Hallo Zusammen, knackige Aufgabe 🙂 Mein Lösungsansatz ist folgender:: Die Eckpunkte eines Quadrates liegen auf den Diagonalen die durch den Mittelpunkt gehen. Diese Diagonalen stehen außerdem senkrecht aufeinander. Gegeben ist 1 Eckpunkt mit A(1,5) und der Mittelpunkt M(3,4). Daraus lässt sich mit der 2-Punkte-Form die Geradengleichung der erste Diagonale d1 bestimmen: f(x) = ((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1)+y mit M(3,4) und A(1,5) ergibt das f(x)=((5-4)/(1-3))*(x-3)+4 =(1/-2)*(x-3)+4=-1/x+5,5 somit d1: f(x)=-1/2x+5,5, Die Steigung ist -1/2 Probe für A und M ergibt. Gleichung stimmt. Die Diagonale d2 steht senkrecht auf d1. Für die Steigungen zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden gilt m1*m2=-1 Es muss also gelten Steigung d1*Steigung d2=-1. -1/2* Steigung d2 =-1 | : (-1/2) oder *(-2) [Kehrwert] Somit Steigung d2 = 2 Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form lässt sich nun die Gleichung für d2 bestimmen g(x)=m(x-x1)+y1. mit m=2 und M(3,4) ergibt das g(x)=2(x-3)+4=2x-6+4=2x-2 d2: g(x)=2x-2 Zuletzt muss man nun die Koordinaten der gegebenen Lösungsvorschläge jeweils in f und g einsetzen (1. Wert entspricht x, 2. Wert entspricht f(x) bzw. g8x) und prüfen, bei welchem Vorschlag sich eine eine wahre Aussage ergibt. Dies ist nur für die Koordinaten (2,2) der Fall (wenn man sie in g einsetzt) Somit ist (2,2) die richtige Lösung. Euch allen ein super Wochenende und LG aus dem Schwabenland
Lösung: Mit einfachen Mittel, ohne Vektorrechnung und ohne Skalarprodukt. Der Mittelpunkt sei M=(3;4) und der gegebene Eckpunkt sei D=(1;5). Der Ursprung ist O=(0;0). Von D=(1;5) nach M=(3;4) geht man 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten. Zum gegenüberliegenden, diagonalen Punkt des Quadrats geht man von M=(3;4) ebenfalls 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten und kommt zum Punkt B=(5;3). Zum Punkt C, der über D und B liegt, kommt man von M=(3;4) umgekehrt 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben, so dass sich C=(4;6) ergibt. Zum Punkt A, der unter D und B liegt, kommt man von M=(3;4) 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach unten, so dass sich A=(2;2) ergibt. Die Antwort d) (2;2) ist richtig.
Multiple-Choice-Aufgaben bieten einem dank der Einschränkung der möglichen Antworten immer die Möglichkeit einer schnelleren Lösung durch das Aufzäumen des Pferdes von hinten. D. h. anstatt "normal" die anderen Eckpunkte zu berechnen und zu gucken, welcher mit welcher Antwortmöglichkeit übereinstimmt, kann man auch die möglichen Antworten auf bestimmte Eigenschaften überprüfen. Mein Lösungsweg wäre grafisch und sähe so aus: 1. Alle sieben Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen. 2. Kreis um den Mittelpunkt durch den vorgegebenen Eckpunkt ziehen. Grund: Alle Eckpunkte des Quadrats liegen zwingend auf diesem Kreis. 3. Prüfen, wie viele der fünf Antwortpunkte auf dem Kreis liegen; falls es nur einer ist, ist das die richtige Antwort. Falls es mehrere sind: 4. Gerade durch den vorgegebenen Eckpunkt und den Mittelpunkt ziehen; ihr zweiter Schnittpunkt mit dem Kreis ist der gegenüberliegende Eckpunkt. Falls dieser kein Antwortpunkt ist: 5. Mit dem Geo-Dreieck die Senkrechte zur Geraden durch den Mittelpunkt ziehen; deren beiden Schnittpunkte mit dem Kreis sind die übrigen Eckpunkte des Quadrats. Spätestens jetzt müsst ihr genau einen der auf dem Kreis liegenden Antwortpunkte getroffen haben. Wichtig: Das ist eine schnelle Lösung, die bei Multiple-Choice-Aufgaben gut funktioniert, weil man da von vornherein nur wenige Antwortmöglichkeiten hat und einen niemand nach dem Lösungsweg fragt. Eine offen gestellte Klausuraufgabe "Berechne die übrigen Eckpunkte des Quadrats." wäre so oder ähnlich zu lösen wie Susanne es vorgeführt hat.
Ich habe mir einfach mal den Spass gegönnt und die Aufgabe zeichnerisch mit Zirkel und Lineal (ohne Masseinteilung), nach Art der Griechen wie unser Lehrer es nannte, zu lösen. Ist zwar umständlich, funktioniert aber.😊
Habe die gegebenen Punkte auf ein kariertes Blatt gezeichnet. Die anderen Punkte habe ich dann einfach eingezeichnet, gespiegelt an M. Alternativ könnte man noch einen Kreis mit Ursprung M durch A zeichnen. Alle anderen Ecken des Quadrat müssen auf diesem Kreis liegen. Somit kommt man auf (5|3), (2|2), (4|6)
Geht auch ohne zeichnen - habe das Video noch nicht angesehen. Vom bekannten Eckpunkt zur Mitte sind es 2 nach rechts und 1 nach unten (ein Zug mit dem Pferd beim Schach). Dieser Zug dreht sich nun 3x um 90°: also 1 nach links und 2 nach unten / 1 nach unten und 2 nach rechts / 1 nach rechts und 2 nach oben.
