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はじめ思考１で考えましたが上手くいかず、元の漸化式の特性方程式（nを定数とみて）nx^2－2(n+1)x+(n+2)=0を立てて解いてみると、ｘ＝１、(n+2)/nの２解が得られました。そこで元の漸化式を次のように変形して a[n+2]ーa[n+1]＝｛(n+2)/n｝×｛a[n+1]－a[n]〕｝、b[n]＝a[n+1]－a[n]とおけば、b[n+1]＝｛(n+2)/n｝×b[n]の階比型数列に持ち込めます。後は9:52の解説にほぼ沿った通りに解きました。骨がある問題でした。
情報をありがとうございます。助かります。
お疲れ様です。定番の思考１で、詰みました。一次式、勉強になりました。全く思いつきませんでした。ありがとうございました。
お楽しみいただければ幸いです。
一次式を意識して…ありがとうございます💕よくわかりました！
思考2ですが、b_(n+1)の係数-(2n+3)を-{(n+1)+(n+2)}というふうに分けて考えると、(n+1){b_(n+2)-b_(n+1)}=(n+2){b_(n+1)-b_n}となり、c_n=b_(n+1)-b_nとおくと、(n+1)c_(n+1)=(n+2)c_nとできます。これより、c_(n+1)=(n+2)/(n+1)×c_nとできるので、後は解法2と同じ要領で解けました。ただ、c_nを求めてからb_nを出すのにも階差数列の知識が必要なので、速いかと言われるとどうでしょう。
とてもわかりやすかったです！！
嬉しいコメントありがとうございます。
備忘録‘’70G〖 定石試行① ダメ 〗〖 定石試行② ダメ 〗【 試行③ 難 】【 試行④ 実験→推定→帰納法 】{a(n)} : 1, 7, 25, 61, 121, ･･････ a(n＋1)－a(n)＝ b(n) とおくと、{b(n)} : 6, 18, 36, 60, ･･････ b(n＋1)－b(n)＝ 12＋(n－1)・6＝ 6・(n＋1) これより、b(n)＝ 3・n (n＋1) これより、a(n)＝ 1＋3・(n－1) n (n＋1)／3 ■
数学的帰納法を用いるのは、良いと思います。ただ、「a(n＋1)－a(n)＝ b(n) とおくと、{b(n)} : 6, 18, 36, 60, ･･････ 」とおける方は、レベルが高い方とも思います。とはいえ、確かにおっしゃる通りです。さすがです。
a[n+1]-a[n]=3n(n+1) はΣを使わなくても、a[n+1]-n(n+1)(n+2)=a[n]-(n-1)n(n+1)と変形できるので、a[n]-(n-1)n(n+1)=a[1]=1∴ a[n]=(n-1)n(n+1)+1=n^3-n+1とわかります。連続n整数のΣを求めるときと同じ発想です。
後半ですね。これは、速い。お見事です。
補足です。自分は以下のように考えました。a[n+1]ーa[n]=3n(n+1)が得られた時点で、Σk^2の計算を考えると、a[n]の一般項はnの3次式になる事が予想され、また(n+1)^3を展開すると3n(n+1)の項が出てくる事から、3n(n+1)＝(n+1)^3－n^3－1と置き換えられる。するとa[n+1]ーa[n]=3n(n+1)の漸化式はa[n+1]ー(n+1)^3＝a[n]－n^3－1と変形できるので、c[n]=a[n]－n^3とおけば、c[n+1]＝c[n]－1となるので、数列c[n]は初項c[1]=a[1]－1^3=0、公差-1の等差数列となり、c[n]=a[n]－n^3＝0+(-1)×(n-1)故にa[n]＝n^3－n＋1りくさんのように鮮やかにはできませんでしたが、別動画でもmath様が言われているように「階差数列が出たから、即Σ計算と飛びつかず工夫できないか今一度考慮すること」が必要ですね。階差数列でΣ計算すると計算量も記述量も増えて時間もかかるし、計算ミス、記述漏れが出やすいですから。
