Ja, es war sehr hilfreich, vielen Dank. Allein, dass du Beispiele - und natürlich kluge Beispiele - nimmst, bringt schon so viel und setzt sich traurigerweise auch von allen sonstigen Informationsquellen wie Vorlesungsscript, Bücher, Wikipedia ab.
Sehr gerne! Noch mehr intuitive Videos und Unterstützung bei Übungsblättern und Klausurvorbereitung findest du auf math-intuition.de , schau mal vorbei!
leereMenge97 Danke für dein tolles Feedback :) Wenn du davon noch mehr willst, dann empfehle ich dir mein FreeBook inklusive meines eMail-Kurs voller Tipps und Tricks und natürlich allen Neuigkeiten ;) www.math-intuition.de/ebook-mathe-deutsch Würde mich freuen, darüber mit dir in Kontakt zu bleiben.
Eine Frage zu 11:15 Da [(12)] in der Faktorgruppe ist und |Faktorgruppe| = 2 ist, bedeutet das: (12)=%kongruent% (12)(34)(43) =%kongruent% (12)(21)(12) =%kongruent% (12) mod 2 ?
voerst vielen Dank für die ausführliche Erklärung der Aufgaben. Was ich nicht verstanden habe, dass Sie ab 12:21 bei folgenen Rechenoperationen (12)(123) = 12 und (12)(132) =13 eintragen
3 Videos kommen in Frage, wo ich zu Äquivalenzklassen etwas sage: das wieder über Modulo rechnen, das Video über den Quotientenvektorraum oder das Video über (Äquivalenz- bzw. Ordnungs-) Relationen. Wenn du die nochmal schaust, müsste klar werden, wie es in etwa funktioniert. Besonders beim Modulo rechnen ;)
Super Video! Eine Frage: Kann man eine Faktorgruppe G/N nur mit einem Normalteiler N bilden oder geht es auch wenn ich es mit einer Untergruppe U bilde also G/U
MM58 gute frage! Das ist genau die konsequenz des videos: die faktorgruppe G/N darfst du nur bilden, wenn N ein normalteiler ist. Wenn N nur eine untergruppe ist, reicht das nicht.
Hallo erstmal! Vielen Dank für das Video! Mir fehlt zum völligen Verständnis noch die Antworten auf diese Fragen: Der Normalteiler unterscheidet sich von der Obergruppe nur darin, d.h. dass die Menge kleiner ist als die Menge der Obergruppe und die Operationen gleich sind? Und diese Menge wird eben durch das "N" kleiner gemacht? Und die Quotientengruppe ist das Selbe wie die Faktorgruppe?
+Matoro69 Quotientengruppe ist das gleiche wie Faktorgruppe, genau. Aber ein Normalteiler ist halt noch mehr als "nur" eine Teilmenge einer Obergruppe, die für sich gesehen auch wieder eine Gruppe ist. Denn am wichtigsten ist diese Eigenschaft des "Vertauschens": gN = Ng.
Du hast das Thema sehr gut erkärt, doch ich habe eine Frage: Kann man die Menge G/N der Faktorgruppe auch so anschreiben: { { (1)(2)(3), (123), (132) }, { (12)(3), (13)(2), (1)(23) } } ?
Vielen Dank! Es ist natürlich nicht falsch, die Nebenklassen als Mengen auszuschreiben, doch es ist nicht üblich, weil es viel umständlicher ist. Man schreibt daher lieber einen Vertreter für jede Nebenklasse hin und erinnert sich immer daran, dass dieser eine ganze Menge vertritt. Die Elemente in Z/nZ schreibt man ja auch nur als [0], [1], ... , [n-1]. Hier wäre es schon deshalb problematisch, die Mengen auszuschreiben, weil dann alle Elemente in Z (also unendlich viele) unterkommen müssten.
Ich habe eine Frage: In einem deiner Videos, ich weiß aber nicht mehr, in welchem, habe ich eine Menge gesehen, die durch ein F mit Doppelstrich dargestellt wurde. Was ist das für eine Menge?
