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すげえつまんなそうに話してるのに内容はくっそおもしろい。グランドピアノに指数関数が現れているところで目から鱗だった
すげえつまんなそうwww
クソ笑ったww最初のアンパンマンの時にこのコメント読んだから尚更w
9:04 メジャーマイナーのトライアドとピタゴラスの定理の関係について。もし3^2+4^2=5^2と関係があればロマンがありますが、おそらくそれは違うのではないかと思います。メジャー感マイナー感を決定付けるのは基音と長三度短三度との関係であって五度の音はあまり関係ないんですよね。ならばなぜ短三度が物悲しく聞こえるのかというとこれまた興味深い話ではあります。
ですよね〜。ロマンはあると思いながらも、私も違うのかなと思っています。とはいえ、30音階平均律を考えて5:12:13の和音が美しかったら興奮するなー、なんて妄想をしています。
平均律は全ての音程が濁る妥協した音律なのだ。エクセルだと =2^(1/12) １２分の１乗で１２乗根が求められます。=440 x 2^(n/12) で周波数が出ます。sin波のグラフを描いて周期の一致と合成波形の「うなり」を見ると分かりやすいです。
ですね！
ギターが趣味なのですが、音階がこんなに数学的とは全く知らなかったです。大変勉強になりました。ありがとうございました。
私も少しギターをかじっていますが、まったく計算通りには弾けません笑
白鍵・黒鍵が別れた理由（白鍵だけ抜き出すと各々が単純な整数比に近い周波数なんでしたっけ？）みたいな、音楽の情緒的でありながら論理的に説明できる部分が好きなのでめちゃくちゃ刺さりました。解説も口頭、テロップ、プログラミング、音の実演でされていてありがたかったです。
ありがとうございます！
白いのと、黒いのには意味があるんですか？？？
目が見えない人でも触っただけで音階の位置が分かるようにと聞いたんだが…
@@Arsche １２平均律という、今の音階を解りやすくするためです。さらに、全部白鍵盤だと、どこからどこが１オクターブか解らないからです。そもそもなぜ今のような１２平均律になったかですが、バロック時代に今の鍵盤である音階つまり１２平均律が構成されましたが、なぜこういう白鍵盤８と黒鍵盤５個のこういう並び方になったかです。まず、ドの音に対して１番共鳴するのはソであるという概念から構成されたわけです。ドからソは完全五度で、４度半のインターバルです。なぜ完全五度が４度半なのかを説明するとややこしくなるのでここでははぶきますが。同じようにソから完全５度（４度半）上はレ。それを繰り返していくと１２すべての半音を通過してドに戻ります。これが今の１２平均律というCのキーです。
@@花かんざし-j6c バッハの時代って、ピアノなんかなかったんだよね、たしか、ハープシコードだっけ、オルガンでもいいけど。
芸大まで行って音楽学んでた自分としては人に音律を教えるのにどういった説明をすれば良いか悩んでいましたが、分かりやすく楽しく説明されていて、この動画見せれば良いと解決しましたｗｗなお、実際に音階を考えたのはピタゴラスではなく教会での聖歌で発祥(当時はシが無かった！)ですが、5度を12回重ねた0.02...のズレは「ピタゴラスのコンマ」という名前がついています。ちなみに数ある音律の中で、ピタゴラス音律が一番メロディが綺麗に聞こえると言われています！
メロディが綺麗？ハーモニーではなくて？
@@kenloose7026 返信ありがとうございます。クラシックは1度・3度・5度の積み重ねである3和音を基本にしていて、この３和音が綺麗に響くのは「純正律」と呼ばれる音律ですね。もちろん５度に関してはどちらも同じく「正確に2:3」なので綺麗に響きます。しかしピタゴラス音律の3度はやや高いのでハーモニーとしてはあまりきれいにはなりません。ピタゴラスは特に単旋律の聖歌がきれいに聞こえるといわれています。
@@ilzamact 教会の聖堂のような残響の持続時間が長い場所での聖歌がユニゾンでもハーモニックに聞こえるような場面をとらえてメロディが綺麗ということでしょうかね？
@@roomthe40 残業による擬似的なハーモニーというよりかは、単旋律におけるメロディの「跳躍度合い」が美しいという感じです。例えばCキーにおけるド・レ・ミというメロディがあったとして、ド→レの音程の距離が純正律や平均律とは違う独特さを、持つため聴感上快い、という理屈のようです。ちなみに今更ですがこの「ピタゴラスはメロディが〜」は一種の俗説のようなものではあります。
とても分かりやすくて面白かったです！初めは数学好きの方が書かれたブログ記事を読んで「ワケワカラン！」となったのがきっかけだったのですが、この動画で理解することができました！話し方もゆっくりで、演奏や計算機も有りなので直感的でとても聴きやすかったです！
共感します。理解すると簡単ですが、理解するまでって時間かかりますよね！理解していただけてうれしいです！
=@@ok3ch
動画の通り基準の音から3倍して2で割る、または3で割って2倍する、を繰り返し12音としたのが「ピタゴラス音律」。これだと基準からの完全五度（半音7個分の差）はきれいに聞こえるが、基準以外のところの7個差の音でうなりが大きく聞こえるものが出てくる。つまりキーを変える（転調する）と和音がきれいに聞こえないピタゴラス音階に近い数値の簡単な分数倍（p/q でp.qができるだけ小さいもの）に調整したものが「純正音律」で、基本の音の5/3とか16/15とかが出てくる。でもこれにも問題があって、半音ごとの変わり具合がバラバラ（あるところの半音差は1.066倍だが他では1.042倍）そこで半音ごとの変わり具合を完全に均一にするために2倍を均等に12個に分け、12乗根2倍ずつにしたものが「平均律」。これで各音の差が一定にできるため転調にも対応できる。難点は完全五度でさえも整数倍の周波数ではないので完全にきれいな音というわけではないことだが、そこまで聞き比べられる人のほうが少ないので、利便性を含めて調律は平均律が一般的。
補足ありがとうございます！
あじもも..さんへ。あんたが正解！。有り難とう。🙆😄
ピアノ弾きです。数学は苦手なのですが、こんな数学とも密接な関係があるとは！とても面白かったです。
普通、気づくよな
@@poissonblanc3106 私がコメ書いたので見ればわかりますが、数学によって今の音階が導かれたというこの動画は間違いです。それを「普通、気づくよな」というあなたは何もわかってないということですねｗ
@@花かんざし-j6c どこ？
@@MT-ug5kg かなり前なので下に下がったみたいだね。１ヶ月まえまで下がればあるよ。今の１２平均律が完全五度で構成されてるという話だ。
素晴らしいチャンネルですね
計算したら12になった。分かりやすいし、多分定説なのでしょう。でも、自分的には12になるよう計算したような気もするのです。12という数字は、時間で使われるし、ダースという単位、英語では13からteenとなり不吉な数字とされたりします。この辺との関係性が何かしらあるのじゃないかなぁと。
この問題は結局、「1.5の（底を2とする）対数をどうやって近似するか」という問いに帰着しますね。53平均律の先には306や665平均律があります。でも、完全五度以外も平等に見てあげる270平均律の方が和音はきれいだったりして、古典音律と平均律の世界は奥深いです。
そんな話もあるんですね。ありがとうございます。
Circle of 5thを別の視点から捉えることができて興味深かったです。12:10でさらっと流されていますが、私が習った平均律は任意の音に2の12分のx乗(xは0から12までの整数)を掛けて1オクターブというものでした。
年（12か月）や干支も時間も12で、音階も12だとは…不思議な数字ですね。
約数が多いため便宜上採用された場面もあるでしょうが、ある過程で出てくる場面があるのがまた不思議ですよね。
あくまでドレミファソラシの７音（白鍵）が基本です。これは音の振動数の比率から生まれた、心地よい響きの理由（比率が単純）があるものです。オクターブが１２分割されている理由は単純であり、この７音のどの音から出発してもドレミファソラシが作れる（転調ができる）よう、音程調整に必要な５音（黒鍵）で埋めたからです。それ以上の意味はなく、音階の理論にも関係ありません。５３平均律というのは、純正律の美しい和音の響き（むりやり１２分割した平均律だと濁る）を（ほぼ）保ったまま転調を可能にするためには、オクターブ上に５３の音を配置する必要がある、という計算結果であり、それに基づいた楽器を作れば、調律師がいなくても、ボタン一つで調の切り換え（転調）ができる（鍵盤が多すぎて演奏家では対応不可能）という話であり、楽器と調律に関することであり、音階の理論には関係ないことです。
