I. Seja a transformação T : R³ → R³ dafinida por T(u) = 3u, istp é, a transformação T transforma um vetor de R³ no vetor que tem o triplo do comprimento. Provar que a transformação T ´e uma transformação linear. II. Seja T : Rⁿ −→ Rᵐ a transformação definida por T(x ₁, ..., xₙ) = (a₁₁ₓ₁ + ... + a1ₙₓₙ , ..., aₘ₁ₓ₁ + ... + aₘₙₓₙ), para todo (x ₁, ..., xₙ) ∈ R ⁿ, onde a ᵢ ⱼ são números reais dados. Mostre que T é uma transformação linear. III. Seja o espaço vetorial V = Mₙₓₙ(R) e A uma matriz fixa desse espaço vetorial. O operador T : V −→ V dado por T(X) = AX, para todo X em V é linear? IV. Seja o espaço vetorial V = Mₙₓₙ(R) e P uma matriz imersível fixa desse espaço vetorial. Mostrar que o operador T : V −→ V dado por: T(X) = P ⁻ ¹XP, para todo X em V é linear Pode explicar essas questões passo a passo no seu canal.
I. Seja a transformação T : R³ → R³ dafinida por T(u) = 3u, istp é, a
transformação T transforma um vetor de R³ no vetor que tem o triplo do comprimento.
Provar que a transformação T ´e uma transformação linear.
II. Seja T : Rⁿ −→ Rᵐ a transformação definida por
T(x ₁, ..., xₙ) = (a₁₁ₓ₁ + ... + a1ₙₓₙ , ..., aₘ₁ₓ₁ + ... + aₘₙₓₙ),
para todo (x ₁, ..., xₙ) ∈ R ⁿ, onde a ᵢ ⱼ são números reais dados. Mostre que T é uma
transformação linear.
III. Seja o espaço vetorial V = Mₙₓₙ(R) e A uma matriz fixa desse espaço
vetorial. O operador T : V −→ V dado por T(X) = AX, para todo X em V é linear?
IV. Seja o espaço vetorial V = Mₙₓₙ(R) e P uma matriz imersível fixa desse
espaço vetorial. Mostrar que o operador T : V −→ V dado por:
T(X) = P ⁻ ¹XP, para todo X em V é linear
Pode explicar essas questões passo a passo no seu canal.