2 CÍRCULOS E 1 QUADRADO
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- Опубліковано 1 січ 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
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Encontre Área do Quadrado
Quando desenhou o triângulo, já vi que o lado vale 2, por causa do triângulo pitagórico clássico 3,4,5...
Perfeito! 😃
Poderia ter outro formato o triângulo, mesmo a ipotenusa medindo 5..
se fosse um retângulo poderia modificar os valores do triângulo retângulo
Existem outros triângulos retângulos com hipotenusa igual a 5 cujos catetos não são 3 e 4. Entretanto os catetos não são números inteiros.
Fantástico!!!!
Boa noite !
Podemos também considerar o triângulo retângulo 3 / 4 e 5. Nesse caso a hipotenusa sendo 5, obrigatoriamente os catetos adjacentes e oposto serão 3 e 4.
Então, se o raio é 5 e o catetos adjacente é 3 Então 5 - 3 = 2. Que é a lateral do quadrado.
Não necessariamente. Como o enunciado não diz que os lados são inteiros, eles poderiam ser fracionários. Mas o raciocínio foi válido no fim das contas.
Cuidado só com a parte do "obrigatoriamente", porque isso não procede. Podemos sim ter triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4.
Só é possível comprovar de cara um triângulo pitagórico 3 4 5 desses quando se tem dois dos três lados.
O que você poderia ter feito é tentar encaixar o 3 e o 4 ali, substituindo o x por valores convenientes e, obtendo êxito, continuar com a resolução.
Entendeu?! 🙂
Não entendi
@@ProfessoremCasa Perfeita observação. Só quero "ilustrar" com um exemplo: o triângulo Retângulo Isósceles. Tem dois Catetos iguais e pode ter hipotenusa valendo 5.
ainda que o triângulo fosse isósceles, o raciocínio dela funcionaria, pela mesma lógica. @@cesarcerveira2875
Fiz por geometria analítica, por exemplo: o vértice da direita está na circunferência da direita, então através da equação da circunferência centrada no ponto (5,5), encontra-se o lado do quadrado resolvendo a equação quadrática.
Eita!! Show!
Me explica ?
Poderia explicar?
Excelente exercício para buscarmos em nossas reminiscências os velhos conhecimentos.
Para qualquer par de círculos tangentes que tenham um quadrado entre eles tangenciando ambos ao mesmo tempo, o lado desse quadro sempre sera equivalente a 40% do raio dos círculos. Além disso, para que o raio de um círculo e a diagonal do quadro sejam colineares o lado do quadrado deverá ser aproxidamente 0,39647 vezes o raio do círculo. O que, curiosamente, é bem próximo do valor anterior.
Show de bola
entao se o par de circulos fossem de raio 10, o lado seria 40% dele ? sendo 4 o lado ?
@@homerofilho7366 Sim.
Muito bom !!!
Excelente! Parabéns. Me prendeu e aprendi! - matemática / geometria são muito bonitas!
Opa! Fico feliz com isso! Estamos juntos! Abração! 😀
Problema muito interessante. Parabéns professor.
Top demais!!!
Me deu saudade do cursinho ❤ adorava esse tipo de questão, faz uns 20 anos já que não estudo matemática, mas se botar um trem difícil desse para eu resolver acho que consigo sim.
Volte a estudar, deixa a gente bem❤
Olha que deu vontade!
Tá na hora de voltar vania
Sotacão fera. Boa aula, professor.
aula maravilhosa! didática excelente! um pouco de paciencia, aplicação dos conhecimentos e dá certo! :)
Muito obrigado!! Estamos juntos! 🙂
Mano que professor sensacional 🎉
Sem comentários!! O bicho é brabo!! ✌️
Saudades das minhas aulas no terceirão! Dom Bosco Curitiba!
Bons tempos!
Muito bom professor... Orgulho em ser inscrito do seu canal
Felicidade em ter um inscrito assim! 🙂
Muito bom!
Resolve se der por favor, umas questões de concurso, o do trt15 para analista de TI estava bem difícil por exemplo.
Obrigado.
