이런 문제들이 과거 (꽤 오래전 본고사)에서는 단골 입시 문제 였습니다. 일본에서는 아직도 출제 됩니다. --- 이 문제는 y=x^(1/x)그래프를 이해해야 한다고 하는데... 어렵네요. 암튼... 그래프 특성에 따라 e^π > π^e라고 하네요. 암기해봐야 응용문제 나오면 못푸니 결과를 암기할 필요는 없습니다. -- Ray수학님의 설명이 제일 쉬워요 참고로 "e^π vs π^e"라고 검색하면 다른 나라 풀이법과 비교가능 합니다
선형대수학을 배우는 이유는 크게 2가지라고 생각이 됩니다. 첫번째는 선형성인데요. 우리가 중고등학교때 배웠던 시그마, 극한, 벡터, 미분, 적분은 모두 lim(A+B)=limA+limB와 같이 덧셈에 대해 분배가 가능하며 실수배도 가능합니다. 이는 원점을 지나는 일차함수 f(x+y)=f(x)+f(y)와 같은 성질이라고 해서 선형성이라 부릅니다. 따라서 이러한 선형성에 대해 공부하면 선형성을 띄는 모든 것에 대해 접근할 수 있게 됩니다. 두번째는 선형대수학에서 다루는 벡터와 행렬의 개념인데요. 쉽게만 따져보면 벡터는 차원을 만드는 축 역할을 하며(basis, axis) 행렬은 그 차원 공간 또는 그 해결값이라고 볼 수 있습니다. 따라서 3차원과 실수에서만 다뤘던 중고등학교과정에서 더 나아가야하는 학부과정에서 가장 기본이 되는게 선형대수학이라서 공대와 수학과에서는 1학년때 선형대수학을 배웁니다. 나중에 선형대수학뿐만 아니라 다른 과목에 대해서도 정리를 해보려고 하는데 그 때 다시 한번 정리해보겠습니다.^^
이런 증명법도 있지만.. 다른 방식으로도 할 수 있습니다 2^3과 3^2를 비교하면 밑이 더 큰 3^2가 큽니다. 하지만 3^4과 4^3을 비교하면 밑이 작은 3^4이 더 큽니다. 이렇게 n이 2보다 큰 정수일 때, n^(n+1) > (n+1)^n 이 성립함을 알 수 있습니다. 비록 e와 pi가 정수는 아니지만 모두 2보다 크기 때문에 위와 같은 논리로 밑이 더 작은 e^pi가 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 솔직히 약간 야매(?)에다가 예외가 있을 수도 있고 증명하는 법도 모르겠지만, 방금 떠오른 아이디어라서 한 번 적어봅니다..ㅎㅎ 영상 잘 보구 있어요!!
p=원주율 k=임의의 실수 e^p=p^e+k^e라 가정 e^(p/e)=p+k ln(p+k)=p/e 여기서 함수 lnx와 x/e의 교점과 도함수를 비교 교점은 (e,1) 도함수 교점은 (e,1/e)이므로 x값 e에서 교점, 도함수 교점을 가지므로 (e,1)에서 기울기 1/e로 접함 이때 ln(x+k)=x/e에 대해 p>e이므로 그래프 상 ln(x+k)그래프는 왼쪽으로 이동해야함(둘이 한점에서만 접하므로 그래프가 오른쪽으로 가면 해가 안생김) 이를 만족하는 k는 양수 즉,e^p=p^e+k^e e^p>p^e (k가 음수면 해가 안나온다고 이의를 제기할 수 있겠으나, 실수만을 다루므로 양수일 경우에 해가 없으면 귀류법에 의해 음수로 보내면 됨) 이상, 수학 좋아하는 고1이었습니다.
대소비교를 할 때는
1. 뺀다
2. 나눈다
3. 그린다
순으로 접근하면서 문제를 해결해주세요.
이번 6월 평가원에서도 그린다로 풀면 더 빨리 풀 수 있었죠?
Ray님 감사합니다. 논술에 비슷한 문제나와서 이거생각하고 풀어냈습니다.
진짜 예술이다..
