積分で面積が出る理由
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- Опубліковано 13 жов 2024
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「家族で行こう！自転車の旅」
#高校数学 #鈴木貫太郎 #オイラー
こういう根本的な部分を知ると数学が楽しくなる
15分聞いた価値あって本当に嬉しい。
凄く理解しやすい教え方だと思います。
全く理解してない人にはチンプンカンプンかもですが、基礎をしっかりやってる人にはこういった教え方でさらなる理解を深めさせることで高校数学の一番の難関を楽しむことができるはず。
数学の本を書いてる人の中に微分からではなく、子供のうちから直感的に知っている積分を先に教えるべき！と書いていた人がいたのを思い出しました。
こういった微分、積分の関係性を教えることでより理解が深まるのであれば、両方同時がいちばんなのかもですね！
ありがとうございます。
平均値f(x)の、つまり図形の平均的高さ、が必ずx＝b～aの中間のどこかに存在する、そのx＝t✖️f(t)＝区間a～bの面積。つまり曲線群と同じ面積を指し示す長方形が、区間a～bのあいだに必ず作れると言うのとまた同値。ニュートンと鈴木先生最高です！
今の学生が羨ましくなるわかりやすさ
自分は40代後半の者ですが、受験の時を思い出します。一応理系でしたが微積だいぶ忘れていました。でも貫太郎さんの講義を見て分かりやすく凄い上手いなと正直思ってしまいました。
言われていることは分かります。導出すれば等価であることは色々な方法で証明できると思います。ただし、本質論としてなぜ定積分と面積(言い換えるとなぜ面積を求める行為と微分の逆演算)が等価なのかということを伝えられるもっと上手い方法が存在しているような気がします。関数(F)のある点からスタートして傾き(f)の蓄積が関数Fの値にどういう影響を与えるのかというような感じです。
あらら、日本語が不自由な人だわ
ふーふぁいたーず それはお前だよ（笑）
@@北島けいすけ きっしょ
これがわかんないと、自分たちが今なんの計算をやっているのかわからずモチベ下がるんですよね…
わかりやすい解説はためになります!
ありがとうございます。
このあたり、高校で初めて習ったときさっぱり理解できなかったのを思い出しました。積分とは原始関数を求めることなのに、そのための一般的な手順が存在せず、例え定積分で面積が計算できても、それは原始関数の解析解の表示には役に立たずで一体何が嬉しいんだろうとずっともやもやしてました。積分は区分求積法により微分とは無関係に決定されるものが本体、微積が逆演算なのは有用な性質に過ぎないという理解に至ったのはかなり後のことで、最初からそう教えてもらえれば随分楽だったのにと思ってます。
毎回こういう動画とか数2やる時に思うんだけど微積分とその使い方を思いついたニュートンもう天才としか言えねぇよな
ライプニッツ忘れられる定期
誰にでも分かる大変分かりやすい解説をありがとうございました。
動画として巻き戻せば何とかわかるかもしれないけど、普通に講義や授業だと聞き逃したまま終わっちゃいそう
しかもホワイトボードが消されて次々式が出てくるからノートとか書き写してる間に消されちゃいそうだし
書いてる間は講義の内容全く入ってこない状態になりそう
終盤の畳み掛けがすごい
f(x)は面積の関数を微分したものだったのか！単に計算の元になるものとしか思ってなかったです。目からウロコ。
F(x)一>f(x)一>f'(x)
面積ー>関数ー>導関数(接線の傾き)
明日学校で何故そうなるのかの説明を発表しないといけないのでとても助かりました！ありがとうございました！
いや、いい学校だな
「ちょうど〜だったので助かりました！」系のコメントで初めてまともなコメント見た気がしますw
もう一度勉強しなおそうと思って、動画拝見しています！本当ありがとうございます😊❤
高校の時、区分求積法で感動してロジックを知ったつもりになってたから、それだと思ってたら違ってて驚きました