Bom dia, prof. Felipe. Jamais conseguiria deduzir que, a partir de um triângulo retângulo, seria possível realizar este exercício. Questão típica de exames dificílimos como ITA e IME.
Somos dois
Opa! Por isso é bom estudar por esse tipo de questão. Amplia bastante a visão para resolver outras coisas dentro da área de geometria. 🙂
Ita e ime, tb não vamos exagerar ne! Diria mais para um colégio naval ou epcar.
Saudações iteanas!
Parabéns pelo trabalho professor!
Parabéns pela excelente solução. 👏👏
Obrigado! 🙂
Gênio! 😮
Muito boa didática. Parabéns!
Obrigado! 🙂
Peguei um caminho diferente.
Considerando a equação do círculo: x^2+y^2=r^2, e percebendo que para esse problema, r-y é o lado do quadrado que procuramos para r-x sendo metade do lado, montamos as seguintes equações:
y=√(r^2 - x^2), (r-x)*2=r-y
y=√(5^2 - x^2), (5-x)*2=5-y
Resultado em x=4 e y=3
Assim,
L = 2*(r-x) = 2*(5-4) = 2
ou L = r-y = 5-3 = 2
A = L^2 = 4
Quando o senhor desenhou o triângulo retângulo, isso me fez lembrar as questões de geometria estilo triângulo russo que que são resolvidas com construções auxiliares: Triângulos isósceles, equiláteros... Obrigado pelo ensinamento, mestre.
Boas essas questões. Estamos juntos, irmão! Forte abraço! 😃
Muito obrigado pela questão!
Realmente bem delicinha de responder!
Valeu! 😄
Muito bom! 👏
😃
Arrasou.
exercício divertido
Belo exercio pra memória.
Bom demais
Exelente!!!!!
😃
Muito boa, interessante a solução. Fez o exercício geral, que vale para qualquer triângulo retângulo. Nem sempre os retângulos são pitagóricos. O raio poderia ser 7,8,...9,81; ou qualquer unidade. A explicação foi abrangente e serve p/qualquer número. É assim que deve ser p/qualquer problema em matemática, física,...
Muito legal
Muito legal!!!
😃
Fiz igualzinho 😊
Muito obrigado
Estamos juntos! 😃
Muito bom ! Top
😃
Aula showwww, parabéns prof
😃
Deu a volta ao mundo. Triângulo retângulo 3, 4 e 5. Cateto maior =4. 2 catetos mais lado = 10. Logo lado vale 2 e área = 4... cqd
Alguém sabe por que ele não alterou o sinal de menos para mais quando nos primeiros cálculos e no final quando chegou a -2 . -10 ele trocou?
Eu tinha:
x² - 12x + 20 = 0
Aí reescrevi essa equação faturando ela, ou seja, transformando numa multiplicação.
x² - 12x + 20 = 0
(x - 2)(x - 10) = 0
Duas coisas, que multiplicadas, igualam a zero. Ou uma é zero, ou outra é zero. Daí igualamos os fatores a zero pra encontrar os valores de x.
x² - 12x + 20 = 0
(x - 2)(x - 10) = 0
x - 2 = 0
x = 0 + 2
*x = 2*
x - 10 = 0
x = 0 + 10
*x = 10*
x = 2 é a resposta que cabe melhor. 🙂
Sensacional.
😃
"PENSACIONAL", PARABÉNS !!!
😄
tava impossivel esse
Sensacional!!!
Questão típica de ITA, IME…
Parabéns pelo canal!!!
Quem dera tivesse um professor assim no meu tempo de escola...
Tentei fazer da seguinte maneira: Declarei x para os lados do quadrado, tracejei 2 raios em uma circunferência, uma para baixo e uma em direção da diagonal do quadrado. Depois, utilizando o Teorema de Pitágoras, tendo: um cateto com o valor 5 e outro cateto de valor 5 + x/2 e a hipotenusa valendo 5 + x√2. Depois obtendo o resultado, elevei por 2 o resultado. Porém, não consegui realizar.
Tentei assim tbm e o resultado nao bate. Sera que podemos considerar que a hipotenusa realmente alinha com a diagonal do quadrado?
