ANMERKUNG: Streng genommen gibt es Formeln für Primzahlen (z.B. C.P. Willans Primzahlenfomel) und damit auch Darstellungen der Primzahlenfolge. Allerdings wurden diese Formeln speziell für diese Aufgabe konstruiert und sind absolut ineffizient. In diesem Sinne ist noch keine "wirkliche" Formel bekannt.
Bin grad im ersten Semester und deine Videos sind 10/10. Du hast ne geile lockere Art, erklärst es detailliert und verständlich und wiederholst auch mal Sachen die evtl noch nicht ganz klar waren. Du hilfst mir so sehr hahah, du linderst meine Verzweiflung die teilweise bei Mathe hochkommt. Vielen Dank und mach bitte bitte weiter so! Abonniert hab ich natürlich schon ;)
Bin im 1. Semester und habe grad deinen Kanal entdeckt. Kannst super verständlich erklären , Zehntausend mal besser als mein Prof Nun werde ich deine Videos suchten👍🏻🙏🏻
Wieder ein hervorragendes Video! Alles sehr gut erklärt, sehr präzise dargestellt und sehr unprätentiös vorgetragen. Bin gespannt auf die nächsten Videos zu Folgen ... und vielleicht Reihen.
Tausend Dank! Hat mir für linalg schon den A**** gerettet und Ana läuft bis jetzt auch gut dank deinem Einsatz!! Schade, dass deine Videos nicht noch mehr Aufmerksamkeit abbekommen... Verdient hättest du es sooo sehr!❤🙏🍀
Diese Video ist echt Gold wert. Völlig unbemerkt und unerwartet greift es so viele wichtige Themen mit auf, sodass man den Zusammenhang all dieser Dinge viel besser verinnerlicht, oder gar erstmals bemerkt.^^ Das ist Kunst was Du hier machst, Peter. Unfassbar gut. Egal wo Du Dich irgendwann mal bewerben solltest, schick einfach nur den Link dieses Videos und Schreib Dein Namen und Adresse rauf, reicht.^^ xDDDDD Aber geh früh schlafen, den der Folgetag wird Dein erster Arbeitstag.^^ xDDDDD
Haha vielen lieben Dank!! Freut mich sehr, dass dir die Details aufgefallen sind. Ich mache die Videos mit ganz viel Liebe, weils mir mega Spaß macht 😊
@@MathePeter Das merkt man bei jedem Deiner Videos. Könntest noch in die Geschichte eingehen, als der Mann der die Uni nach Hause brachte.^^ Ohne Scherz, Deine Wortwahl ist fabelhaft und Deine Motivation überragend. Man versteht sehr viel in ein paar Minuten, da können die Profs und Dozenten einige Scheiben von abschneiden.^^
Danke das du alles so ausführlich und leicht erklärt hast! Dank dir versteh ich das Thema endlich und mir fällt auf das es eigentlich garnicht so schwer ist wie ich vorher dachte 😅
Ich vermute, wenn man irgendwas mit dem Thema am Hut hat hast du gut erklärt. Aber ich sitze gerade auf meinem Bett und glaube ich weine gleich los. Ich habe KEINE Ahnung was mir dieses Video helfen sollte. (PS meine Lehrerin meinte wir sollen es uns anschauen)
Dann umso besser, dass du mir schreibst! Mathematik ist ja eine Sprache. Und wie in jeder Sprache muss man Vokabeln lernen. In diesem Video gehts darum die neue Vokabel "Zahlenfolge" zu verstehen. Am Ende des Videos solltest du wissen was eine Zahlenfolge ist (vlt noch ganz intuitiv, weil Abfolge mehrerer Zahlen). Außerdem solltest du einige Beispiele kennen, die uns fast jeden Tag begegnen (Aritmetische Zahlenfolge und geometrische Zahlenfolge). Und du musst dir klar machen, dass es 2 wichtige Darstellungen für die Zahlenfolge gibt: "rekursiv" und "explizit". Das wars auch schon. Diese neue Vokabel kommt jetzt in vielen Sätzen der Mathematik vor und im besten Fall hast du einen kleinen Bezug zu dem Begriff.
Gutes Video! Aber beim untersten Beispiel wäre es doch so, dass die Darstellungen in den falschen Spalten sind oder? D.h. an+2n+1 ist müsste in der Spalte rekursive Darstellung stehen.
Meine Schei* Schule braucht eine Lehrkraft, wie dich. Jedes Jahr bekommen wir eine Lehrkraft, die selbst nichts checkt. Und nur deswegen muss ich für 5 Themen bzw. 17 Unterthemen, die zu der Herbstprüfung kommen werden, lernen.
