火腿三明治定理：能否一刀均分蛋黄莲蓉月饼？
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- Опубліковано 2 лип 2024
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视频内容：
中秋节分月饼的时候，你有没有考虑过这样的问题：一刀下去，能否把酥皮、莲蓉和蛋黄都均分呢？在数学上，这个问题的答案是确定的，甚至有一个专门的定理，叫做火腿三明治定理。具体怎么回事？点开视频看看吧！
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内容章节：
00:00 前言
00:47 双煎饼问题
02:42 介值定理
08:41 火腿三明治定理
15:39 结论
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先想像任何物體都有一個「質心」，而凡是切過質心的一刀都能恰好將物體平分。
對於二維的雙煎餅問題，等於是問：「能不能找到一條線，恰好通過兩個物體的質心？」
那麼稍微想像一下就能知道，當然可以，畢竟任兩點都能連出一直線。
對於三維的火腿三明治問題，等於是問：「能不能找到一個平面，恰好能通過三個物體的質心？」
同樣，想像一下便能發現，肯定可以，畢竟任三點都能連出一個平面三角形。
這個思路沒有李老師的方法來的嚴謹，也比較難推廣為物體數與刀數更多的情形，但比較直觀一點，分享給大家。
很有趣的觀點，謝謝分享
❤用物理學觀點巧妙的解答，讚喔！
不過切過質心的一刀並不一定都能恰好將物體平分。
例如一個正三角形，經過它質心並平行一條邊的線會將三角形分成4:5。
我也是馬上想到「質心」，
想說不是挺簡單的嗎，
但後來想想，
「質心」是兩半的「力矩」相同，
而不是「質量」相同，
哀呀大意了w
@@sanchipachi668 確實，那麼我的想法就錯了。
把蛋黃蓮蓉月餅通通打成果汁均分算了😅
休想均分。我要第二杯，底下的莲蓉蛋黄渣比较多😉
有沒有可能一刀直接把另一個人給解決了，這樣一個餅給自己一個，絕對公平🎉
难道这就是反社会型人格的人的行事逻辑？
正解：6
我感觉用代数的方式来理解更容易：平面上的直线（x + ay = b）有两个实数参数，每平分一个图形消耗一个，刚好用完（所以解法通常也是唯一的）。三维空间中，刀子切出来个平面，(x + ay + bz = c）有三个实数参数，所以可以解决三个切分过程沿一个方向切分体积连续变化的物体。
李老师，你好，能否出一期视频讲解一下对径点那个定理，我看火腿三明治定理的核心证明步骤就是那个对径点定理，直接就推到出来了但是对径点那块有点迷糊😂
李老師證明了這個切月餅的方法存在，那麼具體是要怎麼切呢？
希望老師可以講講對徑點，也想聽老師說說生成函數
懂的鼓掌👏🏻
我覺得3維先用球來思考會比較容易 2維是1線(1維)切2圓 3維就當成1個面(2維)切3個球
切2圓就從兩圓中心連線切 切3個球就從三個球心共面的方向切
然後拓展成不規則狀的話就當成是在中心附近微調 調成能對半切
*谢谢李老师分享啊！*
恭祝老师中秋国庆快乐❤️🎉
但是如何能证明 g(alpha)是连续的呢？g(alpha)中刀的位置是能平分第一个饼时的位置。那alpha有一个很小的变化后，会不会导致能平分第一个饼的刀的位置发生跳跃式改变？那样g（alpha)j就不连续了。
老師您好，想請問一下有沒有這篇的參考文獻，想深入研究一下
李老师高看我们了，就是条理清晰的讲解，我们也不一定能听懂😂
李老師好:
不妨設定每個煎餅都有一個重心點,而每條通過重心點的直綫都可以將煎餅平分。
如果兩個煎餅 A 和 B 在同一平面,則一定可以找到日一條直綫穿過兩個煎餅的重心點, 從而將兩個煎餅平分。
再升一個維度,加多一個煎餅 C。由於維度升高,之前 A 與 B 之間的綫可以升級變成一個平面,又由於我們可以調較切入的 度⻆ ,即是可以使這個面隨著 AB 軸旋轉,則必定可以掃中餅 C 的重心點,所形成的包含三角形 ABC 的面就可以滿足條件。
再升一個維度,加入煎餅 D,可再設想一個球體,球面接觸到 ABC 三點,基於我們可以控制切入點而控制球面漲大或縮小,則必定找到一個球,它的球面接觸到 D 的重心點,從而滿足條件。
至於再高維度,則可以用投影的方式將它降維,重覆上面做法以獲得答案.