Das mit der Vektorrechnung hab ich leider inzwischen komplett vergessen (bin ja schon länger nicht mehr in der Schule), aber ich hab’s im Prinzip genauso rausbekommen, wie du es im Video erklärt hast. Zunächst ist mir aufgefallen, dass ich den gegenüberliegenden Punkt des bekannten Punktes durch „Anbauen“ derselben Strecke finden kann, die zwischen diesem und dem Mittelpunkt liegt. Dann dachte ich mir, dass ich, um den Punkt (2,2) zu finden, vom Mittelpunkt sozusagen andersrum vorgehen muss, weil der Punkt (2,2) auf der Senkrechten zu der Strecke zwischen (1,5) und dem Mittelpunkt liegt. Die Entfernung zum Mittelpunkt ist dieselbe wie zwischen (1,5) und dem Mittelpunkt. Den Punkt (4,6) hab ich dann auch noch berechnet, weil ich das Video noch nicht gesehen hatte und nur vom Thumbnail ausgegangen bin.
3/4 + Differenz von 3/4 und 1/5 = erster Punkt (5/3) 3/4 + Kehrwert der Differenz von 3/4 und 1/5 = Punkt 2 (4/6) 3/4 - Kehrwert der Differenz von 3/4 und 1/5 = Punkt 3 (2/2)
Ich habe den Vektor AM zu dem Ortsvektor von M addiert. Dann habe ich den Vektor um plus minus 90° gedreht und wieder zu dem Ortsvektor von M addiert. Es entsteht eine Art Windmühlenbild, wenn man diese einzeichnet. Ahja du hattest die selbe Idee.
Genau meine Vorgehensweise 😏 für Oxford/Cambridge Aufgaben ziemlich leicht. Ich vermute daher, daß für die Lösung solch leichter Aufgaben, recht wenig Zeit zur Verfügung steht.😁
Angefangen habe ich natürlich auch mit der zeichnerischen Lösung auf Kästchenpapier die, da man weiß dass die Diagonalen im Quadrat senkrecht aufeinander stehen, schnell zu allen anderen Punkten führt. Dann dachte ich aber, man muss es bestimmt rechnerisch lösen. Also ein Gleichungssystem mit cos 45° = (a*b)/(|a|*|b|) und [Winkel zwischen Seite (a) und Diagonale (b)] und mittels der bekannten Seitenlänge des Quadrates gebildet. Die Seitenlänge ist bekannt, da man die Länge der halben Diagonale aus den gegebenen Punkten, als Länge des Vektors (2|-1) = sqrt(5) berechnen kann und man weiß, dass im Quadrat das Verhältnis Seite zu Diagonale immer 1/sqrt(2) beträgt. Nach langwierigem rumrechnen und Wurzelgesetze anwenden, ergibt sich eine quadratische Gleichung, deren Lösungen für x1/x2 dann tatsächlich 4 und 2 lauten und mittels der 2. Gleichung des Gleichungssystems für y zu den gesuchten Punkten (4|6) und (2|2) führen. Zeitlich wäre ich aber mit der Rechnerei durchgefallen. Vektorrechnung ist ein schönes Thema und für Computergrafik und -spiele ja auch relevant. Ich wiederhole sie gerade, um meinem Sohn ein bisschen helfen zu können. Danke für die Aufgabe.
Ich wäre viel zu faul gewesen, da überhaupt zu rechnen. Mein erster Gedanke war, Zirkel auspacken, den Mittelpunkt zu penetrieren, die Mine auf den Eckpunkt anzulegen, Kreis zeichnen und ablesen, welche Antwort auf dem Kreis liegen könnte. Mein zweiter etwas weniger faule Ansatz wäre Geodreieck auspacken und durch etwas Zeichnen quasi das Gleiche tun wie mit den Vektoren. Wenn die Antworten eh schon so großzügig vorgegeben sind, hätte ich da kaum Zeit rein investiert.
"It takes two for tango" Vielleicht war die Zeit damals noch nicht reif und/oder die "Frequenz" zwischen Sender/Lehrer und Empfänger/Schüler stimmte nicht überein. Es ist ja immer die Summe aller einfachen Schritte, die den Lösunsweg in komplexen Aufgaben markieren. Leider weiß man dies oft erst hinterher. Sehe es deinem alten Lehrer nach ;o))
Ja, sowas aber auch. Hat aber keiner gesagt, dass das Quadrat auch verdreht sein kann. Aber wie immer supi erklärt. An dir ist eine Lehrerin/Dozentin verloren gegangen. ;)
doch, du musst dir nur bewusst werden, dass die Senkrechte eines Vektors eine Ebene ist. Daher kann man ja die Lage einer Ebene verkürzt über die Senkrechte definieren.
