiente della velocità sarà un campo tensoriale. Tieni conto che nella definizione classica (e come anche ne ho parlato nel video) il gradiente va applicato ad un campo scalare. Quindi il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale. Infatti data f:R3->R, avrai grad(f):R3->R3 che è definito come (df/dx,df/dy,df/dz), quindi vedi come da un valore scalare di f in un determinato (x1,y1,z1) ottieni un vettore con tre componenti. Se invece vuoi fare il gradiente di un campo vettoriale, parti già con 3 componenti, e per ognuna di queste dovrai calcolarti le 3 derivate parziali e quindi otterrai un tensore con 9 componenti. Non mi addentro troppo sui tensori anche perchè non è il massimo cercare di spiegarli tramite commenti su youtube, hahaha. Comunque se ti interessa questo è un ottimo video che spiega cosa sono i tensori: ua-cam.com/video/f5liqUk0ZTw/v-deo.html Potresti volendo fare il gradiente sulle singole componenti di velocità, ed avere una rappresentazione grafica del gradiente della componente x della velocità, e cosi' anche per y e z, ma sinceramente non lo vedo molto intuitivo. Penso sia più intuitivo rappresentare il campo di velocità stesso essendo un campo vettoriale. Ultima nota importante, non so cosa intendessi di specifico come "variazioni in termini della velocità stessa", ma volevo solo precisare che il gradiente ti mostra le variazioni nello spazio, non nel tempo (deriviamo rispetto a x,y,z e non rispetto a t). Infatti nel video dico che il vettore gradiente ti indica la direzione in cui devi spostarti per avere il massimo incremento del campo scalare, e quindi capisci che si parla di variazioni ottenute muovendoti nello spazio.
Era esattamente quello che stavo cercando ( studiando ingegneria è proprio quello che serve a me ) , potresti fare un video sul laplaciano e l’operatore nabla ?
Son contento ti sia trovato bene. Il video sul laplaciano c'è già, dovresti trovarlo sul canale. Ma ti consiglio vivamente di vedere prima il video sulla divergenza, visto che il laplaciano è definito come la divergenza del gradiente.
Riguardo l'operatore nabla, non ho fatto video a riguardo perché più della definizione stessa non saprei cosa dire. Dovrei pensarci. L'ho sempre visto come una notazione comoda per esprimere questi operatori differenziali, ma personalmente credo che non aggiunga niente all'intuizione degli operatori stessi. Cioè ad esempio per il gradiente è sicuramente comodo scrivere nabla(f), ma per capire il significato fisico/pratico devi ragionare sulle varie derivate parziali (df/dx, df/dy, df/dz). Non so se mi son spiegato. Ma se hai dei dubbi particolari riguardo nabla, scrivi pure, magari mi dai qualche spunto.
grazie a te e a tutti gli altri che guardano questi video, mi fa molto piacere che siano apprezzati. Penso e spero che anche gli altri video, in particolare divergenza e rotore, ti piaceranno.