@@gsantosoliver eu resolvi com trapézio agora. Mas eu percebi que o raio do círculo pode não coincidir coom a diagonal do quadrado
Eu comecei a pensar dum jeito mas tive que voltar....
Obrigado por nos prestigiar com conhecimento, Felipe
Abraços e um excelente ano pra nós
Show de bola! O importante é tentar sempre! Que tenhamos um ano maravilhoso!!!
Excelente raciocínio.
Valeu! 😃
Boa lógica! Parabéns
Valeu! Estamos juntos! 🙂
Muito bom.
🙂
Para todo triângulo retângulo de hipotenusa 5, os catetos são 3 e 4. Ao achar o 3 do cateto oposto, automaticamente sobre 2 para o X. Matou a questão
As razões 3x/4x/5x em um triângulo retângulo é imutável, portanto o lado só poderia ser igual a 2. Mas a explicação inteira é sempre muito bem-vinda. Parabéns pelo exercício bem elaborado.
Opa! Muito obrigado, irmão! Só cuidado, porque apenas sabíamos que a hipotenusa era 5. Somente com a hipotenusa 5 não se pode garantir que os catetos sejam 3 e 4, porque existem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Apenas um exemplo seria o triângulo retângulo de catetos √21 e 2 e hipotenusa 5.
Entendeu?! 🙂
Muito legal relembrar o vestibular
😃
Muito bom adorei os cálculos
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Também usei pitagoras, mas considerei o lado do quadrado como 2x pra evitar fração nas contas :)
Parabéns, foi um ótimo exercício ... grande revisão!
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Pensei da seguinte forma e gostaria de compartilhar.
Seja o trapezio cuja base maior é 10m, a medida que dista de centro a centro no circulo dado. Seja x a medida da base menor e 5-x a altura do trapezio, consideramos x
Muito bom! 🙂
Excelente
Obrigado! 🙂
Não consegui resolver esta, mas curti e aprendi com a explicação!
Opa! Estamos juntos, meu irmão!
Obs.: se a hipotenusa é 5, um cateto é 3 o outro é 4.
Logo: 5-3=2
X=2
2×2= 4
Show de bola! 🙂
Brilhante , é um raciocínio lógico. Porém ,se não fosse um quadrado ? Não fiz , só estou perguntando .
boa observaçao, classico triangulo 3,4,5.
Em nenhum momento foi dito que x era inteiro. 3, 4, 5 nao é o unico triangulo retangulo de hipotenusa 5 possivel...
Poderia ter 5 na ipotenusa mas os catetos terem medidas iguais, ou totalmente difetentes, nem todo triangulo com 5 na ipotenusa tem 3 e 4 nos catetos
Professor eu fiz de cabeça e acertei!
Eu infelizmente não sei raciocinar dessa forma, sou péssimo em matemática, então só olhei o alinhamento do quadrado com a linha do raio da circunferência, chutei que metade do lado do quadrado seria igual a ⅕ do raio, ou seja, o metade do lado do quadrado é 1, o lado inteiro é 2, e sendo quadrado a área seria 2²=4
Não me orgulho do meu raciocínio kk
Continue tentando resolver as questões e anotando as resoluções. Parte importante do aprendizado é fazer isso. Você vai melhorar muito com isso. Estamos juntos, irmão! 😃
Professor, eu desenhei um trapézio ligando os raios com o quadrado e dentro do trapézio fiz o triângulo retângulo. Quando vi que a hipotenusa era 5, já soube que a altura do trapézio era 3 e uma parte da base maior era 4. 4 de um lado da base maior e 4 de outro, 8. Então a base menor valia 2, logo a área: 4m² ❤
Professor , o senhor mostrou muito bem a solução traçando o triângulo pitagórico, se o cateto é 3m segmento do raio 5m ,fica claro que o segmento complementar do raio que determina o lado do quadrado é 2m, ali estava resolvido a questão, mas o senhor fez todo aquele caminho com cálculos "estratosfericos " ,com certeza pra fazer o aluno pensar mais expandindo a consciência. Parabéns.