Nach einem kurzen "Ach du meine Güte" fiel mir wieder ein, daß man die Ecken erhalt, wenn man den Punkt A jeweils um 90º um M dreht... A ist "zwei links, eins hoch" dann muß der nächste dann "zwei hoch, eins rechts" sein und so weiter. Das gelang mir dann aber nicht mehr im Kopf, alle 3 fehlenden zu bilden und zu vergleichen :)
Ich habe mir die Strecke AM als Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer senkrechten Kathete mit Länge = 1 und einer waagerechten Kathete mit Länge = 2 vorgestellt. Ausrechnen ergibt eine Länge für die Hypothenuse = Wurzel von 5 (nach a^2+b^2=c^2). Da die Strecke MC logischerweise dieselbe Länge und Richtung wie AM besitzt müssen die beiden Katheten auch wieder dieselbe Länge wie beim ersten Dreieck besitzen. Das bedeutet von Punkt M senkrecht nach unten mit L=1 und von da weiter waagerecht nach rechts mit L=2. Damit landet man für C bei (5/3). Wenn ich mir jetzt die Strecke CD wieder als Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks vorstelle, bei dem dem die senkrechte Kathete eine Länge von 1 hat, dann kann ich die Länge der 2. Kathete berechnen, wenn ich die Länge der Hypothenuse CD kenne. Da ich weiß, dass die Strecken MC und MD = Wurzel von 5 sind muss die Länge der Hypothenuse also = Wurzel von 10 sein. Damit kann ich jetzt also die Länge der 2. Kathete berechnen, das Ergebnis ist 3. Ich muss also von Punkt (5/3) einen nach unten und 3 nach links und Lande bei Punkt (2/2).
Eine super Aufgabe. Sie könnte auch in der 8. Klasse der Realschule behandelt werden. Dann über den Vektor von M nach A. Drehung um 90°, 180°, 270°. Geht auch mit der Matrix für Drehungen. Danke für die tolle Aufgabe und die einfache Lösung.
Hmm vielleicht ist das keine wirkliche Berechnung aber ich hätte hier einfach ein Hilfsquarat um M mit den Eckpunkten (2,3) (2,5) (4,3) und (4,5) ins Koordinatensystem eingezeichnet. Danach ergeben sich dann einfach aus Symetriegründen die Eckpunkte des Quadrates mit (4,6) (5,3) und (2,2) Wobei letzterer dann die Lösung sein sollte.
Johannes 3:16 Denn Gott hat die Welt so sehr geliebt, dass er sein einzigen Sohn hergab, damit jeder der an ihn glaubt, nicht verloren geht, sondern ewiges Leben hat. Eine gesegnete Adventszeit
Ist das Allgemeinwissen, dass man einen 2D-Vektor einfach umdrehen kann, und ein Vorzeichen vertauschen, damit man nen senkrechten Vektor bekommt? Ich finde das gewagt, das einfach ohne Beweis als gegeben zu nehmen. Meine Herangehensweise war: wenn die Vektoren senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt 0, also = 0 => 2x - y = 0 => 2x = y. Da es natürlich unendlich viele senkrechte Vektoren gibt, kann ich x oder y wählen, und bekomme die andere Koordinate in Abhängigkeit. Wählt man x = 1 folgt die weitere Erklärung wie im Video
Unendlich viele senkrechte Vektoren zu einem Vektor gibt es doch nur im dreidimensionalen Raum oder? Die bilden dann die Ebene, deren Normale der ursprüngliche Vektor ist. Im zweidimensionalen habe ich doch nur einen Vektor und seinen Gegenvektor (die zugegeben beliebig lang sein können), die senkrecht zu einem bestimmten Vektor stehen. Diese Vektoren unterschiedlicher Länge sind aber nicht wirklich verschiedene Vektoren, da linear abhängig oder? Das mit dem Umdrehen der Vektorkoordinaten mit Vorzeichenänderung kennt man doch schon von der Geradengleichung, wo man lernt, dass senkrecht zu mx+n die Gerade -(1/m)x+n verläuft.
@@udoc.7528 Ein Vektor hat Länge und Richtung. In 2D ist die senkrechte Richtung eindeutig, aber es gibt unendlich viele Möglichkeiten für die Länge, all diese Vektoren bilden eine Gerade. In 3D gibt es unendlich viele Längen und Richtungen, die senkrecht auf einem Vektor stehen, wie du schon sagst, dann erhält man eine Ebene.
ich finde folgenden Ansatz ganz amüsant: Wir konstruieren ein 2. Koordinatensystem, dessen Ursprung in M liegt. Dann bestimmen wir den Vektor, der hier v heißt in diesem System. Jetzt brauchen wir nur noch mittels der bekannten Transformtionsmatrizen drei Drehungen um pi/2, pi, und 3/2 pi durchzuführen und erhalten die Eckpunkte im neuen Koordinatensystem. Abschließend rechnen wir zurück ins ursprüngliche K-System und erhalten so die fehlenden drei Eckpunkte.
Lösung: Vom Mittelpunkt muss man 2 links und 1 hoch gehen um zum Eckpunkt zu kommen. Da das Ganz quadratisch ist, sind die 3 anderen Eckpunkte also 2 rechts und 1 runter vom Mittelpunkt (gespiegelt): (5,3) > keine der Lösungen 2 hoch und 1 rechts vom Mittelpunkt (um 90° nach oben gedreht): (4,6) > keine der Lösungen 2 runter und 1 links vom Mittelpunkt (um 90° nach unten gedreht): (2, 2) > Lösung (d) Daher ist (d) korrekt
Hey :) kannst du mal bitte nen Video über gebrochen- rationale Funktionen machen, wo man die Polynomdivision anwenden muss und die Gleichung der Asymptoten und deren Schnittpunkt finden muss
@@wolfgangbalu1253 mein Gott. An "hey" Ist nichts falsch. Wenn du auf YT in den Kommentaren eine ausführliche höfliche Anrede willst bist du hier falsch
@@wolfgangbalu1253 Ich mag ergänzen zu den anderen Kommentaren, Wolfgang: egal ob hier oder früher oder analog vor 20, 30, 40 Jahren oder viel länger her: niemals hat irgendein Matheinteressent eine fachlich Antwort bekommen mit "Sehr geehrte werte Dame, ich wünsche Ihnen einen schönen Tag, könnten Sie mir bitte eine gebrochen-rationale Funktion kredenzen, die mit dieser, wissen Sie wie heißt das, da wo man Polynomdivision anwenden muss und diese unglaublich gleichen Asymptote bekommt, oh und diese perfekten Schnittpunkte gnädigste Frau...". Und die Ironie insgesamt, weil ja auch Susanne all Ihre Videos mit "hey" beginnt, also so wie es international schon bei ICQ, IRC und im Usenet so war. 🤣
@@FunIsGoingOn Tut mir leid ich bin kein Mathematiker sondern nur ein "alter Ingenieur". Für mich ist Höflichkeit ein anerzogenes Muss. ich kann mich mit den speziellen Ausdrücken im Internet einfach nicht anfreunden. Ich habe hier eins gemerkt oder ist mir aufgefallen: die liebe Susanne reagiert nur auf freundliche und gut gemeinte Statements. Auf Kritik oder Probleme der höheren Mathematik geht sie nicht ein. Warum? Gruss Wolfgang
Hallo, ich habe gestern eine Aufgabe gefunden, und bin mir sicher, dass an der Lösung der youtuberin etwas verkehrt ist. Https://ua-cam.com/video/wr3NdXYiclE/v-deo.html ab+c=2020 und a+bc=2021 Ich bekomme a=2021 b=0 und c=2020 heraus. Kannst du ihren lösungsweg erklären, der komplett andere Ergebnisse liefert?