Ich weiß leider noch nicht genau, welche Stelle du meinst. Was meinst du genau mit F mit Doppelstrich? Worum ging es in dem Video in etwa? Was hat man da alles noch gesehen?
Ich habe noch mal alle deine Videos durchgesehen, anscheinend habe ich mich geirrt. Wenn ich herausbekomme, was das F bedeutet hat, schreibe ich es aber trotzdem am besten hier noch dazu!
Intergalakti Ah jetzt weiß ich auch, was du meintest :) Es kam auch tatsächlich in einigen meiner Videos vor: Das F mit doppeltem senkrechtem Strich. Häufig ist damit eher ein endlicher Körper gemeint als eine Gruppe (ein Körper enthält ja auch 2 Gruppen, eine zu Plus und zu Mal). Z.B. F_2 ist der Körper, der nur aus 2 Elementen besteht: Formal bedeutet das, ich nehme die Menge {0, 1} und definiere darauf eine Addition und eine Multiplikation, welche dann die ganzen Gesetze erfüllen, die für einen Körper gelten müssen. Beim F_2 sind das: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und (ganz wichtig!) 1+1=0 für die Addition und 0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1 für die Multiplikation. Allgemeiner klappt das auch mit anderen Primzahlen außer der 2 und man bekommt den Körper F_p, wobei p eine Primzahl ist. Ich hoffe das erleuchtet mehr als es verwirrt :) Danke für deine Frage und deine eigene Antwort drauf ;)
"Also liegen alle 6 Elemente meiner Gruppe Sym(3) in einer dieser beiden Nebenklassen: [Id] oder [(12)]. Deshalb hat die Faktorgruppe nur zwei Elemente." Muss ich also doch nicht für alle Elemente überprüfen, ob lNK=rNK?
Also wenn ich mit id*N=N*id und (12)N=N(12) angefangen habe und alle Elemente aus S3 raus gekommen sind, muss ich nicht mehr überprüfen, ob meine Mengen (123)N=N(123)=[(123)] auch wirklich =[Id] sind?
Hey Dominik, Achtung, ich glaube du vermischst hier zwei Sachen! Der Normalteiler ist nur die Menge Alt(3). Die Faktorgruppe Sym(3)/Alt(3) aus dem Video hingegen (die tatsächlich nur den zwei genannten Elementen besteht) ist eine Gruppe, von der ich gar nicht wissen wollte, ob sie ein Normalteiler ist. Das kannst du zwar tun, aber das war nicht die Frage :)
Danke für die Antwort. Mir war vorher nicht so recht klar, warum gilt: Sei "g" aus [Id] [g]=[Id]. Inzwischen weiß ich, dass Nebenklassen auch Äquivalenzklassen und deswegen entweder gleich oder disjunkt sind. Ich danke dir noch einmal für die Mühe, die du dir machst. Hammer Typ bist du!
Wenn du diese Faktorgruppen verstehen willst, dann schau dir mal meine Videos zu Modulo Rechnen und zum Quotienten/Faktorraum an. Die Idee ist nämlich immer die gleiche :)
Hey Phil, Stell dir am besten mal die Gruppentafel von S3 auf (oder google sie mal kurz ;) ). Sortiere die Spalten und Zeilen dann so, dass du in der Zeile links Alt(3) stehen hast und in den Spalten oben. Also (Id) (123) (132) .... (Id) (123) (132) ... Zeichne nun eine senkrechte Linie nach der (132) in der Spalte und eine Waagerechte nach der (132) in der Zeile ein. Dann stellst du schnell fest, dass sich in den 4 Vierecken 2 verschiedene Muster ergeben. zweimal mit ID, (123), (132) und zweimal mit (12) (13) (23) Das sind deine Äquivalenzklassen. Durch Das Einzeichnen der Linien haben wir quasi modulo Alt(3) gerechnet. Übrig bleiben dann quasi nur deine Äquivalenzklassen, also {id, (12)} anstelle (12) könntest du auch (13) oder (23) nehmen, da sich alle in der gleichen Äquivalenzklassen befinden und damit äquivalent sind mit modulo (Alt(3)). Nach langer Verwirrtheit war das der Weg nachdem ich es endlich verstanden habe, vielleicht hilft es dir auch.