自分でf(n) を置いて漸化式の形にするタイプの問題はよく見ますが、係数を定めた後に、そのまま等比に持ち込めないのは初めてでした。
コメントありがとうございます。とても参考になります。
両辺を n(n+1)(n+2) で割ると 1/{(n+1)(n+2)}*a[n+2]-2/{n(n+2)}*a[n+1]+1/{n(n+1)}*a[n]=0ここで，2/{n(n+2)}=1/{(n+1)(n+2)}+1/{n(n+1)} に注意すると 1/{(n+1)(n+2)}*(a[n+2]-a[n+1])=1/{n(n+1)}*(a[n+1]-a[n])1/{n(n+1)}*(a[n+1]-a[n])=b[n] とおくと b[n+1]=b[n] より b[n]=b[1]=(1/2)*(7-1)=3 よって a[n+1]-a[n]=3n(n+1)
情報をありがとうございます。
役に立ちすぎ！
恐縮でございます。
準公式 Σ[k=1～n] k(k+1)=(1/3)*n(n+1)(n+2) を用いるとn≧2 のとき a[n]=a[1]+(n-1)n(n+1)=n^3-n+1
有益な情報をありがとうございます。
いつも役に立つ動画ありがとうございます。自分も解いてみたのですが、思考1、2までは知っていたのでそこで止まってしまいました。そうするともう後は具体的にある程度求めて予想を立てて解く方法しか思いつかなかったのでそう解いたのですが、それが実際の誘導になっていて少し安心しました。ノーヒントは無謀過ぎる問題ですよね。
「ノーヒントは無謀過ぎる問題ですよね。」おっしゃる通り、ノーヒントでは、やや難と思います。解いた感想をいただけるのは、大変ありがたいです。お礼申し上げます。
-2(n+1)=-n-(n+2)に注目するのが楽かなまず n(n+2)で割る
思考2でいけたよ
思考２で解けましたか・・・素晴らしいです。
はじめ思考１で考えましたが上手くいかず、元の漸化式の特性方程式（nを定数とみて）nx^2－2(n+1)x+(n+2)=0を立てて解いてみると、ｘ＝１、(n+2)/nの２解が得られました。そこで元の漸化式を次のように変形して a[n+2]ーa[n+1]＝｛(n+2)/n｝×｛a[n+1]－a[n]〕｝、b[n]＝a[n+1]－a[n]とおけば、b[n+1]＝｛(n+2)/n｝×b[n]の階比型数列に持ち込めます。後は9:52の解説にほぼ沿った通りに解きました。骨がある問題でした。
情報をありがとうございます。助かります。
お疲れ様です。定番の思考１で、詰みました。一次式、勉強になりました。全く思いつきませんでした。ありがとうございました。
お楽しみいただければ幸いです。
一次式を意識して…
ありがとうございます💕
よくわかりました！
思考2ですが、
b_(n+1)の係数-(2n+3)を
-{(n+1)+(n+2)}というふうに分けて考えると、
(n+1){b_(n+2)-b_(n+1)}=(n+2){b_(n+1)-b_n}となり、
c_n=b_(n+1)-b_nとおくと、
(n+1)c_(n+1)=(n+2)c_nとできます。
これより、
c_(n+1)=(n+2)/(n+1)×c_n
とできるので、後は解法2と同じ要領で解けました。ただ、c_nを求めてからb_nを出すのにも階差数列の知識が必要なので、速いかと言われるとどうでしょう。
とてもわかりやすかったです！！
嬉しいコメントありがとうございます。
備忘録‘’70G〖 定石試行① ダメ 〗
〖 定石試行② ダメ 〗
【 試行③ 難 】
【 試行④ 実験→推定→帰納法 】
{a(n)} : 1, 7, 25, 61, 121, ･･････
a(n＋1)－a(n)＝ b(n) とおくと、
{b(n)} : 6, 18, 36, 60, ･･････