ich bin blöd wie n Föhn, raffe nicht ein Video von ihr obwohl sie es so gut erklärt, werde in meinem leben all das nie gebrauchen und trotzdem kann ich nicht aufhören mir jedes ihrer Videos anzusehen D: mach bitte bis an mein Lebensende weiter Videos :)
Mich würde interessieren, wieviel Zeit für so eine Aufgabe gegeben wird. Hab es gelöst, wie es uns der Mathe-Lehrer vor 20 Jahren beigebracht hat: scharf hinschauen
Mal ehrlich... mit der gezeigten Vorgehensweise hätte man den Aufnahmetest nicht geschafft. Mit einem karierten Stück Papier, schafft man das in weniger als einer halben Minute. Dazu muss man aber auch sagen, wie es für viele weitere "Aufnahmetest" - Videos gilt, dass es bei diesen Aufnahmetests nicht darum geht eine Rechenaufgabe zu lösen, sondern darum mathematisch, logisches Denken und Abstraktions- und Transfervermögen eines Bewerbers zu testen. Jemand der hier "viel" rechnen muss, ist für das Studium wenig geeignet! Die ausführliche Erklärung welche mathematische Begründung dahintersteckt ist super!
@@Andy-qv9tb Bei solchen Tests gilt Quantität vor Qualität, der schnellste Weg ist der beste Weg. So ein 2D-System ist in Sekunden gezeichnet, so mancher kann es sich sogar im Kopf vorstellen. Dann gilt es die Lösungen auf Plausibilität zu prüfen, sie stehen ja schließlich schon da.
Der spannende Teil, warum eigentlich der Vektor u senkrecht zu v ist, denn hättest Du ruhig ausführlicher behandeln können. Auf dem Prinzip beruht quasi die ganze Vektorrechnung.
*Mein komplettes Equipment*
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
I love your channel !!! :-)
Hallo Zusammen,
knackige Aufgabe 🙂
Mein Lösungsansatz ist folgender::
Die Eckpunkte eines Quadrates liegen auf den Diagonalen die durch den Mittelpunkt gehen. Diese Diagonalen stehen außerdem senkrecht aufeinander.
Gegeben ist 1 Eckpunkt mit A(1,5) und der Mittelpunkt M(3,4).
Daraus lässt sich mit der 2-Punkte-Form die Geradengleichung der erste Diagonale d1 bestimmen:
f(x) = ((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1)+y mit M(3,4) und A(1,5) ergibt das f(x)=((5-4)/(1-3))*(x-3)+4 =(1/-2)*(x-3)+4=-1/x+5,5 somit
d1: f(x)=-1/2x+5,5, Die Steigung ist -1/2
Probe für A und M ergibt. Gleichung stimmt.
Die Diagonale d2 steht senkrecht auf d1. Für die Steigungen zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden gilt m1*m2=-1
Es muss also gelten Steigung d1*Steigung d2=-1.
-1/2* Steigung d2 =-1 | : (-1/2) oder *(-2) [Kehrwert]
Somit Steigung d2 = 2
Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form lässt sich nun die Gleichung für d2 bestimmen
g(x)=m(x-x1)+y1. mit m=2 und M(3,4) ergibt das
g(x)=2(x-3)+4=2x-6+4=2x-2
d2: g(x)=2x-2
Zuletzt muss man nun die Koordinaten der gegebenen Lösungsvorschläge jeweils in f und g einsetzen (1. Wert entspricht x, 2. Wert entspricht f(x) bzw. g8x) und prüfen, bei welchem Vorschlag sich eine eine wahre Aussage ergibt.
Dies ist nur für die Koordinaten (2,2) der Fall (wenn man sie in g einsetzt)
Somit ist (2,2) die richtige Lösung.
Euch allen ein super Wochenende und LG aus dem Schwabenland
Das war heute aber ungewöhnlich einfach… you made my day 🎉
An die Existenz von Vektorrechnung habe ich seit 25 Jahren nicht mehr gedacht. Darum mußte es per Augenmaß klappen. Hat auch geklappt.
Schön, dass die Aufgaben im Thumb gut zu erkennen sind. So kann man sich an der Lösung versuchen, ohne das Video vorher anzusehen.
nur ist das bereits ein Lösungsansatz und nicht die Aufgabe ... du könntest einfach Pause machen nach Vorstellung der Aufgabe.
die Oxford oder auch die Cambridge Aufnahmetests bringst Du immer super herüber. Danke und viele Grüße!