初めまして。いつもありがとうございます。貫太郎さんの授業は実にユニークです。ただ予備の先生方や予備ノリのたくみさんと合い通じる「学問真理の探求者」としての謙虚さに満ちていて、そのお人柄の成せる授業に引き込まれてしまいます。旧来から馴染めなかった塾講師の見栄が放つ匂いが全くしません。一方で、素晴らしいお仲間とのほのぼのとした会話の雰囲気も大人気の理由の一つでしょうね。そうそう、貫太郎さんのTOEICも当方の励みになっています。先生の益々のご活躍を期待しています。
ありがとうございます。
微分の仕組みは教科書で理解できたのですが積分はなかなか教科書読んでもわからなかったので助かりました。 ありがとうございます！！
昭和30年代、私の世代では「素麺理論」で教わりました。曰く
①好き勝手な図形(数式で表せる閉空間)の面積に対し
一本の重量が統一した素麺で一重に覆え
②既知の面積を覆った素麺の重量を知れ
③その割合を以て図形の面積を算出せよ
④素麺の細さが限りなく細くなった時の重量比率が積分となる
当時、大変解り易く精進の助になったことを覚えています
そー言えば、円周の公式と球の表面積の公式とそれぞれを半径rで積分すると円の面積と球の体積の公式になりますよね。
∫ 2πr dr=πr^2
∫ ４πr^2 dr=(3/4)πr^3
糀谷浩一
円の面積は三角形の面積公式を、球の体積は錐体の体積公式を応用すれば出ます。高さがrの微小な三角形に分割して底辺長の合計が2πrだから面積は2πr × r ÷ 2 = πr^2、高さがrの微小な錐体に分割して底面積の合計が4πr^2だから4πr^2 × r ÷ 3 = (4/3)πr^3です。
ご提示の式は(3/4を4/3に訂正すれば)結果的に正しく見えますが、少なくとも上記の考え方には基づいてなさそうですし、なぜ単純にrで積分しているのかの意図が見えません(上式は傾き2πの直線が、下式は放物線が横軸と作る面積(あるいは底面の半径が高さの2倍の円錐の体積)のようであり、しかも不定積分)。本来は中心を原点に置いた円や球をスライスして、その断面の長さや面積の関数を-rからrまで定積分するべきです。その際、直交座標系を極座標系に変換する必要があり、その過程でπが現れます。
@@TheUGKY
∫（0→R) 2πr dr は半径が0~Rまでの全ての円の円周の長さを合計するから円の面積になる。
∫（0→R）４πr^2 dr は半径が0~Rまでの全ての球の表面の面積を合計するから球の体積になる。
球体の体積の公式忘れたら
表面積を積分してました
中途半端にやると絶対に理解できません。
①閉区間[a,b]で定義された連続関数f(x)（≧0）のx=a、x=bで囲まれた部分の面積をSとする。
②[a,x]（ｘはaとｂの間）の区間で囲まれた部分の面積をS(ｘ)と関数化します。ｘが決まればS(ｘ)が一つ決まるからｘの関数です。
③このS(x)をｘで微分します（できるかは不明です定義により進めます）。
定義により S'(x)＝lim1/h｛S(x+h)-S(x)｝ (h→0)
④ （ⅰ）ｈ＞0のとき ｈは十分小さい正の数として、f(x)は閉区間[ｘ、ｘ＋ｈ]で連続だから 最大値Ｍと最小値ｍが存在しその間の値をとるｃがこの区間内に少なくとも1つ存在する（大学ではきちんと証明します）、
よってＳ'(x)＝lim1/h{ｈf(ｃ)}=limｆ(ｃ)＝ｆ(ｘ）∵（ｈ→＋0のときｃ→ｘだから）
(ⅱ) h
結論から言うと原始関数が求まるような
特殊な関数だけを扱っていたんですね
この動画だと、下記の疑問点が残ります。
−−−−−−−−−−−−−−
[疑問点]
この動画の場合、f(x)=xだとした場合、その積分は、S(x)=x^2/2+C(定数)と、唯一定まると想定しているように見えます。もしかしたら、x^2/2の箇所が全く別の形をした関数G(x)の微分が、f(x)になってしまう可能性もあるのではないかと思います。そうなると、f(x)の積分結果が、二通りできてしまうので、正しくf(x)の下の面積が求められるのかが疑問が残ります。
−−−−−−−−−−−−−−
この疑問点は、平均値の定理を使った「原始関数の(定数を足すことを除いての)一意性の証明」で解決できるので、それを説明した動画があると、より多くの人に、受け入れられるものになるのではと思いました。
ホワイトボードに書かれた字を消すイレーサーに少量の油を染ませると字がすぐ消えますよ。
ホワイトボードが油でギトつく程に染ませるとペン先にも油がついて書けなくなりますので、その点は気をつけていただければ、だいぶ消すのが楽になる気がします。
こんなのを考えついた先生はすごい