李老師:請問這樣推演合理嗎?
並不是所有形狀的煎餅都會有使每條通過的線都平分面積的重心。大部分的形狀都不會有這樣的重心。
只有凸的形状才满足通过重心的所有线平分。
已有人回覆了，重心點是力距的平衡點，通過重心點的直線未必能將物件分成2件同樣大小，你可試試分一個全等三角形。
🙏@@alvinwong7290
“不妨設定每個煎餅都有一個重心點,而每條通過重心點的直綫都可以將煎餅平分。” 你第一句的这个“不妨”需要证明
恳请李老师出一期视频讲讲12：41的那个定理。
最後的總結的定理條件很重要。三維空間中用二維的刀面可以平分一個蛋黃蓮蓉月餅沒毛病。本視屏頭像中在李老師旁的刀切三明治就不直接適用此定理，因為三明治由上下兩片吐司麵包夾著火腿一片並含生菜一張，如此在三維空間中有四樣物體，圖中的刀面只是二維，所以定理不直接適用。要不換把三維刀面的刀？
有辦法，把上、下兩片麵包視為同一個物體。也就是說，在論證中出現“麵包的體積”時，把兩片麵包的體積加起來。同樣的論證依然會有效，刀片兩側的麵包體積隨旋轉的變化不會因為叫麵包的東西分開成兩部分而變得不連續。
明白了，「不連續」的三種物體都能夠給一刀（2維平面）均分，三文治定理沒排除三種物體是離散或重疊。
即使是太陽系、銀河系、加上仙女座的質量或體積都可以這個意思吧。
李老師，又是一年一度的諾貝爾獎，會否做相關的視頻呢？
不能用第二段再加個xz平面的beta角嗎?
发现漏听了这一期。今天补听了一下，发现还挺有趣的。最后那个三维的问题，如果不借助地球定理，我想了想是不是大概可以这么证明：从p1到p2有无数条路径，就像地球的经线一样；先任选一条经线，那么这条经线上一定会有一个A点可以平分第二个物体，也一定有一个点B可以平分第三个物体，不过A和B不一定重合，假设A在B的上方；这时候和之前任选的经线对称的经线上，一定有对应的点A'和B'，不过他们的位置互换，所以A' 会在B'的下方；这样在从原经线到对称经线的连续变换的过程中，一定有一条经线上面的A和B是重合的，也就是同时平分三个物体的点
想請問李老師，如果一台公車定速沿著一個很大的圓周運動，然後有一個人從圓心往外，也是定速去追公車，若可調整兩者速度比，能否有方式讓人永遠追不到公車？
不可能的。假设圆半径为r，人速为v1，车速为v2。令n为一整数，使得2 pi n r / v2 < r /v1, 你永远可以找到一个方向alpha 使得人能够追到车。
三个问题的关键都在于能够清晰的定义g(x)并证明是连续的，不过在这么短的视频内很难实现
连续以外还要证明是单调的，不能有多个零解的
@@yizhang5455多个零解应该没关系，选一个用就是了。
李老师好: 小孩数学测试题，碰到困难，作为李永乐讲物理的粉丝，特来求助，未找到私信方式，题目如下，如方便，可否拨冗提点，感谢!