Lösung:
Mit einfachen Mittel, ohne Vektorrechnung und ohne Skalarprodukt.
Der Mittelpunkt sei M=(3;4) und der gegebene Eckpunkt sei D=(1;5). Der Ursprung ist
O=(0;0). Von D=(1;5) nach M=(3;4) geht man 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten. Zum gegenüberliegenden, diagonalen Punkt des Quadrats geht man von M=(3;4) ebenfalls 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten und kommt zum Punkt
B=(5;3). Zum Punkt C, der über D und B liegt, kommt man von M=(3;4) umgekehrt 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben, so dass sich C=(4;6) ergibt. Zum Punkt A, der unter D und B liegt, kommt man von M=(3;4) 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach unten, so dass sich A=(2;2) ergibt.
Die Antwort d) (2;2) ist richtig.
Wusste erst gar nicht wie ich da dran gehen kann. Danke Susanne!
Von A zwei nach rechts, eins runter => M
Von M zwei runter, eins nach links => B(2|2) (BM senkrecht zu AM und Abstände gleich)
Verdammt lang her. Danke. Good old memories
Ich: geometrisch rangegangen als alter GeoFreak , die Vektoren Lösung finde ich sehr schön, 👍🏻
Ja war wirklich einfach. Wir haben ja Punktsymetrie bei allen Eckpunkten in Bezug auf den Mittelpunkt.
Liebe es wie du die Aufnahmetestaufgaben durchrechnest! Mega spannend
Multiple-Choice-Aufgaben bieten einem dank der Einschränkung der möglichen Antworten immer die Möglichkeit einer schnelleren Lösung durch das Aufzäumen des Pferdes von hinten.
D. h. anstatt "normal" die anderen Eckpunkte zu berechnen und zu gucken, welcher mit welcher Antwortmöglichkeit übereinstimmt, kann man auch die möglichen Antworten auf bestimmte Eigenschaften überprüfen. Mein Lösungsweg wäre grafisch und sähe so aus:
1. Alle sieben Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.
2. Kreis um den Mittelpunkt durch den vorgegebenen Eckpunkt ziehen. Grund: Alle Eckpunkte des Quadrats liegen zwingend auf diesem Kreis.
3. Prüfen, wie viele der fünf Antwortpunkte auf dem Kreis liegen; falls es nur einer ist, ist das die richtige Antwort. Falls es mehrere sind:
4. Gerade durch den vorgegebenen Eckpunkt und den Mittelpunkt ziehen; ihr zweiter Schnittpunkt mit dem Kreis ist der gegenüberliegende Eckpunkt. Falls dieser kein Antwortpunkt ist:
5. Mit dem Geo-Dreieck die Senkrechte zur Geraden durch den Mittelpunkt ziehen; deren beiden Schnittpunkte mit dem Kreis sind die übrigen Eckpunkte des Quadrats. Spätestens jetzt müsst ihr genau einen der auf dem Kreis liegenden Antwortpunkte getroffen haben.
Wichtig: Das ist eine schnelle Lösung, die bei Multiple-Choice-Aufgaben gut funktioniert, weil man da von vornherein nur wenige Antwortmöglichkeiten hat und einen niemand nach dem Lösungsweg fragt. Eine offen gestellte Klausuraufgabe "Berechne die übrigen Eckpunkte des Quadrats." wäre so oder ähnlich zu lösen wie Susanne es vorgeführt hat.
Ich habe mir einfach mal den Spass gegönnt und die Aufgabe zeichnerisch mit Zirkel und Lineal (ohne Masseinteilung), nach Art der Griechen wie unser Lehrer es nannte, zu lösen. Ist zwar umständlich, funktioniert aber.😊
Nicht so umständlich wie die Vektoren.
Top, ich mag die Erklärung mit den Vektoren.
Die coole Mathe Queen 😀
Du hast bildhübsch vergessen…
Habe die gegebenen Punkte auf ein kariertes Blatt gezeichnet.
Die anderen Punkte habe ich dann einfach eingezeichnet, gespiegelt an M. Alternativ könnte man noch einen Kreis mit Ursprung M durch A zeichnen. Alle anderen Ecken des Quadrat müssen auf diesem Kreis liegen. Somit kommt man auf (5|3), (2|2), (4|6)
genau gleiche Vorgehensweise, Du erklärst es super und anschaulich
Hab es zeichnerisch gelöst, Koordinatensystem aufgezeichnet und Kästchen abgezählt.
Geht auch ohne zeichnen - habe das Video noch nicht angesehen. Vom bekannten Eckpunkt zur Mitte sind es 2 nach rechts und 1 nach unten (ein Zug mit dem Pferd beim Schach). Dieser Zug dreht sich nun 3x um 90°: also 1 nach links und 2 nach unten / 1 nach unten und 2 nach rechts / 1 nach rechts und 2 nach oben.
@@big_digger2225 Hab das ja auch nur so auf nen Zettel geschmiert, nicht mit Lineal. Und mir beim Abzählen auch die Pferde vorgestellt 😅
sie hat nicht gesagt, dass es in der Euklidischen Ebene liegt 😂. Bei jeweils geeigneter Metrik sind alle Lösungen möglich ☝️
@@heinerdrathen2079 OK, dann würde mich interessieren, wie Ihr OXFORD Aufnahmetest ausgefallen ist.