@@MathePeter Ich danke dir, ohne dich wären wir verloren 😩 Ich habe nur eine Frage bis jetzt, worauf ich keine Antwort finden konnte. Ist es vielleicht möglich, dass du den Zusammenhang zwischen „explizite bzw. rekursive Folgen“ und „arithmetische bzw. geometrische Folgen“ erklären kannst? Viel besser wäre eine Erklärung in einem Video 🥹 Ich verwechsle immer diese Begriffe und verstehe leider nicht so ganz, wann eine Folge als Beispiel „arithmetisch“ ist. Oder gibt es schon so ein ähnliches Video von dir, dass ich übersehen habe, obwohl ich all deine Videos durchstöbert habe 😅🤔
Eigentlich war genau dafür dieses Video hier gedacht 😂 "Rekursiv" heißt, dass die Folgeglieder von anderen Folgegliedern abhängen. "Explizit" heißt, du setzt ein n ein und hast direkt das n-te Folgeglied. Setz die Explizite Form in die rekursive ein und du bekommst eine wahre Aussage. Das bestätigt den Zusammenhang. Auch was eine arithmetische Folge und eine geometrische ist, hab ich hier gezeigt. Die Folgen müssen exakt diese Formen hier haben (evtl mit Indexverschiebung). Ein Zusammenhang zwischen arithmetisch und geometrisch existiert nicht. Kann es auch gar nicht, denn die sind ja grundverschieden.
@@MathePeter Ow danke, jetzt leuchten einige Birnen 😂 Mathe ist auf dem ersten Blick nicht immer verständlich (für mich zumindest) und das kann manchmal auch zu Missverständnissen führen 🙃
@@MathePeter Ich habe auch eine Frage zu den Reihen... Kann man "endliche arithmetische bzw. geometrische Reihen" als Partialsummen definieren? Also sind "Partialsummen = endliche arithmetische / geometrische Reihen"? Oder ist diese Aussage nicht wahr?
Gutes Video soweit , aber wie mache ich das ganze bei Folgen höherer Ordnung? Also wie mache ich es wenn ich z. B die Summe (=525 z. B) einer arithmetischen Reihe mit 50 Gliedern gegeben habe und dann nur noch ein Glied a15 z.b = 70 habe... Wie kann ich dann die anderen Glieder herausfinden und ein Bildungsgesetz aufstellen?
Dann nimmst du die Summenformel für die 50. Partialsumme, ersetzt a0 durch a15 - 15*d und stellst nach d um. Natürlich je nachdem ob ihr a0 oder bei a1 anfangt. Könnte sich also noch um einen Index verschieben, das ist aus deiner Formulierung nicht klar geworden. Im Grund machst du es genauso wie in den Aufgaben meines Online Kurses "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen", den ich unter dem Video verlinkt hab.
Hi MathePeter, ich wollte jetzt mit dem Thema Folgen & Reihen anfangen und wollte dazu deine Playlist durcharbeiten. Das Problem ist, das viele Sachen, die in den Folgevideos als Beispiele dienen sollen z.b das Summenzeichen ich noch gar nicht gelernt habe. Soweit ich weiß, kommt das Summenzeichen erst in der höheren Analysis dran oder? Kannst du mir bitte ungefähr sagen, welche Voraussetzung an Mathethemen man für die Bearbeitung dieser Playlist braucht?
Das kommt aufs Bundesland an, in dem du dein Abi gemacht hast. Um alle Studienanfänger auf den gleichen Stand zu bringen, habe ich eine 10 teilige Livestream Serie erstellt. Ich bin aber gerade auch dabei diesen "Vorkurs" als einzelne Videos aufzunehmen. Wenn dir generell aber nur spezielle Dinge wie das Summenzeichen fehlen, dann schau dir einfach mein Video zum Summenzeichen an und setz dann die Playlist fort. Ich denke in der großen Playlist Analysis kommt auch das Video mit dem Summenzeichen vor dem hier.
Hallo Peter, ich hätte eine Frage zu einer rekursiven Folge. Ich habe eine Aufgabe mit der Rekursionsvorschrift: 8a(n+2) = 6a(n+1) - a(n) für alle n Element N. Nun soll ich von der Folge (an) zeigen, dass diese konvergiert. Leider weiß ich garnicht, wie man da nun ohne Startwert rangeht. Kannst du mir da vielleicht weiterhelfen?
Du könntest die Folge in ihre explizite Form überführen mit Hilfe des Ansatzes a_n = lambda^n. Du kommst auf die Lösung a_n = c_1 * (1/2)^n + c_2 * (1/4)^n. Für n gegen Unendlich kommt 0 raus.
mach mal bitte coaching für alle die in mathe interessiert sind. Man sieht echt dass du das verstanden hast. Nicht so wie bei andere. Dich kann man ja als Mathespezialisten sehen wenn ich mir all deine videos sehe
Kommen auch arithmetische Folgen höherer Ordnung ran? Und die Methoden um ein Polynom für solche zu bestimmen (sozusagen Taylor-Reihen für Folgen). Fänd Ich mega!, hab' nämlich meine Facharbeit (10. Klasse) darüber geschrieben und vielleicht lern ich noch was neues dazu!