Quindi è corretto intendere che il gradiente dia la direzione secondo cui muoversi per "raggiungere" un punto di massimo assoluto per il campo scalare? E nel caso il campo scalare non abbia un punto di massimo il gradiente continuerà ad indicare la direzione per avere un valore del campo scalare sempre più grande? La ringrazio molto
Si, se si segue la direzione del gradiente si arriverà ad un massimo LOCALE, ma non è garantito che sia il massimo assoluto di tutto il campo. Infatti il gradiente non indica direttamente la direzione dove si trova il massimo, ma bensì indica la direzione verso cui muoversi per avere il massimo incremento del campo scalare, e quindi seguendo sempre il gradiente prima o poi si arriva ad un massimo. Per capire meglio, immagina di essere su un prato dove è presente una collina. L'altitudine di ogni punto del prato è il tuo campo scalare. Se calcoli il gradiente di questo campo scalare, otterrai per ogni punto una freccia che ti indica la DIREZIONE PIU' RIPIDA, quindi è chiaro che seguendo queste frecce (cioè seguendo i vettori del gradiente) salirai sempre più su (tra l'altro, nel modo più veloce essendo la direzione più ripida) e quindi prima o poi arriverai in cima alla collina. Similmente, metti caso che sei in una valle con una montagna più alta a destra e una più bassa a sinistra. Se tu parti da un punto sulla montagna più bassa, il gradiente ti indicherà la direzione più ripida, quindi chiaramente ti farà salire ancora di più sulla montagna dove sei già, quindi quella più bassa. Infatti per andare su quella più alta dovresti prima scendere verso valle e poi risalire, ma se segui il gradiente sali sempre, quindi finirai sul massimo locale e non quello assoluto. Riguardo la seconda domanda è giusto quello che dici, cioè il gradiente semplicemente ti indica dove muoverti per avere il massimo incremento del tuo campo scalare. Ad esempio potresti avere come campo scalare f(x,y) = x+2y, che nello spazio è un piano (senza quindi un massimo), quindi grad(f) = (df/dx,df/dy) = (1,2). Questo ti dice, che se ti muovi lungo la direzione del vettore (1,2) salirai nel modo più veloce possibile. Quindi ricapitolando, il concetto importante da tenere a mente è che il gradiente semplicemente ti indica la direzione dove hai il massimo incremento del campo scalare, poi il fatto che seguendo il gradiente si arriva al massimo è soltanto una conseguenza. p.s. dammi del tu
beh si è un discorso legato, perchè infatti esiste il metodo "gradient descent" (discesa del gradiente) per trovare un punto di minimo che viene usato in problemi di ottimizzazione. Quindi il gradiente è uno strumento che viene usato per risolvere problemi di ottimizzazione.
E il verso? Indica sempre l'incremento positivo? Il mio professore di Analisi ha detto che il gradiente con ci da informazioni sul segno del differenziale della funzione!
Si indica l'incremento positivo. Per capirlo meglio ti consiglio il video che spiega la formula: ua-cam.com/video/Qbq-ZfygyBA/v-deo.html Comunque la logica è che, ad esempio, la componente x del gradiente è determinata da "db/dx", cioè la derivata parziale di b rispetto ad x, quindi se b aumenta all'aumentare di x, allora db/dx>0 e quindi la componente x del gradiente è positiva. Pertanto la freccia ha una componente x positiva, e quindi punta verso la direzione dove aumenta il campo. Se invece hai db/dx
@@FrancoAmato diciamo che sarebbe da chiedersi cosa si intende per gradiente negativo. Essendo il gradiente un vettore le cui componenti sono le derivate parziali, se una di queste derivate parziali è negativa, semplicemente quella componente del vettore sarà negativa. In modo più pratico, per rispondere alla tua domanda, la differenza tra avere la derivata parziale rispetto ad x positiva o negativa sta nel avere una freccia con verso positivo o negativo. Se la derivata è positiva, il gradiente sarà una freccia in direzione positiva, se la derivata è negativa, il gradiente sarà una freccia in direzione negativa. Tutto questo ragionamento lo devi fare per ogni componente
Grazie mille, ottimo video: breve e di sostanza.
Grazie mille per il feedback.
bel canale, spiegazioni chiare e senza formalismi inutili, davvero molto utile!
Grazie mille! E' sempre un grande piacere sentire che i video son stati ben recepiti e che quindi son riuscito a far passare i concetti che volevo divulgare. Comunque si, come hai detto, l'obbiettivo principale dei video è quello di dare una spiegazione pratica e intuitiva (quindi senza mille formalismi) ma comunque rimanendo legati alla formula. Così si capisce il legame tra l'interpretazione "fisica" e la formula matematica.
sto seguendo un corso di termofluidodinamica con cfd e se devo aspettare i professori di analisi per capire bene i concetti ,in modo tale da capire bene la fisica del fenomeno non ci arrivo in fondo! se hai la possibilità di fare altri video sono ben accetti!
Ti capisco perfettamente, di solito nei corsi di analisi non si parla dell'intuizione fisica, che è quella che serve quando si vanno a fare corsi "più ingegneristici". Bella la CFD, ho fatto la tesi magistrale su software open-source CFD, ed effettivamente la fluidodinamica è uno di quelle materie in cui serve una comprensione fisica di operatori differenziali come rotore, divergenza, gradiente.
