Super tolles Video, vielen Dank! Jetzt habe ich das ganze endlich besser verstanden. Jetzt noch ein bisschen üben, und dann kann die GAZ-Klausur am Montag kommen!
Sehr gern! Wenn dir die Videos gefallen haben, dann schau dir gerne mal meine Videokurse zur Klausurvorbereitung an. Da zeige ich dir, wie du in typischen Klausuraufgaben dazu sichere Punkte holst: www.math-intuition.de/courses
Starkes Video! Lässt sich dieses Verfahren auch auf Ringe mit speziellem X, zB der Ring Z[sqrt(-17)], übertragen? Kann ich hier auf ähnliche Weise ein irreduzibles Element ermitteln? (Gibt ja keine Nullstellen)
Nicht direkt. Bei konkretem Wert anstelle von "X" wird eher eine "Primfaktorzerlegung" gesucht und dann musst du am Ende prüfen, ob die "kleinsten" Elemente irreduzibel sind.
Alle aufzählen ist schwierig, da es unendlich viele sind ;) Das ist so ähnlich wie bei den Primzahlen in den natürlichen Zahlen. Zum Beispiel sind alle Polynome von Grad 1 irreduzibel (stell dir vor dies wären wie "primzahlen"). Allein davon gibt es ja schon unendlich viele bei den reellen Polynomen. Wenn du jetzt von diesen irreduziblen polynomen zwei nimmst und multiplizierst, erhälst du ein NICHT irreduzibles Polynom von Grad 2. Alle anderen Polynome von Grad 2 sind demzufolge irreduzibel. Auch hier siehst du leicht die Analogie zu Primzahlen. Polynome von Grad 3, die NICHT irreduzibel (also reduzibel) sind, bestehen aus einem irreduziblen Polynom von Grad 1 und 2 oder von drei Grad 1 irreduziblen Polynomen. ALLE anderen Polynome von Grad 3 sind irreduzibel. Und so weiter.
Absolut richtig! Das lässt sich auch sehr einfach beweisen: Sei f ein reelles Polynom ungeraden Grades. Dann ist lim f(x) = + unendlich für x -> + unendlich und lim f(x) = - unendlich für x -> - unendlich. Und da f stetig ist, müssen also alle Werte "zwischen" minus und plus unendlich angenommen werden (Zwischenwertsatz), insbesondere muss f(a)=0 auftreten für ein gewisses a, d.h. f hat mindestens eine reelle Nullstelle. Damit kann ich einen LInearfaktor abspalten: f(x) = (x-a)*g(x) mit Hilfe Polynomdivision. Folglich ist f reduzibel. QED Übrigens sind aber tatsächlich sogar ALLE reellen Polynome mit einem Grad > 2 reduzibel. Das erkennt man, wenn man "kurz" in die komplexen Zahlen wechselt, denn dort zerfällt jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren und dann sieht man, dass entweder reelle Linearfaktoren dabei sind (dann ist es also reduzibel auch in R) oder dass es mind. ein Paar von Nullstellen gibt, die komplexe Konjugierte voneinander sind. Wenn man die zugehörigen Linearfaktoren multipliziert, entsteht ein REELLES Polynom vom Grad 2, das dann vom ursprünglichen Polynom abgespalten werden kann. Also auch wieder reduzibel. QED.
hm..., wahrscheinlich komm ich zu spät :( Ich habe mir gerade einen abgebrochen a=c=0 und b=d=1 nachzuweisen. Verschau ich mich gerade, oder übersehe ich den Algorithmus, aus dem man das direkt sieht? Ich hab bissel raten müssen, um auf die Lösung zu kommen :D.
Hey Victor, danke für deine Frage! Hast schon Recht: Solche nicht-linearen Gleichungssysteme zu lösen ist nicht einfach. Ich kenne da aktuell auch nichts anderes als geschickt zu versuchen, Variablen zu elimieren ähnlich wie beim Gauss. Falls jmd anderes Tipps dazu hat, gerne!
@@mathintuition Danke schön für Deine Antwort :). Das hätte ich jetzt nicht erwartet, offen gestanden. Deine Videos sind - aber das weißt Du sicherlich schon ;) - so ziemlich die angenehmsten und inhaltlich wesentlichsten, die mich während meines Mathestudiums (Zweitstudium) begleite(te)n. Schade, dass Du wohl irgendwann aufgehört hast mit den Produktionen :(.