Find ich mega interessant und schreibs mir mit auf meine Liste. Nur erst mal mach ich Videos zu den Themen, die die meisten Studenten für ihre Prüfungen brauchen. Erst mal alle durchbringen und dann die interessanten Themen angehen :)
Maßtheorie steht auch schon auf meiner Liste. Hab nur vorher noch ein paar andere Themen zu filmen. u.A. hab ich schon eine Fortsetzung zu Differentialgleichungen und Fourierreihen versprochen. Aber auch Maßtheorie kommt irgendwann!
Du hast erklärt, dass man mithilfe von Umformungen von der expliziten Folge auf die Rekursive gelangt. Doch wie kommt man von der Rekursiven auf die expliziten Form? Gibt es da einen Trick? Danke :)
Im Allgemeinen nicht. Wenn du aber rekursive Zahlenfolgen als Differenzengleichungen auffasst, kannst du spezielle Zahlenfolgen einfach und schnell in die explizite Form bringen. Schau dir dafür gern mal meinen Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" an, den ich unter dem Video verlinkt hab :)
Hallo Peter, bei der geometrischen ZF Explizit. Wenn man die erste Zahl der Reihenfolge ausrechnen will muss man (1/2)^1 rechnen. Da kommt jedoch 0,5 und nicht 1 raus. Auch bei (1/2)^2 kommt 0,25 raus. Alles ist also um eins verschoben. Ist es dennoch korrekt ?
Rekursiv ist es erst dann, wenn ein Glied einer Zahlenfolge von einem anderen abhängig ist. Also erst am Ende, wenn da steht a_{n+1}= irgendwas mit a_{n}
Ja das funktioniert auch, es kann mehrere rekursive Darstellungen geben. Deine Wahl ist allerdings nicht "linear" bzgl. der Folge an, weshalb das Lösen schwieriger ist.
Für konstante Koeffizienten c und d hat die lineare Differenzengleichung A_{n+1}=c*A_{n}+d die Lösung A_{n}=k+d*n, falls c=1 und k*c^n+d/(1-c), wenn c≠1. Wobei k eine beliebige reelle Konstante ist und nur durch einen vorgegebenen Anfangswert eindeutig bestimmt werden kann. Der Summand mit dem k in sich nennt man auch "homogene Lösung". den Summanden mit dem d nennt man auch "inhomogene Lösung". Nach dem Superpositionsprinzip kriegen wir die Gesamtheit aller Lösungen durch die Summe der beiden raus.
Lineare rekursive Zahlenfolgen lassen sich als Lineare Differenzengleichungen interpretieren. Die Lösung dieser Differenzengleichungen sind die zugehörigen Zahlenfolgen in expliziter Form. Diese "Vorstufe" zu den Differentialgleichungen haben oft Wirtschaftswissenschaftler. Die Themen stehen sich sehr nahe.
Am Ende steht ja a_{n+1} = a_{n} + 2n+1. Wenn {a_{n}} die Folge der Quadratzahlen ist, dann bedeutet diese Formel, dass auf eine Quadratzahl nur eine ungerade Zahl addiert werden muss, um auf die nächste Quadratzahl zu kommen. Um aber nicht erst bei der nächsten Quadratzahl anzufangen, sondern bei der ersten, starte hab ich den Index um 1 nach unten verschoben: Wenn du bei 2n+1 das n durch ein n-1 ersetzt, steht dort 2(n-1)+1=2n-1. Die Summe der ungeraden Zahlen 1+3+5+7+... ergibt also mit jedem Summanden eine neue Quadratzahl. Ich weiß, das waren zum Schluss noch mal ein paar viele Schritte auf einmal, aber ich wollte es unbedingt noch mit reinbringen, damit das Video nicht zu theorielastig ist.
Zur arithmetrischen Folge: Warum fängt man mit a1 an und nicht mit a0. Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet die Null. Warum lässt man sie aus? Wenn man mit a0 anfängt, wird die Formel einfacher. an = n*d + a0 Man lässt ja auch bei Polynomen den Index bei Null beginnen. Es ergibt keinen Sinn, wenn man bei Eins beginnt. Aus der Sicht der Mengenlehre ist die Eins durch nichts ausgezeichnet. Also könnte man bei 2 oder 1000 oder 66757785765 beginnen. Die Null ist ausgezeichnet, da sie die kleinste natürliche Zahl ist. Beginne mit der kleinsten Zahl, dann nimm die nächst höhere usw. ist ein logischer Algorithmus. Nimm die zweitkleinste natürliche Zahl ist nicht nur unlogisch, sondern auch noch umständlich, was es noch unlogischer macht. Als Kopernikus die Sonne in den Mittelpunkt des Sonnensystems stellte, war der Grund nicht höhere Genauigkeit, sondern Einfachheit der Bahngleichungen. Heut schütteln wir den Kopf über das geozentrische Weltbild und lächeln Milde. Den Index bei Eins anzufangen, kommt mir ähnlich vor.
Kannst du definieren wie du willst. Die Informatiker definieren gern 0 als kleinste natürliche Zahl, die Zahlentheoretiker die 1. Ich würd die Definition anpassen je nach Anwendung.
