Formidable, pédagogique, enrichissant. vous avez l bonne approche pour exposer les nouvelles notions aux passionnés de mathématiques, notamment la notion d'intégrale. vivement de nouvelles videos a cet effet.
Vraiment encore une fois très bien expliqué ! Bravo. La difficulté que l'on peut rencontrer pour calculer la longueur de certaines courbes, c'est d'arriver à trouver la primitive correspondante... Pas toujours simple.. 😉.
Merci beaucoup 🙏🏻! Oui, je me rends compte que j'ai un peu exagéré quand j'ai parlé de calculer la longueur d'un morceau de parabole, ou d'un demi-cercle. En fonction des outils dont on dispose, une primitive reste délicate à obtenir 🙃 .
Et dire qu'on m'avait balancé la formule sans aucune explication, alors qu'une bonne monstration est en soi suffisante intellectuellement et intuitivement, alors merci pour ton approche vraiment pédagogique et aussi ludique !
Honnêtement, l'algèbre est assez loin en ce moment, il va falloir patienter. En ce moment, je m'intéresse à l'analyse, et plus précisément à l'analyse complexe 😉.
Trop cool la vidéo ! J'aime beaucoup la coloration des variables, je suis convaincu qu'une bonne coloration lexicale et syntaxique des expressions peut énormément aider à la compréhension en soulageant le cerveau de la tâche fastidieuse de l'analyse de celles-ci (au même titre que l'on colore le code en programmation)
Ah oui, complètement ! Se passer de la coloration, c'est vraiment quelque chose qui me dépasse, ce que les programmateurs ont bien compris depuis belle lurette👍🏻!
Pour les curieux, à noter que pour trier les fonctions ayant une longueur infinie même sur un intervalle compact, on peut calculer la V2-variation. Cela consiste à mettre au carré les accroissements infinitésimaux. C'est très utile par exemple pour s'intéresser aux variations du mouvement Brownien.
Hello! J'ai 28 ans et me souviens de cette question que j'avais eu à l'oral de Maths de Centrale ! Heureusement que j'avais la formule en tête mais en revoyant la démonstration, tout semble logique :)
Excellent 🥳! Ah, c'est ça les maths, quand on voit la solution, on se dit que tout coule de source, mais face à un jury de concours… J'espère que cet oral s'est terminé par une intégration 😇.
J'ai refait l'integralité de la chaine et je troive que dans l'ensemble, les vidéos de cette chaîne sont excellentes car expliqué de façon précise et méthodologique de façon à ce que l'on comprenne les enjeux. Cependant il manque clairement des petits exercices à la fin qui permettent de mettre en application ce qui a été vu de façon concrète. N'oublions pas que un prof nous demande en devoir de résoudre des exos et non pas d'expliquer un cours. Ce qui pourrait aussi être intéressant, c'est quand un thème a été exploré, il faudrait une vidéo avec un exercice un peu plus grand qui mettent en application les notions abordées et la méthode adéquat.
L'idée d'ajouter des exercices associés à certaines vidéos sera peut-être implémentée en-dehors des vidéos, dans un fichier PDF disponible dans les descriptions. Pour l'instant, je n'ai juste pas le temps mais je prends note ✍🏻.
Super vidéo ! Pour la démonstration avec l'interpolation j'ai fait la chose suivante: Si f est de classe C1 sur l'intervalle [0,1], alors pour tout a élément de [0,1], la limite [f(x) - f(a)]/[x-a] quand x->a existe et vaut f'(a) (1). La dérivée est de classe C0 donc elle est continue. 1+f'(x)² > 0 pour tout x élément de [0,1] et la fonction 1+f'(x)² est continue sur [0,1], donc sqrt(1+f'(x)²) est aussi continue sur [0,1] (2). On peut réécrire l'expression n²[f((k+1)/n) - f(k/n)]² comme une fraction avec [f((k+1)/n) - f(k/n)]² au numérateur et [(k+1)/n - k/n]² (soit 1/n²) au dénominateur. Quand n tend vers l'infini, (k+1)/n tend vers k/n. On reconnaît un taux d'accroissement, et quand n tend vers l'infini, ce dernier tend vers f'(k/n) par (1). Toutefois, je bloque un peu car [f((k+1)/n) - f(k/n)]² / [(k+1)/n - k/n]² vaut f'(k/n) que quand n tend vers l'infini. Donc on ne peut pas (?) reconnaître une somme de riemann en posant g(a + b * k(b-a)/n) = sqrt(1+f'(k/n)²) avec a = 0 et b = 1, ce qui nous mènerait au résultat souhaité car g est continue par (2).
Voilà, c'est un très bon raisonnement qui aboutit à une impasse: tu ressens ici tout ce que j'ai pu ressentir quand j'ai fait ma thèse 🤣! Je pense tout simplement qu'il est impossible d'aboutir comme ceci. Quant à une autre piste, pour l'instant, je n'en ai vu aucune qui m'avait vraiment convaincu 🤷🏻♂️.
Pour la réponse à la question: il s'agit, après avoir appliqué le théorème des accroissements finis, d'utiliser une proposition sur les sommes de Riemann un peu plus large que celle que j'ai présentée dans mon émission à ce sujet. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f sur chaque intervalle [k/n, (k+1)/n], on obtient l'existence d'une quantité c(k,n) telle que le taux d'accroissement est égal à f'(c(k,n)). Et en considérant la subdivision a, c(0,n), c(1,n), ..., c(n,n), b, on a bien un pas de subdivision qui tend vers 0. Et donc, la somme considérée tend bien vers l'intégrale. Pour plus de détails sur cette proposition un peu plus large à propos des sommes de Riemann, voir ici, par exemple: 📜 fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann
Très intéressant. Un très bon niveau universitaire. J'abuse encore une fois : à quand des vidéos sur les tenseurs, leurs applications, leurs utilisations, leurs fonctionnalités intrinsèques ? Sinon, toujours au top
Formidable explication ; super analyse du problème poser sincèrement . Pour la première fois, j'ai l'impression que les mathématiques ont une saveur qu'on peut goûter.......Merci ......SVP des videos sur résolution d'équation diophantienne a 3 inconnus degré 2 exemple: z=ax²+bxy+cx+y avec a,b,c des nbres naturels et x,y,z les inconnus aussi entiers naturels .