Die erste Hälfte war schon hilfreich. (Wo du die Definition von Normalteiler erklärt hast.) Danke dafür! Aber ich fand den Übergang in Faktorgruppen etwas verwirrend. Für Faktorgruppen leuchtet mir die folgende Erklärung ein: qr.ae/TWXciK.
Ja, es war sehr hilfreich, vielen Dank.
Allein, dass du Beispiele - und natürlich kluge Beispiele - nimmst, bringt schon so viel und setzt sich traurigerweise auch von allen sonstigen Informationsquellen wie Vorlesungsscript, Bücher, Wikipedia ab.
Sehr hilfreich. Tausendmal besser als ins kryptische Skript zu gucken. Danke!
Die Videos sind einfach soo gut erklärt, du bist wirklich mega hilfreich, besonders wenn man gerade für eine Klausur lernt
An Kr freut mich sehr :) kennst du auch schon meine klausurvorbereitungskurse auf meiner website: www.math-intuition.de
Super, das Thema hat mich gewurmt. Danke
Gern, schön dass das Video geholfen hat :)
Schön erklärt, danke.
Rettet mir meine morgige LinA-Klausur! :D Super Videos! :)
Jonas B. Fett, dann viel Erfolg! ;)
Math Intuition
Hammer! Danke!! 🙏😊
Danke für die wunderbare Erklärung!
mega gut, war extrem hilfreich. danke!!
Sehr gerne! Noch mehr intuitive Videos und Unterstützung bei Übungsblättern und Klausurvorbereitung findest du auf math-intuition.de , schau mal vorbei!
Super erklärt, jetzt hab ich es verstanden!
leereMenge97 Danke für dein tolles Feedback :) Wenn du davon noch mehr willst, dann empfehle ich dir mein FreeBook inklusive meines eMail-Kurs voller Tipps und Tricks und natürlich allen Neuigkeiten ;)
www.math-intuition.de/ebook-mathe-deutsch
Würde mich freuen, darüber mit dir in Kontakt zu bleiben.
Ein Video über Auflösbarkeit und Kompositionsreihen im Anschluss wäre super! :)
Ansonsten klasse Videos, weiter so!
Wirklich super erklärt! Vielen Dank =)
Hat mir sehr weiter geholfen. Vielen Dank!
Sehr schön, Danke sehr!
Sehr gutes Video. Weiter so.
Eine Frage zu 11:15 Da [(12)] in der Faktorgruppe ist und |Faktorgruppe| = 2 ist, bedeutet das: (12)=%kongruent% (12)(34)(43) =%kongruent% (12)(21)(12) =%kongruent% (12) mod 2 ?
Super Video, vielen Dank!
Gerne! Weitere Wünsche?
voerst vielen Dank für die ausführliche Erklärung der Aufgaben. Was ich nicht verstanden habe, dass Sie ab 12:21 bei folgenen Rechenoperationen (12)(123) = 12 und (12)(132) =13 eintragen
Hallo und danke für die Frage! :) Das Prinzip hinter dieser Rechnung erkläre ich ausführlich hier: ua-cam.com/video/LSxqaTT4LEI/v-deo.html
sehr gutes Video
Wo ist die Erklärung zu der Menge der Äquivalenzklassen (10.40)? Das würde mich interessieren. Freundliche Grüsse
3 Videos kommen in Frage, wo ich zu Äquivalenzklassen etwas sage: das wieder über Modulo rechnen, das Video über den Quotientenvektorraum oder das Video über (Äquivalenz- bzw. Ordnungs-) Relationen.
Wenn du die nochmal schaust, müsste klar werden, wie es in etwa funktioniert. Besonders beim Modulo rechnen ;)
Vielen Dank!!! Deine Videos bringen wirklich viel!!!
Super Video! Eine Frage: Kann man eine Faktorgruppe G/N nur mit einem Normalteiler N bilden oder geht es auch wenn ich es mit einer Untergruppe U bilde also G/U
MM58 gute frage! Das ist genau die konsequenz des videos: die faktorgruppe G/N darfst du nur bilden, wenn N ein normalteiler ist. Wenn N nur eine untergruppe ist, reicht das nicht.