Naja, bei dem ist es ja ganz einfach: b*d = 1, also können b und d nur 1 sein. Wenn man das in b + a*c + d = 2 einsetzt, weiß man, dass a*c = 0 sein muss, also mindestens eins von beiden 0 ist. Wenn man dann noch auf a+c = 0 schaut und jetzt weiß, dass einer der Summanden null sein muss, erkennt man, dass auch der andere 0 sein muss. also a=c=0. Aber für kompliziertere Fälle gibt es auch gute Videos mit Schema-F-Ansätzen zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
Danke für das Video! Meine Frage ist aber eher, ob es einen Weg gibt, alle zu untersuchenden Polynome für zb. grad 1 bis 4 zu bestimmen. Wir müssen nämlich zuerst alle bestimmen, aber ich vergesse manchmal ein paar Polynome
Hey Alexander, hier vermischst du zwei binomische Formeln. Es gilt: (x-1)(x-1) = x^2 -2x + 1. Nur über den komplexen Zahlen lässt sich x^2+1 noch aufsplitten in (x- i)(x + i) über die dritte binomische Formel.
Danke für Ausführung und guten Vortrag.. x^2 +1 ist im rellen Bereich, wenn schon wurzeaus (1) ist irrational, irreduzible. x^2 = x.x ist reduzible. x+1 ist als polynom nicht zum Zerlegen, irreduzible sicher doch x+1 = [wurzel (x) + j.wurzel(1)] [wurzel (x) - j.wurzel(1)], nun irreduzible oder nicht? x^2 +1 = [x + j.wurzel(1)] [x - j.wurzel(1)] x^2 +a = [x + j.wurzel(a)] [x - j.wurzel(a)], irreduzible oder nicht?
Danke für die Frage! Zu x+1: Ein Ausdruck mit Wurzel(x) zählt nicht mehr als Polynom! x+1 ist bereits die "kleinstmögliche" Zerlegung, also irreduzibel. Allgemein sind Polynome von Grad 1 immer irreduzibel. Zu x^2 +1: Es kommt auf den Kontext an! Über den komplexen Zahlen ist deine Zerlegung gültig, d.h. das Polynom ist über C reduzibel. Über den reellen Zahlen hingegen ist dies keine Zerlegung (weil beide Faktoren komplexe Zahlen enthalten), also ist x^2+1 irreduzibel über den reellen Zahlen (und auch über den rationalen). Zu x^2 +a: Analog zu x^2+1. Es gibt nur komplexe Zerlegungen, daher ist das Polynom über C reduzibel und andernfalls irreduzibel. Allgemein gilt über den komplexen Zahlen C, dass NUR die Polynome von Grad 1 irreduzibel sind. Alle anderen lassen sich immer zerlegen in Produkte von Polynomen von Grad 1 (laut dem Fundamentalsatz der Algebra).
Allgemein kannst du bei jedem Polynom erstmal auf eine Nullstelle als erstes prüfen (also ob sich ein linearer Faktor abspalten lässt). Wenn das nicht geht, dann probierst du einen quadratischen irreduziblen Faktor abzuspalten durch folgenden Ansatz: Beispiel f=X^6+1. Angenommen f=f_1*f_2 wobei f_1 ein quadratischer Faktor ist, dann können wir schreiben: f = (a*X^2+b*X+c)*(d*X^4+e*X^3+f*X^2+g*X+h). Und das versuchst du dann nach zu lösen (also die Koeffizienten a bis h zu finden) durch Koeffizientenvergleich (z.B. muss a*d gleich 1 sein, weil beide Vorfaktor von X^6 sind auf der jeweils rechten bzw. linken Seite). Wenn du eine Lösung findest, hast du eine Zerlegung, ansonsten weißt du, dass es keinen quadratischen Faktor gibt und kannst weiterüberlegen ;)
sehr gutes Video! ... aber nur für einfache Fälle :-) Gibt es auch ein Video mit einem Polynom, in dem ALLE x-Potenzen vorkommen? Denn dann kann man nicht einfach die Fälle 1+1+1+1, 1+1+2 und 1+3 ausschließen. Mit dem in diesem Video angegebenen Vorgehen erhält man ja kein lineares Gleichungssystem für a,b,c,d , darum ist die Lösung nicht unbedingt einfach. Wie würde man es z.B. für x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9 lösen? Also a+c=3, b+ac+d=5, ad+bc=7, bd=9. Aber wie weiter? Alternativ könnte man zwar mal versuchen, durch (x+1) und (x-1) zu dividieren. Aber wenn die Nullstelle z.B. bei 10/3 (also 3 1/3) liegt, kommt man damit wohl kaum drauf.