コメントを読むと「人間には５３音階は複雑すぎて聞き分けるのも大変」「１２音階があったからこそ、西洋音楽が複雑で素晴らしい～」という感想がありました。おそらく「１２音」と「１２音階」を混同していると思います。「音階」というのは音を並べたものですが、西洋古典音楽の楽曲を作るのには「７音階（ドレミファソラシ）」を使います。「７音階」には「７音（７個の音）」が含まれますが、その「７音」はオクターブ「１２音（１２個の音）」の中から選びます。これだけのことなので、１２個の音を並べた「１２音階」というものはありませんでした。ところが近代になり「７音階」に飽きたシェーンベルクが思いつきで作った音の並びが「１２音階」です。そして、５３個の音を並べる「５３音階」などというものはありません。オクターブを５３に分ける「５３平均律」というものはあります。説明すると、音階はあくまで「７音階」であり、普通は１２個の音から７音を選んでいたのを、５３個の音から７音を選ぶという話です。その理由は、たった１２音ではきれいな響きの７音を選ぶことができないが、５３音もあれば、きれいな７音を選べるという話です。音階はあくまで「７音階」であり「５３音階」など扱いようがありません。
めちゃくちゃ面白かった
音階はオクターブ12音じゃなくて7音です。それぞれの音の高さは1 < n/2^m
オクターブは12音ですよ😮もしかしてピアノのチューナーさんすか😊
@@藤田基樹 オクターブを12音としているのは現代音楽（武満徹など）固有の音楽です。現代音楽以外では基本的に調性が存在し、その単位がオクターブで、7音から成り立っており、転調すると別のオクターブに代わり、そのオクターブもやはり7音からできてます。日本の民謡にはファとシがありません。西洋音楽もルネッサンスまではシがありませんでした。ピアノにはオクターブ12音あるように見えるというのと西洋音楽のオクターブが12音からできているというのは別です。
ピタゴラス音律の計算（数学の視点）の解説で詳細に正確に述べられていますね。完璧な説明でよく理解できました。蛇足になりますが、音楽の視点から述べると、音階を構成する最初の３音は「ド→ソ→レ」ではなく「ド、ソ、ファ」になります。ドミナント（属音）、サブドミナント（下属音）という音楽用語があり、重要な音を示しています。重要である根拠は、「ド→ソ」の次に、この比率を下に向けると「ファ→ド」となり、この「ド、ソ、ファ」が和音の基本（「ド、ミ、ソ」ではありません）です。ここから、残りの音の位置が決まり７音（ドレミファソラシ）が決定されます。「なぜ鍵盤の音は１２音なのか」というのは、この７音に転調をスムースにするための音程調整に必要な５音で埋めてできあがったものです。平均律というのは、”平均になる”のではなく、この”響きから生まれた１２音”の鍵盤楽器での「調律方法」（純正な響きを犠牲にして”平均にする”ことで転調しやすくした）です。ここでのテーマとは別なことで、申し訳ありませんでした。
いえ、この動画のテーマでなくあなたの提示したテーマの話が正当です。私が新しいコメを立てたのでご覧ください。
ピタゴラスイッチの番組中のBGMは「ドソレラミシシ×3ファ#ド#ソ#レ#シ♭ファシ♭ファ」で、完全五度ずつなのを思い出しまたね、あれ初めて聞いた時「あーピタゴラスだな」と思いましたね。それからピタゴラス音律の計算は以前夏休みの宿題にプリントで出しましたね。
以前から登録してました。平均律では音階が周波数で等分に区切られれていることは知っていましたが、今回も数学的な観点からすごく興味深い内容でした。
ありがとうございます。なぜ「12」という数字になるのか、計算で導くと納得できますよね。
後付けの話です。例えていうなら、料理を食べて、これに使われてる食材は何かと言ってるのと同じなのがこの動画です。誰がそのレシピを考案したのかが問題なわけで、それは私が新たに書いたのでご参考になさってください。
オススメに出てきたので拝見しました。最初に見つけたド、ソ、レは、ポピュラー音楽ではそれぞれローマ数字でⅠ、Ⅴ、Ⅱと表されます。ジャズやポピュラー音楽では、Ⅱ→Ⅴ→Ⅰという音の動きがⅠつのフレーズや曲が終わる際に最もよく使われます。これは「終止形」「ツーファイブワン」と呼ばれ、その曲全体で一番安定した音がⅠなので、他の不安定な音を聞くとⅠに戻りたくなるという要素を持ちます。子供の発表会などでお辞儀をするときに鳴らす３つの和音がまさにそれです。それがなぜ人間は良いと感じるのかは脳科学や心理学の分野ですが、深堀りすると面白いですね！
そんな心理が隠れているんですね！面白い。
｢音階｣の数学的考察は解ったけど、・なぜ、ドが基準の音になったのか？・なぜ、倍音を同じ音階と人間は感じてしまうのか？の、脳科学的な神経系の音に纏わる原理(例えば、神経系の物質伝搬等)に興味が沸きました！元は、単に食料を得たり危険から身を守る有為な能力として獲得した機能ってイメージだけど、現状、音楽等の楽しむ( 当初の目的から違った快楽を得る)行為に変貌した変遷等、脳の仕組みについてのリサーチ結果も知りたいです！そこまで聞けばやっと１２音階やオクターブの話が正確に掴めるって、気がします！無茶振りだったらゴメンナサイ！ｗ
数学のチャンネルなので認知科学までいくつもりはないですww（いけるとも思ってないですが！）
Aの音は「ラ」だし、別に「ド」が基準でもない。まあ、昔は短調の方が普通に多かったので、「ラ」の音にAを当てはめてたけど、そのうち長調が主流になったから、今じゃ「ド」から始まるように思ってるだけらしいがね。
@@ok3ch 返信有り難うです！ 了解です！ たまたま目について興味の赴くまま観て、チャンネルの主旨に沿わないコメしちゃった様ですね(汗)
@@clatro00 ｢ド｣を基準にしちゃってる(或るいはそうしたがってる？ｗ)のは、単に｢慣習｣の問題って事ですね！ それならそれでスッキリです！ｗ 一旦、それに慣れちゃったモノを急に変えると混乱するだけだし、特にこれじゃ無きゃ困るって明確な基準点も特に無いって事ですね～
おもしろい！！！内容濃い！！ありがとうございます！！
うれしい！！！ありがとうございます！！
バッハの曲等で「平均律」という言葉は知っていましたが、「ピタゴラス音律」は初めて聞いたので面白かったです。私はかねがね「鍵盤は対数スケール」と思っていたので、この動画をきっかけにEXCELを使って違うアプローチで計算してみました。半音を対数にするとlog2/12となり、半音ごとの周波数比は10^(log2/12)=1.05946倍となります。動画のようにドの262Hzを元に計算するとラはちゃんと440Hzになりました。当たり前ですけど・・・。
指数ではなく対数で計算してる感じ、私は好きです！
もし興味がおありなら、EXCELに下の式をそのままコピペしてみてください。「9」はラが9番目の半音ということで、これを0から12まで変えれば12音階の周波数となります。=261.626*10^(LOG(2)*9/12)
平均律の説明で一番わかりやすかったです！
数学的なことは自分にはよく理解できておらず、この話に関連するかどうかわからないのですが、トルコの民族楽器「サズ」という楽器(撥弦楽器)は、半音の中にさらにいくつか音があるそうです。おんがく交差点という番組で、「サズ」奏者の大平清さんという方が説明していました。フレットは微調整できるとの事です。（リュートのようなつくりか？）ところで、ヤマハのTX81ZというFM音源ユニット(かなり古い製品)にはピタゴラス音階の設定があった記憶があります。ただ使った事はありませんので、どんな音になるのかは、わからないのですが。
そのような楽器もあるんですね！
とても興味深かったです！これからもたくさん知識を提供してください！
ありがとうございます！動画あげなきゃ！w
すごいですね！たいへん勉強になりました！前々から何故楽器の音が12種類なのか気になり、音楽の先生や色んな人に質問してきましたが、だれも答えれませんでした。それをPythonも交えて詳しく論理的に、更には実験も行い、素晴らしいです！！物理また数学が絡んでいたんですね！
ありがとうございます！良かったです！
音楽×数学とんでもないものを観させていただきました。感謝。
ありがとうございます。〇〇×数学、好きなんです。
これを中学ぐらいの音楽の授業で教えるべきですよね。平均律と純正律も。
教科という枠にとらわれず授業ができるとより面白そうですね〜
そのためには、指数や対数を教える事にもなりそうだよね鶴亀算とか、教える側のプライドのためにしかならない無駄をなくして、小3くらいで代数を教えてれば、容易だと思うけど、教育界も腐ってるから、難しいかも科目間の縄張り意識や簡単な事を難しく教えようとする体質をなくせば、マックスウェルの方程式程度は、中学生でも十分解けるし、浦島効果の計算もでいるようになる
教えられる子供の身にもなってやってくれ・・・ｗ
日本のたかが音楽教師が音楽を教えるのはかなり無茶。日本は西洋音楽に弱い人が多い。実際あーだこーだを説明できる人はそんなにいない。
ピタゴラスの純粋数学から導入してこの疑問に答えるというのは目から鱗です。私も同じ疑問に答える動画を上げましたが、最新の科学からアプローチしました。
めちゃくちゃ面白い！やっぱ数学好きだわ
「やっぱ」てとこが素敵！
1秒間に440回の振動音（現在は442が主流）とはAの音、つまり「ラ」の音と理解していましたが違いましたか？関係性は合っていて理論的には問題はないと思いますが、ドレミの基本音はラです。
音の不思議に触れる事ができて良かったです。そして、グランドピアノの変な形には理由があったのも判りました。
疑問としては12音階があるとして呼び方は8を示すオクターブになっています。8度音程にも”8番目”以上の説明があれば。
面白すぎる、数学と音楽がこんな深く関係しているなんて...
