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在微分方程式 Tb 式中最後那項應是-3kt/2ms 吧
讚耶~~~沒錯，Ta和Tb指數項是 -3不是 -1，感謝指正，幫你置頂供有心的人研究，一般觀眾不用擔心，常數項不影響最後各種畫圖及比較的結果。
我也是，我看到一半先自己演算结果，发现跟他的结果系数差个3，准备再算一遍的时候看到了你的评论。
有心耶~~想不到這麼多有心的人會一起解，真感動~~~
佑來認真教 我是香港的。剛剛認識你的頻道。 你好有心去拍攝哦，這麼複雜的問題，講解很清晰，動畫質量很高。花了很多時間和精神呀。讚！好奇，是用了啥軟件去畫圖和編輯製作影片的？
影片裡講解的部份是用sketchbook裡的動畫書，先將要用到的畫面畫好之後，再依動畫一頁一頁的依講解播放。
我晚上睡不著時我都會看一下，讓我很好入眠，感謝Fun科學
剛開始看到這個問題，想說應該只會有簡單解答 (也就是普通版)沒想到居然分析的這麼細，把熱傳學的內容、公式也使用進去，很驚訝啊支持繼續做類似的內容 :D
看到微積分就很高興...搞得數學一直比物理考得更好...P.S 和教授聊天的時候他拿這題來考我了,看來他有看你的影片ww
身為一個物理系的學生覺得 這個隱藏的頻道還不錯XDDD感覺很像之前老師上碰撞的幾%解或是什麼必殺的樣子符合各種不同程度的學生需求:)
先給推了 不然別人以為我看不懂
哈哈~~其實不會有多少人連到這邊啦~~
快破Ｗ了啦
實際上熱傳考慮的更多，甚至是流體是層流或紊流，管壁平不平，圓管或方管還是其他形狀，都要代上不同的經驗公式來求熱傳值，不過那太崩潰了，基本上老師的這樣就很詳細了。
物理真的很妙 明明原始題目敘述那麼少卻可以用假設變數的方式推導出跟用直觀想法一樣的答案
其實跟物理無關，而是跟「真實感」有關任何題目，只要考慮到真實感，都需要各式各樣可能影響答案的參數
我的嘗試是把整道題目當成是一根鐵棒x = 0的boundary condition是 T = 80然後有一個能量流失的值，而這個值與 T(x = L ) 成正比不過就沒有考慮水從出來到接觸到水管的時間受教了！謝謝
請算出熱平衡後要耗費得水費？
請算出會被媽媽打幾下
以後洗澡應該要跪著洗了
躺著泰國洗會更棒，哈哈....
好認真的老師，大推，希望有後續類似的影片~~
不用求微积分也行。热水80度，冷水20度，热水受返回温水浇洗后是T1，返回温水温度T2当然就是T1与20度混合后=(T1+20)/2接下来求T1的表达式热传导系数是m(0
對一個死文組的人來說把這段影片從頭到尾看完沒有快轉，是不是滿了不起的～？
那種感覺就像一個正常人看discovery動物交配影片─無法體會
這是何苦呢？不過真的了不起，我錄完之後都不想看第二次耶。
其實還蠻好看的，方程式和圖表都自動幫我們解好畫好了，根本愉悅~
我。。。我刚跳到最后，，就看到了你的留言。。。我是学美术的。。
老師的解釋好詳細啊！普通版的淺顯易懂，這個版本的又能多學到很多~希望以後都有這樣需要思考的問題
接觸時間無限大的時候 等式就會還原普通版,其中一個方法就係水管無限長，而且無熱流失四周 香港遊客路過 支持有心講物理的人👍
讚啊！看得很過癮呀！雖然微分程式計算過程完全不知道怎麼演算的 XD，不過解說過程大致都聽得懂，超有趣的~^o^希望以後佑老師能儘量分享許多關於科學的趣事。
的確是很詳盡的公式演算解說，給人的第一個感覺就是回到了。。。啊～求學時代。該時代整天就是學一些算得再準也與事實不符的程式，因為外在的差數太多太大且無法一一代入，不過當無外因或外因差數微小時，這些還挺管用的。再言，佑可以兼個補習班老師來造福廣大學子哦～
普通版我看的很開心 我知足就好 開始看無啦😆
13:55。空氣導熱係數很差沒錯，可是熱水拿遠拿近來沖，實際上溫差是有感的。如果不單單只是熱傳導，就像Cooling Tower那種熱交換，效果是很大的。其實還有很多被簡化跟忽略了，講到了熱傳導，那這模型也還牽扯到熱交換器原理，效率。要深入下去是講不完的...，我覺得一般版的就很棒了，有原理跟概念。好老師