说：2023，2024，2025，作为三个连续自然数，分别是 17平方(289), 4平方（16），5的平方(25), 整数倍，请问：
1. 可否证明，存在任意多的这种连续3三个自然数，可以是任意不同3个自然数（须大于1）的平方的整数倍？
2. 请随意举出，1组4个连续的自然数，也可以符合上述规则情况，也就是说，分别是任意不同4个自然数（须大于1）的平方的整数倍？
Ham Sandwich Theorem 的整体证明还是蛮有趣的。当然，名字也很有趣。数学里还是蛮多这种名字有趣的定理，希望老师有机会可以讲到。
好奇請問，還有哪些名字有趣的定理？
@@JacobHa 比如说，Chicken McNugget Theorem，这个定理是从麦当劳鸡块那边发展开来的。
还有一个叫Shoes and Sock Theorem，讲的是群论里面处理逆元的次序，很平凡的一个概念罢了
鸽笼原理，或者抽屉原理应该也算一个吧。至少不懂得人听了可能会提起兴趣或会心一笑得名字。
又漫长一段时间没碰数学了。暂时就想得起这么多了。
永远支持李永乐老师
簡單複杂化。哈哈哈
一刀把弟弟平分了就不會有這麼多問題了
ㄎ 調皮喔
我聽過一個一刀均分九塊蛋糕給4個人的辦法，那辦法跟老師的版本…在邏輯上有根本的不同
但一樣有效就是
13:23 我还是第一次见李老师讲课讲到手手叉腰🤣🤣🤣
8:38【g(x)和g(alpha)是连续的】，并没有证明，而是直接拿出来当结论了。
一个小朋友祝李永乐老师中秋+国庆快乐😁
雖然邏輯合理，但三維的就是想不出怎樣轉可以讓g(P1)=g(P2)
睡着了，不好意思。我们家都不分吃月饼，一人一个小月饼，但是不保证没人吃了一样多的量，这要取决于月饼厂和蛋黄是否一样大了。请李老师下期座椅视频讲解，怎样保证每只鸭子下的蛋一样大。😄
李老师叉腰讲课的样子瞬间把我带回了上高中物理课的懵懂呆傻时刻。
怎麼好像初等微積分的
夾擠定理、中間值定理
、均值定理...導數定義、導函數定義...，，如果在把高斯曲率加進去，（吃披薩的問題），，，
然後，離散資料和連續資料的可積分性？
不對吧，如果g1p1=g1p2=0的話，那我在p1切和在p2切的體積不是會相等嗎，可從圖看明顯不等，感覺地球對徑原理不適用與這裏。求解答
這一集看了好餓
您好
其實常常都是聽不懂的
可是看老師上課
就知道有人可以把難題精細的處理
就不擔心了
此外
與您分享
最近有個想法
就是規定飛機外殼都漆上3M反光板的材質(或顏色)
不曉得可行嗎
問題有甚麼(物理與化學上的
因為飛機外殼要用航太材質預防與大氣摩擦生熱
不知兩相作用會有狀況嗎)
以前American Airlines的塗裝應該和你描述的差不多，被叫做“大鋼管”，你看一下是不是這樣的？現在這種閃亮亮的塗裝也被拋棄了，應該是太難保持光澤的原因吧。
李老师长胖了！！！人到中年不是好事！！少吃多运动是必要的！！！
听课都听饿了，都是吃的😂
日本核废水的视频为什么删除啊
最后10秒钟讲的那些话良心上实在过不去
請問李老師講解的核廢水的影片在哪了？
爭論太厲害，下架了，我個人是認為李老師沒有錯誤的。。。唉，人類的悲哀
函数g(x)一定连续吗？
在这个方向（角度）上，把第一个煎饼平分了。后面切第二个煎饼，又以角度建了一个函数，即使这个函数有零值，那也是在某个角度时。这里就有2个角度值了。回到“在这个方向（角度）上，把第一个煎饼平分了”， 难道这个角度有能力变，连续变？
