On montre f(b.x+(1-b)y) = bf(x)+(1-b)f(y) pour tout nombre "deux-cimal", càd de la forme b = k/2^n avec k = 0,..,2^n. La preuve se fait par induction sur n. Comme les deux-cimaux sont denses dans [0,1], par continuité on obtient f(ax+(1-a)y) = af(x)+(1-a)f(y) pour tout a réel dans [0,1]. Avec ça on montre que f est affine, càd f(x) = x(f(1)-f(0))+f(0).
Merci. Cette équation était au capes 2023 et le corrigé que j’avais été faux 🙏🏻
Super méthode Merci beaucoup cela peut s'avérer très utile !!
Merciiii monsieu ❤
On montre f(b.x+(1-b)y) = bf(x)+(1-b)f(y) pour tout nombre "deux-cimal", càd de la forme b = k/2^n avec k = 0,..,2^n. La preuve se fait par induction sur n. Comme les deux-cimaux sont denses dans [0,1], par continuité on obtient f(ax+(1-a)y) = af(x)+(1-a)f(y) pour tout a réel dans [0,1]. Avec ça on montre que f est affine, càd f(x) = x(f(1)-f(0))+f(0).
Pourquoi f(0)=0 si c'est à une constante prêt ? J'ai pas très bien compris ceci
On trouve d'abord les fonctions telles que f(0) = 0, puis les solutions sont ces fonctions à une constante près.
Es ce qu'on peut considerer ca comme de l'analyse synthèse?(j'ai du mal avec)
Oui en effet.
fct Jensen conserve le milieu....