A Very Nice Geometry Problem | You should be able to solve this! | 2 Methods
Вставка
- Опубліковано 2 чер 2024
- A Nice Geometry Problem From China | You should be able to solve this! | 2 Methods
MY OTHER CHANNELS
••••••••••••••••••••••••••••••••
Calculus Booster : / @calculusbooster
Math Hunter : / @mathshunter
--------------------------------------------------------------------------------
Join the channel to become a member
/ @mathbooster
...= > √(36 + (x+5)(^2)) = (30/ x),
With positive values of x
, the left part increases, the right part decreases. Therefore, this equation has a single root x = 3, which is a selection!
tan (a) = x/6, tan (2a) = (x+5) /6, tan (2a) = 2u/(1-u^2) where u = tan (a) = x/6 --> tan (2a) / tan (a) = (x+5) / x = 2/(1-u^2) = 72/ (36-x^2) --> (x+5)*(36-x^2) = 72x = 36x + 180 - x^3 - 5x^2 --> x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0. x=2 does not solve eq'n but x=3 does. X=3 is unique solution because the polynomial is increasing.
*@Math Booster* ...........
at 7:53 you analyze the equation of the 4th degree in such a way that it can become a product of factors. How do you do that ?
Do you use any theory or your intuition?
I have noticed that BOTH methods involve factor by grouping for the quartic equation and I have noticed that the quadratic equation is shown to NOT have a positive answer that results in zero just from I think guessing. And the factor by grouping for the quartic equation much more difficult than the geometry part. I think that is what you need to know from this video right?
Or more specifically you would have to guess the zero in the quartic equation before doing the factor by grouping.
This reminds me of synthetic division!
correct
*Same solution as Math Booster’s but a different aproach solving the equation* :
x⁴+10x³+61x²-900=0
The possible integral solutions of the equation are the divisors of the constant term of the equation (-900)
±1,±2,±3,±5 are the integral divisors of -900.
However x>0 , so negative ones are rejected.
Apply Horner’s sheme for the polynomial P(x)= x⁴+10x³+61x²-900
for p=1,2 the remainder of the division is different from zero.
But for p=3 ….
1 10 61 0 -900 p=3
# 3 39 300 900
1 13 100 300 0
So P(x)=(x-3)(x³+13x²+100x+300)
P(x)=0 => (x-3)(x³+13x²+100x+300)=0
x-3=0 or x³+13x²+100x+300=0 => x=3
(the second equation has no positive solutions, as Math booster explained )
sorry, can you please explain why you use 2 at 5:21? Sorry, I personally, think these replacements of x with other numbers are not a valid solution to the problem. We might as well have guessed the value of x from the start.
У меня за это решение благодарность от ведущего этого канала, так как я привёл два способа решения, первый через геометрические построения, второй через теорему Пифагора!
Looking at the triangle, x is less than 5. He tried 2, seen that is small, than tried 3.
x =3
Draw a perpendicular from line AC to D to form two right triangles
ADP and CDP
triangle ABD is similar to triangle ADP,
line AP = 6
and line DP = x
triangle CDP is similar to triangle ABC
Let line PC = ?
then ?/x = (x+5)/6 since CDC is similar to ABC
cross multiply 6? = x^2 + 5x
? = ( x^2 + 5x)/6
Hence, PC = ?= (x^2 + 5x)/6
Hence, line AC = 6 + (x^2 + 5x) /6 (recall that line AP=6 and PC = (x^2 + 5x)/6)
Let's solve for x
6 + (x^2 + 5x)/6 = (36 + x^2 + 5x)/6
Since triangle CDP is similar to triangle ABC, I am using the hypotenuse and the small base to get the value.
the hypotenuse for triangle ABC is (36 + x^2 + 5x) /6
the hypotenuse for triangle CDP is 5
the smallest leg for triangle ABC = 6
and the smallest leg for triangle CDP =x
Hence 5/x = [(36 + x^2 + 5x)/6 ]/6
5/x= (36 + x^2 + 5x)/36
180 = 36x + x^3 + 5x^2 (cross multiply)
x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 this a cubic equation, and solving for x will give the value for x
So, this is a 3-4-5 right triangle
...