看老師做像很簡單，但要自己做卻有很多因素也沒有考慮x_x。很有心和詳細的教導，希望有更多類似的題目>
有個狀況還沒有考慮到，就是來自熱水管源頭的熱傳導，也就是水接觸瞬間時的熱傳導有2個方向，一方是向管壁散失熱量，另一方是接收上方未降溫水的熱傳導，由於熱水管內的水是在高壓狀態下，水管內導熱係數肯定比減壓過的蓮蓬頭水還要高，這導致如果不是極端溫差是不可能造成降溫效果的。
雖然文組表示完全看不懂，可是還是支持老師做這種深入教學的影片 :)
很詳細的解說，謝謝老師
這邊真的說得蠻詳細的..混合後接近50度還是會比較接近現實狀況.如果混合後是35度.在最後平衡時.混合後的水和熱水之間要做溫度交換直到溫度完全相同目前最好的熱交換器都難有這種效果.就算真要有.也要有很長的平衡時間實在不怎麼實際
这个极限温度Tmin可以简单的来算，热力学第二定律，就是最终流到浴缸的水（经过热水管加热后）肯定还是50度。所以（2（Tmin）+（80度））/3=50度，解Tmin=（50*3-80）/2=35度
不考慮時間因素與外在因素，熱水80度與冷水20度流量比為1:1，混合出水(平衡)為50度2n，用出水50度2n(降溫)熱水80度1n，做循環。最終會使得熱水變成原先平衡值50度1n（理想值），考量傳導效果混合出水為35~50度之間。如果題目改成，熱水變成100度，冷水20度，流量比為1:1，混合出水(平衡)為60度2n，→熱水變成原先平衡值60度1n（理想值），考量傳導效果混合出水就是40~60度之間？對嗎。不知為何，讓我想到滑輪？會不會用滑輪公式也可以算出一樣的答案？
這個影片也是個實驗吧，想知道原來的科普受眾（多為學生?）有多少比例會想瞭解更深入、接近實際情況的物理函數。但實際上，觀看人數又會被此影片標題&預覽圖所影響，真希望也有能探討觀看數之變數的心理學公式阿阿阿～
大一新生沒看過熱傳導的@@(高中不是資優班😅)不過我還是支持佑系列科學影片繼續出版😄😄
呵呵，空氣熱傳導、水的熱汽揮發，都也是影響的重要因素e.g. 熱水器同樣設定恆溫 50 度夏天和冬天的實際出水溫度，就會明顯降低了換了不同的蓮蓬頭，材質、出水方式、與熱水管接觸前的滯空時間差，都會漸漸改變這也關係到浴室的通風性，空氣流通率，空氣流通率越高，空氣中的水汽溫度就越容易下降e.x. 即便水的熱傳導率不那麼高，但實際換算時需考量到水的可朔性三維接觸面積，其實速度還是很快的 ( e.g. 1.冬天在玉山拿盆熱水灑向空中、在煉鋼爐上滴了汗下去 )很有趣👍😄
很詳細的解釋 希望下次還有這種認真的解題過程
還有兩點1. 噴出的水能不能全都接觸到水管會影響熱傳導的算式2. 噴出的水的流速應該比熱水管裏的水的流速快？
今天理了一下思緒閣下這種計算方式應該是把管子直接當成白體 (輻射率 0) 管壁當成極薄 且導熱係數極大以各種假設條件熱水管外壁溫度會是80度以50度水澆上去假設管徑20mm 長100mm冷熱水流量各 1L/min水與管外壁熱對流係數h假設為 2000 W/m^2KQ=hA ΔT (熱對流公式)管內外熱量流動約為1.884瓦折合約0.027 千卡/分以上面流量做計算熱水管會和前溫度應為79.973度冷熱水會合後為49.9865度由熱水管上滴落為50度
因冷水大約就是室溫， 混合後的溫水澆到熱水管壁可保溫而減少熱散失。實際做出的實驗結果， 應該是出水的水溫可更熱。
謝謝老師詳細說明~~~
超棒的教學，真的把學過的東西運用，從來沒想過要這樣處理:))
連學數學的我看到微分方程也默默地拿起筆複習了~~
看完普通版没过瘾，但看高手版直接晕菜了……能否这样再把题目再简化一下：直接把莲蓬头插入热水管，不考虑热量流失（当然需要在哪开个洞以免水管爆掉……）。这样的话莲蓬头流出的水温是莲蓬头+热水管的水温x的函数f(x)。而莲蓬头+热水管的水温是(f(x)+80)/2。得到一个递归函数f(x)=((f(x)+80)/2+20)/2。算出来f(x)=160/3=50.3333度。这样解对吗？算是中手版？
