相加平均と相乗平均の比の極限は？

[@gtale-y2w]

非有界の部分は厳密には±無限と実数,または±無限での振動も含みます

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

コメント有難うございます！

[@田村博志-z8y]

x ln x の極限は t = - ln x と変数変換すると
x = e^( - t )
x ln x = - t e^( - t )
あとは e^t の Maclaurin 展開による不等式
1 + t + t^2/2 < e^t
を用いれば難しいロピタルの定理を回避できます。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

有難うございます。ロピタルの定理は便利なので、多用してしまうんですよね。。。

[@関暁夫尊師-t8z]

Sₙ=[(n+1)/2]/(ⁿ√n!)=相加/相乗
logSₙ=log(n+1)-log2-1/n•Σlogn
y=logxの短冊長方形での挟み込みにより、-1/n•Σlogn≅1-logn(n:大)
よってlogSₙ≅
1-log2+log(n+1)-logn→1-log2
Sₙ→e^(1-log2)=e/2
(厳密には挟み撃ちの原理を使う)◾️

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

なるほど！

[@yoshi46-319]

stirlingの公式を使っても求めることができますね（前提知識が必要ですが…）

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

はい、そうなんです！

[@nameless_scarecrow]

入試に出てもおかしくないですね
広義積分をどうするのかは分からないですけど

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

どこかの旧帝大あたりの二次試験で出題されるとビックリですね！

[@usr1726bxhshshxhdhshs]

これめっちゃおもろいな
考えた人天才w

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

そうですね！

[@数学不定期投稿チャンネル]

チェザロの定理って入試で使えますか？

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

この定理にちなんだ出題があるとすると、誘導があると思いますので、それに沿った方が良いと思います。突然、定理を持ち出すと違和感がありますので。（大学入試の専門家ではないので、断言はできませんが。）

[@MultiYUUHI]

これは気になる式やな。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

自分も気になりました！

[@イェンゼン]

つい最近n変数の相加・相乗平均の式を不等式e^x≧x+1を使って示すやり方学んだところだから一緒にこれも学ぶ！

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

学んでもらえるとやりがいがあります！

[@鈴木啓介-e8d]

相加・相乗平均であろうという見立てを持ちつつ、自然数の総和及び総積の有名な不定形、ε-N論法及びリーマンζ関数(主値の証明するわけでないから、Γ関数及びディリクレη関数との関係は省略)が見えたので、敢えてそっちで解こうと試みたのですが、ε

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

すばらしい！試行錯誤していただいて有難うございます。

[@dekkai_oppai]

おもしろい

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

有難うございます！

[@三色玉かけ]

広義積分使うけど区分求積でもいけるね

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

はい、その通りです！

[@a.m.8310]

分子は簡単なんですけどね....n(n+1)/2n = (n+1)/2
分母は(n)rt(n!)のlogをとると、(1/n)(log 2+ log 3+.....+ log n)
log 2+ log 3+.....+ log nが、logxの2〜nの積分と、log(x-1)の2〜nの積分の間に入るので...中略で、求める極限は、e(n+1) / 2n になるのでe/2と。

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

なるほど！

[@数学不定期投稿チャンネル]

n！^1/n→n/e
を使えば一応答えは出せる

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

そうですね。この動画ではシュトルツ-チェザロの定理から導出して使いました。