うつくしい
ありがとうございます。長年の疑問が解決しました。１オクターブの意味は分かっていたけどなぜその中が１２分割になったのかという部分。というか本当はド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ、シが等間隔で『○＃』はそれらの中間の音だと思っていて「なぜ『ミ＃』と『シ＃』は無いんだ？」と思ってました。
音楽も数学も苦手な分野ですが、大変おもしろかったです！！
ありがたい！
素晴らしい👍重音についても解説して欲しい。
やっとわかりました。ありがとうございます。
コメントありがとうございます！
倍音の概念がわかりやすくて助かります
反論するようで申し訳ありません。 私は大学では音楽音響学を学び、その後現場でミュージシャンとして活動していた人間です。 現在の12平均律はピタゴラス音律の妥協案みたいなもので、世にもハモらない音痴な音律です。 4:5:6という周波数比があらゆるハーモニーの原点であります。（ちなみに短和音は10:12:15) 2:3を何回も展開して作るピタゴラス音律ではこの周波数比は出てきません、なのでピタゴラスではこの美しさは出せません。 歴史的にも12という妥協案でなく色々なオクターブ分割案が提唱されています。ご指摘の通り53とかいうのもあります。 旋律の組み立て方や機能和声を考えたとき、人は耳で聴こえた平均律の無理数の周波数比を、脳内でそれに近い整数比に脳内で変換しているのでしょう。 合奏の現場では色々な修正が可能ですし（よく勉強している合唱団・吹奏楽団ではこれを意識して美しいハーモニーを奏でるよう努力している）、また、チェンバロの調律では（転調が限られた曲では平均律よりもよくハモるような）色々な調律が歴史的に提案されています. 平均律調律のピアノでの和音を「美しい」と思うのは分かりますが、きれいに調律したチェンバロの本物の4:5:6を聴いてみてください。美しさスーパー段違いです。 オクターブに12というのがいかに妥協案かわかると思います。 蛇足ですが,... 昔、研究室で、「乱数発生で12音音楽を奏でる」という実験をしていた時、試しにオクターブを平均に13音に分ける音源をつくって同様に実験してみたのですが、12とほとんど違和感に差がありませんでした。 無理数恐るべし！
いえいえ！反論というより、むしろ補足と私は感じます。私のモチベーションはなぜ「12」という数が現れたのかであって、ハーモニーの美しさ等については全くもって無知です。音楽専門の方々からの音楽愛に溢れるコメントが多く感激しています！
５度圏の図はjazz教則本にでますね。ちと違う角度から５度圏が出てきたのにはびっくりしました。素晴らしい。ps 弦の長さが分かれば１２平方根でフレット間隔も計算式で求められるって事を、私は最近知りました。
3/2をいくら乗しても5は作れませんが８１／６４≒８０／６４＝５／４、12平均律なら２＾（４／１２）＝1.2599･･≒５／４三度が美しく響かない「音痴」な音律ですが、どちらもそれで「妥協」しているのは同じことなのでしょう。数学的に２の１２乗根がマジックナンバーであり 2^(5/12)=1.3348･･≒4/3 、2^(7/12)=1.4983･･≒3/2 等割と良い整数比の近似値を作れてしまう。それが(実用的・妥協的)音階の数が１２になっている理由だと思います。蛇足ですが、宇宙人も音を知覚するには共鳴を利用した器官を使うのが自然であり、それなら整数比の音を好ましく感じそう。そして数学は全宇宙で共通です。もしそうなら宇宙の彼方でも音階は１２が良いとか５３だとか議論しているかも知れません。
学生時代、音楽の授業が大嫌いでしたが...こういう事を最初に教えてくれたら、楽しく勉強できたかも。「おまけ」めちゃくちゃ面白かったですw
ありがとうございます！鍵盤が53個あるのはしんどいですよねw
レとソを一緒に鳴らすと綺麗に聞こえる理由が少しわかりました。ありがとうございます
ご視聴ありがとうございます。
文明によって音階の数は違いますよね～ピタゴラス的なアプローチもありますが、平均律の乗根数をさらに増やすことで微分音を出す音楽家もいらっしゃいますね
数学とは若干異なる意味での「微分」という概念が音楽にもあるようですね
@@ok3ch 一般的に12音階にとらわれず区間内の音を満遍なく鳴らすことをトーンクラスターと呼びますが逆に私はこれを個人的に『積分音』と呼んでいます笑林光の原爆小景という作品にも利用されてます
積分音ですか！トーンクラスターというのがあるんですね。初耳です。
音楽＝弦の振動＝物理学だから音楽と数学って密接な関係があるはずなんだけど、あまりそこに触れる人いなかったので助かります！
中国では前漢の時代に６０律が考案されていますね。それにしても２オクターブ、３オクターブという音程は我々の耳で二つ上、三つ上と思っているけれども、実際には周波数が２倍、３倍になるわけではなく、対数なんですよね。子供のころ初めて対数の説明を聞いてややこしいなと思いましたが、実は耳で感じているというのはなんとも面白ことです。
対数的な感覚が人間のあらゆる部分に潜んでるのは面白いですよね。
面白かったです。音楽でなく音学って感じですね。学生の時にシンセサイザー持ってて12音階以外の設定作って演奏してみるとホントに12音階以外は全部気持ち悪かったんです。じゃあそもそも誰がどうやって12音階を発見というか設定できたのか不思議でした。単に心地いいからって事以外に理屈が知りたかったんですね。ではピタゴラス以前にはメロディはあったのかとか未開のジャングルの部族の歌とか演奏みたいなのってどうなのかなと更に興味が深まりました。
ですね！「律」というだけあってただの「ルール」の1つなんですよね。別のルールを適用すればまた別の音階が作られて、自分の知らない世界では全く別物の音楽が存在しているのだろうか、という気持ちになりました。
美しい鳴き声をする鳥たちにとっての音階ってどうなんでしょう・・
すごくわかりやすく面白かったです。ありがとうございます。
新しい切り口で面白かったです。５２音階はなんだかいかにもコンピューターで作ったような無機質な感じでしたが、ピタゴラスの方はずれが大きいにもかかわらず、美しく感じました。本来、そうあるべきなのか？自然の世界はそうなのか？小さい世界では完全に割り切れないところが世界の膨張やこの世界の美しさに繋がっているのか？などちょっと哲学的な事を考えてしまいました。
天才。数学と音楽はどちらも美しいです。
完全に同意！
数学と音階と繋がりがあるとは驚きました。面白い事実と実験でした。
「実験」という表現いいですね！ありがとうございます！
とても楽しい動画でした。コメントも全て読みました。たのし。ありがとうございました。
楽しい動画っていう表現嬉しいです！コメントまでありがとうございます。
ピタゴラスコンマが出るから不協和音が出るというか、近代になり、全ての音階が協和音になるようにピタゴラス音律を操作しているうちに音階が複雑になってしまい、結果12乗根2で分割してしまえと乱暴に音律を作ったらすべての音階が微妙に不協和音になったのだが、以外と便利だったのか平均律が世界に普及し、一部の音楽家には、全部不協和音ってどうよという意見があるが、私見では、歪もまた味わいがあることもあり、また、微妙なうなりは、まぁ、わかる人も少ないし、なような事かと思います。書いてる私もよくわかってません。
音楽趣味でコード進行に興味を持っていますが、12音階の決まり方や歴史的経緯の話とても面白かったです。ドからソが派生し、ソからレ、レからラこの音の関係を逆に並べると4度(上行)進行【5度(下降)進行】ラ(A7) レ(Dm7) ソ(G7) ド(C)というジャズなんかで多用される美麗進行の典型的パターンの一種であるツーファイブワンになってますね。。説明で用いた円環図も、5度関係表という図で使われますが、数学的にも美しいのですね〜勉強になりました😆😆
へー！ジャズで多用されているんですね！
最高！
感謝！
5:58 ピタゴラス音律は，(3/2)^12/64 ≈ 2.0272 ≠ 2 の 誤差によって 唸りが 生じるので ご注意ください。任意の自然数 a、b、n （ただし n > 1）に対して (a/b)^n ≠ 2 が 成り立つから，ピタゴラス音律で オクターブを 構成することが できません。
そうです。
和音にした時、出来るだけ不協音を感じさせ無い様に、12音階にずれを分散させたのが平均律なんですね。音が綺麗だと言われて居るウィーンフィルでは如何云う調律がされているか、興味深々です！。何方か教えて下さい。？？？🙏 ･･･････････････････ 尤も彼等は鍛練、研鑽して居るから合奏した時、無意識にもピッタリ、ピッチが合う様に演奏してるんですね。物凄い音感の人達なんですね！。バイオリン等はあまりビブラートで音程を誤魔化さない様にも弾けると聞きました。
@@静岡のQちゃん 「調律」は鍵盤楽器やフレット楽器、ハープなどについてなされるもので、オケに調律はないでしょう。
@@isamich1535 さんへ。音階が固定されて居る楽器だけで無く、無段階音階の楽器でも演奏者の音階感覚(絶体音感、ドレミの絶体音感)が要求されます。だからウイーンフィルのメンバーは、超人的な音感を持って居る人達ばかりなんですね。
@@静岡のQちゃん ウィーンフィルのメンバーがみんな絶対音感を持っているはずはない・・と思ってます。調査結果でもあればともかく。
音楽と数学、すごい神話性ですね。感性と理論は別のところにあるようで、よく美しい数式とか表現があるように右から行くか左から行くかの違いだけで到達点は同じなのかもしれませんね
スタートが感性か理論かで異なったとしても行き着く先は同じというのは、素敵で奥深いですね。
何度見ても興味深い解説ですね。
いやぁ、素晴らしかったです。音楽と数学、一見無関係に見える分野がつながりました。
美しすぎて感動しました。
嬉しすぎて感激しました。
53平均律の5:12、12:5の和音を聞いてみたい。
何気なく使っている音に数学的なフォーカスを充てるとこんなにも奥深いことが分かりました。
補足です。数学的な解釈で考えると、平均的な味覚が分かると思います。何故なら、1:1:1などよくある分量が美味しいということから着想を得て、数学的に美味い分量が無限に出来るのではないか？と思ったからです。
これは興味深い
それは有難い
面白いし分かりやすい！グランドピアノの形にそんな秘密があったとは！おすすめにだしてくれたUA-camくんに感謝
そんなコメントしてくれるあなたに感謝！
53平均律に触れてくれて助かる
いえいえ、滅相もない
坂本龍一の動画で言ってたことで、数字で紹介してた時ありましたが、これだったのかと何年越しか分からないですが気づきました3度とか5度とかも非常にイメージしやすくなりましたし作曲とか面白そうだなと思いました