Sa fait partie de ce genre de résultats que j'ai moi même dérivée ! Bien sur je savais quand même déjà vaguement où allez et ce à quoi le résultat ressemblait car je l'avais croisé deux trois fois. Mon approche était légèrement différente de ce que vous faite dans la vidéo cependant, en voici un résumé. Je suppose que je connais déjà une fonction L qui me donne la longueur de la courbe f sur l'intervalle [0:t], puis je m'intéresse au cas t+h avec l'idée de rendre h très petit et d'approximer l'a courbe avec une ligne droite, et pareil avec un peu de Pythagore on s'en sort très bien comme ça aussi, l'avantage c'est que cette démonstration ressemble beaucoup à la démonstration que l'aire sous la courbe d'une fonction sur un intervalle [a;b ] est l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle, après je pense pas que ce soit aussi rigoureux que ce que vous proposer dans cette vidéo.
Merci beaucoup ! Les mots « C'était une question que je me posais... j'ai une explication maintenant » sont exactement ceux que je me suis prononcés il y a quelques semaines ! Et quelle joie de pouvoir partager les réponses que j'ai trouvées 🥳 !
Bonjour. Tombé par hasard suite aux suggestions ... Très intéressant ! Mais j'ai pas le niveau 😅 Mais pour le reste, vu que je travaille souvent sur des plans papier, un curvimètre et c'est plié 👍🏻
J'approuve la méthode du curvimètre. Ma compagne, m'a dit qu'elle se serait contenter d'épouser les contours de la courbe avec une ficelle, de faire une marque, puis de mesurer la ficelle. Solution simple 🥳!
Merci 🙏🏻! Oui, désolé, je me suis un peu enflammé quand j'ai prétendu qu'on pouvait facilement tester la formule sur des exemples. La racine carrée crée bien des ennuis ! Pour la parabole, c'est fait ici: 📜 serge.mehl.free.fr/anx/long_arc_parabole.html
@@oljenmaths Merci :) Oui le site de Serge Mehl est fameux. Rassuré de voir que nous avons la même horrible formule 😅 Pour info , j'avais commencé à travailler sur le problème pour étudier le roulement sans glissement sur un plan de la parabole. Après, en coordonnées polaires avec comme origine le foyer de la parabole, et comme paramètre l'angle de bascule, on a peut-être une formule intéressante. Je voulais aussi vérifier que l'angle de bascule se stabilise à π/2 (limite) ... 😎🙃
Pour la solution à la fin, j'ai vu personne faire ça alors que de cette manière ça se montre très rapidement : Par le th d'égalité des accroissements finis, quelque soit k il existe C(k) dans [k/n, k+1/n] tel que f(k+1/n) -f(k/n) =1/n * f'(C(k)). Donc le somme de départ est égal à : 1/n*sum(1+f'(C(k))) Avec C(k) dans [k/n, k+1/n] donc f' étant continue car f est C1 on utilise la somme de Riemann.
L'idée d'utiliser les accroissements finis est assurément une bonne idée, mais je ne suis pas jusqu'au bout. La quantité dénommée C(k) devrait plutôt s'appeler C(k,n), de la manière dont elle est définie. Et donc, lorsqu'on se retrouve avec 1/n*sum(1+f'(C(k,n))), comment pourrait-on appliquer la propriété que vérifient les sommes de Riemann 🤔?
@@shakespeare258 Ah mais oui 🤦🏻♂! Je suis resté bloqué sur l'utilisation d'un pas constant mais c'est absurde, ça fonctionne aussi lorsque le pas de la subdivision tend vers 0 ! Merci beaucoup 👍🏻!
Alors là, je donne ma langue au chat ! Je n'ai d'ailleurs aucun souvenir d'avoir vu cette formule dans mes années d'étudiant, mais peut-être que ma mémoire est sélective... 😇.
Alors là, je n'ai pas vraiment vérifié mais ça ne doit vraiment pas se jouer à grand chose, parce que la deuxième estimation peut être rattachée à la première grâce à une utilisation appropriée du théorème des accroissements finis (pour une fonction suffisamment régulière, bien entendu). Si un amateur qui lit ce commentaire a le cœur de faire tourner les deux méthodes numériquement sur quelques exemples pour voir si je suis en plein délire, je suis preneur 😇!
C'est une excellente question ! Même si l'intégrale n'a pas de sens, on pourrait peut-être essayer de calculer les approximations que je donne avec l'approche d'interpolation, pour n = 100, n = 500, n = 1000, et voir quel genre de résultats on obtient 🍿. J'adore ce genre d'ambiances, j'ai toujours l'impression qu'on va casser les maths. PS: Pourrais-tu m'envoyer un mail sur l'adresse de contact en description ? Je souhaite te contacter 😇.
J'ai bien aimé l'allusion à la preuve du grand théorème de Fermat. Une chose qui serait bien , c'est de faire la même chose avec une courbe affine par morceaux du genre en dents de scie. Et montrer que selon la vitesse de convergence vers 0, on n'obtient pas forcément une convergence.
Excellente idée ! Je ne sais pas dans quel délai je serai capable de l'implémenter, mais certaines émissions que j'ai prévues parleront un peu de vitesse de convergence. Un exemple qui montrerait ce qu'il se passe, numériquement, pour une fonction qui ne serait pas assez régulière serait assurément intéressant 👍🏻!
@@oljenmaths Je me suis amusé à faire ça pour mes étudiants qui me parlaient de "nature" de la courbe pour expliquer la non inversion entre limite et longueur. Du coup, j'en ai eu marre des pseudo explications et je leur ai pondu trois courbes ayant une infinité de pointes. La première convergeait correctement vers la longueur, la seconde vers une autre valeur finie et la troisième divergeait vers +oo.
Pour la dernière démonstration laissée en suspens, l'utilisation du théorème de Taylor Lagrange me semble être la bonne solution pour ensuite faire apparaître à nouveau une somme de Riemman !
Avec le seul théorème de Taylor-Lagrange, je ne parviens à rien de concluant. Le problème étant qu'il reste une quantité comprise entre k/n et (k+1)/n dans l'expression, et dont je ne connais rien d'autre. Mais comme première idée, assurément, c'est très bon 👍🏻.
@@oljenmaths f étant considéré C1 sur [0,1] et [k/n;(k+1)/n ] étant inclus dans [0,1] quelque soit k dans [0,n-1] on en déduit qu'il existe t_k appartenant à [k/n;(k+1)/n] tel que : f((k+1)/n) = f(k/n) + 1/n*f'(t_k) Ainsi : f((k+1)/n) - f(k/n) = 1/n*f'(t_k). En remplaçant dans l'expression, on obtient un calcul approximatif de la courbe par interpolation de la forme : C(f) = 1/n*somme(racine(1+f'(t_k)^2) En faisant tendre n vers + infini et en justifiant que racine(1+f'^2) est C0 et en reconnaissant une somme de Riemman, on retrouve l'intégrale !