@@MathePeter Kannst du anpassen wie du willst? Das ist nicht die Erfahrung, die Schüler/-innen in der Schule machen. Es ist gerade so, als wollten die Lehrer die Schüler/-innen mit der komplizierten Formel quälen. In Formelsammlungen und in Schulbüchern stand und steht teilweise immer noch, dass das erste Glied a1 wäre. Ganz ohne Alternative. Ich hatte diesbezüglich auch mit Prof. Weitz, der einen ansonsten guten Mathechannel hat, eine Debatte. Leider ist das nicht mehr nachzulesen, weil alle seine Videos kommentarlos geschaltet wurden. Es gibt mittlerweile einige Videos in denen a0 als Ausgangsglied verwendet wird. Und warum werden Zahlentheoretiker bevorzugt? Das sind Mathematiker, gute sogar. Warum quält man die Schwachen mit der komplizierten Formel. Wo doch sogar noch ein anderer Mehrwert für Lernende winkt: die Ähnlichkeit zu den Geraden. Ein größerer Zusammenhang sollte doch immer vermittelt werden.
ANMERKUNG: Streng genommen gibt es Formeln für Primzahlen (z.B. C.P. Willans Primzahlenfomel) und damit auch Darstellungen der Primzahlenfolge. Allerdings wurden diese Formeln speziell für diese Aufgabe konstruiert und sind absolut ineffizient. In diesem Sinne ist noch keine "wirkliche" Formel bekannt.
Ehrenpeter, genau das was gerade gebraucht wird 👌💪
Bin grad im ersten Semester und deine Videos sind 10/10. Du hast ne geile lockere Art, erklärst es detailliert und verständlich und wiederholst auch mal Sachen die evtl noch nicht ganz klar waren. Du hilfst mir so sehr hahah, du linderst meine Verzweiflung die teilweise bei Mathe hochkommt. Vielen Dank und mach bitte bitte weiter so! Abonniert hab ich natürlich schon ;)
Wie läufts?
Diese Darstellung und Erklärung hat es mir direkt klar gemacht. Wie kann jemand das Thema so „verkomplizieren“ wie mein Prof....vielen Dank dir!
Bin im 1. Semester und habe grad deinen Kanal entdeckt.
Kannst super verständlich erklären , Zehntausend mal besser als mein Prof
Nun werde ich deine Videos suchten👍🏻🙏🏻
Vielen Dank! Erzähl gern deinen Kommilitonen von den Videos, würdest mich damit sehr unterstützen! :)
wieso machen wir das in der schule ? 😭
Wieder ein hervorragendes Video! Alles sehr gut erklärt, sehr präzise dargestellt und sehr unprätentiös vorgetragen. Bin gespannt auf die nächsten Videos zu Folgen ... und vielleicht Reihen.
Das ist das beste Video, was ich bisher zum Thema gesehen habe. Sehr sympathisch und anschaulich erklärt.
von allen Übersichtsvideos zum Thema Folgen und Reihen, die ich jetzt geschaut habe, mit Abstand am besten!
Gestern das erste mal diesen Mist in Mathe gehabt. Dank dir jetzt zur Hälfte verstanden. Danke!
danke das du diesen kanal eröffnet hast und alles erklärst
Nicht einmal mein Lehrer hat es mir so gut erklärt. Danke für deine Videos die helfen immer wieder weiter. Du hast viel mehr Likes verdient❤️
Tausend Dank! Hat mir für linalg schon den A**** gerettet und Ana läuft bis jetzt auch gut dank deinem Einsatz!! Schade, dass deine Videos nicht noch mehr Aufmerksamkeit abbekommen... Verdient hättest du es sooo sehr!❤🙏🍀
Schon wirklich bemerkenswert, wie gut du einfach erklären kannst.
Diese Video ist echt Gold wert.
Völlig unbemerkt und unerwartet greift es so viele wichtige Themen mit auf, sodass man den Zusammenhang all dieser Dinge viel besser verinnerlicht, oder gar erstmals bemerkt.^^
Das ist Kunst was Du hier machst, Peter. Unfassbar gut.
Egal wo Du Dich irgendwann mal bewerben solltest, schick einfach nur den Link dieses Videos und Schreib Dein Namen und Adresse rauf, reicht.^^ xDDDDD
Aber geh früh schlafen, den der Folgetag wird Dein erster Arbeitstag.^^ xDDDDD
Haha vielen lieben Dank!! Freut mich sehr, dass dir die Details aufgefallen sind. Ich mache die Videos mit ganz viel Liebe, weils mir mega Spaß macht 😊
@@MathePeter Das merkt man bei jedem Deiner Videos. Könntest noch in die Geschichte eingehen, als der Mann der die Uni nach Hause brachte.^^ Ohne Scherz, Deine Wortwahl ist fabelhaft und Deine Motivation überragend. Man versteht sehr viel in ein paar Minuten, da können die Profs und Dozenten einige Scheiben von abschneiden.^^
Du rettest mich!! Danke! Ich verstehs so gut!
Wir nehmen des thema klasse elf durch und ich war im unterricht abwesend du rettest mein leben danke echt gut und einfach erklärt
DANKE!!!