很棒的物理解題，希望多出點詭論解題的影片
老師講解的很詳細耶 真的很喜歡你的影片 大1的我吸收了很多知識呢 ~
不……我居然看懂了……虽然我没学过但是大抵的逻辑还是懂了……
不確定是否能忽略垂直方向的熱傳導。h 為高度，考慮厚度 delta(h) 極薄的切片，水平貢獻的 dH/dt 約與此切片與高溫水的接觸面積成正比，又和 delta(h) 成正比；垂直貢獻的 dH/dt 和 T(h)'' · delta(h) 成正比。兩者的比值為 C·T(h)''，C 是一個和材質與配置有關的常數。在 T(h) 是指數函數的情況下T(h)'' 並不小，所以必須對配置有所假設才可忽略這個效應。
化工系都白讀了ＸＤ老師還是跟當年一樣令人佩服
老師你邊界條件的設定似乎有問題。管內1m的水除了和管外2m的水接觸之外，應該也和上方新加入的80度熱水接觸吧？這塊是不能忽視，既然時間都拉長到三次循環以上，怎麼沒有考量到新水？這樣的邊界條件比較像是在探討2m的水不斷的循環降溫的封閉系統，但蓮蓬頭是有新水源加入的開放系統。所以，考慮到1m的水還需要跟源源不絕的水管水平衡，這題的答案應該是...不會降溫吧。至少我家蓮蓬頭是這樣啦
感觉这个解法有个bug，不过我不太确定。这是假设高温水管处相邻两段水T(t)与T(t+dt)是绝热无热交换的，热交换只发生于冲洗的低温水和高温水中。如果T(t)与T(t+dt)处的水可以有热交换，我们还能用之前的T_A(t)=H+2/3(H-L)(1-exp(-Kt/2ms))公式嘛？
嗯，水管內的每一段前後的水之間熱交換的確沒有考慮。
管外的水處於開放空間 計算熱交換時不能用2m的質量來考慮
老師雖然有學過微積分 不過那三個等式求解還是霧煞煞XD跪求過程阿阿~~~
把聯立微分方程寫成矩陣 在對角化把它猜拆成獨立的的微分方程就能解了 別聽他們虎扯
學過工程數學的我看得懂但如果自己寫那又是另外一回事…所以流體力學差點被當XD
空氣的導熱低？在冰冷的環境裡，尿尿都結冰？一桶熱水，放在室溫下，一下子就變涼了。而且導熱跟面積有關係的話，灑出來的水，與空氣的接觸面積，是很大的。至於真空的導熱，有沒有想過熱傳導的3種方式？1 接觸、2 對流、3 輻射，真空的極端例子就是 太陽發的熱 傳導到地球。 如果因真空而不會散失熱量，那地球就維持絕對0度。 或冬夏溫差不會那麼大..。可參考保溫杯的構造，與上頭的材質。
所以，您的推演，是假設水一出蓮蓬頭就碰到熱水管吧…
應該不會有影響蓮蓬頭中的水對熱水管的水的影響（吸收熱量）應該小於室溫對熱水管的影響而且熱平衡的速度沒有那麼快
需考慮內部和管壁和外部水接觸的面積，請注意它只是可能千分之二或萬分之一的接觸， **不是混合** ，路徑又短，所以，認定是不會有影響！
晕，原来还有高级版。最后的推论是对的。我就加一个问题。如果喷到冷水管上呢？喷到混合管上呢 ？实际流出的水的温度曲线如何？结论还是一样的。
直觀：敏感度+速度的問題，就如同：其他條件不變下，(年輕人與老人的手指皮膚+瞬間捏熄蠟燭燈焰的速度)兩變因關係吧！解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
雖然說 空氣導熱效果比較差可是我洗澡時 蓮蓬頭 拉得遠一點 真的會比較不燙呀跟蓮蓬頭出水處直接往皮膚碰差很多所以還是要看 出水處 跟碰到皮膚 或者混合處之間的距離吧
沒辦法接受啦！還是太理想了，噴出的水流速不會和熱水管內的水流速相同啊
直接看結尾 *-不然會睡著-*
老師真的太認真了值得激賞，以一個數理程度極爛的人而言，我還是認真看完了哈哈哈，雖然都不太懂，但還是能理解一些！所以換言之，以沖得到的管線長度以及時間而言，基本上要接近35是很難達成的事情吧？以大部分浴室都不會把熱水管外露的部分做的很長來看，哈哈！應該都是處在接近五十的狀況，以我粗淺的理解來看。此外請教老師，是否還有水管材質的散熱與導熱能力的因素需要考量呢？好比塑膠管或金屬管的差異之類的。
你所說的那些因素的確是要代入，是放在小k那裡。