そうなんですね！音楽を生業にしている方々からすると基本的な話なのかもしれませんね。
邦楽を初めとする世界各地の民族音楽に見られる5音階は純正律だと思います(三味線のチューニングは開放弦が綺麗にハモる様に合わせるし、ハーモニー音楽である雅楽の笛は曲のkeyに合わせて5種類有る)が、なんで「5」に落ち着いたのかずっと疑問です。昔、図書館で読んだ本によると、西洋音階でもバッハくらいより前の時代は「シ」(移動ド法で)が無かったそうです。ヴァイオリンや歌唱のメロディでは、緊張感や高揚感を演出する為、導音とも呼ばれる「シ」(移動ド法で)を高めに取ったりと、フレキシブルな運用します。
三味線の調律はオクターブの真ん中が５度は理に叶った調律方法の一つですね。フレットがないのが肝ですね。５度（ドミナント）は一度の倍音。
ピアノと三味線を弾く私から。三味線は三本の糸（三味線音楽の世界では｢弦｣とはいいません。）の調弦が正確だと、隣の糸が共鳴します。逆に言えば共鳴していれば正しく調弦できている証拠です。この共鳴は専門用語で｢さわり｣といい、西洋音楽でいう｢ハモり｣とは全く別の概念です。
@@Taka-Musics-Labo 物理理論で言えば、周波数比が2/3倍(西洋音楽用語に言うと純正5度)で共振しているという事ですね。
ピアノ調律師さんなんて、正に音楽と数理学の世界を又にかける様なお仕事だと、いつも感じています。
たしかに！良い表現ですね！
ピタゴラスイッチのBGMにピタゴラスの音の発見の順に並んでるメロディーありますよね。ド⤵ソ⤴レ⤴ラ⤵ミ⤴シ・シ…。
気になって調べましたが、これですね！知らなかった！ua-cam.com/video/Kqnt00hM4gY/v-deo.html
つまりは五度圏ですね。クリスタルキング「大都会」のイントロもその並びです ua-cam.com/video/3o5J-7vnsGY/v-deo.htmlsi=ljWnV3rhntiBUhfk
緑黄色社会のキャラクターという曲のイントロで流れるバイオリンのグリッサンド奏法をPCMシンセの鍵盤で再現するときに、1オクターブの幅をまさにこの動画の53音階のような細かさで切り分けました。これだとピアノの鍵盤でも滑らかに音が移行するので、弦楽器の奏法を多少再現できます。音作りしている当時は何も考えてませんでしたが、やってることはピタゴラスと同じだったんですね。勉強になりました。
何も考えず53音階を出しているというセンスに驚いています！
協和音か否かは詰まるところ周波数の同調程度で決まりますが、周波数の概念のない時代、これを解き明かしたピタゴラスって凄い！弦の長さで図っていたんですね。
偉大ですね、ピタゴラス！
この動画ほんと好き、二回目見にきてしまった、誰かに教えたい
嬉しい！ぜひ誰かにお伝えください。知り合いの音楽の先生は教科横断の研修のネタとして使ってくれたそうです。
面白かった。というか、勉強になった。
数学的なアプローチは分かりやすいですね。ピタゴラス音律と純正律はまた別なんですかね。ここらへん難しいです。
純正律はまた別ですね！今回は12音であるのことにのみフォーカスしています！
私の今までの勝手気儘な認識。１オクターブは、[時]とか[年月]と同じ12進法でざっくり区切る。心地よい音階(ドレミファソラシド)は[週]と同じ7進法で区切られる。
なるほど！面白いですね！
所謂、西洋（古典）音楽だと、平均律を基にこうした考え方が成り立つわけですが、インドのラーガ等ワールドミュージックには【聴覚的には割り切れない】我々には馴染が薄い音律で成り立っているものもあったりして実に興味深い世界ですね♫
インドにはそんな音楽があるんですね！
調和律がどのように生まれたか、具体的によく分かってなかったので、とても勉強になりました。
｢調和律｣という名前の音律はありません。｢平均律｣の事でしょうか？
お久しぶりです。お元気そうで良かったです。
お久しぶり！お元気が一番ですね。
とてもわかり易く解説ありがとうございます！もう一つ、純正律のお話もお聞きしたいです。
とても参考になりました。エクセルでまとめようと思います。
是非是非。私も最初はExcelで計算してみました。
姪っ子のピアノレッスンに役立ちますね。ありがとうございます😊
姪っ子さんの身近に溢れる数学や音楽が楽しくなることを願ってます🙌
ドレミファソラシドを正確な計算で並べると、24，27，30，32，36，40，45，48、これが純正律になります。ドミソ、ファラド、ソシレがいずれも4：5：6になることに注目
3+4+5=12、3²+4²=5²、9+16=25(ピタゴラスの定理)、弦で考えるとハーモニクスがある、これは1/2、1/3、1/4の箇所で出る。1、2、3、4、5、〜12。関係性がありそうだから？ノーフレットギターは、10音階とか好きに作り出す言葉が出来るが、人気はない。七弦ギターの方が人気、6弦と12弦のダブルネックは重いし高いし、面倒。12がなんやかんやで、いいんだろ。
なるほど！
大変面白かったです。とはいえまだよく理解していませんが。疑問としては、１）「いい分割」を人間の耳で判断するのがあまり数学的でないような気がします。なぜ人間の耳で心地よく聞こえるのでしょうか？２）絶対音感があるという人は何を（どちらの音階を）認識しているのでしょうか？
前提として私は音楽家でも認知科学者でもないので、私が感覚で思っていることをしょうもない例え話で伝えさせていただきます。2人のトイレの小と大の頻度がそれぞれ以下だったとします。Aさん→小2時間に1回、大5時間に1回Bさん→小2時間に1回、大4時間に1回この頻度でトイレに行く必要があるとき、トイレに行く回数が少なく心地よい12時間の生活ができるのはどちらでしょうか。ただし、2人はどちらも今大と小を終えたとします。Aさん7回、Bさん6回なのでBさんです。Bさんの生活の方が大の回数は多いものの、トータルの回数は少なく心地よいわけです。（お腹痛い回数多いからBの方が心地よくないよー、とは言わないで）要は、簡単な整数比の方がそれぞれの波長がマッチして心地よくなるということを言いたかっただけです。2に関しては、絶対音感でもないので解釈を伝えることすらやめときます笑
藤田基樹けど、和音の構成を学ぶにはこの先生の授業はめちゃくちゃ役立ちますよ。実際私も増、減がなかなか理解できなかったがこの先生の図面を見て一発で理解できました。ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーこういうコメが受信欄に来ましたが、ここに反映されてないようです。あるいは書いた後に消したか。「一発で理解出来た」のが本当なら凄いですね。そこで私は、一発で理解できない部分までを、補足させていただいたということです。
この動画は少し大袈裟な言い方かも知れませんが、まさに目から鱗が取れた感じで、動画を見ていて何度も驚きの声を出さずにおれませんでした。なぜ12音階なのかということについては今まで漠然と疑問に思っていましたが、まるで喉のつかえが取れたようです。ピアノ教師の娘にも教えてあげようと思います。
うれしいコメントありがとうございます！娘さんピアノ教師なんですね。音楽と数学の関係も面白いですよね〜。
娘さんは、御存知だと思いますよ。逆にもっと詳しく教えて呉れると思いますよ！。なんちゃって！。
どこかでよんだ。古代において図形を理論的に考えたのが幾何学で、感覚的にとらえたのが美術。計算を理論的に考えたのが代数学で、感覚的にとらえたのが音楽というコラムを思い出しました。
面白いですね！
調べると田中式純正調オルガンという53音階で演奏できるオルガンがあるみたいです。
へんた、、、天才が世の中にはいるものですね
美術は 視覚 で、音楽は 聴覚 かと思いますね。それが融合したのが、歌劇などの舞台芸術かな？
6:08 ギターのオクターブ調整で12フレットがちょっと高くなりやすいのはこれが理由？？2よりちょっと高いから
平均律っていうのは、ギターみたいなフレット付の弦楽器など（リュートなど）で、かなり古くから実用されていたみたいなんですが、いわゆる純正律はいろいろ考えられたようで、ピタゴラス音階がそのまま音楽に使われることはあまりなかったはずです。よく使われたのは、メジャーコードの周波数比が 4:5:6、マイナーコードの周波数比が 10:12:15 ってもので、基音を元にこの法則で並べると、白鍵の 7 音は揃います。他には、ドミナント 7th コードの周波数比を 4:5:6:7 にするような流儀もあったようですね。
白鍵にはそのような規則があったんですね！情報ありがとうございます！
音階の出来かた、ものすごく興味深かったです！グランド・ピアノの形にも数学の曲線が出てるというのも驚いたのと同時にお話聞くと納得できました。この世の中はやはりすべて数学が関係しているのだと思うと、もっと数学を学びたくなりました。
嬉しいコメントありがとうございます！
数学者が12音階を定めたってほんの数年前にどこかで聞いただけでここまで深くは説明がなかったなそれがどのような形で世界に広まっていったのかも謎ですし雅楽の音階もなんか独特な感じもするし12音階で表現できない古来からの歌とかもありそう新たな音階を作るとしたら、どんな感じになるんでしょうかね
ピタゴラスでも平均律でも結局わりきれないんだな型にはまらない音にロマンを感じますね
いいすね！ロマン！
黄金比率の７：３も音楽に内在されていたんですね。又、なぜ４度、5度が完全音なのかもこの説明で腹にストッンと落ちました。ピアノの形にしても美しいものには数字で説明できることがあるんですね。ありがとうございます。
数学畑の自分よりも音楽畑の方々がさらに噛み砕いてコメント欄で解説しているのを見て、こちらが「へえ〜」と感心しておりますw
そうそう、私は、増、減がなかなか理解できなかったがこの動画を見て一発で理解できました。
13:20「ヌ」www - 53音だったら、日本では濁音をすこし加えたシン・イロハで対応できそうですね。
メジャーとマイナーで明るい暗いと感じる理由がずっと気になっているのですが理屈はあるんでしょうか？
わかりません！認知科学みたいな話になりそうですね！
夜中にふとなんで音階は連続的なはずなのにピアノは離散的な鍵盤なんだろうと思って調べたらこの動画に出会いました。とても興味深かったです！
音の不思議って面白いですよね！
楽しい話でした。電気理論も同様ですね。理論値はzero なんか定義されますが 理論値 0は 電気回路には発生させる事は出来ない。電気も三角関数 音階も三角関数の塊です。
そういった観点も面白そうですね。
10:20 頃のご説明ですが、なぜ、掛けるエックス（＊Ｘ）と置き、Ｘ＊Ｘ＊・・・＊Ｘ＝２とするのでしょうか？図からみるとＸ+Ｘ+・・・+Ｘ＝1とするのが自然な感じがするのですが。。。