Mas la não tem nada dizendo q o cateto é 3. Apenas a ipotenusa é 5. Os catetos poderiam ter medidas diferentes, imagina se tivesse um retângulo ao inves de um quadrado la no meio
Não tinha dizendo que o cateto valia 3m
8:34 essas roubadinhas que sempre me prendem na hr. No caso a verdadeira lógica e seu porquê. Pensar e ver. Mas na hr , já grita mamãe
Como vc deduziu que o prolongamento de reta (no caso, igual ao comprimento do raio) divide o quadrado exatamente ao meio?
Top
Sou Arquiteto aposentado, 74, me diverti, muito bom...
Fico feliz em ler isso, Marco! 🙂
eu sofro de Parkinson e a mente não pode parar, a matemática parece estimular isso. Abraço.@@ProfessoremCasa
Que Deus te abençoe!!!
Fiz a equivalência já que o triângulo retângulo tem lados proporcionais a 3, 4 e 5. Fazendo 5-X = 3 e 5-X/2=4 para achar X=2. Finalizando S = 4 m
❤
Quando fez o traço da linha de 5 metros para baixo
Percebi que a lateral do quadrado tinha 2/5 da altura da linha
Sendo então lateral de 2 metros
X base de dois metros e igual a 4 metros quadrados. Muito mais simples.
Quando o desenho está na proporção correta é possível achar o valor da área apenas usando o compasso e fazendo a marcação nas retas que sinalizam o diâmetro(mas isso seria burlar). Foi assim que no começo do vídeo cheguei no resultado de 2m imaginando o uso do compasso. Mas obviamente não valeria pra uma resposta na prova sem demonstrar o cálculo.
As simplificações ao final do cálculo eu meio que não peguei o raciocínio.
Obrigado por compartilhar seu conhecimento!
Opa! Esse desenho está com as proporções corretas. Deu certo por isso. 😄
Obrigado pelo carinho, irmão! Estamos juntos! Abração! 😀
Eu fiz, calculando a distancia do ponto onde canto do quadrado toca o círculo até a base.
Deu o mesmo resultado, obviamente , mas acho que fiz mais contas.....
ponto de encontro: 1-seno(y) = 2(1-cosseno(y)); sabendo que seno(y)=raiz(1-cosseno(y)²);
chamo o seno(y) de x: 1-x = 2(1-raiz(1-x²));
fazendo a conta x=0,6, que é o seno(y);
lado = (1 - 0,6) * 5 = 2
area = lado² = 4;
Pode me explicar melhor? 🙂
The other solution of 10 is also valid with a square with the two summits on top of the two circle
Mui bom
parabens
Valeu! 🙂
Like.
Top
Questãozinha boa
EU RESOLVI USANDO O TRIÂNGULO PITAGÓRICO 3; 4 e 5...
Perfeito!!!
Adorava esse tipo de exercício. O que mais carrego comigo até hoje que aprendi com matemática são os métodos de solução de problemas
fiz um pouco diferente a análise do triângulo retângulo, mas cheguei no mesmo resultado: a diferença foi que, ao invés de representar metade do lado do quadrado como (x/2), acabei representando esse valor direto como x. Se por umm lado evitei as frações todas, por outro eu tinha que lembrar no final de multiplicar o x obtido por 2, pra ter o valor do lado inteiro, não só sua metade.
Foi muito boa, mas no minuto 9, na resolução da equação do segundo grau, percebe-se quando o professor acochambra. Sugestão: edite o vídeo, mencionando o método poh-shen-lo de resolução de equações quadráticas. Basicamente, quando a=1 (tem que transformar a equação para que a seja 1), as raízes são: - b/2a +/- SQR ((b^2)/4 - c). No caso, b = - 12, logo - b/2a = 6 e (b^2)/4 = 36. 36- 20 =16, SQR = 4. 6 +/- 4 = 2 , 10. Ou seja, Bháskara meio que já era, o meio mais fácil de resolver equações é poh-shen-lo.