Hallo +Andy Mayoares , wie du völlig richtig erkannt hast, wird es für höhere Potenzen als 4 schon sehr schwierig. Daher wird einem als Student fast immer nur Grad 4 oder kleiner vorgesetzt werden ;) Andernfalls muss es einen Trick geben, wie z.B. bei x^6 +x^3 + 2 (hier kann man gut substituieren). Genau damit beschäftigt sich auch heute noch die höhere Mathematik: Lösungen für Gleichungen von Grad 5 und höher sind sehr komplex und bei weitem nicht vollständig erforscht. Und ein Polynom, in dem ALLE x-Potenzen vorkommen, ist kein Polynom mehr, denn Polynome haben per Definition nur eine endliche Anzahl an Summanden. Stattdessen nennt man "Polynome mit unendlich vielen summanden" wie zum beispiel 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + .... (und so weiter bis ins unendliche) eben nicht mehr Polynome sondern Reihen.
Hallo Math Intuition, danke für die Antwort und die Erklärung der Schwierigkeit für Polynome höheren Grades, auch sehr interessant, da haben die Mathematiker noch viel zu tun :-) Meine Frage ist allerdings eine andere, da habe ich mich nicht exakt genug ausgedrückt: Im Video enthält das Polynom nur positive x^4, x^2 und x^0. Damit sieht man, dass es keine reelle Nullstelle hat und man kann die Fälle 1+1+1+1, 1+1+2 und 1+3 ausschließen. Doch was macht man, wenn das Polynom alle x-Potenzen bis Grad 4 enthält, also auch x^3 und x^1? Dann müsste man erst mal eine Nullstelle finden und diese "rausdividieren", oder?
ich hab hier eine angabe: x^2 +3 reduziebel über Q und R5.. die angabe hat offensichtlich keine nullstelle, heißt das a und b is gelöst? das wirkt zu einfach D:
+Marcel Winklmüller Über Q hat das Polynom keine Nullstelle und ist daher irreduzibel, richtig ;) Was soll denn R5 sein? Soll das der Körper F_5 sein mit 5 Elementen? Je nachdem wie der Körper definiert ist, kann es dann eben doch noch eine Nullstelle geben (sonst wäre die Aufgabe ja wirklich sofort trivial ;)), weil bspw. noch Modulo rechnen noch ins Spiel kommt.
hi! jap gab noch nullstellen, hab irgendwie fälschlicherweise angenommen das wenns in Q irreduzibel ist das es auch in R_5 irreduziebel sein muss.. war aber icht der fall :p logischer weise! und ich meinte damit mod5 in den rationalen zahlen.. Danke!
+Apelyn's Entertainment. In dem konkreten Beispiel ja, aber das wäre nur gegangen, weil im Polynom nur x^2 und x^4 vorkommt. Das Vorgehen im Video funktioniert jedoch ganz allgemein immer, auch wenn ungerade x-Potenzen auftauchen ;)
Hey +Apelyn's Entertainment. Sehr schön, das freut mich :) LA 1 oder 2? Denn für 2 erstelle ich aktuell einen Videokurs und für LA 1 gibt es ja schon einen: www.math-intuition.de/la1-intuition/ Falls du einen Lernboost brauchst ;)
11:02 hast du 1+1+2+2 geschrieben, aber mann verstehst es ja trozdem klar ( sollte 1+1+2 stehen)
Wirklich hilfreich, auch deine anderen Videos. Vielen Dank! :)
Super tolles Video, vielen Dank! Jetzt habe ich das ganze endlich besser verstanden. Jetzt noch ein bisschen üben, und dann kann die GAZ-Klausur am Montag kommen!
Nochmal super zusammengefasst am Ende!
danke, dass es dich gibt;)
Sehr sehr stark!
Sehr gut erklärt!
Sehr gern! Wenn dir die Videos gefallen haben, dann schau dir gerne mal meine Videokurse zur Klausurvorbereitung an. Da zeige ich dir, wie du in typischen Klausuraufgaben dazu sichere Punkte holst: www.math-intuition.de/courses
Super erklärt , vielen Dank
Danke!!
Starkes Video!
Lässt sich dieses Verfahren auch auf Ringe mit speziellem X, zB der Ring Z[sqrt(-17)], übertragen? Kann ich hier auf ähnliche Weise ein irreduzibles Element ermitteln? (Gibt ja keine Nullstellen)
Nicht direkt. Bei konkretem Wert anstelle von "X" wird eher eine "Primfaktorzerlegung" gesucht und dann musst du am Ende prüfen, ob die "kleinsten" Elemente irreduzibel sind.