可以看看一開始的一個餅的論證，角度是沒變的。對於任意的角度，都可以用同樣的論證，得到一個可以平分餅的平移量x。所以在兩個餅的論證中，有一個細節需要注意，就是改變角度時，刀片的位置是由角度和可以平分第一個餅的平移量一起決定的，不然只有角度是不能決定怎麼下刀的。此時刀片兩旁的第一個餅維持平分，第二個餅的分割面積是連續變化的。
看完後,深深覺得,不想分月餅了,一人吃一個吧
😂太累……
老师好像没有解释一个饼的图像为什么是连续的
封面把theorem打错成theorm了
李老师好 有一个问题想请问您。
魔兽争霸里的剑圣每刀15%暴击率，那他砍3刀里面有1次暴击的概率是多少？
那如果他是a的暴击率，在砍了b次后，出现c次攻击是暴击的概率是多少？（0＜a＜1，b,c是整数，b＞c）这个问题有没有通项公式？
砍3刀只出一次暴擊 這不是國高中基礎的數學問題嗎 0.85*0.85*0.15
第2個問題不就是排列組合而已 學一下高中數學再來吧 不難的
找到 alpha 角使得第二個煎餅均分時為什麼第一個煎餅還是可以剛好平分？
因为定义中g1和g2的取值就是基于第一个煎饼被平分。
李老师你好，我有两个问题，第一个是将g1（P）函数类比为地球的温度函数的这个时候，V2＋和V2－代表的是温度函数的什么量呢，第二个问题是可以证明存在一个P点使得温度函数为零，也同理存在一个点使压强函数为零，怎么确定使温度函数为零的那个点和压强函数为零的那个点是同一个点呢？
我也这样认为，感觉李老师是通过引入地球的那个概念才能把后续g（x1）与g（x2）相等得出，但是并没有仔细说明，如果没有那个定理，是否还能得出g（x1）与g（x2）相等？希望李老师能给出回复。
还有老师并没有说明V2+=V2-时V3+与V2-为什么也能同时成立，老师表达的更像是两个分别成立但没有说明同时成立。
或者还是我理解戳命题了，是存在还是而不是一定存在
如何证明g(x)是连续的呢？
在等分一个饼的坐标图上，为什么一定是连续的？
但是，如果是雙黃蓮蓉月餅，那不就有四件物件了？
對徑點換句話說，拿起一顆足球放好，接著把足球拿起來隨意再放一次，觀察前後兩個位置必定可以找到一條旋轉軸，前後兩個位置是沿著這條旋轉軸轉動，而旋轉軸在球面上的那兩個點就是對徑點
没有这么简单吧？旋转是一个非常特殊的球面函数，不但连续而且双射，但视频中的函数只要连续就行。
@@jackz1620 Brouwer Fixed Point Theorem，只需要證明這條旋轉軸存在即可
"对径点"在地理学上的术语应该是对跖zhí点，英文antipodes。
用中值定理前不用讨论一下函数g()的连续性吗？这么显然吗？
10:55，李永乐老师：后面就得靠“雾"了！🤣🤣🤣
我看完覺得這個推理是建立在物體具備連續性與對稱性，因此具備一個當前維度-1的平面可以將物體平分。但我這邊有個疑問，物體之間的相對位置是否影響對稱性？
平分后的两部分不一定是对称的。只是体积（面积或者长度）相同而已。
這個定理重要的是連續性--刀片分割體積的連續變化，相對位置不會影響這個，所以東西怎麼擺沒關係。
@@Shao-WenHsu 所以我可以理解刀片並不是直直的切下去，可以是曲線或者更複雜的線性。
謝謝你的回答
@@jashwoo6794 看來我理解的沒錯，謝謝
@@timho4164
不對你理解錯了...