Purtroppo in questo momento sono in una situazione un po' complicata e non riesco a fare altri video, comunque per curiosità, visto che non sei l'unico che lo chiede, su che argomenti ti aspetteresti/vorresti altri video?
qualche trasformata oppure non so perchè dal mio punto di vista questa è la matematica più complessa che conosco al momento
si, le trasformate di fourier e laplace sarebbero sicuramente un bel argomento perchè non son per niente facili ma allo stesso tempo è utile averne un'intuizione pratica per quando le si usano in corsi come controlli automatici.
Complimenti ottimo video
Grazie, son contento sia stato apprezzato.
Grazieee!!
Son contento sia stato apprezzato.
Quindi un campo di velocità ( per un fluido ad esempio ) e le sue variazioni in termini della velocitá stessa puó essere descritto tramite in gradiente? Che ci permette anche di visualizzarlo graficamente ?
Sì e no. Cioè puoi sì calcolare il gradiente della velocità ma essendo la velocità un campo vettoriale il gradiente della velocità sarà un campo tensoriale. Tieni conto che nella definizione classica (e come anche ne ho parlato nel video) il gradiente va applicato ad un campo scalare. Quindi il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale. Infatti data f:R3->R, avrai grad(f):R3->R3 che è definito come (df/dx,df/dy,df/dz), quindi vedi come da un valore scalare di f in un determinato (x1,y1,z1) ottieni un vettore con tre componenti. Se invece vuoi fare il gradiente di un campo vettoriale, parti già con 3 componenti, e per ognuna di queste dovrai calcolarti le 3 derivate parziali e quindi otterrai un tensore con 9 componenti. Non mi addentro troppo sui tensori anche perchè non è il massimo cercare di spiegarli tramite commenti su youtube, hahaha. Comunque se ti interessa questo è un ottimo video che spiega cosa sono i tensori: ua-cam.com/video/f5liqUk0ZTw/v-deo.html
Potresti volendo fare il gradiente sulle singole componenti di velocità, ed avere una rappresentazione grafica del gradiente della componente x della velocità, e cosi' anche per y e z, ma sinceramente non lo vedo molto intuitivo. Penso sia più intuitivo rappresentare il campo di velocità stesso essendo un campo vettoriale.
Ultima nota importante, non so cosa intendessi di specifico come "variazioni in termini della velocità stessa", ma volevo solo precisare che il gradiente ti mostra le variazioni nello spazio, non nel tempo (deriviamo rispetto a x,y,z e non rispetto a t). Infatti nel video dico che il vettore gradiente ti indica la direzione in cui devi spostarti per avere il massimo incremento del campo scalare, e quindi capisci che si parla di variazioni ottenute muovendoti nello spazio.
Era esattamente quello che stavo cercando ( studiando ingegneria è proprio quello che serve a me ) , potresti fare un video sul laplaciano e l’operatore nabla ?
posso anche scriverti per email
Son contento ti sia trovato bene. Il video sul laplaciano c'è già, dovresti trovarlo sul canale. Ma ti consiglio vivamente di vedere prima il video sulla divergenza, visto che il laplaciano è definito come la divergenza del gradiente.
Si per qualsiasi domanda se ti va meglio puoi scrivere via mail: we.learn.academy@gmail.com
Riguardo l'operatore nabla, non ho fatto video a riguardo perché più della definizione stessa non saprei cosa dire. Dovrei pensarci. L'ho sempre visto come una notazione comoda per esprimere questi operatori differenziali, ma personalmente credo che non aggiunga niente all'intuizione degli operatori stessi. Cioè ad esempio per il gradiente è sicuramente comodo scrivere nabla(f), ma per capire il significato fisico/pratico devi ragionare sulle varie derivate parziali (df/dx, df/dy, df/dz). Non so se mi son spiegato. Ma se hai dei dubbi particolari riguardo nabla, scrivi pure, magari mi dai qualche spunto.
Grazie per la spiegazione
Grazie!!
grazie a te e a tutti gli altri che guardano questi video, mi fa molto piacere che siano apprezzati. Penso e spero che anche gli altri video, in particolare divergenza e rotore, ti piaceranno.