1,◯,9の◯に適した数字を入れる場合、「5」か「3」で意見が分かれると思います。そもそもの問題の前提条件が・足し算（等差数列）なら「5」・掛け算（等比数列）なら「3」となります。今回は2倍（掛け算）を均等に分割したかったので、後者で考えています。もし、今回のお話がもし足し算であれば仰っている通りの式になります。
@@ok3ch ありがとうございます。
面白いですね。理論が好きなので、興味深く拝見しました。
すげえつまんなそうに話してるのに内容はくっそおもしろい。グランドピアノに指数関数が現れているところで目から鱗だった
すげえつまんなそうwww
クソ笑ったww
最初のアンパンマンの時にこのコメント読んだから尚更w
9:04 メジャーマイナーのトライアドとピタゴラスの定理の関係について。もし3^2+4^2=5^2と関係があればロマンがありますが、おそらくそれは違うのではないかと思います。
メジャー感マイナー感を決定付けるのは基音と長三度短三度との関係であって五度の音はあまり関係ないんですよね。
ならばなぜ短三度が物悲しく聞こえるのかというとこれまた興味深い話ではあります。
ですよね〜。ロマンはあると思いながらも、私も違うのかなと思っています。
とはいえ、30音階平均律を考えて5:12:13の和音が美しかったら興奮するなー、なんて妄想をしています。
平均律は全ての音程が濁る妥協した音律なのだ。
エクセルだと =2^(1/12) １２分の１乗で１２乗根が求められます。=440 x 2^(n/12) で周波数が出ます。
sin波のグラフを描いて周期の一致と合成波形の「うなり」を見ると分かりやすいです。
ですね！
ギターが趣味なのですが、音階がこんなに数学的とは全く知らなかったです。大変勉強になりました。ありがとうございました。
私も少しギターをかじっていますが、まったく計算通りには弾けません笑
白鍵・黒鍵が別れた理由（白鍵だけ抜き出すと各々が単純な整数比に近い周波数なんでしたっけ？）みたいな、音楽の情緒的でありながら論理的に説明できる部分が好きなのでめちゃくちゃ刺さりました。
解説も口頭、テロップ、プログラミング、音の実演でされていてありがたかったです。
ありがとうございます！
白いのと、黒いのには意味があるんですか？？？
目が見えない人でも触っただけで音階の位置が分かるようにと聞いたんだが…
@@Arsche
１２平均律という、今の音階を解りやすくするためです。
さらに、全部白鍵盤だと、どこからどこが１オクターブか
解らないからです。そもそもなぜ今のような１２平均律に
なったかですが、バロック時代に今の鍵盤である音階つまり
１２平均律が構成されましたが、なぜこういう白鍵盤８と黒鍵盤５個の
こういう並び方になったかです。
まず、ドの音に対して１番共鳴するのはソであるという概念から
構成されたわけです。ドからソは完全五度で、４度半のインターバルです。
なぜ完全五度が４度半なのかを説明するとややこしくなるのでここでは
はぶきますが。
同じようにソから完全５度（４度半）上はレ。それを繰り返していくと
１２すべての半音を通過してドに戻ります。これが今の１２平均律というCのキーです。
@@花かんざし-j6c バッハの時代って、ピアノなんかなかったんだよね、たしか、ハープシコードだっけ、オルガンでもいいけど。
芸大まで行って音楽学んでた自分としては人に音律を教えるのにどういった説明をすれば良いか悩んでいましたが、分かりやすく楽しく説明されていて、この動画見せれば良いと解決しましたｗｗ
なお、実際に音階を考えたのはピタゴラスではなく教会での聖歌で発祥(当時はシが無かった！)ですが、5度を12回重ねた0.02...のズレは「ピタゴラスのコンマ」という名前がついています。
ちなみに数ある音律の中で、ピタゴラス音律が一番メロディが綺麗に聞こえると言われています！
ありがとうございます！
メロディが綺麗？ハーモニーではなくて？
@@kenloose7026 返信ありがとうございます。
クラシックは1度・3度・5度の積み重ねである3和音を基本にしていて、この３和音が綺麗に響くのは「純正律」と呼ばれる音律ですね。
もちろん５度に関してはどちらも同じく「正確に2:3」なので綺麗に響きます。
しかしピタゴラス音律の3度はやや高いのでハーモニーとしてはあまりきれいにはなりません。
ピタゴラスは特に単旋律の聖歌がきれいに聞こえるといわれています。
@@ilzamact 教会の聖堂のような残響の持続時間が長い場所での聖歌がユニゾンでもハーモニックに聞こえるような場面をとらえてメロディが綺麗ということでしょうかね？
@@roomthe40 残業による擬似的なハーモニーというよりかは、単旋律におけるメロディの「跳躍度合い」が美しいという感じです。
例えばCキーにおけるド・レ・ミというメロディがあったとして、ド→レの音程の距離が純正律や平均律とは違う独特さを、持つため聴感上快い、という理屈のようです。
ちなみに今更ですがこの「ピタゴラスはメロディが〜」は一種の俗説のようなものではあります。
とても分かりやすくて面白かったです！初めは数学好きの方が書かれたブログ記事を読んで「ワケワカラン！」となったのがきっかけだったのですが、この動画で理解することができました！話し方もゆっくりで、演奏や計算機も有りなので直感的でとても聴きやすかったです！
共感します。理解すると簡単ですが、理解するまでって時間かかりますよね！
理解していただけてうれしいです！
=@@ok3ch
動画の通り基準の音から3倍して2で割る、または3で割って2倍する、を繰り返し12音としたのが「ピタゴラス音律」。
これだと基準からの完全五度（半音7個分の差）はきれいに聞こえるが、基準以外のところの7個差の音でうなりが大きく聞こえるものが出てくる。
つまりキーを変える（転調する）と和音がきれいに聞こえない
ピタゴラス音階に近い数値の簡単な分数倍（p/q でp.qができるだけ小さいもの）に調整したものが「純正音律」で、
基本の音の5/3とか16/15とかが出てくる。
でもこれにも問題があって、半音ごとの変わり具合がバラバラ（あるところの半音差は1.066倍だが他では1.042倍）
そこで半音ごとの変わり具合を完全に均一にするために2倍を均等に12個に分け、12乗根2倍ずつにしたものが「平均律」。
これで各音の差が一定にできるため転調にも対応できる。
難点は完全五度でさえも整数倍の周波数ではないので完全にきれいな音というわけではないことだが、
そこまで聞き比べられる人のほうが少ないので、利便性を含めて調律は平均律が一般的。
補足ありがとうございます！
あじもも..さんへ。
あんたが正解！。
有り難とう。🙆😄
ピアノ弾きです。
数学は苦手なのですが、こんな数学とも密接な関係があるとは！
とても面白かったです。
ありがとうございます！
普通、気づくよな
@@poissonblanc3106
私がコメ書いたので見ればわかりますが、数学によって今の音階が
導かれたというこの動画は間違いです。
それを「普通、気づくよな」というあなたは何もわかってないという
ことですねｗ
@@花かんざし-j6c どこ？
@@MT-ug5kg
かなり前なので下に下がったみたいだね。１ヶ月まえまで下がればあるよ。
今の１２平均律が完全五度で構成されてるという話だ。
素晴らしいチャンネルですね
ありがとうございます！
計算したら12になった。分かりやすいし、多分定説なのでしょう。でも、自分的には12になるよう計算したような気もするのです。12という数字は、時間で使われるし、ダースという単位、英語では13からteenとなり不吉な数字とされたりします。この辺との関係性が何かしらあるのじゃないかなぁと。
この問題は結局、「1.5の（底を2とする）対数をどうやって近似するか」という問いに帰着しますね。53平均律の先には306や665平均律があります。でも、完全五度以外も平等に見てあげる270平均律の方が和音はきれいだったりして、古典音律と平均律の世界は奥深いです。
そんな話もあるんですね。ありがとうございます。
Circle of 5thを別の視点から捉えることができて興味深かったです。12:10でさらっと流されていますが、私が習った平均律は任意の音に2の12分のx乗(xは0から12までの整数)を掛けて1オクターブというものでした。
ありがとうございます！
年（12か月）や干支も時間も12で、音階も12だとは…不思議な数字ですね。
約数が多いため便宜上採用された場面もあるでしょうが、ある過程で出てくる場面があるのがまた不思議ですよね。
あくまでドレミファソラシの７音（白鍵）が基本です。これは音の振動数の比率から生まれた、心地よい響きの理由（比率が単純）があるものです。
オクターブが１２分割されている理由は単純であり、この７音のどの音から出発してもドレミファソラシが作れる（転調ができる）よう、音程調整に必要な５音（黒鍵）で埋めたからです。それ以上の意味はなく、音階の理論にも関係ありません。
５３平均律というのは、純正律の美しい和音の響き（むりやり１２分割した平均律だと濁る）を（ほぼ）保ったまま転調を可能にするためには、オクターブ上に５３の音を配置する必要がある、という計算結果であり、それに基づいた楽器を作れば、調律師がいなくても、ボタン一つで調の切り換え（転調）ができる（鍵盤が多すぎて演奏家では対応不可能）という話であり、楽器と調律に関することであり、音階の理論には関係ないことです。
コメントを読むと「人間には５３音階は複雑すぎて聞き分けるのも大変」「１２音階があったからこそ、西洋音楽が複雑で素晴らしい～」という感想がありました。おそらく「１２音」と「１２音階」を混同していると思います。
「音階」というのは音を並べたものですが、西洋古典音楽の楽曲を作るのには「７音階（ドレミファソラシ）」を使います。「７音階」には「７音（７個の音）」が含まれますが、その「７音」はオクターブ「１２音（１２個の音）」の中から選びます。
これだけのことなので、１２個の音を並べた「１２音階」というものはありませんでした。ところが近代になり「７音階」に飽きたシェーンベルクが思いつきで作った音の並びが「１２音階」です。
そして、５３個の音を並べる「５３音階」などというものはありません。オクターブを５３に分ける「５３平均律」というものはあります。
説明すると、音階はあくまで「７音階」であり、普通は１２個の音から７音を選んでいたのを、５３個の音から７音を選ぶという話です。その理由は、たった１２音ではきれいな響きの７音を選ぶことができないが、５３音もあれば、きれいな７音を選べるという話です。音階はあくまで「７音階」であり「５３音階」など扱いようがありません。
めちゃくちゃ面白かった
ありがとうございます！
音階はオクターブ12音じゃなくて7音です。それぞれの音の高さは1 < n/2^m