數學式的思考，與實驗室的思考，是大不相同的。先前的 "普通版" 其實是有待商榷的。而此次的 "高手版" ，可視為對前者的修正版。除非是在 "太空領域" ，否則，在現實的環境內，所謂的 "洗澡詭論" ，是不存在的。但就實驗室的思考而言，是可以成立的，唯一要在意的是，避免數學式的思考。
感謝佑來了 讓我再次享受到聽數學課睡著的學生日子.....已睡xd
其結果端視測量點為何處。如果在蓮蓬頭出口處，會得到略低於50度的結果，如果在澆在熱水管後流下來的地方測量，則會等於50度。
很詳細 很有趣
确实严谨，很满意
雖然解的很混直接把接觸時間跟熱傳係數面積那些通通包一塊當常數不過結果跟我猜的一樣極限平衡35度 非極限會受傳導速率跟接觸時間影響
非極限會影響時間及平衡溫度~~雖然很混但是也是很有效率的作法。
虽然说这种方法可以做出35度的水温来，但是却不能拿来洗澡，35度的水还是要拿回去给80度降温，所以能量并没有损失呢。
同樣問題, 假設兩個單位的混水跟一個單位的熱水做熱平衡和熱傳導這個假設確實有點兒那個, 還有就是熱水管道也要達到熱平衡啊
其實這類問題最適合的解法是做FEM分析, 把所有物料特性跟大小都推進去跑模擬
超好，讲得好详细噢
感謝說明，影片解釋得非常清楚，C、u、K三個條件中，C最不重要那麼有沒有辦法做個實驗證明確實能達到35度呢?
如果人為想作實驗的話，我覺得加大接觸面積跟延長接觸時間是比較容易作到的了，但難度還是不低。
史上最好的睡覺影片
這版本的解釋比較能接受。另外我想反問一個詭論(雖然看過那本書都知道的問題)。一個旋轉型的自動灑水器，一般噴水狀況下是順時針旋轉，那如果放到都是水的環境下，並且改用吸水的方式，會是順時針還是逆時針? (水去撞擊灑水器管壁，或著從白努力方程來考慮，將會有完全不一樣的答案，所以才很好奇)
其實撞擊力和白努力兩種效果是可以同時存在的，所以雖然效果抵觸，但結論會是力量大者獲勝。
如果是作用在 20C 的水管上呢? 應該會有不一樣的結果.把這二種系統都獨自隔離起來, 相同的輸入, 會得到什麼相同的結果嗎?
熱水是持續加熱的狀態下 真的有那麼容易冷卻嗎 心理的一個疑問
可是撒出的水產生的水蒸氣對冷水也會傳導ㄟ，而且並不是所有的水都在同一時間同一位置做熱傳導。
影響變數真的要說還有很多啦熱傳導還有輻射這一塊呢
用热力学接受不通的。。环境温度上升了。。所以散热会减少，最后水流温度一定是会上升的一开始的环境温度是室温后来变成了温水
老師真的很屌！
看了這個才知道平常變態變態的佑老師，認真起來有多厲害
結論的35度自相矛盾可以想像電影中超能力者瞬間冰凍一座噴水池一樣，在水落地之前就直接結冰了。這表示水流的速度根本跟不上熱傳導的速率，那既然如此，本片中的方程式就都寫錯了，因為你的前提是，冷熱水混和後，繼續往蓮蓬頭流，不影響"原本"冷水管和熱水管裡面的水溫。若能瞬間達成熱平衡，水管內的水將通通都是50度，再也不用計算了
認真給讚
這個好適合睡不著的時候看～
全部都有想過就是t-C那邊真的楞了一下 對吼 ....... XD 我把一切想的太理想了
是不是忽略了80度的热水与混合后水的二次混合？
全部看完之後…完全不明白😂😂
其實我還是覺得直接用熱平衡方程會比較直觀但用微分方程比較詳細一點
老師辛苦了
這一題沒那麼複雜.重要概念:不論蓮篷頭的水噴在熱水管或冷水管,最後落到下面澡盆的水溫度都是50度.狀況一: 蓮篷頭的水噴在熱水管,假設熱完全交換,熱水管的溫度會降到50度,與冷水混合後溫度會是35度 (50+20)/2=35,假設熱不完全交換,熱水管的溫度還是80度,與冷水混合後溫度會是50度 (80+20)/2=50.所以蓮篷頭出水溫度會介於35~50度之間.狀況二: 蓮篷頭的水噴在冷水管.假設熱完全交換,冷水管的溫度會升到50度,與熱水混合後溫度會是65度 (80+50)/2=65,假設熱不完全交換,冷水管的溫度還是20度,與熱水混合後溫度會是50度 (80+20)/2=50.所以蓮篷頭出水溫度會介於65~50之間.不要用那麼艱深的算式,打撃學習的興趣....