@@corentinlatimier4964 Ce que je peine à comprendre en l'état, c'est comment C(f) = 1/n*somme(racine(1+f'(t_k)^2) se trouve être une somme de Riemann. Parce que le t_k, à part le fait que ce soit un élément de [k/n;(k+1)/n], on ne sait pas vraiment la manière dont il se comporte, n'est-ce pas 🤔?
Pour la réponse à la question: il s'agit, après avoir appliqué le théorème des accroissements finis, d'utiliser une proposition sur les sommes de Riemann un peu plus large que celle que j'ai présentée dans mon émission à ce sujet. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f sur chaque intervalle [k/n, (k+1)/n], on obtient l'existence d'une quantité c(k,n) telle que le taux d'accroissement est égal à f'(c(k,n)). Et en considérant la subdivision a, c(0,n), c(1,n), ..., c(n,n), b, on a bien un pas de subdivision qui tend vers 0. Et donc, la somme considérée tend bien vers l'intégrale. Pour plus de détails sur cette proposition un peu plus large à propos des sommes de Riemann, voir ici, par exemple: 📜 fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann
Salut Olivier, Sympa cette émission, je l'attendais. Pour le défi que tu donnes à la fin, est-il question du TAF pour se ramener à une expression proche de la précédente ? PS : j'ai peut-être raté quelque chose mais je crois qu'on ne peut pas dire que "notre expression tend vers la longueur exacte de la courbe" car l'objet "longueur d'une courbe de classe C1" n'est pas encore défini 😉 Par contre l'égalité des deux approches et le fait qu'elles prolongent la façon de calculer des courbes affinés par morceaux est encourageant pour prendre notre expression finale comme definition de la longueur d'une courbe C1 par morceaux 🙂 Est-ce que tu valides grand maître ? 😆
Salut Guillaume ! 🔹Pour le TAF, c'est une bonne idée parce que ça permet de se ramener quasiment à la forme précédente. Mais tel quel, c'est trop peu; on se retrouve face à une somme du type 1/n*sum(1+f'(C(k,n))) qui n'offre pas immédiatement la possibilité d'utiliser la propriété que vérifient les sommes de Riemann. 🔹Pour le PS, c'est très juste. Tout dépend de la manière dont on souhaite définir cette notion. Au vu de cette émission, la formule que j'ai donnée paraît raisonnable en tant que définition. Après, il reste à établir le rapport avec l'expérience sensorielle consistant à mesurer la courbe avec un bout de ficelle, mais c'est un écart entre le monde réel et les mathématiques qui ne peut pas totalement être comblé, me semble-t-il.
@@oljenmaths Merci pour ta réponse. Alors sans vérifier (desolé), disons TAF + majoration de la dérivée comme la fonction est C1 et qu'on travaille sur un fermé ? Pour la deuxième il faudrait une idée de pouvoir courber une ligne sans changer sa longueur, mais est-ce qu'on ne change vraiment pas la longueur d'une ficelle en la courbant ou en la tendant ?
La question est peut être : comment représenter mathématiquement la superposition d'une courbe avec une ficelle ? Est-ce qu'on ne peut pas le faire avec des applications qui seraient localement des isométries non vectorielles ?
Salut Guillaume ! Deux questions, deux pièges ! 🔹Je n'ai pas vérifié que la quantité que j'ai écrite en fin d'émission converge bel et bien vers la longueur de la courbe, ni sous quelles conditions de régularité de la fonction elle pourrait le faire. Les seules idées que j'ai eues s'articulent autour des accroissements finis, des développements limités et des formules de Taylor. Cela dit, toutes mes pistes de recherches sont devenues trop techniques pour que je les poursuive, donc j'ai juste laissé tomber. Cela dit, on pourrait essayer de démontrer la chose pour une fonction monotone, par exemple, de manière à pouvoir procéder avec un encadrement, c'est déjà un bon lot de consolation. 🔹Pour la deuxième, c'est encore pire, parce que c'est une question qui n'a pas de solution. Une référence, c'est cette émission là: [HS#2] La tour d'ivoire - ua-cam.com/video/Ryvq13e519E/v-deo.html
La différence entre les mathématiques et l'expérience sensorielle ne sera jamais totalement comblée, c'est l'idée de la réponse que je viens de mettre à l'instant à ton message précédent 😜.
Super vidéo ! Serait-il possible de faire une vidéo sur le calcul de la surface d'une courbe d'une fonction de deux variables ? J'ai essayé d'adapter mais je ne trouve pas de limite après avoir discrétisé la surface
Merci 😁 ! Ah, je ne sais pas tellement ce qu'il se passe pour une surface, c'est une question sur laquelle je n'ai jamais tourné mon attention. Je note ça dans ma boîte à idées (en sachant qu'elle en contient des centaines après six années d'activité par ici 😉) !
À moins que quelque chose ne m'échappe, parce qu'il n'est pas possible de reconnaître directement une fonction à laquelle il est possible d'appliquer la propriété relative aux sommes de Riemann (contrairement à l'exemple précédent, dans lequel on reconnaissait directement une fonction de k/n dans la somme).
On ne pourrait tout simplement trouver une paramétrisation de notre courbe ( si elle est pas déjà) et résoudre l’intégrale curviligne entreÀ et B de 1 ds ? Ça ne serait pas plus simple ?
En fonction de la courbe et de la paramétrisation, ça peut effectivement être bien plus simple 👍🏻. Pour calculer la longueur d'un demi-cercle, par exemple, se limiter à une fonction de la variable réelle est plus une complication qu'autre chose.
Très intéressant ! Une petite remarque su ça ne te dérange pas ! Essaye de travailler un peu sur ta respiration dans la vidéo. Ça va aider sur la qualité de la présentation. Sinon le contenu est parfait. Merci !
@@TheAbhoss D'accord, c'est une question de volume, je comprends ! Oui, c'est une combinaison du micro et du placement de ma bouche par rapport au micro. Je suis à distance d'un poing du micro, et ça capte bien. Après, je peux très probablement réduire le volume en décibels de ces respirations, mais comme c'est la première fois qu'on me fait la remarque, je ne l'avais pas envisagé. Je verrai ce que je peux faire au prochain montage 👍🏻.