Ich habe so ein Video unbedingt gebraucht. Hast es gut erklärt, sehr aus führlich und deutlich!! Keep on going
Danke das du alles so ausführlich und leicht erklärt hast! Dank dir versteh ich das Thema endlich und mir fällt auf das es eigentlich garnicht so schwer ist wie ich vorher dachte 😅
Freut mich, dass du das so siehst! :)
wirkliche habe ne 2.5 als Note in der Schweiz im Abi Niveau was Katastrophe ist aber du holst mich wirklich ab mit den Videos, weiter so !!
Eine riesen Hilfe für mein Studium! Danke!
du bist der beste Peter. ein Grosse Hilfe
Danke für die Übersichtliche Darstellung
Mega gut erklärt 😍
Schon Crazy (auf nh gute Art) wenn der Prof. auf deine Videos verlinkt! :D
Das größte Lob, was man bekommen kann :)
Nice! Hab's erst Jestzt alles verstanden..Danke 🌼
Wieso hast du eigentlich nur 22k Abos? Danke dir, Mathemann
Hoffen wir mal das wird noch 😄
abo ist aufjedenfall da . Und werde deine videos weiterempfehlen. Ein video zu cauchy folge wäre auch gut
Danke echt schön erklärt 👍🏻😇
du bist wirklich gut. unbedingt weiter so!
Ich küss deine Augen mashalla
😂
Ich vermute, wenn man irgendwas mit dem Thema am Hut hat hast du gut erklärt. Aber ich sitze gerade auf meinem Bett und glaube ich weine gleich los. Ich habe KEINE Ahnung was mir dieses Video helfen sollte. (PS meine Lehrerin meinte wir sollen es uns anschauen)
Dann umso besser, dass du mir schreibst! Mathematik ist ja eine Sprache. Und wie in jeder Sprache muss man Vokabeln lernen. In diesem Video gehts darum die neue Vokabel "Zahlenfolge" zu verstehen. Am Ende des Videos solltest du wissen was eine Zahlenfolge ist (vlt noch ganz intuitiv, weil Abfolge mehrerer Zahlen). Außerdem solltest du einige Beispiele kennen, die uns fast jeden Tag begegnen (Aritmetische Zahlenfolge und geometrische Zahlenfolge). Und du musst dir klar machen, dass es 2 wichtige Darstellungen für die Zahlenfolge gibt: "rekursiv" und "explizit". Das wars auch schon. Diese neue Vokabel kommt jetzt in vielen Sätzen der Mathematik vor und im besten Fall hast du einen kleinen Bezug zu dem Begriff.
@@MathePeter danke für die Antwort! Ich bin gerade dabei weiter das Thema zu lernen und verstehe es immer mehr!
Super erklärt, alles verstanden ;) weiter so
So gut erklärt!! 🤩
Woooow mega gut 😊 der beste Lehrer 👨🏻🏫
Gutes Video!
Aber beim untersten Beispiel wäre es doch so, dass die Darstellungen in den falschen Spalten sind oder?
D.h. an+2n+1 ist müsste in der Spalte rekursive Darstellung stehen.
Da gibts eine Trennlinie unten. Das Beispiel wird nicht in die Tabelle eingeordnet 😂
Danke junge sehr hilfreich
Meine Schei* Schule braucht eine Lehrkraft, wie dich. Jedes Jahr bekommen wir eine Lehrkraft, die selbst nichts checkt.
Und nur deswegen muss ich für 5 Themen bzw. 17 Unterthemen, die zu der Herbstprüfung kommen werden, lernen.
Du packst das! Und du kannst jederzeit Bescheid sagen, wenn Fragen sind :)
@@MathePeter Ich danke dir, ohne dich wären wir verloren 😩
Ich habe nur eine Frage bis jetzt, worauf ich keine Antwort finden konnte.
Ist es vielleicht möglich, dass du den Zusammenhang zwischen „explizite bzw. rekursive Folgen“ und „arithmetische bzw. geometrische Folgen“ erklären kannst? Viel besser wäre eine Erklärung in einem Video 🥹
Ich verwechsle immer diese Begriffe und verstehe leider nicht so ganz, wann eine Folge als Beispiel „arithmetisch“ ist.
Oder gibt es schon so ein ähnliches Video von dir, dass ich übersehen habe, obwohl ich all deine Videos durchstöbert habe 😅🤔
Eigentlich war genau dafür dieses Video hier gedacht 😂
"Rekursiv" heißt, dass die Folgeglieder von anderen Folgegliedern abhängen. "Explizit" heißt, du setzt ein n ein und hast direkt das n-te Folgeglied. Setz die Explizite Form in die rekursive ein und du bekommst eine wahre Aussage. Das bestätigt den Zusammenhang. Auch was eine arithmetische Folge und eine geometrische ist, hab ich hier gezeigt. Die Folgen müssen exakt diese Formen hier haben (evtl mit Indexverschiebung). Ein Zusammenhang zwischen arithmetisch und geometrisch existiert nicht. Kann es auch gar nicht, denn die sind ja grundverschieden.