👌🏽 vielen Dank
Sehr gerne! Hol dir auch unbedingt meinen kostenlosen Videokurs: www.math-intuition.de/course/mathe-bootcamp/
DANKE DANKE DANKE DANKE
Was sind denn allgemein ALLE irreduziblen Elemente vom Polynomring über den reellen Zahlen?
Alle aufzählen ist schwierig, da es unendlich viele sind ;) Das ist so ähnlich wie bei den Primzahlen in den natürlichen Zahlen.
Zum Beispiel sind alle Polynome von Grad 1 irreduzibel (stell dir vor dies wären wie "primzahlen"). Allein davon gibt es ja schon unendlich viele bei den reellen Polynomen.
Wenn du jetzt von diesen irreduziblen polynomen zwei nimmst und multiplizierst, erhälst du ein NICHT irreduzibles Polynom von Grad 2. Alle anderen Polynome von Grad 2 sind demzufolge irreduzibel. Auch hier siehst du leicht die Analogie zu Primzahlen.
Polynome von Grad 3, die NICHT irreduzibel (also reduzibel) sind, bestehen aus einem irreduziblen Polynom von Grad 1 und 2 oder von drei Grad 1 irreduziblen Polynomen. ALLE anderen Polynome von Grad 3 sind irreduzibel.
Und so weiter.
Sind nicht alle Polynome ungraden Grades ungleich 1 aus R[X] reduzibel ?
meine R:= reeleZahlen
Absolut richtig! Das lässt sich auch sehr einfach beweisen:
Sei f ein reelles Polynom ungeraden Grades. Dann ist lim f(x) = + unendlich für x -> + unendlich und lim f(x) = - unendlich für x -> - unendlich.
Und da f stetig ist, müssen also alle Werte "zwischen" minus und plus unendlich angenommen werden (Zwischenwertsatz), insbesondere muss f(a)=0 auftreten für ein gewisses a, d.h. f hat mindestens eine reelle Nullstelle.
Damit kann ich einen LInearfaktor abspalten: f(x) = (x-a)*g(x) mit Hilfe Polynomdivision. Folglich ist f reduzibel. QED
Übrigens sind aber tatsächlich sogar ALLE reellen Polynome mit einem Grad > 2 reduzibel. Das erkennt man, wenn man "kurz" in die komplexen Zahlen wechselt, denn dort zerfällt jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren und dann sieht man, dass entweder reelle Linearfaktoren dabei sind (dann ist es also reduzibel auch in R) oder dass es mind. ein Paar von Nullstellen gibt, die komplexe Konjugierte voneinander sind. Wenn man die zugehörigen Linearfaktoren multipliziert, entsteht ein REELLES Polynom vom Grad 2, das dann vom ursprünglichen Polynom abgespalten werden kann. Also auch wieder reduzibel. QED.
hm..., wahrscheinlich komm ich zu spät :( Ich habe mir gerade einen abgebrochen a=c=0 und b=d=1 nachzuweisen. Verschau ich mich gerade, oder übersehe ich den Algorithmus, aus dem man das direkt sieht? Ich hab bissel raten müssen, um auf die Lösung zu kommen :D.
Hey Victor, danke für deine Frage! Hast schon Recht: Solche nicht-linearen Gleichungssysteme zu lösen ist nicht einfach. Ich kenne da aktuell auch nichts anderes als geschickt zu versuchen, Variablen zu elimieren ähnlich wie beim Gauss. Falls jmd anderes Tipps dazu hat, gerne!
@@mathintuition Danke schön für Deine Antwort :). Das hätte ich jetzt nicht erwartet, offen gestanden. Deine Videos sind - aber das weißt Du sicherlich schon ;) - so ziemlich die angenehmsten und inhaltlich wesentlichsten, die mich während meines Mathestudiums (Zweitstudium) begleite(te)n. Schade, dass Du wohl irgendwann aufgehört hast mit den Produktionen :(.
Naja, bei dem ist es ja ganz einfach: b*d = 1, also können b und d nur 1 sein. Wenn man das in b + a*c + d = 2 einsetzt, weiß man, dass a*c = 0 sein muss, also mindestens eins von beiden 0 ist. Wenn man dann noch auf a+c = 0 schaut und jetzt weiß, dass einer der Summanden null sein muss, erkennt man, dass auch der andere 0 sein muss. also a=c=0.