"la réponse est oui mais j'insiste sur le fait qu'on ne le démontre pas ici". De manière générale, j'ai l'impression que dès qu'on utilise l'intégrale pour passer d'un raisonnement discret vers un raisonnement continu, la réponse est toujours oui. Il y a t-il des exceptions et si oui sous quelle forme les reconnait-on ? Sinon très bonne vidéo ^^ PS: tes petits personnages sont de plus en plus nombreux et amusants. Aaah..... si seulement les mathématiciens avaient de plus grandes marges xD
En étant honnête, il y a deux points importants. 🔹Le calcul de limite que je réalise dans un premier temps permet d'aboutir à une formule avec une intégrale. Cet intégrale, prétendue valeur « exacte », est souvent choisie comme étant la _définition_ de la longueur d'une courbe. 🔹Il resterait, derrière, après ce raisonnement on ne peut plus rigoureux, à « démontrer » que cette formule correspond à l'expérience sensorielle consistant à mesurer la longueur d'une courbe à l'aide d'un morceau de ficelle. Mais cela, ce décalage entre les mathématiques et le réel, on ne peut pas le combler, cf. l'important [HP#2]. 🎙️[HP#2] La tour d'ivoire - ua-cam.com/video/Ryvq13e519E/v-deo.html PS: Je viens de voir ton mail qui était parti dans dans les « courriers indésirables », on ne peut plus à tort ! J'ai hâte de te répondre 😇!
C'est moi ou, quand une vidéo est trop belle › on comprend trop bien ? Hmmm, ça doit fonctionner pour calculer la longueur d'une cubique de Bézier ... je vais essayer ça bientôt, merci !
Sans plaisanter, « comprendre trop bien » est un concept; avec certaines formulations, il est tout à fait possible que j'enrobe des difficultés de manière à les faire disparaître dans un bon phrasé 🙃. Mais j'essaie de me contenir et d'exposer les difficultés plutôt que de les enfouir, c'est préférable 😅. J'en profite pour noter le thème des courbes de Bézier, c'est un très joli thème !
@@oljenmaths Je ne vois pas le concept de « comprendre trop bien » en dehors de comprendre trop bien une personne dans ses actions, revendications ... c'est ça ? Quant à dire que Bézier est un très joli thème (sans calembour ni contrepèterie hein ;p), c'est pour moi, programmeur, un fumoir à neurones ! Heureusement que des confrères, bien plus doués en Maths que je ne le suis, ont laissé traîner ses bouts de codes sur la toile que je vole sans vergogne pour m'en sortir sur certains projets ;p Bref, ta chaine est superbe. Graphiquement, c'est d'un goût exquis, j'adore
Haumea! Makeris a répondu correctement. Plus précisément, je dirais que c'est le niveau d'études recommandé pour pouvoir regarder l'émission confortablement 👍🏻.
Je ne retrouve pas le bon repère temporel 😅. En fait, j'ai représenté les axes d'une manière peu orthodoxe, dans le sens où mon (0,0) n'est pas au croisement des axes. Mais si cela gêne, on peut effectivement imaginer qu'on va seulement de 0.1 à 1, de toute manière, les idées sont les mêmes 👍🏻.
L'approximation est meilleure si n est suffisamment grand, le vecteur tangent est assimilable à la portion de courbe correspondant à cette division......
Tout dépend de la disposition du fleuve, n'est-ce pas ? Rectiligne, circulaire, sinusoïdal; la longueur va être plus ou moins facile à calculer en fonction 😉.
@@oljenmaths rien de compliqué si on prend un triangle rectangle "infinitésimale" sur la courbe on pourra écrire que son hypothènuse vaut dL^2=dx^2 + dy^2= dx^2(1+(dy/dx)^2). Comme dy/dx = f ' alors L = intégrale (racine (dx^2(1+(dy/dx)^2))) =racine (1+f' ^2)dx. Pour x allant de a à b.
Ah oui ! En fait, c'est la version « à la physicienne » de ce que j'ai fait ici, c'est très intéressant de voir ça de cette manière. Justement, je vais publier demain une vidéo dans cette veine, avec des quantités infinitésimales. Merci pour cette réponse 🥳👍🏻!
![[UT#67] Intégrations sauvages - Calculs d'aires et de volumes](http://i.ytimg.com/vi/psQ8nemkLJc/mqdefault.jpg)
![[UT#67] Intégrations sauvages - Calculs d'aires et de volumes](/img/tr.png)
![[UT#70] La transformation d'Abel (Introduction)](http://i.ytimg.com/vi/5QaSTn3lD-8/mqdefault.jpg)
![[UT#63] Valeur moyenne d'une fonction (Introduction)](http://i.ytimg.com/vi/hNYJFmS1v8o/mqdefault.jpg)
Super clair ! Ça m'aurait vraiment aidé il y a 50 ans !!
Merci.
Merci beaucoup 🙏🏻! Je fais ça pour la jeune génération, en pensant à ce que j'aurais aimé trouver il y a 15 ans 😌.
Le commentaire sucré-salé 😀
Formidable, pédagogique, enrichissant. vous avez l bonne approche pour exposer les nouvelles notions aux passionnés de mathématiques, notamment la notion d'intégrale. vivement de nouvelles videos a cet effet.
Vraiment encore une fois très bien expliqué ! Bravo. La difficulté que l'on peut rencontrer pour calculer la longueur de certaines courbes, c'est d'arriver à trouver la primitive correspondante... Pas toujours simple.. 😉.
Merci beaucoup 🙏🏻! Oui, je me rends compte que j'ai un peu exagéré quand j'ai parlé de calculer la longueur d'un morceau de parabole, ou d'un demi-cercle. En fonction des outils dont on dispose, une primitive reste délicate à obtenir 🙃 .
Et dire qu'on m'avait balancé la formule sans aucune explication, alors qu'une bonne monstration est en soi suffisante intellectuellement et intuitivement, alors merci pour ton approche vraiment pédagogique et aussi ludique !
Merci 🙏🏻! De même pour moi, cette formule avait atterri dans mon cours sans prévenir. L'affront est désormais lavé 🥳!
Merci pour vos émissions qualitatives, vos abonnés désirent aussi voir de l'algèbre, encore Bravo pour votre travail d'analyse somptueux 🙂
Honnêtement, l'algèbre est assez loin en ce moment, il va falloir patienter. En ce moment, je m'intéresse à l'analyse, et plus précisément à l'analyse complexe 😉.
@@oljenmaths Est-ce que vous pourriez consulter votre compte Instagram s'il vous plaît ?🙂
@@smartcircles1988 Je l'ai fait, et j'ai constaté que j'ai été découvert 🤣. Projet en cours !
@@oljenmaths N'hésitez pas à répondre à mon message 😅
@@smartcircles1988 Purée, je suis tellement un novice que j'avais même pas vu le message 🤣.
Trop cool la vidéo !
J'aime beaucoup la coloration des variables, je suis convaincu qu'une bonne coloration lexicale et syntaxique des expressions peut énormément aider à la compréhension en soulageant le cerveau de la tâche fastidieuse de l'analyse de celles-ci (au même titre que l'on colore le code en programmation)
Ah oui, complètement ! Se passer de la coloration, c'est vraiment quelque chose qui me dépasse, ce que les programmateurs ont bien compris depuis belle lurette👍🏻!