@@big_digger2225 ganz genau so hab ich es auch gemacht 😉
Das mit der Vektorrechnung hab ich leider inzwischen komplett vergessen (bin ja schon länger nicht mehr in der Schule), aber ich hab’s im Prinzip genauso rausbekommen, wie du es im Video erklärt hast. Zunächst ist mir aufgefallen, dass ich den gegenüberliegenden Punkt des bekannten Punktes durch „Anbauen“ derselben Strecke finden kann, die zwischen diesem und dem Mittelpunkt liegt. Dann dachte ich mir, dass ich, um den Punkt (2,2) zu finden, vom Mittelpunkt sozusagen andersrum vorgehen muss, weil der Punkt (2,2) auf der Senkrechten zu der Strecke zwischen (1,5) und dem Mittelpunkt liegt. Die Entfernung zum Mittelpunkt ist dieselbe wie zwischen (1,5) und dem Mittelpunkt. Den Punkt (4,6) hab ich dann auch noch berechnet, weil ich das Video noch nicht gesehen hatte und nur vom Thumbnail ausgegangen bin.
Hallo ich genieße jedesmal deine Super Aufgaben ❤️lichen dank
Hi, ich hab das über zentrische Streckung und Eigenschaften von Quadraten gemacht ( bin erst 9. Klasse Realschule), würde das auch stimmen?
3/4 + Differenz von 3/4 und 1/5 = erster Punkt (5/3)
3/4 + Kehrwert der Differenz von 3/4 und 1/5 = Punkt 2 (4/6)
3/4 - Kehrwert der Differenz von 3/4 und 1/5 = Punkt 3 (2/2)
- Kreis ziehen mit Mittelpunkt und Punkt A
- AM verlängern = D
- Senkrechte auf M durchstoßend = B und C
Ich habe den Vektor AM zu dem Ortsvektor von M addiert. Dann habe ich den Vektor um plus minus 90° gedreht und wieder zu dem Ortsvektor von M addiert. Es entsteht eine Art Windmühlenbild, wenn man diese einzeichnet. Ahja du hattest die selbe Idee.
Genau meine Vorgehensweise 😏 für Oxford/Cambridge Aufgaben ziemlich leicht. Ich vermute daher, daß für die Lösung solch leichter Aufgaben, recht wenig Zeit zur Verfügung steht.😁
Angefangen habe ich natürlich auch mit der zeichnerischen Lösung auf Kästchenpapier die, da man weiß dass die Diagonalen im Quadrat senkrecht aufeinander stehen, schnell zu allen anderen Punkten führt. Dann dachte ich aber, man muss es bestimmt rechnerisch lösen. Also ein Gleichungssystem mit cos 45° = (a*b)/(|a|*|b|) und [Winkel zwischen Seite (a) und Diagonale (b)] und mittels der bekannten Seitenlänge des Quadrates gebildet. Die Seitenlänge ist bekannt, da man die Länge der halben Diagonale aus den gegebenen Punkten, als Länge des Vektors (2|-1) = sqrt(5) berechnen kann und man weiß, dass im Quadrat das Verhältnis Seite zu Diagonale immer 1/sqrt(2) beträgt. Nach langwierigem rumrechnen und Wurzelgesetze anwenden, ergibt sich eine quadratische Gleichung, deren Lösungen für x1/x2 dann tatsächlich 4 und 2 lauten und mittels der 2. Gleichung des Gleichungssystems für y zu den gesuchten Punkten (4|6) und (2|2) führen. Zeitlich wäre ich aber mit der Rechnerei durchgefallen. Vektorrechnung ist ein schönes Thema und für Computergrafik und -spiele ja auch relevant. Ich wiederhole sie gerade, um meinem Sohn ein bisschen helfen zu können. Danke für die Aufgabe.
Ich wäre viel zu faul gewesen, da überhaupt zu rechnen. Mein erster Gedanke war, Zirkel auspacken, den Mittelpunkt zu penetrieren, die Mine auf den Eckpunkt anzulegen, Kreis zeichnen und ablesen, welche Antwort auf dem Kreis liegen könnte.
Mein zweiter etwas weniger faule Ansatz wäre Geodreieck auspacken und durch etwas Zeichnen quasi das Gleiche tun wie mit den Vektoren.
Wenn die Antworten eh schon so großzügig vorgegeben sind, hätte ich da kaum Zeit rein investiert.
Danke😊
Gerne! ☺️
Das hast du wieder mal sehr interessant dargestellt. 👍
Warum konnte mein Mathe Lehrer 🧐das damals nicht so anschaulich erklären?
"It takes two for tango"
Vielleicht war die Zeit damals noch nicht reif und/oder die "Frequenz" zwischen Sender/Lehrer und Empfänger/Schüler stimmte nicht überein.
Es ist ja immer die Summe aller einfachen Schritte, die den Lösunsweg in komplexen Aufgaben markieren. Leider weiß man dies oft erst hinterher. Sehe es deinem alten Lehrer nach ;o))
Hey, kannst du vielleicht mal ein Video zu deinem Equipment machen? Würde mich sehr interessieren, was und vor allem wie du es nutzt. Vielen Dank
Schreibst du eigentlich mit einer Maus?
Verschiebung M -> M'(0,0), P -> P'(1,5). Die restlichen sieht man sofort; Rück"transformation" im Kopf, z.B. B(2,2).
P'(-2,1), sorry
Ja, sowas aber auch. Hat aber keiner gesagt, dass das Quadrat auch verdreht sein kann.