面積の定義が重積分だからね
わかりやすいようなわかりにくいような
ぎり理解できた
何が分かったかと言われると、鈴木先生は凄いことがわかりました。脱帽。問題自体分かりません。どうすればいいのか、もっと遡って勉強するにはどうしたらいいんでしょうか？
10/12 配信分を観てここにやってきました。
この頃は、「紳士」ですね。
今は板前
14:31
こっからの話って
f(x)=S'(x)
↓両辺を積分
F(x)＋C=S(x)
↓S(a)-S(b)を求めたい
F(a)-F(b)を求めたい
⇒定積分∫［a→b］f(x)dxを出せばいい
ってことでいいですか？
tではなくx+θh (0＜θ＜1)とおくべきですね。そうすればh→0⇔x+θh→xが容易く示せます。
とても勉強になりました。ありがとうございます。
この部分は数学の醍醐味の前菜的なものなので、ここら辺を抑えると文系の人でも数学好きになるんですよね。
かくいう私も高校生の頃（40年ほど昔^^;）この部分を数学の先生が鈴木先生と同じくらい丁寧に説明され微分フェチになったんですが元素記号が覚えきれず泣く泣く私立文系への道に進みましたが選択科目は数学を選び見事合格しました。
ただ導関数を積分した際に現れる積分定数に関しては大学受験レベルでは、それでいいのですが純粋数学の世界ではイチャモン付ける人も結構いますね（微積分そのものを否定する輩も）そんな連中を嘲笑するかのようにポアンカレ予想を微積分で攻めて解いたペレルマンは尊敬します。本来鈴木先生が説明された内容は授業で数学教師がすべきなのですが現状では何故か塾や予備校に通わないと教えてもらえない現状では先生の存在は貴重ですね。頑張ってください
長々と失礼しました。
加護志摩雄 さん
丁寧なコメントありがとうございます。自然数対数の底eも本質を理解していない高校生が多いことを知り(日本で3本の指に入る大学の理系学部に入った親戚の子に「eって何」と聞いたら「eはe、微分しても変わらない。どうしてかは知らない。そういうもの」としか答えられませんでした)こんな動画も作りました。好評なのでよろしければご覧ください。ua-cam.com/video/1M7FF1nd25I/v-deo.html
ネイピア数を理解してない理系の学生さんって結構多いですね。
問題を解く方法を覚えるだけしか教えない教師と、それで良しとする生徒が合格しても大学で躓くんですね。せっかく難関大学に合格しても授業について行けず文系へ転部したり中退したりした人を数人知っています。迅速かつ丁寧なご返事ありがとうございますm(__)m
8:00頃から本題
ありがとうございます！
その前の解説も結構為になるけどね
もっと前からこの動画味とけばよかった、
鈴木さんの解説が一番目見やすい
ありがとうございます😊
考案した順番は、たぶん微分⇒積分だったのですよね。積分を考案した動機は、微分の逆を考えようとしたのか、面積を求めようと考えたのかどちらなのだろう。物体の運動の計算に積分が必要だったのかなあ。
物理から面積を求めるために積分してたら｢あれ、積分と微分って逆じゃね！？｣みたいになったんだと思います
数列Anの階差数列をBnとするとn》2のときAn-A1=ΣBkの考え方を利用して定積分を納得してもらうというこの案はいかがでしょうか(厳密ではないと思いますが、階差数列と定積分が繋がると思いました)。①まずlim[h→0]{F(x+h)-F(x)}/h=f(x)を満たすF(x)を見つける。②x軸にbからaまでn等分した点をつけ順にb1,b2,…,bn(=a)とする。③b《x《b1までの面積は(a-b)/n=hとおけばf(t1)h(b《t1《b1)である。同様にb1《x《b2までの面積はf(t2)h(b1《t2《b2),…,b(n-1)《x《aまでの面積はf(tn)h(b(n-1)《tn《a)④一方f(t1)h=F(b1)-F(b),f(t2)h=F(b2)-F(b1),…,f(tn)h=F(a)-F(b(n-1))⑤辺ペン加えると面積=F(a)-F(b)これに気がついてからは定積分は上手く項が打ち消しあう階差数列を見つけることと思えるようになりました。
一次関数は教科書に載ってるので知ってましたが曲線は初めて知りました。こういった式で綺麗に出せるのがやはり数学の美しいところですよね。すごい面白かったです。
文系高3男子
!ベジータ さん