x =3
you can just let x^2=t and use quadratic formula
the transformation *x²=t* is done *only* in compound quadratic equations. (there should not be odd powers of x)
There are 2 double angle cases that appear frequently in problems, so it is good to know them and check if either produces a solution. Let's label the angle to be bisected as 2Θ. Then, the 2 cases are: if tan(2Θ) = 3/4, tan(Θ) = 1/3 and, if tan(2Θ) = 4/3, tan(Θ) = 1/2. So, we first try tan(Θ) = 1/3, so x/6 = 1/3, x = 2 and BC = 2 + 5 = 7, so tan(2Θ) = 7/6. This is not the correct answer. So, we try tan(Θ) = 1/2, so x/6 = 1/2, x = 3 and BC = 3 + 5 = 8, so tan(2Θ) = 8/6 = 4/3. This is the correct answer, x = 3.
Math Booster also checked to see if x = 3 is the only solution. tan(2Θ)/tan(Θ) will always be greater than (4/3)/(1/2) = 8/3 for x > 3 (Θ = arctan(x/6) and ((x + 5)/6)/(x/6) = (x + 5)/x = 1 + 5/x will always be less than 8/3 for x > 3. Similarly, tan(2Θ)/tan(Θ) will always be less than (4/3)/(1/2) = 8/3 for x > 0 and x < 3 (Θ = arctan(x/6) and ((x + 5)/6)/(x/6) = (x + 5)/x = 1 + 5/x will always be greater than 8/3 for x > 0 and x < 3.
In both Math Booster's solutions to the third and fourth equations, he used trial and error and found x = 3. We tried our 2 double angle cases and found that one solved the problem.
We solve the problem "open book", so include two 3-4-5 right triangles in our notes and bisect the angle opposite the 4 side in one of them. The tangent before bisecting is 4/3 and after bisecting is 1/2. Bisect the angle opposite the 3 side in the other triangle. The tangent before bisecting is 3/4 and after bisecting is 1/3.
Your answer is correct, BUT
the original problem implies GEOMETRY to be used to find answer, not Trig.
I used method with tangents
why do not you solve the equation? @ 14:50.
Я гляжу, ты заходишь на этот канал критиковать, сама не можешь решить, учись у других!
@@sergeyvinns931 запредельное свинство!
x=3
Another solution .
DE⊥AC consruction. Let D=x, AC=y
Tringles ABD=ADE => AE=AB=6 and DE=x .
So EC=AC-AE => *EC=y-6*
Bisector theorem in ΔABC => BD/DC=AB/AC=>x/5=6/y => *y=30/x* (1)
Rigth triangles DEC,ABC are similar (common angle DCE) =>
DE/AB=EC/BC => x/6=(y-6)/(x+5) => x³+5x=6⋅y-36 =>
x³+5x=6 (30/x)-36 cause (1)
=>x³+5x²+36x-180=0
Notice that I end up with a cubic equation .
(Math Booster’s solution ended up in quadratic equation).
If you are familiar with Horner’s sheme (method) ……. It’s a piece of cake !
You will find x=3
В моём решении, самое сложное уравнение, это формула Пифагора, где присутствуют только квадратные величины!
@@sergeyvinns931 Whenever you can, post your solution .
@@Irtsak Я решаю не для публикации, а для того, чтобы показать более простое геометрическое решение. Как известно. всё гениальное просто, а краткость,- сестра таланта. Это к тому. что длинные решения с уравнениями четвёртой и третьей степени, нужно применять там. где геометрия бессильна. Возьмите таблицы тригонометрических функций, там даны приблизительные данные, когда удобнее, иметь значение в виде простой дроби, которым легче оперировать при вычислениях со степенями.