이거 옛날 수리논술에서 풀어봤는데 너무신기해서 아직도 안잊혀진다
근삿값으로 계산기 대입하려 했는데
2.7의 3제곱
3.1의 2.7제곱
이렇게 넣으려니까 2.7제곱이 처리안되는 내폰
CalcES같은 공학용 계산기 앱 다운받아 쓰세요.. 그러면 근사값이 아니라 그냥 넣어도 됩니다
나는 이렇게 풀었는데 e^pi는 이를 pi 곱한 건데 pi가 더 크니까 e^pi라고합
e^x>=x+1 에 x=pi/e-1을 대입.(등호는 x=0일 때 성립)
e^(pi/e-1)>pi/e
e^(pi/e)>pi
e^pi>(pi)^e
훨씬쉽네
Apple pie?
애초에 e^x>=x+1이 왜 성립하는지.. 궁금하네요 ㅎㅅㅎ
@@행복한양 x=0에서 접해요
@@행복한양테일러 급수에서 유도된겁니다.
님은 정말로 천재세요.
2^e과 e^2도 해주세요
당연이 e의 Pi 제곱에 크지
근데 대충 지수랑 밑이랑 비슷하면 지수가 큰게 더 크더라구요
이런 문제들이 과거 (꽤 오래전 본고사)에서는 단골 입시 문제 였습니다.
일본에서는 아직도 출제 됩니다.
---
이 문제는 y=x^(1/x)그래프를 이해해야 한다고 하는데... 어렵네요.
암튼... 그래프 특성에 따라 e^π > π^e라고 하네요.
암기해봐야 응용문제 나오면 못푸니 결과를 암기할 필요는 없습니다.
--
Ray수학님의 설명이 제일 쉬워요
참고로 "e^π vs π^e"라고 검색하면 다른 나라 풀이법과 비교가능 합니다
x^(1/x) 그래프로 푸는 건 번거롭고요, 여기에 ln을 취한 형태인 y = lnx / x 의 그래프를 통해 푸는게 훨씬 쉽고 간단합니다.
와
e^(x/e)-x 는 x≥e 에서 증가하니 e^π＞π^e
영상 잘 보고 있습니다!! 이번에 공대에 입학했는데 선형대수학을 배우는 이유를 알려주실 수 있나요?? 배우는 이유를 모르겠어요 😂
선형대수학을 배우는 이유는 크게 2가지라고 생각이 됩니다.
첫번째는 선형성인데요. 우리가 중고등학교때 배웠던 시그마, 극한, 벡터, 미분, 적분은 모두 lim(A+B)=limA+limB와 같이 덧셈에 대해 분배가 가능하며 실수배도 가능합니다. 이는 원점을 지나는 일차함수 f(x+y)=f(x)+f(y)와 같은 성질이라고 해서 선형성이라 부릅니다. 따라서 이러한 선형성에 대해 공부하면 선형성을 띄는 모든 것에 대해 접근할 수 있게 됩니다.
두번째는 선형대수학에서 다루는 벡터와 행렬의 개념인데요. 쉽게만 따져보면 벡터는 차원을 만드는 축 역할을 하며(basis, axis) 행렬은 그 차원 공간 또는 그 해결값이라고 볼 수 있습니다. 따라서 3차원과 실수에서만 다뤘던 중고등학교과정에서 더 나아가야하는 학부과정에서 가장 기본이 되는게 선형대수학이라서 공대와 수학과에서는 1학년때 선형대수학을 배웁니다.
나중에 선형대수학뿐만 아니라 다른 과목에 대해서도 정리를 해보려고 하는데 그 때 다시 한번 정리해보겠습니다.^^
선대는 필수
@@Ray수학 선형사상은 왜배우나요...?
이^파 대 파^이
이파대파이
고등학생 때 봤던 문제네요
풀이를 알아내고 되게 놀랐던 기억이 있네요
예전 사관학교 문제에 이 아이디어를 이용한 문제가 있죠 10년 전쯤인가
이런 증명법도 있지만.. 다른 방식으로도 할 수 있습니다
2^3과 3^2를 비교하면 밑이 더 큰 3^2가 큽니다. 하지만 3^4과 4^3을 비교하면 밑이 작은 3^4이 더 큽니다. 이렇게 n이 2보다 큰 정수일 때, n^(n+1) > (n+1)^n 이 성립함을 알 수 있습니다. 비록 e와 pi가 정수는 아니지만 모두 2보다 크기 때문에 위와 같은 논리로 밑이 더 작은 e^pi가 더 크다는 것을 알 수 있습니다.
솔직히 약간 야매(?)에다가 예외가 있을 수도 있고 증명하는 법도 모르겠지만, 방금 떠오른 아이디어라서 한 번 적어봅니다..ㅎㅎ 영상 잘 보구 있어요!!