他刀切出來不可以是曲線
他已經講是用平面切了
就是直直的切沒有錯
你理解錯誤的地方是你過於在乎「對稱性」
首先光是單一物體他本身可能就不存在對稱性了
在雙煎餅時就已經假設是「任意形狀」
那就不會有對稱性了
所以不要糾結在對稱上
對稱只是均分物體體積的一個特例解而已
李老师 切第二个饼 转刀180度 我没有理解，是以刀的哪个位置为轴 来旋转呢？或是以饼的哪一点为轴？ 谢谢
就是假设一条直线切割圆的初始方向是不变的，只做平移，被切分的圆面积分别是s1和s2，那么线在最开始与圆相切的时候形成的切点，对于圆心和水平半径之间就形成了夹角a，a+180度的话，切点就轴对称到另一个切点上了，但切线方向不变，切分的圆面积，s1和s2的定义正好相反，设s1s2之间的面积差为1个函数，如果夹角a的时候s1-s2大于0，那么a+180的时候，s1-s2必然是相反数小于0，既然1个函数存在正负值，且函数变化是连续的，就肯定存在=0即s1=s2的情况
還以為是夾擠定理 沒想到真的是切三明治😂
夹逼定理
極限那一個是 Sandwich theorem，這個是拓撲的 Ham sandwich theorem
@8:37 g*的时候为啥第一个饼还是平分的啊？
我連蛋黃蓮蓉月餅是啥都不知道
两个煎饼的证明过程有瑕疵，你没法证明函数结果必然是连续的
國慶節幸福🎉
有个问题呀，这一刀不能转弯吗😮
8:25 的結論不成立喔。調整alpha、旋轉刀把的過程中，第一塊餅的平分條件，不是一直維持的。在你的前提條件中，並沒有指定第一塊餅的幾何形狀必須是點對稱的，所以刀的角度一轉，非常有可能隨著第二塊餅平分了，第一塊餅卻不平分了。
對於第一塊餅，任意角度都有一個可以平分的平移量x。旋轉刀片時，不是讓刀片通過固定點，而是隨著可以平分第一個餅的平移量移動，然後在180度後回到原來的平移量。這個過程也是連續的，中間會經過一個角度，剛好又可以平分第二個餅。
@@Shao-WenHsu 那就是說，下刀的位置與下刀的角度，你一次只能控制一個變量。你並沒有提出任何論述來證明，隨著你交互切換控制這兩個變數，最終的結果會收斂。也就是說，你的論證並不完整，希望你能再多補充一些細節。舉例來說，非常有可能，轉到能平分B餅的角度時，A餅就不平分了。再移到A會平分的位置時，B餅又不平分了。你必須要論證，在不斷這樣反覆嘗試後，最終能夠找到兩餅同時平分的角度與刀位，你的論述才算成立。
@@user-vu9uq2rw1f 在平面上需要兩個參數決定一條直線，斜率和截距。下刀的位置實際上也需要兩個參數"一起"決定，角度和平移量。如果只給定角度是不知道你具體如何下刀、切割線長怎樣的。所以下刀後的分割情況原本是一個函數g(α,x)，這個g(α,x)是連續的，因為稍微變動數對(α,x)，只會造成g(α,x)的微小改變，可以用你自己對面積概念的理解體會一下。那麼已知對於任意角度都有一個可以平分第一個餅的平移量，告訴我們一個函數x(α)，這x(α)也是連續的，理由也一樣，α的微小變化，只會造成x的微小變化。有了x(α)，g(α,x)就可以表示成一個連續函數g(α)，就是影片裡提到的g(α)。
@@user-vu9uq2rw1f 想了一個用相圖思考的說法，可以避免陷入一次只能控制一個變量的錯覺。所有的下刀方式(α,x)構成一個相平面，餅在刀片兩側的面積差g(α,x)是第三個軸的高度，會形成一個曲面。兩個餅各對應一個曲面g1(α,x)、g2(α,x)。所有α都有平分第一個餅的x，換句話說就是g1(α,x)交g=0的平面於一條曲線上。沿著這條曲線移動到α坐標增加180度，g2(α,x)會變號，所以曲線上有一個點使得g2(α,x)=0。