@@sergeyvinns931 Η απλότητα είναι το παν στη Γεωμετρία. Δυστυχώς η Γεωμετρία υποβαθμίστηκε , μετά απο την ανάπτυξη της Αλγεβρας . Καλή συνέχεια.
@@Irtsak Алгебра возникла, как математическая наука у арабов, которые5. к стати. изобрели современные цифры. которые до сих пор. называются арабскими. Аль Джейбр аль Бируни, от его имени и получила название эта наука. Но он никогда не говорил о том. что алгебра заменяет геометрию. Она позволяет решать сложные геометрические задачи, которые невозможно решить с помощью дополнительных построений. Бируни шёл к этому, используя метод от простого к сложному. Тем он и велик. Но геометрия, как наука, никогда не исчезнет, так как она является основой и для тригонометрии и для алгебры!
φ = 30°; ∆ ABC → AB = 6; BC = x + 5; AC = AE + CE = 6 + y; sin(ABC) = sin(DEA) = sin(3φ) = 1
DAB = CAD = θ → CAB = 2θ = EDC → BCA = δ → sin(δ) = cos(2θ)
tan(θ) = x/6 → tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 - tan^2(θ)) = (x + 5)/6 = 12x/(36 - x^2 ) →
x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 → x > 0 → x = 3; btw: x2, x3 = -4 ± 2i√11
φ=30° ??? p.E ??? y ??? δ ??? 🤔
tan2θ=2sinθ/(1-tan²θ) ??? 😡 👎
@@rabotaakk-nw9nm thanks, did the correction:
tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 - tan^2(θ)); and: sin(DEA) = sin(3φ) = 1 (φ makes it easier to write...)
cos(2θ) = sin(δ) = 6/(6 + y) = x/5 → y = (6/x)(5 - x)
sin(θ) = x/√(36 + x^2) → cos(θ) = 6/√(36 + x^2) →
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) = 12x/(36 + x^2) = y/5 = x(x + 5)/30 →
x^3 + 5x^2 + 36x - 180 = 0 → x = 3
Проведём медиану ВF на АС, из точки F опустим перпендикуляр FG на ВС, это будет средняя линия треугольника АВС, которая равна 6/2=3, из точки D опустим перпендикуляр DK на АС, который равен х, получили два равных треугольника, c катетами (5+х)/2, Х, и гипотенузой равной 5. Составляем уравнение по теореме Пифагора:
(5+х)^2/4+х^2=25. x^2+2x-15=0, x=3! Получился Египетский треугольник со сторонами 6, 8, 10!
извините, ваше объяснение непонятно, начиная с "опустить перпендикуляр из точки D"
Да, тёзка, перечисли по буквам "два равных треугольника" и обоснуй.
@@rabotaakk-nw9nm Для этого, нужно из прямого угла провести медиану на гипотенузу АС, и из этой точки опустить перпендикуляр на катет ВС, образовались два равных треугольника, а третий, образуется проведением перпендикуляра из точки D, на гипотенузу АС. Во всех трёх треугольниках стороны равны 3, 4, 5. У первых двух, катет 3, является средней линией треугольника АВС, а в третьем треугольнике, катет 3, равен искомому "х", так как два треугольника, образованных биссектрисой AD, катетом АВ, и катетом, отсечённым перпендикуляром из точки D на гипотенузу АС, являются равными! Понял? Я бы мог сразу сказать, что начерченный прямоугольный треугольник, является египетским, со сторонами 6, 8, и 10, и отрезок х=3. Но я привёл доказательство этому факту!
@@ludmilaivanova1603 Милочка, читайте чертёж, и запомните. что перпендикуляры опускают, не зависимо от того где находится цель перпендикуляра. А точка D, это место пересечения биссектрисы с основанием ВС, а цель перпендикуляра, это гипотенуза АС! Так понятно?
@@sergeyvinns931 Мне не нравится снисходительный тон вашего ответа.
из вашего ответа я понимаю, что вы невежливы и не прочитали мой вопрос, заданный в вежливой форме. Нет необходимости отвечать, спасибо.