コメントありがとうございます。他の動画も是非ご覧になってください。文系でも複素数、サインコサインの微分ができると得です。「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」ua-cam.com/video/O5BLVlYgonc/v-deo.html は文系の人にも理解してもらえるよう解説しているつもりななので、できれば最後まで。チャンネル登録もしてもらえると嬉しいです。
鈴木貫太郎
明日見て見ます！
これすごい知りたかったから感謝です
定積分の評価の問題について詳しく扱ってほしい(^^;;
教科書ではなかなか理解が難しいです
～5:00 くらいまでに、∫f(x)dxに対応する形で dF(x)/dx のような表記にチラッと触れておくと良いのかなと思う。
学校の先生説明してくれないから分からなかった…
ありがとうございます！
14:42 間違ってたら申し訳ないんですけどCは右辺じゃないのですか？
Googleこんにちは うるせえんだよカス
バーニー北島 草
今これがお勧めに出た理由は明白なんだけど、youtubeすげーなと
面白すぎて見入ってしまった
面積の増加量を底辺hで割れば高さf(t)が出る訳で、h→0のときのf(t)はf(x)と一致するという事かな。
サムネを見ると、何か「面積の概念」の本質に迫る内容のように思えて期待したのに…
中2の時に積分を学んだ時は感動しました。
エリートすぎる
こーゆー本質的な動画好きだなあ
2年前!!
ありがとうございます😊
そしてそれはまた、a～bの中での次数の高い変化率をいつでも究極的には一次式の単純な定数にまで表現できる！コロンブスの卵。人類の進歩が飛躍した瞬間を再現してくださってありがとうございます。m(_ _)m
分かりやすい説明ですね👍
ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。微積を習ったばっかの新高３ですが、一週間近くどうやったら面積を出せるかというのを考えたことがあるのですが、何も進展しませんでした。一週間なんて時間で分かるほどの発見ではないということですね。。。
ただ、疑問なのですが、
f(x)=s′の式を両辺積分しても等号は成り立つのですか？そんな操作をしたことがないのできになります
10:10 から本題です
それまでのところは微分の定義や図形的意味、積分の方法や図形的意味など数IIの範囲です
分かりやすすぎてびびった
繰り返し何度も観ました。
わかりやすい！
面積の関数として説明すると直感的にも理解しやすくなりますね！
みそしるゼリー さん
色々ご覧になってくださりありがとうございます。
ツイッター twitter.com/Kantaro196611
復習しにきました
数学を理解から入ろうとする人にとって、まぁまぁつまづきやすい所。
なるほど、分かりやすい😀
ありがとうございます😊
すばらしい！とても分かりやすいです。
教科書読んでも理解できなかったのに、15分で…(^^♪
どうもありがとうございました。
ありがとうございます。是非他の動画もご覧ください。
面積を求める際に台形や、ひし形、三角形のように辺の長さを足したり、割ったり、かけたりするのではなく、積分では求めたい面積の値が関数の値として求められるという解釈でまちがいないですか？
「なぜ」や「原理」を理解しようとすると数学は面白くなる。数学が嫌いな人は、教師に押しつけられた、得体の知れない'謎'の公式に数字を当て込む「代入作業」をしているから、ではないか。代入作業は数学ではない、、、はず。
わかりやす、、、！
ありがとうございます
根本を知らないと公式覚えれない人です
同じくです
意味わからずに覚えようとするとお経と同じ難易度だもんね
めっちゃ分かります、
ネットにUpされ わかりやすいので、ありがたいです、
学生時代文系で産業と社会の変化ｰ大人になり学ばなければならなくなり
ありがたいです。学生時代のサボってた自分をしばいてやりたいです。
質問です。13:40でf(t)がh→0になるとf(x)になると言っていましたが、なぜf(t)はhと関係のない式なのに変化するのでしょうか。宜しくお願いします。
ooo ooo さん
tはxとx+hの間にある数、h→0だとtはxと(x+ほぼ0)の間、即ちxとなる。
単元としては区分求積法まじで厄介で嫌いだけど
これすごいわおもろ
