Definición Formal de Continuidad | Curso de Cálculo Diferencial
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- Опубліковано 12 вер 2024
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Mi profe de cálculo decía que una buena forma de explicar la continuidad es "lo que debería pasar, pasa". Básicamente cuando nos "acercamos" a un determinado "a", el sentido común nos dice que deberíamos "acercarnos" a f(a); si ello sucede, entonces lo que debería pasar, pasa.
Detallado, preciso y clarísimo. Muchas gracias.
Estimado, debes tener tu playlist mas ordenado de forma especifica de tus cursos porfavor ,estos aportes que haces con la idea es genial .saludos
Ya me perdí con tanto libro que recomiendas, ¿estos apuntes están anexados al curso de cálculo diferencial?
Creo que sí, según veo en tu descripción.
Sí!
Voy a aprovechar esta oportunidad que nos das al hablar de continuidades.
Hace mucho tiempo tenía claro que para evaluar la continuidad de la función en un punto, primero debemos asegurarnos que ese punto es parte del dominio de la función.
Ahora bien, recientemente me he enterado que hay algunos autores que no están de acuerdo con esto. Dicen que si se evalúa la continuidad en un x=a que no es parte del dominio, entonces la función "no es continua en a" es más dicen que " la función es discontinua en a".
Un libro en el que encontré este tipo e definición es el libro de Cálculo de James Stewart.
¿Quisiera saber tu opinión de estas definiciones?
Hola
Sí, es un error, sí el punto no pertenece al dominio no se dice que la función es discontinua en el punto
@@MathPuresChannel gracias por tu respuesta
Gracias por el video, sin embargo no entendí porque siempre se considera continua a la función en un punto aislado.
No hay valores en el dominio de f para aproximarse al punto aislado, el punto aislado es el único punto cercano a si mismo, por tanto la continuidad es trivial
¡Hola! Tener un punto aislado a de la función f significa que podemos escoger δ > 0 tal que en un intervalo (a - δ, a + δ) no habrá ningún otro punto del dominio de la función. Ahora, poniéndolo en la definición de una función continua:
Para cada ε > 0, existe un δ > 0 (tomemos nuestra δ)
tal que si x ∈ A cumple que |x - a| < δ (en nuestro intervalo, el único x que cumple esto es x = a y |a - a| = 0 < δ),
entonces |f(x) - f(a)| < ε (otra vez, x = a y |f(a) - f(a)| = 0 < ε).
Entonces, f es continua en este punto a.
No estoy seguro de que sea una explicación completamente rigurosa, pero creo que el idea de la prueba es algo así.
@@af9466 exactamente, esa es la razón
Gracias por la explicación de ambos, sin embargo aún no me queda del todo claro ya que me da la impresión de que la definición de continuidad que se da aquí, es mínimamente diferente a la que se da en el libro de Cálculo de Stewart, y esa sutil diferencia hace que la función en un punto aislado más bien sea trivialmente no continua, en vez de trivialmente continua, ya que una de las condiciones necesarias que una función debe tener para que sea continua en un punto a es que el limite cuando x tienda a exista (según Stewart 8va edición pag 114-115) de lo contrario es discontinua o no continua. Si a es un punto aislado, significa que la función no está definida para valores cercanos de a, y por lo tanto el límite no existe, y por lo tanto no es continua... Si alguno podría aclarar esa duda por favor
@@JA-eg8vo no, tienes otro error, si a es un punto aislado del dominio de f, no se dice que el límite no exista, simplemente no tiene sentido analizar el límite en a, porque no puedes aproximarte a ese punto, no es que no exista el límite, simplemente no se puede analizar, por eso la definición de continuidad de este video no se enuncia con la definición de límite, solo se puede cuando a sea punto de acumulación