"...И так далее продолжая, получаем биекцию..." Хрена лысого вы получаете, а не биекцию. Описанная в ролике процедура сопоставления элементов множеств N и A никогда не заканчивается в силу бесконечности множеств. А процедура, которая никогда не заканчивается не доказывает ровным счетом ничего. Ну разве что только тот факт, что множества N и A бесконечны. Но это как бы предполагается изначально. Почему все математики из бесконечности процедуры делают вывод о существовании биекции - совершенно непонятно. Многократные и безуспешные попытки объяснить им их ошибку, обращаясь к логике, волей-неволей наводят на мысль о том, что дело тут не в математике, а в психологии. Студентов-математиков просто так учили. И даже если кто-то не понимал, то он вынужден был принять точку зрения авторитетов, которая перешла просто в плоскость религиозных убеждений. А спорить с религиозными убеждениями - последнее дел. :-)
Вывод о существовании биекции делается на основе теории множеств, которая основана на логике первого порядка. Все утверждения и доказательства в ней являются конечными, в том числе и утверждение, что два множества равномощны, или что некоторое множество бесконечно. Приведённая процедура является лишь интуицией, которая тем не менее формально обоснована.
@@timofeykuritsyn9953 >> Все утверждения и доказательства в ней являются конечными, в том числе и утверждение, что два множества равномощны, или что некоторое множество бесконечно. Во-первых, приведенный в видео пример доказательства биекции между бесконечными множествами A и N противоречит утверждению, что доказательства являются конечными. Во-вторых, что вы доказываете - факт существование биекции или факт бесконечность множеств? Определитесь.
@Avgur_Smile Доказательство из видео кажется бесконечным, из-за своей неполноты и нестрогости. Более строгое доказательство выглядит так: Докажем, что существуют собственное подмножество натуральных чисел равномощное всему множеству. Пусть A = N / {1}. Очевидно, оно является собственным подмножеством N. Пусть f: A -> N, f(n) = n - 1. При помощи принципа математической индукции можно доказать, что f является сюръекцией, а инъективность f следует из инъективности функции следующего числа, следовательно f является биекцией, то есть |A| = |N|. чтд
@@Avgur_Smile База индукции: существует число n ∊ A такое, что n - 1 = 1. n = 2, верно. Шаг индукции: если для числа k ∊ N есть число n ∊ A такое, что n - 1 = k, то такое число есть и для k + 1. k + 2 подходит. По индукции получаем, что для любого n ∊ N, существует k ∊ A такое, что f(k) = n, то есть f - сюръекция.
Объясняешь хорошо, но микр надо сменить на получше, по ушам сильно бьет
"...И так далее продолжая, получаем биекцию..." Хрена лысого вы получаете, а не биекцию.
Описанная в ролике процедура сопоставления элементов множеств N и A никогда не заканчивается в силу бесконечности множеств. А процедура, которая никогда не заканчивается не доказывает ровным счетом ничего. Ну разве что только тот факт, что множества N и A бесконечны. Но это как бы предполагается изначально.
Почему все математики из бесконечности процедуры делают вывод о существовании биекции - совершенно непонятно. Многократные и безуспешные попытки объяснить им их ошибку, обращаясь к логике, волей-неволей наводят на мысль о том, что дело тут не в математике, а в психологии. Студентов-математиков просто так учили. И даже если кто-то не понимал, то он вынужден был принять точку зрения авторитетов, которая перешла просто в плоскость религиозных убеждений. А спорить с религиозными убеждениями - последнее дел. :-)
Вывод о существовании биекции делается на основе теории множеств, которая основана на логике первого порядка. Все утверждения и доказательства в ней являются конечными, в том числе и утверждение, что два множества равномощны, или что некоторое множество бесконечно. Приведённая процедура является лишь интуицией, которая тем не менее формально обоснована.
@@timofeykuritsyn9953 >> Все утверждения и доказательства в ней являются конечными, в том числе и утверждение, что два множества равномощны, или что некоторое множество бесконечно.
Во-первых, приведенный в видео пример доказательства биекции между бесконечными множествами A и N противоречит утверждению, что доказательства являются конечными.
Во-вторых, что вы доказываете - факт существование биекции или факт бесконечность множеств? Определитесь.
@Avgur_Smile Доказательство из видео кажется бесконечным, из-за своей неполноты и нестрогости. Более строгое доказательство выглядит так:
Докажем, что существуют собственное подмножество натуральных чисел равномощное всему множеству. Пусть A = N / {1}. Очевидно, оно является собственным подмножеством N. Пусть f: A -> N, f(n) = n - 1. При помощи принципа математической индукции можно доказать, что f является сюръекцией, а инъективность f следует из инъективности функции следующего числа, следовательно f является биекцией, то есть |A| = |N|.
чтд
@@timofeykuritsyn9953 >> При помощи принципа математической индукции можно доказать, что f является сюръекцией
Можно доказать? Ок, докажите.
@@Avgur_Smile База индукции: существует число n ∊ A такое, что n - 1 = 1. n = 2, верно. Шаг индукции: если для числа k ∊ N есть число n ∊ A такое, что n - 1 = k, то такое число есть и для k + 1. k + 2 подходит. По индукции получаем, что для любого n ∊ N, существует k ∊ A такое, что f(k) = n, то есть f - сюръекция.