ありがとうございます😊
高校生の時に知りたかった…
微分がデフの和訳だったなんてここ数年で一番驚きました。
積分の求め方の成り立ちが、ようやく繋がった気がしました。ありがとうございます。
こんな動画が無料で見れる今の高校生が羨ましい
面積の関数S(x)の正体がよくわからない。
簡略化されて説明されてるからしっくり来ないんだよね。
リーマン積分についての説明があっても良かったのではと思いました。
急に話がオーディオのサンプリング周波数の様になっている。
定積分を1/6(β-α)の公式を使って解くのは問題ないのですが、どうやってその公式が導かれたのかわかりません
好奇心みたいなものですが解説いただけると嬉しいです
扇風機 さん
いつもご覧になってくださりありがとうございます。
1/6公式については考えておきますが、あれは単なる式変形だけで導けるので、大して面白くなさそうな感じがします。
鈴木貫太郎
式変形なんですね
自分で調べて計算を辿ってみます
どこにでものってる。自分でそのくらいやりなさいよ。
@@kaho8589(x-α)^m(x-β)^n を瞬間部分積分で積分してやれば一般的な公式が求まりますよ。1/6 1/12 1/30公式に限らずあらゆる場合においても求まるので非常に便利ですよ。
ちょっと話を脱線させると区分求積法になりそう･･･。
ねこ積分がそれだね
引き算しかしてないのに
何であんなぐにゃぐにゃに曲がった面積が求まるのか
キツネにつままれた気分だった
6:55あたりの定積分の定数についてなのですが、F(a)とF(b)の定数Cは必ず同じで、本当に綺麗に消えるのでしょうか？
F(x)のxにa,bを代入するだけだからcの値はそもそもかわらないんじゃないかな。
やまさ そーゆうことやね
中学生に向けた説明なら厳密性は下がるかもだけど
「dxはめっちゃ小さい横の長さ、f(x)は縦の長さ、
縦の長さ×横の長さで薄い長方形の面積が出せる。
それをaからbまで足し合わせれば面積になる。」
ってなるのかな？感覚的には本だって1枚は薄い
のに小口の面積は出せそうって感じるのと同じ？
どちらにせよ、積分も微分も「近似計算」って
ことを忘れちゃいかんな。
それがなぜ微分の逆演算なのかを説明してるのに笑
わかりやすい(^^)
ありがとうございます😊
ドーンってまとめると
底辺かける高さして引いた
中3の自分にはまだ早かった……
Lim の反対をする。＝拡張？てきなのをしてるんかな？
美しい…
リーマン積分とルベーグ積分の違いを簡単に説明出来ませんか
マジかよ
そういうことだったんか
不定積分の意味がわかりました
たしかに
10:17 定積分で面積が求まる理由
高一だけどなんとなくわかった
めっちゃわかりやすい
旧日本陸軍みたいな人だ、髭が。」
微分の逆が積分だからでは、説明になってないような気がする。そこが知りたい。直感でわかるでは無く、理屈で解らないと意味ないような気がする。
積分の定義が微分の逆演算と定めたら、面積の関数は積分で表すことが出来るようになった。 「微分の逆が積分」は積分の定義なのでは？
積分とは微分の逆演算であると定義しても、積分とは面積を求めることであると定義してももこの2つが同じになります。つまり、逆演算→面積も面積→逆演算も証明することができます。この動画では積分を微分の逆演算と定義し、逆演算→面積の証明を行っています。しかし、歴史的観点から見ると積分は面積を求めることと定義していたので、積分が微分の逆演算というのは受け入れられないなら、積分を面積だと思うことにして、面積から逆演算を求めるということを調べて見てはどうでしょう.....。
この説明じゃSEGや鉄緑会の生徒は納得しませんよ。
気になってたので良かった
11:06 微分はわかる人向け
わかりやすい~~
高校教師が教えてくれないのは時間がないからなのかな🤔
先生自身がわからないからですよ、きっと。
Mituna Kokata
少なくとも高校の教師でこれが理解できない人はほぼいないと思う。
学校でこれと同じように説明された笑
たぶん先生もこれを参考にしたのかも(？)
前置きが長いのと、式が次々消されるので何故面積が出るのかがよくわからなくなってしまいました。
定積分と不定積分のくだりは別動画でも良かったのでは？
私は高校１年生で習ってないけど､積分の考えを思い付いたよ。数学の成績は悪かったけどね。
神様だ…
いややばすぎ👊