【集合論#22】対角線論法
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- Опубліковано 8 лют 2025
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はじめて対角線論法きいて納得できました
めっちゃわかりやすいです
(0,1)からℝへの全単射はf(x)=(2x-1)/x(1-x)でもええ
これも選択公理から新しい少数が作れるってことなんですかね。
これ例えば、少数点以下一桁の少数に1〜9の番号を振り、二桁の数に10〜99までの番号を振り、三桁の数に100〜999までの番号を振り、…って無限にやれば、全単射可能になりませんか？
もちろん無限にできないから有理数だけになってしまうってのはわかるんですが…
一旦有理数・無理数の分類を取っ払って、上記の操作を無限にやれば、開区間(0,1)を網羅する事になりませんか？
ご指摘の通りです。実際にご指摘の方法で実数を並べてそこに対角線論法を適用すれば、対角線論法によって構成される実数は単に無限につづく有理数であることがわかります。このことから非可算無限は存在しないといえるでしょう。詳しくは『０歳からの経験と知性（武久出版）』ｐ２５５～に書かれています。
非可算無限を含む集合論はすでに百数十年にわたり権威づけられているので引っ込みがつかなくなってしまったようです。
よく判らない事が２つあります。どなたか判る方教えてください。
１．同値関係で判断したら整数と自然数の対応関係が結べなくなるのでは？
対角線論法では２つの値が同値かどうかという判断を経て対応関係が結べるかどうかを決定していますね。この考え方をそのまま当てはめると、自然数と整数の比較をするときも整数側に自然数の値と比較して同値でないものがあるという理由で対応関係を結ぶことが出来なくなる、という事にはならないのですか？有理数と無理数の比較Aと整数と自然数の比較Bの間にある決定的な差はなんですか？
２．数値を作る際に守る必要があるルールはどんなものか？
対角線論法のように段階の数に制限を設けない操作を許すのであれば一桁毎に0～9までの数を毎度当てはめれば無理数と同じ数を作成できるという事にはなりそうです。また同様に有理数の無限級数を使えば無理数を作れますよね。これも段階の数に制限を設けていないと言えそうです。多分これは数値を作る操作をする際に超えてはいけない一線を越えているという事になるのだと思いますが、、、
この一線はどのような仕様に基づいて引かれるのでしょうか？
出ましたアレフ、趣味中の趣味です笑
実数の少数表示の一意性については確かにその根幹と構成に関わるので少し厄介ではありますが、良心でもって眺めればカントールの考えたように感じることが出来ますね、カントール自身も自分で示していったこと、現れることに結構困惑したらしいですけれども。
よくなされるのは二進展開の方ですが、二進展開でつまづく人もいるかもしれないし、とはいえそういうところがそもそも完備な順序体としての実数に迫るところなので説明に、というか準備が辛いところでしょうか。
次回の一般のpower set、無限の無限系列の始まりについても楽しみです。
３進数ではと言う余計な突っ込み(^-^)
カントール集合について話して欲しいです‼️☺️
対角線に選べないような状況が有るので、自然数と有理数の一対一対応の考えは前提として
絶対必要?
定義域(0、1)か値域:(0～∞)の
対応関係はいくらでも作れるらしいですけども、
f(x)→x/(1―x)or
f(x)→(1-x)/x
(定義域は開集合(0,1))
とかは、例としてどうでしょうか？
ほんとに門外漢なので恥ずかしい質問を許していただきたいのですが、0.99999....は１ではなく、無理数ではないのでしょうか？
ご説明にあった無限等比級数の公式にはLim→∞ の操作が含まれていて、これをδーε論法で考えると、いかなるε対してもにもそれより１に近づける
とは言ってもεはあくまで０ではないので、１という有理数にはなれないのではないでしょうか？
bが(0,1)の元であることはどう示すのでしょうか？
0.1111…≦b≦0.2222…だから1/9≦b≦2/9
すでにakioskymonkeyさんがご指摘のように、実数は0.1, 0,2,....0.9, 0.01 ,0.02....0.99, 0.001, 0.002....0.999, .....と並べてゆくことで、無限に順序付け可能です。この実数列に対角線論法を当てはめてみると、対角線論法は単にある実数（有理数）を生み出していることがわかります。このことから非可算無限を含む集合論は数学的根拠のないことがわかります。
しかし現代の数学、論理学は非可算無限を含む集合論を基盤として１００年以上の歴史を積み上げてきたせいか、引き返しはできないようです。くわしくは『０歳からの経験と知性（武久出版）』ｐ２２５～をご参照ください。
完全に素人質問ですが，その列は(0,1)内の有理数にしか順序を与えられてなくないですか？
一般的に有理数は分数で表せる値、無理数は分数で表せない値とされているが、実はその区別は相対的です。
ｎ桁の小数0.１２３・・・は１２３・・・／１０ｎとも表せるため分数と小数は表記方法の違いにしかすぎません。
また、無理数√２や有理数１／３を表す無限小数列は共に無限大長の数列によらなければ正確な値を表すことができません。
このようなことから小数表記において有理数と無理数の違いは本質的ではありません。
「実数論」や「集合論」ではさらに無限大の数値はあり得ないと断じて、有理数と無理数の違い、さらに可算無限、非可算無限などを論じています。
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