@@Shao-WenHsu 我覺得你有點誤解我的意思了。
這個問題簡單說就是兩個條件求解兩個變數，所以我並不質疑你所謂的「解」不存在。如果你放太多力氣在「說服我這個解是存在的」，那你就有點在浪費力氣了。
從頭到尾，我質疑的都是推導過程。
一維的連續條件拿來用兩次，並不能據此就說二維的連續也成立。二維有二維自己的推導/證明程序。
用一個錯誤的步驟，去取得一個一個正確的結論，這種治學態度並不健全。
其他都懂了，但是请问地球上必定存在对点气温压强相等的点的证明没想通，气温压强是有制约条件吗？不可以每一个点气温都不相同吗？
不可以。如果每一点都不同你无法在球面上得到一个连续函数。
@@jackz1620 温度单边递增不行？就像x三次方那样
哦，好像差一维……
什么叫超平面？
老板们在画饼前请看这期
一刀均杀三士
蛋黃蓮蓉月餅平分比較容易，但是如果要加上蛋黃的比例上就可能答案是不可能了
兩個人一刀的題目我會＠＠=b
1.这和温度压强无关，没必要提这个知识点 2.这理论V2+=V2-就是你大爷就是你大爷的废话。
軍事政變計劃是階段性計劃：2013至16年蔣家除了按80年前的手法＜導入毒品販毒＞暗殺外，還利用政治手段裁撤軍事檢察署控制司法系統是軍事政變計劃，1960年代蔣家直屬的政戰特遣隊就是進行階段計劃軍事政變用的
我的解法是让大娃切，让二娃先挑。
4:14 这个前提 是不是得先证明 gx 是连续的😂
5:46 是否可以找到两个饼的质心，将两个质心连接，这个连接线是否平分了两个饼？
也就是说，对于二维问题，只要几个图形的质心点在同一条直线上，就可以一刀平分。如果二维平面上不超过两个图形，那必然有解，因为两点确定一条直线，甚至如果两个质心点重合，那么就有无数个解。
对于三维问题，只要几个物体的质心点在同一个平面上，就可以一刀平分。如果物体不超过三个，那必然有解，因为三点必然在同一个平面上，甚至可能在同一条直线上。
我比較想聽核污水😂
可以用重心证明，通过重心的平面可以把物体均分，三个物体有三个重心 ，三点确定一个平面
重心角度分析好理解多了
神经病地将 两点直线为一刀 变成了无限点成无限曲线 为一刀的概念。。
如果三块不规律形状的饼 以约半叠加态压在一起 还有可能平分吗？
颗问题是，蛋黄的位置是未知的，这就很难。
是挑戰自己還是挑戰觀眾@_@
从中间横着片
一人一顆蓮蓉月餅不好嗎？
这个没有考虑特殊形状的物体吧。比如月牙形，一刀就可以切成三份
沒有弟弟就不用和他均分月餅或火腿三明治了
哈哈……
一刀下走，都嚴格均分。
这是把弟弟砍了？
可是alpha 和 alpha➕180是第一个饼平分，在它们之间为啥第一个饼也一定平分呢？饼是不规则的啊……
明白了 两个饼的S加和S减是两个饼一起在刀两侧的面积。
感觉确实没讲清楚为什么要用压强和温度来类比
老師你這幾年好像胖了不少
问题比刀多一维，一层层降维，终会把问题解决。结论和我想的一样。
数学分析。。被老师一讲就没那么难了。。。yyds
對不起，我看到火腿三文治就睡著了
一头雾水没看懂
這幾年都吃蛋黃酥, 沒吃傳統月餅, 沒這問題
你有没有想过当你用牙齿咬一口蛋黄酥时，却没有咬到蛋黄，那是什么感觉…？
三明治里除了火腿，还有一只荷包蛋，这就不能平分了吧？
让我咬一口就平均了
就不能給他們二個月餅嗎?
莲蓉双黄月饼说：我是不配存在于这个世界上吗？
数理化都是考验脑经的，老李脑袋真好
把对方刀了。。就均分了