Aber wie immer supi erklärt. An dir ist eine Lehrerin/Dozentin verloren gegangen. ;)
hab 7 Minuten zum lösen gebraucht ... war diesmal schon schwerer 🙂
Eine kleine Skizze auf kariertem Papier gemacht und die Sache war klar. 😊
Dieses drehen der Koordinaten im Vektor geht bei 3 Dimensionalen Vektoren aber nicht mehr, oder?
doch, du musst dir nur bewusst werden, dass die Senkrechte eines Vektors eine Ebene ist. Daher kann man ja die Lage einer Ebene verkürzt über die Senkrechte definieren.
Nach einem kurzen "Ach du meine Güte" fiel mir wieder ein, daß man die Ecken erhalt, wenn man den Punkt A jeweils um 90º um M dreht... A ist "zwei links, eins hoch" dann muß der nächste dann "zwei hoch, eins rechts" sein und so weiter. Das gelang mir dann aber nicht mehr im Kopf, alle 3 fehlenden zu bilden und zu vergleichen :)
Ich habe mir die Strecke AM als Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer senkrechten Kathete mit Länge = 1 und einer waagerechten Kathete mit Länge = 2 vorgestellt. Ausrechnen ergibt eine Länge für die Hypothenuse = Wurzel von 5 (nach a^2+b^2=c^2). Da die Strecke MC logischerweise dieselbe Länge und Richtung wie AM besitzt müssen die beiden Katheten auch wieder dieselbe Länge wie beim ersten Dreieck besitzen. Das bedeutet von Punkt M senkrecht nach unten mit L=1 und von da weiter waagerecht nach rechts mit L=2. Damit landet man für C bei (5/3).
Wenn ich mir jetzt die Strecke CD wieder als Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks vorstelle, bei dem dem die senkrechte Kathete eine Länge von 1 hat, dann kann ich die Länge der 2. Kathete berechnen, wenn ich die Länge der Hypothenuse CD kenne. Da ich weiß, dass die Strecken MC und MD = Wurzel von 5 sind muss die Länge der Hypothenuse also = Wurzel von 10 sein. Damit kann ich jetzt also die Länge der 2. Kathete berechnen, das Ergebnis ist 3. Ich muss also von Punkt (5/3) einen nach unten und 3 nach links und Lande bei Punkt (2/2).
Vektoren können ja richtig sympathisch sein 🙂
Hätte man nicht einfach einen Kreis ziehen können?
Eine super Aufgabe. Sie könnte auch in der 8. Klasse der Realschule behandelt werden. Dann über den Vektor von M nach A. Drehung um 90°, 180°, 270°. Geht auch mit der Matrix für Drehungen. Danke für die tolle Aufgabe und die einfache Lösung.
Hmm vielleicht ist das keine wirkliche Berechnung aber ich hätte hier einfach ein Hilfsquarat um M mit den Eckpunkten (2,3) (2,5) (4,3) und (4,5) ins Koordinatensystem eingezeichnet. Danach ergeben sich dann einfach aus Symetriegründen die Eckpunkte des Quadrates mit (4,6) (5,3) und (2,2) Wobei letzterer dann die Lösung sein sollte.
❤️❤️
Johannes 3:16 Denn Gott hat die Welt so sehr geliebt, dass er sein einzigen Sohn hergab, damit jeder der an ihn glaubt, nicht verloren geht, sondern ewiges Leben hat. Eine gesegnete Adventszeit
Ist das Allgemeinwissen, dass man einen 2D-Vektor einfach umdrehen kann, und ein Vorzeichen vertauschen, damit man nen senkrechten Vektor bekommt? Ich finde das gewagt, das einfach ohne Beweis als gegeben zu nehmen. Meine Herangehensweise war: wenn die Vektoren senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt 0, also = 0 => 2x - y = 0 => 2x = y. Da es natürlich unendlich viele senkrechte Vektoren gibt, kann ich x oder y wählen, und bekomme die andere Koordinate in Abhängigkeit. Wählt man x = 1 folgt die weitere Erklärung wie im Video
Unendlich viele senkrechte Vektoren zu einem Vektor gibt es doch nur im dreidimensionalen Raum oder? Die bilden dann die Ebene, deren Normale der ursprüngliche Vektor ist. Im zweidimensionalen habe ich doch nur einen Vektor und seinen Gegenvektor (die zugegeben beliebig lang sein können), die senkrecht zu einem bestimmten Vektor stehen. Diese Vektoren unterschiedlicher Länge sind aber nicht wirklich verschiedene Vektoren, da linear abhängig oder? Das mit dem Umdrehen der Vektorkoordinaten mit Vorzeichenänderung kennt man doch schon von der Geradengleichung, wo man lernt, dass senkrecht zu mx+n die Gerade -(1/m)x+n verläuft.
@@udoc.7528 Ein Vektor hat Länge und Richtung. In 2D ist die senkrechte Richtung eindeutig, aber es gibt unendlich viele Möglichkeiten für die Länge, all diese Vektoren bilden eine Gerade. In 3D gibt es unendlich viele Längen und Richtungen, die senkrecht auf einem Vektor stehen, wie du schon sagst, dann erhält man eine Ebene.
ich finde folgenden Ansatz ganz amüsant: Wir konstruieren ein 2. Koordinatensystem, dessen Ursprung in M liegt. Dann bestimmen wir den Vektor, der hier v heißt in diesem System. Jetzt brauchen wir nur noch mittels der bekannten Transformtionsmatrizen drei Drehungen um pi/2, pi, und 3/2 pi durchzuführen und erhalten die Eckpunkte im neuen Koordinatensystem. Abschließend rechnen wir zurück ins ursprüngliche K-System und erhalten so die fehlenden drei Eckpunkte.