Eu considerei a diagonal do quadrado pra somar com o raio e gerar uma hipotenusa maior. O raciocínio tava certo, mas me embananei na equação depois, que ficou gigantesca e eu não lembro mais como resolve equação de segundo grau. 😅
Feliz ano novo!! :D
Feliz 2024, irmão! 😃
Acertei 😁
Resolvi pela equação do círculo
Triângulo retângulo notável, lados 3,4,5. Se a hipotenusa é 5, os outros dois lados são 3 e 4. Como 5-x é menor que 5-x/2, 5-x=3
Cuidado!!! "Se a hipotenusa é 5, os outros lados são 3 e 4" não é necessariamente certo, porque existem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e lados diferentes de 3 e 4.
Só dá pra garantir assim de cara um triângulo retângulo pitagórico se já houver 2 lados dados e, daí, o terceiro sairá fácil, caso o triângulo seja pitagórico.
O que pode ser feito é, sabendo que pode ser um triângulo 3 4 5, substituir x por valores convenientes e ver se encaixa. Para o caso dessa questão, dá certinho! 😀
Entendeu?! 🙂
Matei essa depois que você tracejou o triângulo com a propriedade do triângulo "3, 4, 5"
Muito bom! 🙂
10 segundos pra responder hahahaha
Esse difícil pra caramba 😬😬
Faz por seno e cosseno que é mais fácil.....
ta doido q é mais fácil. eu fiz quase q de abeça isso aí.
O nível de estudo que precisa ter pra enxergar tudo isso analisando as figuras é surreal
É questão de prática. 🙂
É semelhante ao problema com as 3 circunferências. Uma circunferência no lugar do quadrado.
Pergunta: Se eu extender a hipotenusa, ela coincidira com a diagonal do quadrado? Se sim, porque fazendo usando essa premissa nao consigo fazer a resposta bater? Obrigado.
Seria interessante fazer uma interpretação da outra "solução", x=10. Seria o quadrado de lado 10, cujos vértices seriam os pontos de tangência de cada circunferência com a linha horizontal e os respectivos pontos diametralmente opostos.
Acertei o resultado so olhando o quadrado. Que nitidamente, para um bom observador, seria 2m o valor de um lado. Sendo assim, 2 ao quadrado. =4m quadrados..
Eu também. Kkk Agora se tivesse um resultado como opção um número virgula alguma coisa aí teria que fazer conta. 😊
Tu me quebrou nessa parte do "que nitidamente, para um bom observador, seria 2m" 😂
Aí não, filhão...
B tarde.. excelente videt. Será que por semelhança é uma forma de fazermos?
Hipotenusa igual a cinco!!!
Triângulo pitagórico na hora, papai... não precisa fazer todos esses cálculos, ganha tempo e já parte pra resolver outra 😂😂🎉🎉
Não!!! Tem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Afirmar isso de cara é loucura!
O sensato a ser feito ali é, no máximo, conhecendo o triângulo pitagórico 3 4 5, já que a hipotenusa é 5, substituir x por valores convenientes para que, caso comprove que aparece um triângulo pitagórico ali, continuar a questão até o final.
Entendeu?! 🙂
Usei o corpaço e a geometria, para chegar à solução mais rapidamente.
Com compasso é mais fácil... 😄
Boa noite professor, uma dúvida. Se eu imaginar o seguinte triângulo retângulo: Hipotenusa = raio + x raiz (2) (diagonal do quadrado); Cateto = raio; Cateto raio + x/2. Por acaso chego na mesma resposta?
Excelente pergunta, Victor! Apesar de ser tentador pensar assim, não é possível comprovar que o centro de um dos círculos, o vértice do quadrado que tangencia esse mesmo círculo e o vértice do quadrado oposto a este são pontos colineares (e de fato não são).
A conta, em si, fica bem "bizarra" num dado momento, se tentar fazer... 😄
Qualquer outra dúvida, só falar. 😀
Misericórdia! Não sabia nem por onde começar. Kkk. Deixa eu fazer uma reza aqui: valei-me são albert eistem!!😂😂😂
Continua estudando, que vai melhorar! Abração! 🙂
Boa
😃
coisa linda essa questão aí ein
😃