1. n^(n+1)>(n+1)^n은 n=2에서 성립하지 않고 n=3에서 성립하므로 2
그냥 감으로 e^pi
직관적으론 e^파이가 클거같긴한뎅
양변을 ln씌워서
lne^ㅠ - lnㅠ^e
이식을 eㅠ로 나누면
lne^(1/e) - lnㅠ^(1/ㅠ)
x^1/x는 e에서 최댓값이므로 0보다 크다
따라서 e^ㅠ이.더 크다
자연로그를 써도 좀더 대소관계를 빨리 알수 있지 않을까요? ^^
이게 자연로그 쓴 풀이에요.
@@김익명-n9v 처음부터 양변에 ln을 취하라는 얘기 같슴다.
아 자야하는 데 궁금해졌어... 중3의 잠... 허어
e는 대충 2쯤 파이는 대충 3쯤
2에 3제곱보다 3의 2제곱이 더 크니까
대충 파이에 e제곱이 더 크지 않을까?
저도 그 생각 했네요 ㅎㅎ...
반올림하면 둘다 3임
p=원주율
k=임의의 실수
e^p=p^e+k^e라 가정
e^(p/e)=p+k
ln(p+k)=p/e
여기서 함수 lnx와 x/e의 교점과 도함수를 비교
교점은 (e,1)
도함수 교점은 (e,1/e)이므로
x값 e에서 교점, 도함수 교점을 가지므로 (e,1)에서 기울기 1/e로 접함
이때 ln(x+k)=x/e에 대해 p>e이므로
그래프 상 ln(x+k)그래프는 왼쪽으로 이동해야함(둘이 한점에서만 접하므로 그래프가 오른쪽으로 가면 해가 안생김) 이를 만족하는 k는 양수
즉,e^p=p^e+k^e
e^p>p^e
(k가 음수면 해가 안나온다고 이의를 제기할 수 있겠으나, 실수만을 다루므로 양수일 경우에 해가 없으면 귀류법에 의해 음수로 보내면 됨)
이상, 수학 좋아하는 고1이었습니다.
오 ㅋㅋ
지수함수 두개로 풀어도 되지 않나 밑이 e인 지수함수와 밑이 ㅠ인함수
완전 판박이처럼 똑같은 방법으로 풀어서 깜짝 놀랐어여;;
수학과 면접 기출문제..
전 지수가 큰것이 크다로 하는데 되나요?
전 a>n일때 nª>aⁿ 를 제가 만들어었었어요 (제가 만들기 전부터 이미있을수도 있지만) 이걸이용해서 푸는데 되는지...
e를 기준으로 바뀌는데 영상 준비해줬습니다 조금만 기다려 주세요^^
@@Ray수학 아! 네
a=3,n=2일때 반례가 생기네요
n=1이고 a가 n보다 큰수라면, n^a=1이고, a^n=a라서 성립하지 않아요
@@홍주원-u3x 여기서는 n>1, a>1이어서 그에맞는것으로 했어요 n=1 or n
x-elnx도 추가염~ 이함수의 최소는 x=e에서 0이라 x에 ㅠ를 느면 ㅠ>elnㅠ 이므로 e의ㅠ승이 ㅠ의e승보다 커져여
결론 e^pi>pi^e
증명은 못하지만 저는 이렇게 생각합니다.
a,b에서 a>b면 a^b보다 b^a 가 크다고 생각합니다.
(a, b는 1초과의 수)
예를 들어, 2^10=1024, 10^2=100으로 2^10이 더 큰 것처럼 말입니다.
a=3,b=2라는 반례가 존재합니다.
영상에서 보신 함수가 e가 최댓값이므로e를 기준으로 결과가 바뀝니다
a^b 와 b^a를 비교 할 때 지수 부분이 큰 게 더 큼.
이 뿐 아니라 a^b와 c^d를 비교할때도 b가 d보다 크다면 c가 압도적으로 크지 않는 이상 대부분 a^b가 더 큼.
반례: 2^3 3^2
@@sciencesuper3901 그건 차이가 작잖아요 ..
@@판처파우스트-p5m 차이가 크다 작다는 기준이 너무 모호한거 같아요
극한의 정의로 한없이 가까워진다라는 표현조차도 모호하다고 느끼는 수학에서
차이가 크다 라는 주관적인 기준은 엄밀하지 않다고 말할 수 있습니다.
하지만 쉽죠?
Desmos에서 x^y