Bravo
Grazie
Quindi è corretto intendere che il gradiente dia la direzione secondo cui muoversi per "raggiungere" un punto di massimo assoluto per il campo scalare? E nel caso il campo scalare non abbia un punto di massimo il gradiente continuerà ad indicare la direzione per avere un valore del campo scalare sempre più grande? La ringrazio molto
Si, se si segue la direzione del gradiente si arriverà ad un massimo LOCALE, ma non è garantito che sia il massimo assoluto di tutto il campo. Infatti il gradiente non indica direttamente la direzione dove si trova il massimo, ma bensì indica la direzione verso cui muoversi per avere il massimo incremento del campo scalare, e quindi seguendo sempre il gradiente prima o poi si arriva ad un massimo. Per capire meglio, immagina di essere su un prato dove è presente una collina. L'altitudine di ogni punto del prato è il tuo campo scalare. Se calcoli il gradiente di questo campo scalare, otterrai per ogni punto una freccia che ti indica la DIREZIONE PIU' RIPIDA, quindi è chiaro che seguendo queste frecce (cioè seguendo i vettori del gradiente) salirai sempre più su (tra l'altro, nel modo più veloce essendo la direzione più ripida) e quindi prima o poi arriverai in cima alla collina. Similmente, metti caso che sei in una valle con una montagna più alta a destra e una più bassa a sinistra. Se tu parti da un punto sulla montagna più bassa, il gradiente ti indicherà la direzione più ripida, quindi chiaramente ti farà salire ancora di più sulla montagna dove sei già, quindi quella più bassa. Infatti per andare su quella più alta dovresti prima scendere verso valle e poi risalire, ma se segui il gradiente sali sempre, quindi finirai sul massimo locale e non quello assoluto.
Riguardo la seconda domanda è giusto quello che dici, cioè il gradiente semplicemente ti indica dove muoverti per avere il massimo incremento del tuo campo scalare. Ad esempio potresti avere come campo scalare f(x,y) = x+2y, che nello spazio è un piano (senza quindi un massimo), quindi grad(f) = (df/dx,df/dy) = (1,2). Questo ti dice, che se ti muovi lungo la direzione del vettore (1,2) salirai nel modo più veloce possibile.
Quindi ricapitolando, il concetto importante da tenere a mente è che il gradiente semplicemente ti indica la direzione dove hai il massimo incremento del campo scalare, poi il fatto che seguendo il gradiente si arriva al massimo è soltanto una conseguenza.
p.s. dammi del tu
(W)e-learn la risposta è stata chiarissima, ti ringrazio molto per avermi dedicato del tempo, sei un grande ciao!
sbaglio o somiglia un po' a un problema di ottimizzazione?
beh si è un discorso legato, perchè infatti esiste il metodo "gradient descent" (discesa del gradiente) per trovare un punto di minimo che viene usato in problemi di ottimizzazione. Quindi il gradiente è uno strumento che viene usato per risolvere problemi di ottimizzazione.
E il verso? Indica sempre l'incremento positivo? Il mio professore di Analisi ha detto che il gradiente con ci da informazioni sul segno del differenziale della funzione!
Si indica l'incremento positivo. Per capirlo meglio ti consiglio il video che spiega la formula:
ua-cam.com/video/Qbq-ZfygyBA/v-deo.html
Comunque la logica è che, ad esempio, la componente x del gradiente è determinata da "db/dx", cioè la derivata parziale di b rispetto ad x, quindi se b aumenta all'aumentare di x, allora db/dx>0 e quindi la componente x del gradiente è positiva. Pertanto la freccia ha una componente x positiva, e quindi punta verso la direzione dove aumenta il campo. Se invece hai db/dx
@@we-learn6734 Come rappresenti graficamente un gradiente negativo?
@@FrancoAmato diciamo che sarebbe da chiedersi cosa si intende per gradiente negativo. Essendo il gradiente un vettore le cui componenti sono le derivate parziali, se una di queste derivate parziali è negativa, semplicemente quella componente del vettore sarà negativa. In modo più pratico, per rispondere alla tua domanda, la differenza tra avere la derivata parziale rispetto ad x positiva o negativa sta nel avere una freccia con verso positivo o negativo. Se la derivata è positiva, il gradiente sarà una freccia in direzione positiva, se la derivata è negativa, il gradiente sarà una freccia in direzione negativa. Tutto questo ragionamento lo devi fare per ogni componente