C'est quand même magnifique comme méthode. Merci
Excellent 😊👍....je ne m'étais jamais poser la question, j'ai la réponse , Riemann est vraiment partout ..
Pour les curieux, à noter que pour trier les fonctions ayant une longueur infinie même sur un intervalle compact, on peut calculer la V2-variation. Cela consiste à mettre au carré les accroissements infinitésimaux. C'est très utile par exemple pour s'intéresser aux variations du mouvement Brownien.
Hello!
J'ai 28 ans et me souviens de cette question que j'avais eu à l'oral de Maths de Centrale ! Heureusement que j'avais la formule en tête mais en revoyant la démonstration, tout semble logique :)
Excellent 🥳! Ah, c'est ça les maths, quand on voit la solution, on se dit que tout coule de source, mais face à un jury de concours… J'espère que cet oral s'est terminé par une intégration 😇.
Merci bien! Et bravo Monsieur!
J'ai refait l'integralité de la chaine et je troive que dans l'ensemble, les vidéos de cette chaîne sont excellentes car expliqué de façon précise et méthodologique de façon à ce que l'on comprenne les enjeux. Cependant il manque clairement des petits exercices à la fin qui permettent de mettre en application ce qui a été vu de façon concrète. N'oublions pas que un prof nous demande en devoir de résoudre des exos et non pas d'expliquer un cours.
Ce qui pourrait aussi être intéressant, c'est quand un thème a été exploré, il faudrait une vidéo avec un exercice un peu plus grand qui mettent en application les notions abordées et la méthode adéquat.
L'idée d'ajouter des exercices associés à certaines vidéos sera peut-être implémentée en-dehors des vidéos, dans un fichier PDF disponible dans les descriptions. Pour l'instant, je n'ai juste pas le temps mais je prends note ✍🏻.
Ce sont les explications du fond qui manquent et là l'apport de vos vidéos est de très bonne facture. Et pourtant tout ça est gratuit.
MERCI
Super vidéo !
Pour la démonstration avec l'interpolation j'ai fait la chose suivante:
Si f est de classe C1 sur l'intervalle [0,1], alors pour tout a élément de [0,1], la limite [f(x) - f(a)]/[x-a] quand x->a existe et vaut f'(a) (1).
La dérivée est de classe C0 donc elle est continue.
1+f'(x)² > 0 pour tout x élément de [0,1] et la fonction 1+f'(x)² est continue sur [0,1], donc sqrt(1+f'(x)²) est aussi continue sur [0,1] (2).
On peut réécrire l'expression n²[f((k+1)/n) - f(k/n)]² comme une fraction avec [f((k+1)/n) - f(k/n)]² au numérateur et [(k+1)/n - k/n]² (soit 1/n²) au dénominateur.
Quand n tend vers l'infini, (k+1)/n tend vers k/n.
On reconnaît un taux d'accroissement, et quand n tend vers l'infini, ce dernier tend vers f'(k/n) par (1).
Toutefois, je bloque un peu car [f((k+1)/n) - f(k/n)]² / [(k+1)/n - k/n]² vaut f'(k/n) que quand n tend vers l'infini. Donc on ne peut pas (?) reconnaître une somme de riemann en posant g(a + b * k(b-a)/n) = sqrt(1+f'(k/n)²) avec a = 0 et b = 1, ce qui nous mènerait au résultat souhaité car g est continue par (2).
Voilà, c'est un très bon raisonnement qui aboutit à une impasse: tu ressens ici tout ce que j'ai pu ressentir quand j'ai fait ma thèse 🤣! Je pense tout simplement qu'il est impossible d'aboutir comme ceci. Quant à une autre piste, pour l'instant, je n'en ai vu aucune qui m'avait vraiment convaincu 🤷🏻♂️.
Pour la réponse à la question: il s'agit, après avoir appliqué le théorème des accroissements finis, d'utiliser une proposition sur les sommes de Riemann un peu plus large que celle que j'ai présentée dans mon émission à ce sujet.
En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f sur chaque intervalle [k/n, (k+1)/n], on obtient l'existence d'une quantité c(k,n) telle que le taux d'accroissement est égal à f'(c(k,n)). Et en considérant la subdivision a, c(0,n), c(1,n), ..., c(n,n), b, on a bien un pas de subdivision qui tend vers 0. Et donc, la somme considérée tend bien vers l'intégrale.
Pour plus de détails sur cette proposition un peu plus large à propos des sommes de Riemann, voir ici, par exemple:
📜 fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann
@@oljenmaths merci énormément pour votre réponse enrichissante et votre implication
Une belle vidéo! Courage !!!!
Très intéressant, merci infiniment..
Très intéressant. Un très bon niveau universitaire. J'abuse encore une fois : à quand des vidéos sur les tenseurs, leurs applications, leurs utilisations, leurs fonctionnalités intrinsèques ? Sinon, toujours au top
Merci ! Quant aux tenseurs, je ne sais. J'explore actuellement l'analyse complexe, donc les tenseurs ne sont pas dans mes préoccupations actuelles 😅.
@@oljenmaths ok
Ma chaine youtube preférée !!
Formidable explication ; super analyse du problème poser sincèrement . Pour la première fois, j'ai l'impression que les mathématiques ont une saveur qu'on peut goûter.......Merci ......SVP des videos sur résolution d'équation diophantienne a 3 inconnus degré 2 exemple: z=ax²+bxy+cx+y avec a,b,c des nbres naturels et x,y,z les inconnus aussi entiers naturels .
Sa fait partie de ce genre de résultats que j'ai moi même dérivée ! Bien sur je savais quand même déjà vaguement où allez et ce à quoi le résultat ressemblait car je l'avais croisé deux trois fois. Mon approche était légèrement différente de ce que vous faite dans la vidéo cependant, en voici un résumé.
Je suppose que je connais déjà une fonction L qui me donne la longueur de la courbe f sur l'intervalle [0:t], puis je m'intéresse au cas t+h avec l'idée de rendre h très petit et d'approximer l'a courbe avec une ligne droite, et pareil avec un peu de Pythagore on s'en sort très bien comme ça aussi, l'avantage c'est que cette démonstration ressemble beaucoup à la démonstration que l'aire sous la courbe d'une fonction sur un intervalle [a;b ] est l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle, après je pense pas que ce soit aussi rigoureux que ce que vous proposer dans cette vidéo.
C'est une idée respectable ! L'idée d'avancer à petits pas, avec Pythagore en appui, c'est l'essence de ce que j'ai présenté ici 👍🏻.
Belle ref à fermât !
Bon courage.
bravo
vraiment sympa ta vidéo ...
c'était une question que je posais ...
j ai une explication maintenant
Merci beaucoup ! Les mots « C'était une question que je me posais... j'ai une explication maintenant » sont exactement ceux que je me suis prononcés il y a quelques semaines ! Et quelle joie de pouvoir partager les réponses que j'ai trouvées 🥳 !