Math Intuition Danke vielmals!
Hallo erstmal!
Vielen Dank für das Video!
Mir fehlt zum völligen Verständnis noch die Antworten auf diese Fragen:
Der Normalteiler unterscheidet sich von der Obergruppe nur darin, d.h. dass die Menge kleiner ist als die Menge der Obergruppe und die Operationen gleich sind?
Und diese Menge wird eben durch das "N" kleiner gemacht?
Und die Quotientengruppe ist das Selbe wie die Faktorgruppe?
+Matoro69 Quotientengruppe ist das gleiche wie Faktorgruppe, genau.
Aber ein Normalteiler ist halt noch mehr als "nur" eine Teilmenge einer Obergruppe, die für sich gesehen auch wieder eine Gruppe ist. Denn am wichtigsten ist diese Eigenschaft des "Vertauschens": gN = Ng.
+Math Intuition Ah ok! Ich denke, dass ich es verstanden habe!
Danke! :D
Du hast das Thema sehr gut erkärt, doch ich habe eine Frage:
Kann man die Menge G/N der Faktorgruppe auch so anschreiben:
{ { (1)(2)(3), (123), (132) }, { (12)(3), (13)(2), (1)(23) } } ?
Vielen Dank! Es ist natürlich nicht falsch, die Nebenklassen als Mengen auszuschreiben, doch es ist nicht üblich, weil es viel umständlicher ist. Man schreibt daher lieber einen Vertreter für jede Nebenklasse hin und erinnert sich immer daran, dass dieser eine ganze Menge vertritt.
Die Elemente in Z/nZ schreibt man ja auch nur als [0], [1], ... , [n-1]. Hier wäre es schon deshalb problematisch, die Mengen auszuschreiben, weil dann alle Elemente in Z (also unendlich viele) unterkommen müssten.
Super, danke
danke
Ich habe eine Frage: In einem deiner Videos, ich weiß aber nicht mehr, in welchem, habe ich eine Menge gesehen, die durch ein F mit Doppelstrich dargestellt wurde. Was ist das für eine Menge?
Ich weiß leider noch nicht genau, welche Stelle du meinst. Was meinst du genau mit F mit Doppelstrich? Worum ging es in dem Video in etwa? Was hat man da alles noch gesehen?
Ich habe noch mal alle deine Videos durchgesehen, anscheinend habe ich mich geirrt. Wenn ich herausbekomme, was das F bedeutet hat, schreibe ich es aber trotzdem am besten hier noch dazu!
Kleiner Nachtrag: Das F kann u.a. Zeichen für eine Endliche Gruppe (de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper) sein.
Intergalakti
Ah jetzt weiß ich auch, was du meintest :) Es kam auch tatsächlich in einigen meiner Videos vor: Das F mit doppeltem senkrechtem Strich.
Häufig ist damit eher ein endlicher Körper gemeint als eine Gruppe (ein Körper enthält ja auch 2 Gruppen, eine zu Plus und zu Mal).
Z.B. F_2 ist der Körper, der nur aus 2 Elementen besteht: Formal bedeutet das, ich nehme die Menge {0, 1} und definiere darauf eine Addition und eine Multiplikation, welche dann die ganzen Gesetze erfüllen, die für einen Körper gelten müssen. Beim F_2 sind das: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und (ganz wichtig!) 1+1=0 für die Addition und 0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1 für die Multiplikation.
Allgemeiner klappt das auch mit anderen Primzahlen außer der 2 und man bekommt den Körper F_p, wobei p eine Primzahl ist.
Ich hoffe das erleuchtet mehr als es verwirrt :)
Danke für deine Frage und deine eigene Antwort drauf ;)
"Also liegen alle 6 Elemente meiner Gruppe Sym(3) in einer dieser beiden Nebenklassen: [Id] oder [(12)]. Deshalb hat die Faktorgruppe nur zwei Elemente." Muss ich also doch nicht für alle Elemente überprüfen, ob lNK=rNK?