オクターブは12音ですよ😮もしかしてピアノのチューナーさんすか😊
@@藤田基樹 オクターブを12音としているのは現代音楽（武満徹など）固有の音楽です。現代音楽以外では基本的に調性が存在し、その単位がオクターブで、7音から成り立っており、転調すると別のオクターブに代わり、そのオクターブもやはり7音からできてます。日本の民謡にはファとシがありません。西洋音楽もルネッサンスまではシがありませんでした。ピアノにはオクターブ12音あるように見えるというのと西洋音楽のオクターブが12音からできているというのは別です。
ピタゴラス音律の計算（数学の視点）の解説で詳細に正確に述べられていますね。完璧な説明でよく理解できました。
蛇足になりますが、音楽の視点から述べると、音階を構成する最初の３音は「ド→ソ→レ」ではなく「ド、ソ、ファ」になります。ドミナント（属音）、サブドミナント（下属音）という音楽用語があり、重要な音を示しています。重要である根拠は、「ド→ソ」の次に、この比率を下に向けると「ファ→ド」となり、この「ド、ソ、ファ」が和音の基本（「ド、ミ、ソ」ではありません）です。ここから、残りの音の位置が決まり７音（ドレミファソラシ）が決定されます。「なぜ鍵盤の音は１２音なのか」というのは、この７音に転調をスムースにするための音程調整に必要な５音で埋めてできあがったものです。
平均律というのは、”平均になる”のではなく、この”響きから生まれた１２音”の鍵盤楽器での「調律方法」（純正な響きを犠牲にして”平均にする”ことで転調しやすくした）です。
ここでのテーマとは別なことで、申し訳ありませんでした。
ありがとうございます！
いえ、この動画のテーマでなくあなたの提示したテーマの話が正当です。
私が新しいコメを立てたのでご覧ください。
ピタゴラスイッチの番組中のBGMは「ドソレラミシシ×3ファ#ド#ソ#レ#シ♭ファシ♭ファ」で、完全五度ずつなのを思い出しまたね、あれ初めて聞いた時「あーピタゴラスだな」と思いましたね。それからピタゴラス音律の計算は以前夏休みの宿題にプリントで出しましたね。
以前から登録してました。
平均律では音階が周波数で等分に区切られれていることは知っていましたが、
今回も数学的な観点からすごく興味深い内容でした。
ありがとうございます。なぜ「12」という数字になるのか、計算で導くと納得できますよね。
後付けの話です。例えていうなら、料理を食べて、これに使われてる
食材は何かと言ってるのと同じなのがこの動画です。
誰がそのレシピを考案したのかが問題なわけで、それは私が新たに書いたので
ご参考になさってください。
オススメに出てきたので拝見しました。
最初に見つけたド、ソ、レは、ポピュラー音楽ではそれぞれローマ数字でⅠ、Ⅴ、Ⅱと表されます。
ジャズやポピュラー音楽では、Ⅱ→Ⅴ→Ⅰという音の動きがⅠつのフレーズや曲が終わる際に最もよく使われます。
これは「終止形」「ツーファイブワン」と呼ばれ、その曲全体で一番安定した音がⅠなので、他の不安定な音を聞くとⅠに戻りたくなるという要素を持ちます。
子供の発表会などでお辞儀をするときに鳴らす３つの和音がまさにそれです。
それがなぜ人間は良いと感じるのかは脳科学や心理学の分野ですが、深堀りすると面白いですね！
そんな心理が隠れているんですね！面白い。
｢音階｣の数学的考察は解ったけど、
・なぜ、ドが基準の音になったのか？
・なぜ、倍音を同じ音階と人間は感じてしまうのか？
の、脳科学的な神経系の音に纏わる原理(例えば、神経系の物質伝搬等)に興味が沸きました！
元は、単に食料を得たり危険から身を守る有為な能力として獲得した機能ってイメージだけど、現状、音楽等の楽しむ( 当初の目的から違った快楽を得る)行為に変貌した変遷等、脳の仕組みについてのリサーチ結果も知りたいです！
そこまで聞けばやっと１２音階やオクターブの話が正確に掴めるって、気がします！
無茶振りだったらゴメンナサイ！ｗ
数学のチャンネルなので認知科学までいくつもりはないですww（いけるとも思ってないですが！）
Aの音は「ラ」だし、別に「ド」が基準でもない。
まあ、昔は短調の方が普通に多かったので、「ラ」の音にAを当てはめてたけど、そのうち長調が主流になったから、今じゃ「ド」から始まるように思ってるだけらしいがね。
@@ok3ch 返信有り難うです！ 了解です！ たまたま目について興味の赴くまま観て、チャンネルの主旨に沿わないコメしちゃった様ですね(汗)
@@clatro00 ｢ド｣を基準にしちゃってる(或るいはそうしたがってる？ｗ)のは、単に｢慣習｣の問題って事ですね！ それならそれでスッキリです！ｗ
一旦、それに慣れちゃったモノを急に変えると混乱するだけだし、特にこれじゃ無きゃ困るって明確な基準点も特に無いって事ですね～
おもしろい！！！内容濃い！！ありがとうございます！！
うれしい！！！ありがとうございます！！
バッハの曲等で「平均律」という言葉は知っていましたが、「ピタゴラス音律」は初めて聞いたので面白かったです。
私はかねがね「鍵盤は対数スケール」と思っていたので、この動画をきっかけにEXCELを使って違うアプローチで計算してみました。
半音を対数にするとlog2/12となり、半音ごとの周波数比は10^(log2/12)=1.05946倍となります。動画のようにドの262Hzを元に計算するとラはちゃんと440Hzになりました。当たり前ですけど・・・。
指数ではなく対数で計算してる感じ、私は好きです！
もし興味がおありなら、EXCELに下の式をそのままコピペしてみてください。
「9」はラが9番目の半音ということで、これを0から12まで変えれば12音階の周波数となります。
=261.626*10^(LOG(2)*9/12)
平均律の説明で一番わかりやすかったです！
ありがとうございます！
数学的なことは自分にはよく理解できておらず、この話に関連するかどうかわからないのですが、
トルコの民族楽器「サズ」という楽器(撥弦楽器)は、半音の中にさらにいくつか音があるそうです。
おんがく交差点という番組で、「サズ」奏者の大平清さんという方が説明していました。
フレットは微調整できるとの事です。（リュートのようなつくりか？）
ところで、ヤマハのTX81ZというFM音源ユニット(かなり古い製品)にはピタゴラス音階の設定があった記憶があります。
ただ使った事はありませんので、どんな音になるのかは、わからないのですが。
そのような楽器もあるんですね！
とても興味深かったです！これからもたくさん知識を提供してください！
ありがとうございます！動画あげなきゃ！w
すごいですね！たいへん勉強になりました！
前々から何故楽器の音が12種類なのか気になり、音楽の先生や色んな人に質問してきましたが、だれも答えれませんでした。
それをPythonも交えて詳しく論理的に、更には実験も行い、素晴らしいです！！
物理また数学が絡んでいたんですね！
ありがとうございます！良かったです！
音楽×数学
とんでもないものを観させていただきました。感謝。
ありがとうございます。〇〇×数学、好きなんです。
これを中学ぐらいの音楽の授業で教えるべきですよね。
平均律と純正律も。
教科という枠にとらわれず授業ができるとより面白そうですね〜
そのためには、指数や対数を教える事にもなりそうだよね
鶴亀算とか、教える側のプライドのためにしかならない無駄をなくして、小3くらいで代数を教えてれば、容易だと思うけど、教育界も腐ってるから、難しいかも
科目間の縄張り意識や簡単な事を難しく教えようとする体質をなくせば、マックスウェルの方程式程度は、中学生でも十分解けるし、浦島効果の計算もでいるようになる
教えられる子供の身にもなってやってくれ・・・ｗ
日本のたかが音楽教師が音楽を教えるのはかなり無茶。日本は西洋音楽に弱い人が多い。実際あーだこーだを説明できる人はそんなにいない。
ピタゴラスの純粋数学から導入してこの疑問に答えるというのは目から鱗です。私も同じ疑問に答える動画を上げましたが、最新の科学からアプローチしました。
めちゃくちゃ面白い！やっぱ数学好きだわ
「やっぱ」てとこが素敵！
1秒間に440回の振動音（現在は442が主流）とはAの音、つまり「ラ」の音と理解していましたが違いましたか？
関係性は合っていて理論的には問題はないと思いますが、ドレミの基本音はラです。
音の不思議に触れる事ができて良かったです。そして、グランドピアノの変な形には理由があったのも判りました。
疑問としては12音階があるとして呼び方は8を示すオクターブになっています。8度音程にも”8番目”以上の説明があれば。
面白すぎる、数学と音楽がこんな深く関係しているなんて...
うつくしい
ありがとうございます。長年の疑問が解決しました。
１オクターブの意味は分かっていたけどなぜその中が１２分割になったのかという部分。
というか本当はド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ、シが等間隔で『○＃』はそれらの中間の音だと思っていて「なぜ『ミ＃』と『シ＃』は無いんだ？」と思ってました。
音楽も数学も苦手な分野ですが、大変おもしろかったです！！
ありがたい！
素晴らしい👍
重音についても解説して欲しい。
ありがとうございます！
やっとわかりました。ありがとうございます。
コメントありがとうございます！
倍音の概念がわかりやすくて助かります
ありがとうございます！
反論するようで申し訳ありません。
私は大学では音楽音響学を学び、その後現場でミュージシャンとして活動していた人間です。
現在の12平均律はピタゴラス音律の妥協案みたいなもので、世にもハモらない音痴な音律です。
4:5:6という周波数比があらゆるハーモニーの原点であります。（ちなみに短和音は10:12:15)
2:3を何回も展開して作るピタゴラス音律ではこの周波数比は出てきません、なのでピタゴラスではこの美しさは出せません。
歴史的にも12という妥協案でなく色々なオクターブ分割案が提唱されています。ご指摘の通り53とかいうのもあります。
旋律の組み立て方や機能和声を考えたとき、人は耳で聴こえた平均律の無理数の周波数比を、脳内でそれに近い整数比に脳内で変換しているのでしょう。
合奏の現場では色々な修正が可能ですし（よく勉強している合唱団・吹奏楽団ではこれを意識して美しいハーモニーを奏でるよう努力している）、また、チェンバロの調律では（転調が限られた曲では平均律よりもよくハモるような）色々な調律が歴史的に提案されています.
平均律調律のピアノでの和音を「美しい」と思うのは分かりますが、きれいに調律したチェンバロの本物の4:5:6を聴いてみてください。美しさスーパー段違いです。
オクターブに12というのがいかに妥協案かわかると思います。
蛇足ですが,...