@@MathePeter Ow danke, jetzt leuchten einige Birnen 😂
Mathe ist auf dem ersten Blick nicht immer verständlich (für mich zumindest) und das kann manchmal auch zu Missverständnissen führen 🙃
@@MathePeter Ich habe auch eine Frage zu den Reihen...
Kann man "endliche arithmetische bzw. geometrische Reihen" als Partialsummen definieren?
Also sind "Partialsummen = endliche arithmetische / geometrische Reihen"?
Oder ist diese Aussage nicht wahr?
Gutes Video soweit , aber wie mache ich das ganze bei Folgen höherer Ordnung? Also wie mache ich es wenn ich z. B die Summe (=525 z. B) einer arithmetischen Reihe mit 50 Gliedern gegeben habe und dann nur noch ein Glied a15 z.b = 70 habe... Wie kann ich dann die anderen Glieder herausfinden und ein Bildungsgesetz aufstellen?
Dann nimmst du die Summenformel für die 50. Partialsumme, ersetzt a0 durch a15 - 15*d und stellst nach d um. Natürlich je nachdem ob ihr a0 oder bei a1 anfangt. Könnte sich also noch um einen Index verschieben, das ist aus deiner Formulierung nicht klar geworden. Im Grund machst du es genauso wie in den Aufgaben meines Online Kurses "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen", den ich unter dem Video verlinkt hab.
@@MathePeter hm ich glaube ich habe es verstanden, ich probiere es morgen mal aus 👌🏼danke :)
Hi MathePeter, ich wollte jetzt mit dem Thema Folgen & Reihen anfangen und wollte dazu deine Playlist durcharbeiten. Das Problem ist, das viele Sachen, die in den Folgevideos als Beispiele dienen sollen z.b das Summenzeichen ich noch gar nicht gelernt habe. Soweit ich weiß, kommt das Summenzeichen erst in der höheren Analysis dran oder? Kannst du mir bitte ungefähr sagen, welche Voraussetzung an Mathethemen man für die Bearbeitung dieser Playlist braucht?
Das kommt aufs Bundesland an, in dem du dein Abi gemacht hast. Um alle Studienanfänger auf den gleichen Stand zu bringen, habe ich eine 10 teilige Livestream Serie erstellt. Ich bin aber gerade auch dabei diesen "Vorkurs" als einzelne Videos aufzunehmen. Wenn dir generell aber nur spezielle Dinge wie das Summenzeichen fehlen, dann schau dir einfach mein Video zum Summenzeichen an und setz dann die Playlist fort. Ich denke in der großen Playlist Analysis kommt auch das Video mit dem Summenzeichen vor dem hier.
Sehr hilfreiches Video!!
Bro Ich liebe dich ❤️😘
Danke für dieses Video
Hallo Peter, ich hätte eine Frage zu einer rekursiven Folge. Ich habe eine Aufgabe mit der Rekursionsvorschrift: 8a(n+2) = 6a(n+1) - a(n) für alle n Element N. Nun soll ich von der Folge (an) zeigen, dass diese konvergiert. Leider weiß ich garnicht, wie man da nun ohne Startwert rangeht. Kannst du mir da vielleicht weiterhelfen?
Du könntest die Folge in ihre explizite Form überführen mit Hilfe des Ansatzes a_n = lambda^n. Du kommst auf die Lösung a_n = c_1 * (1/2)^n + c_2 * (1/4)^n. Für n gegen Unendlich kommt 0 raus.
mach mal bitte coaching für alle die in mathe interessiert sind. Man sieht echt dass du das verstanden hast. Nicht so wie bei andere. Dich kann man ja als Mathespezialisten sehen wenn ich mir all deine videos sehe
Super Idee! Und Danke! :)
@@MathePeter nicht dafür , wir müssen dir danken, denn du hilfst uns alle . Ich bin mir sicher dass du gross raus kommen wirst .
Kommen auch arithmetische Folgen höherer Ordnung ran? Und die Methoden um ein Polynom für solche zu bestimmen (sozusagen Taylor-Reihen für Folgen). Fänd Ich mega!, hab' nämlich meine Facharbeit (10. Klasse) darüber geschrieben und vielleicht lern ich noch was neues dazu!
Find ich mega interessant und schreibs mir mit auf meine Liste. Nur erst mal mach ich Videos zu den Themen, die die meisten Studenten für ihre Prüfungen brauchen. Erst mal alle durchbringen und dann die interessanten Themen angehen :)
@@MathePeter Ah okay, das ist verständlich! Danke für die Antwort
Hi, ich finde deine Videos echt super. Könntest du was zu Maßtheorie und Lebesgue Integralen machen?
Maßtheorie steht auch schon auf meiner Liste. Hab nur vorher noch ein paar andere Themen zu filmen. u.A. hab ich schon eine Fortsetzung zu Differentialgleichungen und Fourierreihen versprochen. Aber auch Maßtheorie kommt irgendwann!
bei der folge der quadratzahlen, ist das dann ne mischung von geometrisch und arithmetisch wegen der hoch2 ?