Bonne explication❤
Excellent ! 🤠
Bonjour. Tombé par hasard suite aux suggestions ... Très intéressant !
Mais j'ai pas le niveau 😅
Mais pour le reste, vu que je travaille souvent sur des plans papier, un curvimètre et c'est plié 👍🏻
J'approuve la méthode du curvimètre. Ma compagne, m'a dit qu'elle se serait contenter d'épouser les contours de la courbe avec une ficelle, de faire une marque, puis de mesurer la ficelle. Solution simple 🥳!
@@oljenmaths : l'idée est top effectivement. Mais quand il y'a beaucoup de longueur(s), un modèle à aiguille à 7~8€ c'est quand même plus rapide.
super vidéo.
Hasard de l'algo de google, je tombe ici. Merci pour ça :)
Merci l'algo 🤣! Bienvenue sur la chaîne 🥳!
Super intéressant ! :)
J'ai essayé de calculer la longueur d'un arc de parabole (y=x²) mais je trouve une formule monstrueusement compliquée 😱😱😱
Merci 🙏🏻! Oui, désolé, je me suis un peu enflammé quand j'ai prétendu qu'on pouvait facilement tester la formule sur des exemples. La racine carrée crée bien des ennuis ! Pour la parabole, c'est fait ici:
📜 serge.mehl.free.fr/anx/long_arc_parabole.html
@@oljenmaths Merci :)
Oui le site de Serge Mehl est fameux.
Rassuré de voir que nous avons la même horrible formule 😅
Pour info , j'avais commencé à travailler sur le problème pour étudier le roulement sans glissement sur un plan de la parabole.
Après, en coordonnées polaires avec comme origine le foyer de la parabole, et comme paramètre l'angle de bascule, on a peut-être une formule intéressante.
Je voulais aussi vérifier que l'angle de bascule se stabilise à π/2 (limite) ...
😎🙃
Super !
Très bel exercice pour être prêt le jour de la rentrée. Un peu limite pour des élèves de terminale...
En effet; sans sommes de Riemann, le passage technique est difficile à comprendre, même si l'idée devrait rester accessible 👍🏻.
Top merci 👍
Bravo
Pour la solution à la fin, j'ai vu personne faire ça alors que de cette manière ça se montre très rapidement :
Par le th d'égalité des accroissements finis, quelque soit k il existe C(k) dans [k/n, k+1/n] tel que f(k+1/n) -f(k/n) =1/n * f'(C(k)).
Donc le somme de départ est égal à : 1/n*sum(1+f'(C(k)))
Avec C(k) dans [k/n, k+1/n] donc f' étant continue car f est C1 on utilise la somme de Riemann.
L'idée d'utiliser les accroissements finis est assurément une bonne idée, mais je ne suis pas jusqu'au bout. La quantité dénommée C(k) devrait plutôt s'appeler C(k,n), de la manière dont elle est définie. Et donc, lorsqu'on se retrouve avec 1/n*sum(1+f'(C(k,n))), comment pourrait-on appliquer la propriété que vérifient les sommes de Riemann 🤔?
De la même manière que pour l’approche numéro 1. Tu avais f’(k/n) et maintenant f’(c(k,n)).
Pour tout k, n, k/n
@@shakespeare258 Ah mais oui 🤦🏻♂! Je suis resté bloqué sur l'utilisation d'un pas constant mais c'est absurde, ça fonctionne aussi lorsque le pas de la subdivision tend vers 0 ! Merci beaucoup 👍🏻!
la démonstration elle est enseignée à quel niveau (selon le BO) ?
Alors là, je donne ma langue au chat ! Je n'ai d'ailleurs aucun souvenir d'avoir vu cette formule dans mes années d'étudiant, mais peut-être que ma mémoire est sélective... 😇.
Ce sont des questions souvent abordées en théorie de l’intégration même si ici le problème est légèrement différent. Donc L3 plutôt.
et laquelle des 2 méthodes converge le plus vite?
Alors là, je n'ai pas vraiment vérifié mais ça ne doit vraiment pas se jouer à grand chose, parce que la deuxième estimation peut être rattachée à la première grâce à une utilisation appropriée du théorème des accroissements finis (pour une fonction suffisamment régulière, bien entendu).
Si un amateur qui lit ce commentaire a le cœur de faire tourner les deux méthodes numériquement sur quelques exemples pour voir si je suis en plein délire, je suis preneur 😇!
qu'est ce que cela donnerait sur une courbe non dérivable comme la courbe de Weierstrass ?
C'est une excellente question ! Même si l'intégrale n'a pas de sens, on pourrait peut-être essayer de calculer les approximations que je donne avec l'approche d'interpolation, pour n = 100, n = 500, n = 1000, et voir quel genre de résultats on obtient 🍿. J'adore ce genre d'ambiances, j'ai toujours l'impression qu'on va casser les maths.
PS: Pourrais-tu m'envoyer un mail sur l'adresse de contact en description ? Je souhaite te contacter 😇.
J'ai bien aimé l'allusion à la preuve du grand théorème de Fermat.
Une chose qui serait bien , c'est de faire la même chose avec une courbe affine par morceaux du genre en dents de scie. Et montrer que selon la vitesse de convergence vers 0, on n'obtient pas forcément une convergence.
Excellente idée ! Je ne sais pas dans quel délai je serai capable de l'implémenter, mais certaines émissions que j'ai prévues parleront un peu de vitesse de convergence. Un exemple qui montrerait ce qu'il se passe, numériquement, pour une fonction qui ne serait pas assez régulière serait assurément intéressant 👍🏻!
@@oljenmaths Je me suis amusé à faire ça pour mes étudiants qui me parlaient de "nature" de la courbe pour expliquer la non inversion entre limite et longueur. Du coup, j'en ai eu marre des pseudo explications et je leur ai pondu trois courbes ayant une infinité de pointes. La première convergeait correctement vers la longueur, la seconde vers une autre valeur finie et la troisième divergeait vers +oo.
La machine est en marche, en avant !
Un sanglier lancé à pleine vitesse dans un champ de maïs 🐗!
Pour la dernière démonstration laissée en suspens, l'utilisation du théorème de Taylor Lagrange me semble être la bonne solution pour ensuite faire apparaître à nouveau une somme de Riemman !
Avec le seul théorème de Taylor-Lagrange, je ne parviens à rien de concluant. Le problème étant qu'il reste une quantité comprise entre k/n et (k+1)/n dans l'expression, et dont je ne connais rien d'autre. Mais comme première idée, assurément, c'est très bon 👍🏻.