昔、研究室で、「乱数発生で12音音楽を奏でる」という実験をしていた時、試しにオクターブを平均に13音に分ける音源をつくって同様に実験してみたのですが、12とほとんど違和感に差がありませんでした。
無理数恐るべし！
いえいえ！反論というより、むしろ補足と私は感じます。
私のモチベーションはなぜ「12」という数が現れたのかであって、ハーモニーの美しさ等については全くもって無知です。
音楽専門の方々からの音楽愛に溢れるコメントが多く感激しています！
５度圏の図はjazz教則本にでますね。ちと違う角度から５度圏が出てきたのにはびっくりしました。素晴らしい。ps 弦の長さが分かれば１２平方根でフレット間隔も計算式で求められるって事を、私は最近知りました。
3/2をいくら乗しても5は作れませんが８１／６４≒８０／６４＝５／４、12平均律なら２＾（４／１２）＝1.2599･･≒５／４
三度が美しく響かない「音痴」な音律ですが、どちらもそれで「妥協」しているのは同じことなのでしょう。
数学的に２の１２乗根がマジックナンバーであり 2^(5/12)=1.3348･･≒4/3 、2^(7/12)=1.4983･･≒3/2 等
割と良い整数比の近似値を作れてしまう。それが(実用的・妥協的)音階の数が１２になっている理由だと思います。
蛇足ですが、宇宙人も音を知覚するには共鳴を利用した器官を使うのが自然であり、それなら整数比の音を好ましく感じそう。
そして数学は全宇宙で共通です。もしそうなら宇宙の彼方でも音階は１２が良いとか５３だとか議論しているかも知れません。
学生時代、音楽の授業が大嫌いでしたが...
こういう事を最初に教えてくれたら、楽しく勉強できたかも。
「おまけ」めちゃくちゃ面白かったですw
ありがとうございます！
鍵盤が53個あるのはしんどいですよねw
レとソを一緒に鳴らすと綺麗に聞こえる理由が少しわかりました。ありがとうございます
ご視聴ありがとうございます。
文明によって音階の数は違いますよね～
ピタゴラス的なアプローチもありますが、平均律の乗根数をさらに増やすことで微分音を出す音楽家もいらっしゃいますね
数学とは若干異なる意味での「微分」という概念が音楽にもあるようですね
@@ok3ch
一般的に12音階にとらわれず区間内の音を満遍なく鳴らすことをトーンクラスターと呼びますが
逆に私はこれを個人的に『積分音』と呼んでいます笑
林光の原爆小景という作品にも利用されてます
積分音ですか！トーンクラスターというのがあるんですね。初耳です。
音楽＝弦の振動＝物理学
だから音楽と数学って密接な関係があるはずなんだけど、あまりそこに触れる人いなかったので助かります！
ありがとうございます！
中国では前漢の時代に６０律が考案されていますね。それにしても２オクターブ、３オクターブという音程は我々の耳で二つ上、三つ上と思っているけれども、実際には周波数が２倍、３倍になるわけではなく、対数なんですよね。子供のころ初めて対数の説明を聞いてややこしいなと思いましたが、実は耳で感じているというのはなんとも面白ことです。
対数的な感覚が人間のあらゆる部分に潜んでるのは面白いですよね。
面白かったです。音楽でなく音学って感じですね。学生の時にシンセサイザー持ってて12音階以外の設定作って演奏してみるとホントに12音階以外は全部気持ち悪かったんです。じゃあそもそも誰がどうやって12音階を発見というか設定できたのか不思議でした。単に心地いいからって事以外に理屈が知りたかったんですね。ではピタゴラス以前にはメロディはあったのかとか未開のジャングルの部族の歌とか演奏みたいなのってどうなのかなと更に興味が深まりました。
ですね！「律」というだけあってただの「ルール」の1つなんですよね。
別のルールを適用すればまた別の音階が作られて、自分の知らない世界では全く別物の音楽が存在しているのだろうか、という気持ちになりました。
美しい鳴き声をする鳥たちにとっての音階ってどうなんでしょう・・
すごくわかりやすく面白かったです。ありがとうございます。
ありがとうございます！
新しい切り口で面白かったです。５２音階はなんだかいかにもコンピューターで作ったような無機質な感じでしたが、ピタゴラスの方はずれが大きいにもかかわらず、美しく感じました。本来、そうあるべきなのか？自然の世界はそうなのか？小さい世界では完全に割り切れないところが世界の膨張やこの世界の美しさに繋がっているのか？などちょっと哲学的な事を考えてしまいました。
天才。数学と音楽はどちらも美しいです。
完全に同意！
数学と音階と繋がりがあるとは驚きました。面白い事実と実験でした。
「実験」という表現いいですね！ありがとうございます！
とても楽しい動画でした。コメントも全て読みました。たのし。ありがとうございました。
楽しい動画っていう表現嬉しいです！コメントまでありがとうございます。
ピタゴラスコンマが出るから不協和音が出るというか、近代になり、全ての音階が協和音になるようにピタゴラス音律を操作しているうちに音階が複雑になってしまい、結果12乗根2で分割してしまえと乱暴に音律を作ったらすべての音階が微妙に不協和音になったのだが、以外と便利だったのか平均律が世界に普及し、一部の音楽家には、全部不協和音ってどうよという意見があるが、私見では、歪もまた味わいがあることもあり、また、微妙なうなりは、まぁ、わかる人も少ないし、なような事かと思います。書いてる私もよくわかってません。
音楽趣味でコード進行に興味を持っていますが、12音階の決まり方や歴史的経緯の話
とても面白かったです。
ドからソが派生し、ソからレ、レからラ
この音の関係を逆に並べると
4度(上行)進行【5度(下降)進行】
ラ(A7) レ(Dm7) ソ(G7) ド(C)
というジャズなんかで多用される
美麗進行の典型的パターンの一種であるツーファイブワンになってますね。。
説明で用いた円環図も、5度関係表という図で使われますが、
数学的にも美しいのですね〜
勉強になりました😆😆
へー！ジャズで多用されているんですね！
最高！
感謝！
5:58 ピタゴラス音律は，(3/2)^12/64 ≈ 2.0272 ≠ 2 の 誤差によって 唸りが 生じるので ご注意ください。
任意の自然数 a、b、n （ただし n > 1）に対して (a/b)^n ≠ 2 が 成り立つから，ピタゴラス音律で オクターブを 構成することが できません。
そうです。
和音にした時、出来るだけ不協音を感じさせ無い様に、12音階にずれを分散させたのが平均律なんですね。
音が綺麗だと言われて居るウィーンフィルでは如何云う調律がされているか、興味深々です！。何方か教えて下さい。？？？🙏
･･･････････････････
尤も彼等は鍛練、研鑽して居るから合奏した時、無意識にもピッタリ、ピッチが合う様に演奏してるんですね。物凄い音感の人達なんですね！。バイオリン等はあまりビブラートで音程を誤魔化さない様にも弾けると聞きました。
@@静岡のQちゃん 「調律」は鍵盤楽器やフレット楽器、ハープなどについてなされるもので、オケに調律はないでしょう。
@@isamich1535 さんへ。
音階が固定されて居る楽器だけで無く、無段階音階の楽器でも演奏者の音階感覚(絶体音感、ドレミの絶体音感)が要求されます。
だからウイーンフィルのメンバーは、超人的な音感を持って居る人達ばかりなんですね。
@@静岡のQちゃん ウィーンフィルのメンバーがみんな絶対音感を持っているはずはない・・と思ってます。調査結果でもあればともかく。
音楽と数学、すごい神話性ですね。感性と理論は別のところにあるようで、よく美しい数式とか表現があるように
右から行くか左から行くかの違いだけで到達点は同じなのかもしれませんね
スタートが感性か理論かで異なったとしても行き着く先は同じというのは、素敵で奥深いですね。
何度見ても興味深い解説ですね。
ありがとうございます！
いやぁ、素晴らしかったです。音楽と数学、一見無関係に見える分野がつながりました。
ありがとうございます！
美しすぎて感動しました。
嬉しすぎて感激しました。
53平均律の5:12、12:5の和音を聞いてみたい。
何気なく使っている音に数学的なフォーカスを充てるとこんなにも奥深いことが分かりました。
補足です。
数学的な解釈で考えると、
平均的な味覚が分かると思います。
何故なら、
1:1:1などよくある分量が美味しいということから着想を得て、
数学的に美味い分量が無限に出来るのではないか？と思ったからです。
これは興味深い
それは有難い
面白いし分かりやすい！グランドピアノの形にそんな秘密があったとは！
おすすめにだしてくれたUA-camくんに感謝
そんなコメントしてくれるあなたに感謝！
53平均律に触れてくれて助かる
いえいえ、滅相もない
坂本龍一の動画で言ってたことで、数字で紹介してた時ありましたが、これだったのかと
何年越しか分からないですが気づきました
3度とか5度とかも非常にイメージしやすくなりましたし作曲とか面白そうだなと思いました
そうなんですね！音楽を生業にしている方々からすると基本的な話なのかもしれませんね。
邦楽を初めとする世界各地の民族音楽に見られる5音階は純正律だと思います
(三味線のチューニングは開放弦が綺麗にハモる様に合わせるし、ハーモニー音楽である雅楽の笛は曲のkeyに合わせて5種類有る)が、
なんで「5」に落ち着いたのかずっと疑問です。
昔、図書館で読んだ本によると、西洋音階でもバッハくらいより前の時代は「シ」(移動ド法で)が無かったそうです。
ヴァイオリンや歌唱のメロディでは、緊張感や高揚感を演出する為、導音とも呼ばれる「シ」(移動ド法で)を高めに取ったりと、フレキシブルな運用します。
三味線の調律はオクターブの真ん中が５度は理に叶った調律方法の一つですね。フレットがないのが肝ですね。５度（ドミナント）は一度の倍音。
ピアノと三味線を弾く私から。
三味線は三本の糸（三味線音楽の世界では｢弦｣とはいいません。）の
調弦が正確だと、隣の糸が共鳴します。
逆に言えば共鳴していれば正しく調弦できている証拠です。
この共鳴は専門用語で｢さわり｣といい、西洋音楽でいう｢ハモり｣とは全く別の概念です。
@@Taka-Musics-Labo