Aber für kompliziertere Fälle gibt es auch gute Videos mit Schema-F-Ansätzen zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
Danke für das Video! Meine Frage ist aber eher, ob es einen Weg gibt, alle zu untersuchenden Polynome für zb. grad 1 bis 4 zu bestimmen. Wir müssen nämlich zuerst alle bestimmen, aber ich vergesse manchmal ein paar Polynome
könnte man nicht x^2+1 nicht noch in (x-1)(x-1) reduzieren ?
Hey Alexander, hier vermischst du zwei binomische Formeln. Es gilt: (x-1)(x-1) = x^2 -2x + 1.
Nur über den komplexen Zahlen lässt sich x^2+1 noch aufsplitten in (x- i)(x + i) über die dritte binomische Formel.
@@mathintuition ah ja stimmt danke :)
Danke für Ausführung und guten Vortrag..
x^2 +1 ist im rellen Bereich, wenn schon wurzeaus (1) ist irrational, irreduzible.
x^2 = x.x ist reduzible.
x+1 ist als polynom nicht zum Zerlegen, irreduzible
sicher doch
x+1 = [wurzel (x) + j.wurzel(1)] [wurzel (x) - j.wurzel(1)], nun irreduzible oder nicht?
x^2 +1 = [x + j.wurzel(1)] [x - j.wurzel(1)]
x^2 +a = [x + j.wurzel(a)] [x - j.wurzel(a)], irreduzible oder nicht?
Danke für die Frage!
Zu x+1: Ein Ausdruck mit Wurzel(x) zählt nicht mehr als Polynom! x+1 ist bereits die "kleinstmögliche" Zerlegung, also irreduzibel. Allgemein sind Polynome von Grad 1 immer irreduzibel.
Zu x^2 +1: Es kommt auf den Kontext an! Über den komplexen Zahlen ist deine Zerlegung gültig, d.h. das Polynom ist über C reduzibel. Über den reellen Zahlen hingegen ist dies keine Zerlegung (weil beide Faktoren komplexe Zahlen enthalten), also ist x^2+1 irreduzibel über den reellen Zahlen (und auch über den rationalen).
Zu x^2 +a: Analog zu x^2+1. Es gibt nur komplexe Zerlegungen, daher ist das Polynom über C reduzibel und andernfalls irreduzibel.
Allgemein gilt über den komplexen Zahlen C, dass NUR die Polynome von Grad 1 irreduzibel sind. Alle anderen lassen sich immer zerlegen in Produkte von Polynomen von Grad 1 (laut dem Fundamentalsatz der Algebra).
Müssen die leitkoeffizeniten immer 1 sein? Oder ist das ein zufall
Das ist zufall. Auch nicht normierte polynome können irreudzibel sein.
Hey, erstmal danke für die super Erklärung (immer 😉).
Eine Frage, wie schauts mit Polynomen Grad größer 4 aus?
Allgemein kannst du bei jedem Polynom erstmal auf eine Nullstelle als erstes prüfen (also ob sich ein linearer Faktor abspalten lässt). Wenn das nicht geht, dann probierst du einen quadratischen irreduziblen Faktor abzuspalten durch folgenden Ansatz: Beispiel f=X^6+1. Angenommen f=f_1*f_2 wobei f_1 ein quadratischer Faktor ist, dann können wir schreiben: f = (a*X^2+b*X+c)*(d*X^4+e*X^3+f*X^2+g*X+h). Und das versuchst du dann nach zu lösen (also die Koeffizienten a bis h zu finden) durch Koeffizientenvergleich (z.B. muss a*d gleich 1 sein, weil beide Vorfaktor von X^6 sind auf der jeweils rechten bzw. linken Seite). Wenn du eine Lösung findest, hast du eine Zerlegung, ansonsten weißt du, dass es keinen quadratischen Faktor gibt und kannst weiterüberlegen ;)
Sorry.warum schreiben bei Grad4 : 1+1+2+2 ?können Sie bitte antworten? vielen Dank im Voraus
Hatte schon eine kleine Notiz nachträglich hinzugefügt, die auf den Fehler hinweist. Aber ich habe es mal deutlicher gemacht. Danke!
sehr gutes Video! ... aber nur für einfache Fälle :-)
Gibt es auch ein Video mit einem Polynom, in dem ALLE x-Potenzen vorkommen? Denn dann kann man nicht einfach die Fälle 1+1+1+1, 1+1+2 und 1+3 ausschließen.