@@oljenmaths
f étant considéré C1 sur [0,1] et [k/n;(k+1)/n ] étant inclus dans [0,1] quelque soit k dans [0,n-1] on en déduit qu'il existe t_k appartenant à [k/n;(k+1)/n] tel que :
f((k+1)/n) = f(k/n) + 1/n*f'(t_k)
Ainsi : f((k+1)/n) - f(k/n) = 1/n*f'(t_k).
En remplaçant dans l'expression, on obtient un calcul approximatif de la courbe par interpolation de la forme :
C(f) = 1/n*somme(racine(1+f'(t_k)^2)
En faisant tendre n vers + infini et en justifiant que racine(1+f'^2) est C0 et en reconnaissant une somme de Riemman, on retrouve l'intégrale !
@@corentinlatimier4964 Ce que je peine à comprendre en l'état, c'est comment C(f) = 1/n*somme(racine(1+f'(t_k)^2) se trouve être une somme de Riemann.
Parce que le t_k, à part le fait que ce soit un élément de [k/n;(k+1)/n], on ne sait pas vraiment la manière dont il se comporte, n'est-ce pas 🤔?
Pour la réponse à la question: il s'agit, après avoir appliqué le théorème des accroissements finis, d'utiliser une proposition sur les sommes de Riemann un peu plus large que celle que j'ai présentée dans mon émission à ce sujet.
En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction f sur chaque intervalle [k/n, (k+1)/n], on obtient l'existence d'une quantité c(k,n) telle que le taux d'accroissement est égal à f'(c(k,n)). Et en considérant la subdivision a, c(0,n), c(1,n), ..., c(n,n), b, on a bien un pas de subdivision qui tend vers 0. Et donc, la somme considérée tend bien vers l'intégrale.
Pour plus de détails sur cette proposition un peu plus large à propos des sommes de Riemann, voir ici, par exemple:
📜 fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann
Salut Olivier,
Sympa cette émission, je l'attendais.
Pour le défi que tu donnes à la fin, est-il question du TAF pour se ramener à une expression proche de la précédente ?
PS : j'ai peut-être raté quelque chose mais je crois qu'on ne peut pas dire que "notre expression tend vers la longueur exacte de la courbe" car l'objet "longueur d'une courbe de classe C1" n'est pas encore défini 😉
Par contre l'égalité des deux approches et le fait qu'elles prolongent la façon de calculer des courbes affinés par morceaux est encourageant pour prendre notre expression finale comme definition de la longueur d'une courbe C1 par morceaux 🙂
Est-ce que tu valides grand maître ? 😆
Salut Guillaume !
🔹Pour le TAF, c'est une bonne idée parce que ça permet de se ramener quasiment à la forme précédente. Mais tel quel, c'est trop peu; on se retrouve face à une somme du type 1/n*sum(1+f'(C(k,n))) qui n'offre pas immédiatement la possibilité d'utiliser la propriété que vérifient les sommes de Riemann.
🔹Pour le PS, c'est très juste. Tout dépend de la manière dont on souhaite définir cette notion. Au vu de cette émission, la formule que j'ai donnée paraît raisonnable en tant que définition. Après, il reste à établir le rapport avec l'expérience sensorielle consistant à mesurer la courbe avec un bout de ficelle, mais c'est un écart entre le monde réel et les mathématiques qui ne peut pas totalement être comblé, me semble-t-il.
@@oljenmaths
Merci pour ta réponse.
Alors sans vérifier (desolé), disons TAF + majoration de la dérivée comme la fonction est C1 et qu'on travaille sur un fermé ?
Pour la deuxième il faudrait une idée de pouvoir courber une ligne sans changer sa longueur, mais est-ce qu'on ne change vraiment pas la longueur d'une ficelle en la courbant ou en la tendant ?
La question est peut être : comment représenter mathématiquement la superposition d'une courbe avec une ficelle ?
Est-ce qu'on ne peut pas le faire avec des applications qui seraient localement des isométries non vectorielles ?
Salut Guillaume ! Deux questions, deux pièges !
🔹Je n'ai pas vérifié que la quantité que j'ai écrite en fin d'émission converge bel et bien vers la longueur de la courbe, ni sous quelles conditions de régularité de la fonction elle pourrait le faire. Les seules idées que j'ai eues s'articulent autour des accroissements finis, des développements limités et des formules de Taylor. Cela dit, toutes mes pistes de recherches sont devenues trop techniques pour que je les poursuive, donc j'ai juste laissé tomber. Cela dit, on pourrait essayer de démontrer la chose pour une fonction monotone, par exemple, de manière à pouvoir procéder avec un encadrement, c'est déjà un bon lot de consolation.
🔹Pour la deuxième, c'est encore pire, parce que c'est une question qui n'a pas de solution. Une référence, c'est cette émission là:
[HS#2] La tour d'ivoire - ua-cam.com/video/Ryvq13e519E/v-deo.html
La différence entre les mathématiques et l'expérience sensorielle ne sera jamais totalement comblée, c'est l'idée de la réponse que je viens de mettre à l'instant à ton message précédent 😜.
👍
Super vidéo ! Serait-il possible de faire une vidéo sur le calcul de la surface d'une courbe d'une fonction de deux variables ? J'ai essayé d'adapter mais je ne trouve pas de limite après avoir discrétisé la surface
Merci 😁 ! Ah, je ne sais pas tellement ce qu'il se passe pour une surface, c'est une question sur laquelle je n'ai jamais tourné mon attention. Je note ça dans ma boîte à idées (en sachant qu'elle en contient des centaines après six années d'activité par ici 😉) !
Je n'ai pas compris pourquoi dans la méthode 2 avec le taux d'accroissement on ne peut pas utiliser les somme de Riemann.
À moins que quelque chose ne m'échappe, parce qu'il n'est pas possible de reconnaître directement une fonction à laquelle il est possible d'appliquer la propriété relative aux sommes de Riemann (contrairement à l'exemple précédent, dans lequel on reconnaissait directement une fonction de k/n dans la somme).
J'aime bien les maths, mais j'aime tout autant professeur layton, donc j'ai bien aimé voir les stickes des personnages
J'ai engagé Luke et Flora pour toutes les émissions à venir 😇.
On ne pourrait tout simplement trouver une paramétrisation de notre courbe ( si elle est pas déjà) et résoudre l’intégrale curviligne entreÀ et B de 1 ds ? Ça ne serait pas plus simple ?
En fonction de la courbe et de la paramétrisation, ça peut effectivement être bien plus simple 👍🏻. Pour calculer la longueur d'un demi-cercle, par exemple, se limiter à une fonction de la variable réelle est plus une complication qu'autre chose.
