Für den Beweis dass gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm gleich lang sind, wäre das mein Ansatz. Vorwissen: Wegen Winkelsätzen an geschnittenen Parallelen sind gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm gleich groß, und benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°. Demzufolge sind darüber hinaus zwei Winkel größer/gleich 90° und die anderen beiden Winkel kleiner/gleich 90°. Man zeichne im Parallelogramm eine Diagonale ein, die das Parallelogramm in zwei Dreiecke teilt. O.b.d.A. wählt man hierfür die Diagonale, die den Innenwinkel teilt, der kleiner/gleich 90° ist (1). Das müsste man theoretisch nicht machen, aber ich habe Bock auf SsW. Beide Dreiecke teilen sich eine Seite (die Diagonale), sowie den dieser Seite gegenüberliegenden Winkel. Da dieser Winkel wegen (1) größer/gleich 90° ist, ist die Diagonale die größte Dreiecksseite (höchstens ein Winkel im Dreieck kann wegen Innenwinlelsatz größer/gleich 90° sein und je größer der Winkel desto größer die gegenüberliegende Seite). Durch Winkelsätze an geschnittenen Parallelen kann man nun zeigen, dass auch ein paar andere Winkel in beiden Dreiecken gleich sind, somit gilt wegen SsW, dass beide Dreiecke kongruent sind. (Man hätte auch eine beliebige Diagonale und WSW nehmen können, da das verbliebene Winkelpaar ja in beiden Dreiecken auch gleich ist, aber das wäre ja langweilig.) Bliebe noch zu zeigen, dass die gleich langen Seiten auch wirklich die gegenüberliegenden und nicht die anliegenden Seiten sind, aber das folgt daraus, dass diejenigen Seiten gleich lang sind, die dem jeweils gleichen Winkel gegenüberliegen. Q.e.d, w.z.b.w. oder wie der Sachse sagt: fertsch.
Verblüffend 👏👍.
Ja, oder?
Für den Beweis dass gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm gleich lang sind, wäre das mein Ansatz.
Vorwissen: Wegen Winkelsätzen an geschnittenen Parallelen sind gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm gleich groß, und benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°. Demzufolge sind darüber hinaus zwei Winkel größer/gleich 90° und die anderen beiden Winkel kleiner/gleich 90°.
Man zeichne im Parallelogramm eine Diagonale ein, die das Parallelogramm in zwei Dreiecke teilt. O.b.d.A. wählt man hierfür die Diagonale, die den Innenwinkel teilt, der kleiner/gleich 90° ist (1). Das müsste man theoretisch nicht machen, aber ich habe Bock auf SsW.
Beide Dreiecke teilen sich eine Seite (die Diagonale), sowie den dieser Seite gegenüberliegenden Winkel. Da dieser Winkel wegen (1) größer/gleich 90° ist, ist die Diagonale die größte Dreiecksseite (höchstens ein Winkel im Dreieck kann wegen Innenwinlelsatz größer/gleich 90° sein und je größer der Winkel desto größer die gegenüberliegende Seite).
Durch Winkelsätze an geschnittenen Parallelen kann man nun zeigen, dass auch ein paar andere Winkel in beiden Dreiecken gleich sind, somit gilt wegen SsW, dass beide Dreiecke kongruent sind. (Man hätte auch eine beliebige Diagonale und WSW nehmen können, da das verbliebene Winkelpaar ja in beiden Dreiecken auch gleich ist, aber das wäre ja langweilig.)
Bliebe noch zu zeigen, dass die gleich langen Seiten auch wirklich die gegenüberliegenden und nicht die anliegenden Seiten sind, aber das folgt daraus, dass diejenigen Seiten gleich lang sind, die dem jeweils gleichen Winkel gegenüberliegen. Q.e.d, w.z.b.w. oder wie der Sachse sagt: fertsch.