Mit dem in diesem Video angegebenen Vorgehen erhält man ja kein lineares Gleichungssystem für a,b,c,d , darum ist die Lösung nicht unbedingt einfach.
Wie würde man es z.B. für x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9 lösen? Also a+c=3, b+ac+d=5, ad+bc=7, bd=9. Aber wie weiter?
Alternativ könnte man zwar mal versuchen, durch (x+1) und (x-1) zu dividieren. Aber wenn die Nullstelle z.B. bei 10/3 (also 3 1/3) liegt, kommt man damit wohl kaum drauf.
Hallo +Andy Mayoares , wie du völlig richtig erkannt hast, wird es für höhere Potenzen als 4 schon sehr schwierig. Daher wird einem als Student fast immer nur Grad 4 oder kleiner vorgesetzt werden ;) Andernfalls muss es einen Trick geben, wie z.B. bei x^6 +x^3 + 2 (hier kann man gut substituieren).
Genau damit beschäftigt sich auch heute noch die höhere Mathematik: Lösungen für Gleichungen von Grad 5 und höher sind sehr komplex und bei weitem nicht vollständig erforscht.
Und ein Polynom, in dem ALLE x-Potenzen vorkommen, ist kein Polynom mehr, denn Polynome haben per Definition nur eine endliche Anzahl an Summanden. Stattdessen nennt man "Polynome mit unendlich vielen summanden" wie zum beispiel 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + .... (und so weiter bis ins unendliche) eben nicht mehr Polynome sondern Reihen.
Hallo Math Intuition,
danke für die Antwort und die Erklärung der Schwierigkeit für Polynome höheren Grades, auch sehr interessant, da haben die Mathematiker noch viel zu tun :-)
Meine Frage ist allerdings eine andere, da habe ich mich nicht exakt genug ausgedrückt:
Im Video enthält das Polynom nur positive x^4, x^2 und x^0. Damit sieht man, dass es keine reelle Nullstelle hat und man kann die Fälle 1+1+1+1, 1+1+2 und 1+3 ausschließen.
Doch was macht man, wenn das Polynom alle x-Potenzen bis Grad 4 enthält, also auch x^3 und x^1? Dann müsste man erst mal eine Nullstelle finden und diese "rausdividieren", oder?
+Andy Mayoares Genau! Dann Nullstelle finden / raten und mit Polynomdivision abspalten.
super video
ich hab hier eine angabe:
x^2 +3 reduziebel über Q und R5..
die angabe hat offensichtlich keine nullstelle, heißt das a und b is gelöst?
das wirkt zu einfach D:
+Marcel Winklmüller Über Q hat das Polynom keine Nullstelle und ist daher irreduzibel, richtig ;) Was soll denn R5 sein? Soll das der Körper F_5 sein mit 5 Elementen? Je nachdem wie der Körper definiert ist, kann es dann eben doch noch eine Nullstelle geben (sonst wäre die Aufgabe ja wirklich sofort trivial ;)), weil bspw. noch Modulo rechnen noch ins Spiel kommt.
hi!
jap gab noch nullstellen, hab irgendwie fälschlicherweise angenommen das wenns in Q irreduzibel ist das es auch in R_5 irreduziebel sein muss..
war aber icht der fall :p logischer weise!
und ich meinte damit mod5 in den rationalen zahlen..
Danke!
In Z[i] ?
wäre es nicht einfacher gewesen x² durch z zu substituieren?
+Apelyn's Entertainment. In dem konkreten Beispiel ja, aber das wäre nur gegangen, weil im Polynom nur x^2 und x^4 vorkommt. Das Vorgehen im Video funktioniert jedoch ganz allgemein immer, auch wenn ungerade x-Potenzen auftauchen ;)
+Math Intuition
okay, klasse!
Vielen Dank für die Videos!
super vorbereitung auf meine LA Klausur :'D
Hey +Apelyn's Entertainment. Sehr schön, das freut mich :) LA 1 oder 2? Denn für 2 erstelle ich aktuell einen Videokurs und für LA 1 gibt es ja schon einen: www.math-intuition.de/la1-intuition/ Falls du einen Lernboost brauchst ;)
+Math Intuition
LA1 :D
in einem halben jahr müsste ich dann das gleiche mit LA2 machen,
bis dahin hast du das doch bestimmt fertig oder? :D
+Apelyn's Entertainment. Ja klar! Ich plane eher bis Ende des Monats ;)