b(n＋1)－b(n)＝ 12＋(n－1)・6＝ 6・(n＋1)
これより、b(n)＝ 3・n (n＋1)
これより、a(n)＝ 1＋3・(n－1) n (n＋1)／3 ■
数学的帰納法を用いるのは、良いと思います。
ただ、「a(n＋1)－a(n)＝ b(n) とおくと、
{b(n)} : 6, 18, 36, 60, ･･････ 」
とおける方は、レベルが高い方とも思います。
とはいえ、確かにおっしゃる通りです。さすがです。
a[n+1]-a[n]=3n(n+1) はΣを使わなくても、
a[n+1]-n(n+1)(n+2)=a[n]-(n-1)n(n+1)
と変形できるので、
a[n]-(n-1)n(n+1)=a[1]=1
∴ a[n]=(n-1)n(n+1)+1=n^3-n+1
とわかります。
連続n整数のΣを求めるときと同じ発想です。
後半ですね。
これは、速い。お見事です。
補足です。自分は以下のように考えました。a[n+1]ーa[n]=3n(n+1)が得られた時点で、Σk^2の計算を考えると、a[n]の一般項はnの3次式になる事が予想され、また(n+1)^3を展開すると3n(n+1)の項が出てくる事から、3n(n+1)＝(n+1)^3－n^3－1と置き換えられる。するとa[n+1]ーa[n]=3n(n+1)の漸化式はa[n+1]ー(n+1)^3＝a[n]－n^3－1と変形できるので、c[n]=a[n]－n^3とおけば、c[n+1]＝c[n]－1となるので、数列c[n]は初項c[1]=a[1]－1^3=0、公差-1の等差数列となり、c[n]=a[n]－n^3＝0+(-1)×(n-1)
故にa[n]＝n^3－n＋1
りくさんのように鮮やかにはできませんでしたが、別動画でもmath様が言われているように「階差数列が出たから、即Σ計算と飛びつかず工夫できないか今一度考慮すること」が必要ですね。階差数列でΣ計算すると計算量も記述量も増えて時間もかかるし、計算ミス、記述漏れが出やすいですから。
自分でf(n) を置いて漸化式の形にするタイプの問題はよく見ますが、係数を定めた後に、そのまま等比に持ち込めないのは初めてでした。
コメントありがとうございます。
とても参考になります。
両辺を n(n+1)(n+2) で割ると 1/{(n+1)(n+2)}*a[n+2]-2/{n(n+2)}*a[n+1]+1/{n(n+1)}*a[n]=0
ここで，2/{n(n+2)}=1/{(n+1)(n+2)}+1/{n(n+1)} に注意すると 1/{(n+1)(n+2)}*(a[n+2]-a[n+1])=1/{n(n+1)}*(a[n+1]-a[n])
1/{n(n+1)}*(a[n+1]-a[n])=b[n] とおくと b[n+1]=b[n] より b[n]=b[1]=(1/2)*(7-1)=3 よって a[n+1]-a[n]=3n(n+1)
情報をありがとうございます。
役に立ちすぎ！
恐縮でございます。
準公式 Σ[k=1～n] k(k+1)=(1/3)*n(n+1)(n+2) を用いると
n≧2 のとき a[n]=a[1]+(n-1)n(n+1)=n^3-n+1
有益な情報をありがとうございます。
いつも役に立つ動画ありがとうございます。
自分も解いてみたのですが、思考1、2までは知っていたのでそこで止まってしまいました。
そうするともう後は具体的にある程度求めて予想を立てて解く方法しか思いつかなかったのでそう解いたのですが、それが実際の誘導になっていて少し安心しました。
ノーヒントは無謀過ぎる問題ですよね。
「ノーヒントは無謀過ぎる問題ですよね。」
おっしゃる通り、ノーヒントでは、やや難と思います。
解いた感想をいただけるのは、大変ありがたいです。
お礼申し上げます。
-2(n+1)=-n-(n+2)に注目するのが楽かな
まず n(n+2)で割る
思考2でいけたよ
思考２で解けましたか・・・
素晴らしいです。