物理理論で言えば、周波数比が2/3倍(西洋音楽用語に言うと純正5度)で共振しているという事ですね。
ピアノ調律師さんなんて、正に音楽と数理学の世界を又にかける様なお仕事だと、いつも感じています。
たしかに！良い表現ですね！
ピタゴラスイッチのBGMにピタゴラスの音の発見の順に並んでるメロディーありますよね。
ド⤵ソ⤴レ⤴ラ⤵ミ⤴シ・シ…。
気になって調べましたが、これですね！知らなかった！
ua-cam.com/video/Kqnt00hM4gY/v-deo.html
つまりは五度圏ですね。クリスタルキング「大都会」のイントロもその並びです ua-cam.com/video/3o5J-7vnsGY/v-deo.htmlsi=ljWnV3rhntiBUhfk
緑黄色社会のキャラクターという曲のイントロで流れるバイオリンのグリッサンド奏法をPCMシンセの鍵盤で再現するときに、1オクターブの幅をまさにこの動画の53音階のような細かさで切り分けました。これだとピアノの鍵盤でも滑らかに音が移行するので、弦楽器の奏法を多少再現できます。音作りしている当時は何も考えてませんでしたが、やってることはピタゴラスと同じだったんですね。勉強になりました。
何も考えず53音階を出しているというセンスに驚いています！
協和音か否かは詰まるところ周波数の同調程度で決まりますが、周波数の概念のない時代、これを解き明かしたピタゴラスって凄い！弦の長さで図っていたんですね。
偉大ですね、ピタゴラス！
この動画ほんと好き、二回目見にきてしまった、誰かに教えたい
嬉しい！ぜひ誰かにお伝えください。知り合いの音楽の先生は教科横断の研修のネタとして使ってくれたそうです。
面白かった。というか、勉強になった。
ありがとうございます！
数学的なアプローチは分かりやすいですね。ピタゴラス音律と純正律はまた別なんですかね。ここらへん難しいです。
純正律はまた別ですね！今回は12音であるのことにのみフォーカスしています！
私の今までの勝手気儘な認識。１オクターブは、
[時]とか[年月]と同じ12進法でざっくり区切る。心地よい音階(ドレミファソラシド)は[週]と同じ7進法で区切られる。
なるほど！面白いですね！
所謂、西洋（古典）音楽だと、平均律を基にこうした考え方が成り立つわけですが、インドのラーガ等ワールドミュージックには【聴覚的には割り切れない】我々には馴染が薄い音律で成り立っているものもあったりして実に興味深い世界ですね♫
インドにはそんな音楽があるんですね！
調和律がどのように生まれたか、具体的によく分かってなかったので、とても勉強になりました。
ありがとうございます！
｢調和律｣という名前の音律はありません。｢平均律｣の事でしょうか？
お久しぶりです。お元気そうで良かったです。
お久しぶり！お元気が一番ですね。
とてもわかり易く解説ありがとうございます！
もう一つ、純正律のお話もお聞きしたいです。
ありがとうございます！
とても参考になりました。エクセルでまとめようと思います。
是非是非。私も最初はExcelで計算してみました。
姪っ子のピアノレッスンに役立ちますね。ありがとうございます😊
姪っ子さんの身近に溢れる数学や音楽が楽しくなることを願ってます🙌
ドレミファソラシドを正確な計算で並べると、24，27，30，32，36，40，45，48、これが純正律になります。ドミソ、ファラド、ソシレがいずれも4：5：6になることに注目
3+4+5=12、3²+4²=5²、9+16=25(ピタゴラスの定理)、弦で考えるとハーモニクスがある、これは1/2、1/3、1/4の箇所で出る。
1、2、3、4、5、〜12。関係性がありそうだから？ノーフレットギターは、10音階とか好きに作り出す言葉が出来るが、人気はない。七弦ギターの方が人気、6弦と12弦のダブルネックは重いし高いし、面倒。12がなんやかんやで、いいんだろ。
なるほど！
大変面白かったです。とはいえまだよく理解していませんが。
疑問としては、１）「いい分割」を人間の耳で判断するのがあまり数学的でないような気がします。なぜ人間の耳で心地よく聞こえるのでしょうか？
２）絶対音感があるという人は何を（どちらの音階を）認識しているのでしょうか？
前提として私は音楽家でも認知科学者でもないので、私が感覚で思っていることをしょうもない例え話で伝えさせていただきます。
2人のトイレの小と大の頻度がそれぞれ以下だったとします。
Aさん→小2時間に1回、大5時間に1回
Bさん→小2時間に1回、大4時間に1回
この頻度でトイレに行く必要があるとき、トイレに行く回数が少なく心地よい12時間の生活ができるのはどちらでしょうか。ただし、2人はどちらも今大と小を終えたとします。
Aさん7回、Bさん6回なのでBさんです。Bさんの生活の方が大の回数は多いものの、トータルの回数は少なく心地よいわけです。（お腹痛い回数多いからBの方が心地よくないよー、とは言わないで）
要は、簡単な整数比の方がそれぞれの波長がマッチして心地よくなるということを言いたかっただけです。
2に関しては、絶対音感でもないので解釈を伝えることすらやめときます笑
藤田基樹
けど、和音の構成を学ぶにはこの先生の授業はめちゃくちゃ役立ちますよ。実際私も増、減がなかなか理解できなかったがこの先生の図面を見て一発で理解できました。
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こういうコメが受信欄に来ましたが、ここに反映されてないようです。
あるいは書いた後に消したか。「一発で理解出来た」のが本当なら凄いですね。
そこで私は、一発で理解できない部分までを、補足させていただいたということです。
この動画は少し大袈裟な言い方かも知れませんが、まさに目から鱗が取れた感じで、動画を見ていて何度も驚きの声を出さずにおれませんでした。
なぜ12音階なのかということについては今まで漠然と疑問に思っていましたが、まるで喉のつかえが取れたようです。
ピアノ教師の娘にも教えてあげようと思います。
うれしいコメントありがとうございます！
娘さんピアノ教師なんですね。音楽と数学の関係も面白いですよね〜。
娘さんは、御存知だと思いますよ。
逆にもっと詳しく教えて呉れると思いますよ！。
なんちゃって！。
どこかでよんだ。古代において図形を理論的に考えたのが幾何学で、感覚的にとらえたのが美術。計算を理論的に考えたのが代数学で、感覚的にとらえたのが音楽というコラムを思い出しました。
面白いですね！
調べると田中式純正調オルガンという53音階で演奏できるオルガンがあるみたいです。
へんた、、、天才が世の中にはいるものですね
美術は 視覚 で、音楽は 聴覚 かと思いますね。それが融合したのが、歌劇などの舞台芸術かな？
6:08 ギターのオクターブ調整で12フレットがちょっと高くなりやすいのはこれが理由？？
2よりちょっと高いから
平均律っていうのは、ギターみたいなフレット付の弦楽器など（リュートなど）で、かなり古くから実用されていたみたいなんですが、いわゆる純正律はいろいろ考えられたようで、ピタゴラス音階がそのまま音楽に使われることはあまりなかったはずです。
よく使われたのは、メジャーコードの周波数比が 4:5:6、マイナーコードの周波数比が 10:12:15 ってもので、基音を元にこの法則で並べると、白鍵の 7 音は揃います。他には、ドミナント 7th コードの周波数比を 4:5:6:7 にするような流儀もあったようですね。
白鍵にはそのような規則があったんですね！情報ありがとうございます！
音階の出来かた、ものすごく興味深かったです！グランド・ピアノの形にも数学の曲線が出てるというのも驚いたのと同時にお話聞くと納得できました。
この世の中はやはりすべて数学が関係しているのだと思うと、もっと数学を学びたくなりました。
嬉しいコメントありがとうございます！
数学者が12音階を定めたってほんの数年前にどこかで聞いただけでここまで深くは説明がなかったな
それがどのような形で世界に広まっていったのかも謎ですし
雅楽の音階もなんか独特な感じもするし
12音階で表現できない古来からの歌とかもありそう
新たな音階を作るとしたら、どんな感じになるんでしょうかね
ピタゴラスでも平均律でも結局わりきれないんだな
型にはまらない音にロマンを感じますね
いいすね！ロマン！
黄金比率の７：３も音楽に内在されていたんですね。又、なぜ４度、5度が完全音なのかもこの説明で腹にストッンと落ちました。ピアノの形にしても美しいものには数字で説明できることがあるんですね。ありがとうございます。
数学畑の自分よりも音楽畑の方々がさらに噛み砕いてコメント欄で解説しているのを見て、こちらが「へえ〜」と感心しておりますw
そうそう、私は、増、減がなかなか理解できなかったがこの動画を見て一発で理解できました。
13:20「ヌ」www - 53音だったら、日本では濁音をすこし加えたシン・イロハで対応できそうですね。
面白いですね！
メジャーとマイナーで明るい暗いと感じる理由がずっと気になっているのですが理屈はあるんでしょうか？
わかりません！認知科学みたいな話になりそうですね！
夜中にふとなんで音階は連続的なはずなのにピアノは離散的な鍵盤なんだろうと思って調べたらこの動画に出会いました。とても興味深かったです！
音の不思議って面白いですよね！
楽しい話でした。電気理論も同様ですね。理論値はzero なんか定義されますが 理論値 0は 電気回路には発生させる事は出来ない。電気も三角関数 音階も三角関数の塊です。
そういった観点も面白そうですね。
10:20 頃のご説明ですが、
なぜ、掛けるエックス（＊Ｘ）と置き、
Ｘ＊Ｘ＊・・・＊Ｘ＝２とするのでしょうか？
図からみると
Ｘ+Ｘ+・・・+Ｘ＝1
とするのが自然な感じがするのですが。。。
1,◯,9
の◯に適した数字を入れる場合、「5」か「3」で意見が分かれると思います。
そもそもの問題の前提条件が
・足し算（等差数列）なら「5」
・掛け算（等比数列）なら「3」
となります。
今回は2倍（掛け算）を均等に分割したかったので、後者で考えています。
もし、今回のお話がもし足し算であれば仰っている通りの式になります。
@@ok3ch ありがとうございます。
面白いですね。理論が好きなので、興味深く拝見しました。
ありがとうございます！