Effectivement, instinctivement je me serais plutôt orienté vers l’abcisse curviligne. Quels seraient les contre-exemples ?
Très intéressant ! Une petite remarque su ça ne te dérange pas ! Essaye de travailler un peu sur ta respiration dans la vidéo. Ça va aider sur la qualité de la présentation. Sinon le contenu est parfait. Merci !
Que veux-tu dire exactement à propos de la respiration ? Moins en prendre ?
@@oljenmaths ça s'entend fort dans la vidéo, peut être c'est à cause du micro utilisé ?
@@TheAbhoss D'accord, c'est une question de volume, je comprends ! Oui, c'est une combinaison du micro et du placement de ma bouche par rapport au micro. Je suis à distance d'un poing du micro, et ça capte bien. Après, je peux très probablement réduire le volume en décibels de ces respirations, mais comme c'est la première fois qu'on me fait la remarque, je ne l'avais pas envisagé. Je verrai ce que je peux faire au prochain montage 👍🏻.
bonsoir maître la formule à comprendre , mais trouver l'intégrale avec racine carré , c'est la plus difficile des intégrales ,
Effectivement, la formule à laquelle on parvient nous laisse face à un calcul de primitive potentiellement délicat !
"la réponse est oui mais j'insiste sur le fait qu'on ne le démontre pas ici". De manière générale, j'ai l'impression que dès qu'on utilise l'intégrale pour passer d'un raisonnement discret vers un raisonnement continu, la réponse est toujours oui. Il y a t-il des exceptions et si oui sous quelle forme les reconnait-on ?
Sinon très bonne vidéo ^^
PS: tes petits personnages sont de plus en plus nombreux et amusants. Aaah..... si seulement les mathématiciens avaient de plus grandes marges xD
En étant honnête, il y a deux points importants.
🔹Le calcul de limite que je réalise dans un premier temps permet d'aboutir à une formule avec une intégrale. Cet intégrale, prétendue valeur « exacte », est souvent choisie comme étant la _définition_ de la longueur d'une courbe.
🔹Il resterait, derrière, après ce raisonnement on ne peut plus rigoureux, à « démontrer » que cette formule correspond à l'expérience sensorielle consistant à mesurer la longueur d'une courbe à l'aide d'un morceau de ficelle. Mais cela, ce décalage entre les mathématiques et le réel, on ne peut pas le combler, cf. l'important [HP#2].
🎙️[HP#2] La tour d'ivoire - ua-cam.com/video/Ryvq13e519E/v-deo.html
PS: Je viens de voir ton mail qui était parti dans dans les « courriers indésirables », on ne peut plus à tort ! J'ai hâte de te répondre 😇!
@@oljenmaths je vois, c'est quelque chose d'indémontrable. en quelques sorte.
Content que tu es pu le voir. J'attendrai la réponse avec impatience. x3
C'est moi ou, quand une vidéo est trop belle › on comprend trop bien ?
Hmmm, ça doit fonctionner pour calculer la longueur d'une cubique de Bézier ... je vais essayer ça bientôt, merci !
Sans plaisanter, « comprendre trop bien » est un concept; avec certaines formulations, il est tout à fait possible que j'enrobe des difficultés de manière à les faire disparaître dans un bon phrasé 🙃. Mais j'essaie de me contenir et d'exposer les difficultés plutôt que de les enfouir, c'est préférable 😅. J'en profite pour noter le thème des courbes de Bézier, c'est un très joli thème !
@@oljenmaths Je ne vois pas le concept de « comprendre trop bien » en dehors de comprendre trop bien une personne dans ses actions, revendications ... c'est ça ?
Quant à dire que Bézier est un très joli thème (sans calembour ni contrepèterie hein ;p), c'est pour moi, programmeur, un fumoir à neurones ! Heureusement que des confrères, bien plus doués en Maths que je ne le suis, ont laissé traîner ses bouts de codes sur la toile que je vole sans vergogne pour m'en sortir sur certains projets ;p
Bref, ta chaine est superbe. Graphiquement, c'est d'un goût exquis, j'adore
top
Bonjour. À quoi correspond le +1 en bandeau dans la miniature ?
Ça veut dire que c'est une vidéo de niveau BAC+1 je crois
@@groovyscratch C'est ça !
@@groovyscratch Ah! OK ! Merci !
Joli ton Marcel frérot
Haumea! Makeris a répondu correctement. Plus précisément, je dirais que c'est le niveau d'études recommandé pour pouvoir regarder l'émission confortablement 👍🏻.
vers 7 minutes, l'intégrale va de 0 à 1 sur le dessin, est-ce que ça ne doit pas être de 0,1 à 1 ? La courbe de l'exemple ne touche pas l'axe Y.
Je ne retrouve pas le bon repère temporel 😅. En fait, j'ai représenté les axes d'une manière peu orthodoxe, dans le sens où mon (0,0) n'est pas au croisement des axes. Mais si cela gêne, on peut effectivement imaginer qu'on va seulement de 0.1 à 1, de toute manière, les idées sont les mêmes 👍🏻.
L'approximation est meilleure si n est suffisamment grand, le vecteur tangent est assimilable à la portion de courbe correspondant à cette division......
Tout simplement la longueur que prend un fleuve est la distance entre son point de depart et son point d'arrivee mutipliee par le nombre pi
Tout dépend de la disposition du fleuve, n'est-ce pas ? Rectiligne, circulaire, sinusoïdal; la longueur va être plus ou moins facile à calculer en fonction 😉.
Ça plus vite de montrer que L = intégrale(racine (1+f '^2))dx, avec x compris entre a et b sur le domaine de définition de f
Je le conçois, mais comment expliquer la provenance de cette formule 🤔?
@@oljenmaths rien de compliqué si on prend un triangle rectangle "infinitésimale" sur la courbe on pourra écrire que son hypothènuse vaut dL^2=dx^2 + dy^2=
dx^2(1+(dy/dx)^2). Comme dy/dx = f ' alors L = intégrale (racine (dx^2(1+(dy/dx)^2))) =racine (1+f' ^2)dx. Pour x allant de a à b.
Ah oui ! En fait, c'est la version « à la physicienne » de ce que j'ai fait ici, c'est très intéressant de voir ça de cette manière. Justement, je vais publier demain une vidéo dans cette veine, avec des quantités infinitésimales. Merci pour cette réponse 🥳👍🏻!
intégral curviline
Ou ma..
tu modules une parabole, et selon l'angle atteint tu déduis la longueur enfin inversement ducoup et tu lui mets 4 raptor yeeeah
ou une sommes de parabole modulée je veux dire...
et tu mets une somme de 4 raptor au carré yeaaah
pour pouvoir suivre une évolution de courbe o_o ....