Also wenn ich mit id*N=N*id und (12)N=N(12) angefangen habe und alle Elemente aus S3 raus gekommen sind, muss ich nicht mehr überprüfen, ob meine Mengen (123)N=N(123)=[(123)] auch wirklich =[Id] sind?
Hey Dominik, Achtung, ich glaube du vermischst hier zwei Sachen! Der Normalteiler ist nur die Menge Alt(3). Die Faktorgruppe Sym(3)/Alt(3) aus dem Video hingegen (die tatsächlich nur den zwei genannten Elementen besteht) ist eine Gruppe, von der ich gar nicht wissen wollte, ob sie ein Normalteiler ist. Das kannst du zwar tun, aber das war nicht die Frage :)
Danke für die Antwort. Mir war vorher nicht so recht klar, warum gilt: Sei "g" aus [Id] [g]=[Id]. Inzwischen weiß ich, dass Nebenklassen auch Äquivalenzklassen und deswegen entweder gleich oder disjunkt sind.
Ich danke dir noch einmal für die Mühe, die du dir machst. Hammer Typ bist du!
10:30 irgendwie würde ich das schon gerne verstehen weil daran scheiter ich immer und deswegen bin ich da :(
Wenn du diese Faktorgruppen verstehen willst, dann schau dir mal meine Videos zu Modulo Rechnen und zum Quotienten/Faktorraum an. Die Idee ist nämlich immer die gleiche :)
@@mathintuition Hab ich gemacht, verstehs immer noch nicht... 😥
Hey Phil,
Stell dir am besten mal die Gruppentafel von S3 auf (oder google sie mal kurz ;) ).
Sortiere die Spalten und Zeilen dann so, dass du in der Zeile links Alt(3) stehen hast und in den Spalten oben.
Also
(Id) (123) (132) ....
(Id)
(123)
(132)
...
Zeichne nun eine senkrechte Linie nach der (132) in der Spalte und eine Waagerechte nach der (132) in der Zeile ein. Dann stellst du schnell fest, dass sich in den 4 Vierecken 2 verschiedene Muster ergeben. zweimal mit ID, (123), (132) und zweimal mit (12) (13) (23)
Das sind deine Äquivalenzklassen. Durch Das Einzeichnen der Linien haben wir quasi modulo Alt(3) gerechnet.
Übrig bleiben dann quasi nur deine Äquivalenzklassen, also {id, (12)}
anstelle (12) könntest du auch (13) oder (23) nehmen, da sich alle in der gleichen Äquivalenzklassen befinden und damit äquivalent sind mit modulo (Alt(3)).
Nach langer Verwirrtheit war das der Weg nachdem ich es endlich verstanden habe, vielleicht hilft es dir auch.
In der sortierten Gruppentafel wird dann auch schön deutlich, dass Alt(3) tatsächlich Normalteiler ist, da Ng=gN
Die erste Hälfte war schon hilfreich. (Wo du die Definition von Normalteiler erklärt hast.) Danke dafür! Aber ich fand den Übergang in Faktorgruppen etwas verwirrend. Für Faktorgruppen leuchtet mir die folgende Erklärung ein: qr.ae/TWXciK.
(12)*(123) = 12 oder? genauso bei (132)*(12)..
Danke fürs Video!
lhaj du musst dich beim Verknüpfen von Zykeln immer von rechts nach links arbeiten, daher: (12)*(123)=(23) und (132)*(12)=(23)
du hast ab 6:36 einen notationsfehler gemacht. verknüpfungen beginnen von rechts! (12)o(123) = (123)(12) = (13)! und so weiter
Bedeutet das: ein normalteiler ist eine Untergruppe von G die zentral in G liegt
Was ist denn deine Definition von "eine Untergruppe, die zentral in G liegt"?
Math Intuition also zentral im Sinne von : jedes Element der Untergruppe kommutiert mit jedem Element aus G
Korrigiert mich wenn ich falsch liege aber ich denke du hast bei 6:50 einen kleinen Fehler gemacht. Es wurde mit "•" anstatt "∘" gerechnet.