Nein, denn bei geometrischen Folgen, steht die Indexvariable im Exponenten.
Mathe Peter einfach Daniel jung für die profis
Du hast erklärt, dass man mithilfe von Umformungen von der expliziten Folge auf die Rekursive gelangt. Doch wie kommt man von der Rekursiven auf die expliziten Form? Gibt es da einen Trick?
Danke :)
Im Allgemeinen nicht. Wenn du aber rekursive Zahlenfolgen als Differenzengleichungen auffasst, kannst du spezielle Zahlenfolgen einfach und schnell in die explizite Form bringen. Schau dir dafür gern mal meinen Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" an, den ich unter dem Video verlinkt hab :)
Hallo Peter,
bei der geometrischen ZF Explizit. Wenn man die erste Zahl der Reihenfolge ausrechnen will muss man (1/2)^1 rechnen. Da kommt jedoch 0,5 und nicht 1 raus. Auch bei (1/2)^2 kommt 0,25 raus.
Alles ist also um eins verschoben.
Ist es dennoch korrekt ?
Ahh ich denke mal die eins ist die nullte Folge in der ZF ? Und deswegen (1/2)^0 =1.
Genau!! :)
Wie wäre es bei der zahlenfolge 3,4,6,9,13? Komme einfach nicht drauf 😢
Sieht aus wie a(n+1) = a(n) + n, mit a(1)=3.
Hey, hast du Mathematik studiert?
Ja genau! :)
Was studierst du?
Ich studiere Physik mit Nebenfach Mathematik. :)
Mach weiter so, die Videos sind super!
Sehr cool, bleib du auch dran! Physik ist der Hammer :)
Also, wenn wir am Ende (n+1)^2 haben, dann kann man das doch schon so stehen lassen oder? Ist immerhin schon rekursiv. War das icht das Ziel ?
Rekursiv ist es erst dann, wenn ein Glied einer Zahlenfolge von einem anderen abhängig ist. Also erst am Ende, wenn da steht a_{n+1}= irgendwas mit a_{n}
Geht auch als rekursive Formel ( (√an) +1)² ? Das würde die Folge mit n² nämlich auch rekursiv beschreiben 😅
Ja das funktioniert auch, es kann mehrere rekursive Darstellungen geben. Deine Wahl ist allerdings nicht "linear" bzgl. der Folge an, weshalb das Lösen schwieriger ist.
@@MathePeter alles klar, danke dir 🥰
Danke 👍🏼
Hätte ich eigentlich vor ca. 2 Monaten gebraucht, aber besser zu spät als nie.
Tut mir Leid, ich kam erst jetzt dazu. Hoffe ich kann so schnell wie möglich alles abdecken, damit jeder versorgt ist :)
Warum steht jetzt am Ende (2k-1)=n^2?
Müsste es nicht (2k+1) sein also statt der - ein + ?
Ich wollte die Summe bei k=1 starten lassen, darum die Indexverschiebung :)
@@MathePeter achsoo okay:)
Wie siehts aus mit
an=a1+(n-1)*d ? das haben wir uns für die arithmetische Zahlenfolge aufgeschrieben.
Na dann passts ja. Im Video hab ich das Beispiel mit a1=1 und d=1.
Wenn man bei einer rekursiven Bildungsvorschrift z.B. a3=4 gegeben hat, wie kommt man dann aud a1?
Vielleicht kannst du ja die Gleichung umstellen nach dem Vorgänger.
@@MathePeter achso, ja stimmt, Dankeschön
Wie sieht die explitzte Formel für einem mischung von ari und geo Folge, also An+1 = c * An + d , c und d sind konstanten :)
Für konstante Koeffizienten c und d hat die lineare Differenzengleichung A_{n+1}=c*A_{n}+d die Lösung A_{n}=k+d*n, falls c=1 und k*c^n+d/(1-c), wenn c≠1. Wobei k eine beliebige reelle Konstante ist und nur durch einen vorgegebenen Anfangswert eindeutig bestimmt werden kann. Der Summand mit dem k in sich nennt man auch "homogene Lösung". den Summanden mit dem d nennt man auch "inhomogene Lösung". Nach dem Superpositionsprinzip kriegen wir die Gesamtheit aller Lösungen durch die Summe der beiden raus.
@@MathePeter Wow, heißt des da in rekursiven Folgen stecken auch Differentialgleichungen drinnen?
Lineare rekursive Zahlenfolgen lassen sich als Lineare Differenzengleichungen interpretieren. Die Lösung dieser Differenzengleichungen sind die zugehörigen Zahlenfolgen in expliziter Form. Diese "Vorstufe" zu den Differentialgleichungen haben oft Wirtschaftswissenschaftler. Die Themen stehen sich sehr nahe.