Lösung:
Vom Mittelpunkt muss man 2 links und 1 hoch gehen um zum Eckpunkt zu kommen. Da das Ganz quadratisch ist, sind die 3 anderen Eckpunkte also
2 rechts und 1 runter vom Mittelpunkt (gespiegelt): (5,3) > keine der Lösungen
2 hoch und 1 rechts vom Mittelpunkt (um 90° nach oben gedreht): (4,6) > keine der Lösungen
2 runter und 1 links vom Mittelpunkt (um 90° nach unten gedreht): (2, 2) > Lösung (d)
Daher ist (d) korrekt
Genau so ziehe ich das auch vor - dann braucht man keine weltkluge Verktorrechnung. Und am schnellsten dürfte es auch sein, nämlich im Kopf zu lösen!
Hey :) kannst du mal bitte nen Video über gebrochen- rationale Funktionen machen, wo man die Polynomdivision anwenden muss und die Gleichung der Asymptoten und deren Schnittpunkt finden muss
Tolle Anrede: Hey. Zeugt von viel Respekt.
@@wolfgangbalu1253 mein Gott. An "hey" Ist nichts falsch. Wenn du auf YT in den Kommentaren eine ausführliche höfliche Anrede willst bist du hier falsch
@@wolfgangbalu1253 bruh. Neu das Internet entdeckt oder was?
@@wolfgangbalu1253 Ich mag ergänzen zu den anderen Kommentaren, Wolfgang: egal ob hier oder früher oder analog vor 20, 30, 40 Jahren oder viel länger her: niemals hat irgendein Matheinteressent eine fachlich Antwort bekommen mit "Sehr geehrte werte Dame, ich wünsche Ihnen einen schönen Tag, könnten Sie mir bitte eine gebrochen-rationale Funktion kredenzen, die mit dieser, wissen Sie wie heißt das, da wo man Polynomdivision anwenden muss und diese unglaublich gleichen Asymptote bekommt, oh und diese perfekten Schnittpunkte gnädigste Frau...".
Und die Ironie insgesamt, weil ja auch Susanne all Ihre Videos mit "hey" beginnt, also so wie es international schon bei ICQ, IRC und im Usenet so war. 🤣
@@FunIsGoingOn Tut mir leid ich bin kein Mathematiker sondern nur ein "alter Ingenieur". Für mich ist Höflichkeit ein anerzogenes Muss. ich kann mich mit den speziellen Ausdrücken im Internet einfach nicht anfreunden. Ich habe hier eins gemerkt oder ist mir aufgefallen: die liebe Susanne reagiert nur auf freundliche und gut gemeinte Statements. Auf Kritik oder Probleme der höheren Mathematik geht sie nicht ein. Warum? Gruss Wolfgang
Hallo, ich habe gestern eine Aufgabe gefunden, und bin mir sicher, dass an der Lösung der youtuberin etwas verkehrt ist. Https://ua-cam.com/video/wr3NdXYiclE/v-deo.html
ab+c=2020 und a+bc=2021
Ich bekomme a=2021 b=0 und c=2020 heraus.
Kannst du ihren lösungsweg erklären, der komplett andere Ergebnisse liefert?
eieiei die Susanne hat's drauf
ich bin blöd wie n Föhn, raffe nicht ein Video von ihr obwohl sie es so gut erklärt, werde in meinem leben all das nie gebrauchen und trotzdem kann ich nicht aufhören mir jedes ihrer Videos anzusehen D: mach bitte bis an mein Lebensende weiter Videos :)
Das ist mal eine leichtere Aufgabe aus dem Oxfordtest.
Von der Aufgabe würde ich sagen, 7 oder 8 Klasse Mathematischer Zweig Realschule Bayern
Oxford Aufgaben folgen der Regel : Je einfacher desto weniger Zeit.
Mich würde interessieren, wieviel Zeit für so eine Aufgabe gegeben wird.
Hab es gelöst, wie es uns der Mathe-Lehrer vor 20 Jahren beigebracht hat: scharf hinschauen
Mal ehrlich... mit der gezeigten Vorgehensweise hätte man den Aufnahmetest nicht geschafft. Mit einem karierten Stück Papier, schafft man das in weniger als einer halben Minute. Dazu muss man aber auch sagen, wie es für viele weitere "Aufnahmetest" - Videos gilt, dass es bei diesen Aufnahmetests nicht darum geht eine Rechenaufgabe zu lösen, sondern darum mathematisch, logisches Denken und Abstraktions- und Transfervermögen eines Bewerbers zu testen. Jemand der hier "viel" rechnen muss, ist für das Studium wenig geeignet! Die ausführliche Erklärung welche mathematische Begründung dahintersteckt ist super!
was wäre DER Weg gewesen? Kästchen abzählen oder was?
@@Andy-qv9tb Bei solchen Tests gilt Quantität vor Qualität, der schnellste Weg ist der beste Weg. So ein 2D-System ist in Sekunden gezeichnet, so mancher kann es sich sogar im Kopf vorstellen. Dann gilt es die Lösungen auf Plausibilität zu prüfen, sie stehen ja schließlich schon da.
also Lösen ist kein Problem, aber bei dem gegebenen Zeitlimit hätte ich keine Chance: Quick and dirty 2,2
So sexy kann Algebra und Geometrie sein🥰
Der spannende Teil, warum eigentlich der Vektor u senkrecht zu v ist, denn hättest Du ruhig ausführlicher behandeln können. Auf dem Prinzip beruht quasi die ganze Vektorrechnung.
fängt so harmlos an und schwups kommt die vektorrechnung angeflutscht:)
Wenn man weiß welche Eigenschaften Quadrate haben, kann man das in 10 Sekunden im Kopf lösen
Nettes Problem. Aber niemals Universität. Eher Grundkurs achte Klasse.