Vieleeeeeeeeeeen Dank mach weiter
ich habs verstanden. ich habe es verstanden. ICH HABE ES VERSTANDEN. ICH. HABE. ES. VERSTANDEN :DDDD *danke schööööön*
Und was ist eine implizite Zahlenfolge? Könnte das vielleicht einer gut erklären :)
Das ist ein anderer Begriff für "rekursiv".
@@MathePeter Ahh, danke dir 🙌🏼
Super Video! :)
Danke. Bis auf (2k-1) ist alles eindeutig. Woher kommt (2k-1)
Am Ende steht ja a_{n+1} = a_{n} + 2n+1. Wenn {a_{n}} die Folge der Quadratzahlen ist, dann bedeutet diese Formel, dass auf eine Quadratzahl nur eine ungerade Zahl addiert werden muss, um auf die nächste Quadratzahl zu kommen. Um aber nicht erst bei der nächsten Quadratzahl anzufangen, sondern bei der ersten, starte hab ich den Index um 1 nach unten verschoben: Wenn du bei 2n+1 das n durch ein n-1 ersetzt, steht dort 2(n-1)+1=2n-1. Die Summe der ungeraden Zahlen 1+3+5+7+... ergibt also mit jedem Summanden eine neue Quadratzahl. Ich weiß, das waren zum Schluss noch mal ein paar viele Schritte auf einmal, aber ich wollte es unbedingt noch mit reinbringen, damit das Video nicht zu theorielastig ist.
Kann mit mal jmd erklären warum ich in 7 min mehr verstanden habe als im ganzen schuljahr ?
Zur arithmetrischen Folge: Warum fängt man mit a1 an und nicht mit a0. Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet die Null. Warum lässt man sie aus? Wenn man mit a0 anfängt, wird die Formel einfacher. an = n*d + a0 Man lässt ja auch bei Polynomen den Index bei Null beginnen. Es ergibt keinen Sinn, wenn man bei Eins beginnt. Aus der Sicht der Mengenlehre ist die Eins durch nichts ausgezeichnet. Also könnte man bei 2 oder 1000 oder 66757785765 beginnen. Die Null ist ausgezeichnet, da sie die kleinste natürliche Zahl ist. Beginne mit der kleinsten Zahl, dann nimm die nächst höhere usw. ist ein logischer Algorithmus. Nimm die zweitkleinste natürliche Zahl ist nicht nur unlogisch, sondern auch noch umständlich, was es noch unlogischer macht. Als Kopernikus die Sonne in den Mittelpunkt des Sonnensystems stellte, war der Grund nicht höhere Genauigkeit, sondern Einfachheit der Bahngleichungen. Heut schütteln wir den Kopf über das geozentrische Weltbild und lächeln Milde. Den Index bei Eins anzufangen, kommt mir ähnlich vor.
Kannst du definieren wie du willst. Die Informatiker definieren gern 0 als kleinste natürliche Zahl, die Zahlentheoretiker die 1. Ich würd die Definition anpassen je nach Anwendung.
@@MathePeter Kannst du anpassen wie du willst? Das ist nicht die Erfahrung, die Schüler/-innen in der Schule machen. Es ist gerade so, als wollten die Lehrer die Schüler/-innen mit der komplizierten Formel quälen. In Formelsammlungen und in Schulbüchern stand und steht teilweise immer noch, dass das erste Glied a1 wäre. Ganz ohne Alternative. Ich hatte diesbezüglich auch mit Prof. Weitz, der einen ansonsten guten Mathechannel hat, eine Debatte. Leider ist das nicht mehr nachzulesen, weil alle seine Videos kommentarlos geschaltet wurden. Es gibt mittlerweile einige Videos in denen a0 als Ausgangsglied verwendet wird. Und warum werden Zahlentheoretiker bevorzugt? Das sind Mathematiker, gute sogar. Warum quält man die Schwachen mit der komplizierten Formel. Wo doch sogar noch ein anderer Mehrwert für Lernende winkt: die Ähnlichkeit zu den Geraden. Ein größerer Zusammenhang sollte doch immer vermittelt werden.
Ich lese viele Kommentare von Studenten in den 1.Semester. Ich bin in der Schule...
In der 10.Klasse. 🥲
Aber nur noch 2-3 Jahre. Dann weißt du ja schon, wie es weiter geht 😄
und wieso kann das mein prof nicht so schön erklären ? danke !!!
sehrrrrrrrrr helfreich
du liebst mathe oder ?
JA 😍
@@MathePeter das spürt man und das ist sehr ansteckend :))
Maschine
Ich eine stunde vor dem test
Gut.Aber bei geometrische ZF muss keine'' a null ''einführen,das ist Unsinn.Erster Glieder ''a1'' und bei Potenzieren am Ende ''n-1''.
Muss nicht, ist aber angenehmer ;)
Bombe
Ich habe nichts verstanden 🤦♀️
Alle labern was von Semester in den Kommentaren und ich lerne das schon in der 10. Klasse
Herzlichen Glückwunsch 😂
Du bist so hübsch .. also Matte ist so hübsch ;DD
Zum Glück studier ich kein Mathe.
Tut mir sehr Leid, dass du das verpasst 😄