這是一場盛宴 不會打擾有些人覺得很有趣啊
老师你好，请问每天时针分针秒针完全重合有多少次
为什么不考虑水没有接触到的管子的上面呢？
雖然看不懂可是感覺好有趣，雖然我已經放棄數學了orz物理跟化學只要跟數學有關的已呈現放棄狀態…
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利害喔~~是這樣沒錯~~~的確要這樣，但是想說只影響階寬就沒多講，免得太複雜，想不到還是被眼尖的高手看出來了。
很多數學人被智障網友嘴砲，老師這部影片可以說是直接重擊了智障網友。雖然他們永遠不會知道自己是智障
最大的額外因素是蒸氣
我真的很有興趣可是…我是文組的哈哈…很多概念都不懂
身為純文組，腦袋快燒掉，但是很爽
探讨c，也就是水管长度那里，1秒的黄线也应该是阶梯式的变化
是的，不論任時接觸時間，都必需是階梯式變化。
这个感觉用数理方程的方法来解更为方便一些。
之前就很喜歡老師上的物理課了這部影片也一樣，雖然算式對我這個高三生有點畸形不過在老師的講解下完全一目了然
Ray Scott 老師是高中老師還是大學教授啊
T(t)不等於80呀 忘記跟20那邊平衡
果然是用熱傳算才比較準ㄎㄎ不過這是沒有考慮熱散失跟管壁厚度散失的狀況XD
嗯，雖然沒考慮，但應該準度應該夠高了~~
2ms 的s代表什么？
我想問問有關u：冲到水管的接觸時間因為u越短就應該代表越多水冲過水龍頭，所以 u值不是越小越會低温嗎？
但是每次降溫的目標都是新的80度熱水，所以u越小會越來不及散熱。
感謝大大回覆了！我想起蒸餾器中的利氏冷凝器，是用水流冷卻蒸汽的 （當中也不斷加入水） 。當水流過的時間越短，就有長時間的大温差，冷卻得越好。明明他們都是用水流冷卻，為什麼有這麼大的分别呢？
原來老師那麼注重洗澡洗個澡都要想那麼多老師可以想想穿內褲拍片的女粉絲減少率XD
你是不是忘記了最基本水的質量,還有latent heat
請問一下這是高中的課程嗎? (目前高一) .....
在微分方程式 Tb 式中最後那項應是-3kt/2ms 吧
讚耶~~~沒錯，Ta和Tb指數項是 -3不是 -1，感謝指正，幫你置頂供有心的人研究，一般觀眾不用擔心，常數項不影響最後各種畫圖及比較的結果。
我也是，我看到一半先自己演算结果，发现跟他的结果系数差个3，准备再算一遍的时候看到了你的评论。
有心耶~~想不到這麼多有心的人會一起解，真感動~~~
佑來認真教 我是香港的。剛剛認識你的頻道。 你好有心去拍攝哦，這麼複雜的問題，講解很清晰，動畫質量很高。花了很多時間和精神呀。讚！
好奇，是用了啥軟件去畫圖和編輯製作影片的？
影片裡講解的部份是用sketchbook裡的動畫書，先將要用到的畫面畫好之後，再依動畫一頁一頁的依講解播放。
我晚上睡不著時我都會看一下，讓我很好入眠，感謝Fun科學
剛開始看到這個問題，想說應該只會有簡單解答 (也就是普通版)
沒想到居然分析的這麼細，把熱傳學的內容、公式也使用進去，很驚訝啊
支持繼續做類似的內容 :D
看到微積分就很高興...搞得數學一直比物理考得更好...
P.S 和教授聊天的時候他拿這題來考我了,看來他有看你的影片ww
身為一個物理系的學生
覺得 這個隱藏的頻道還不錯XDDD
感覺很像之前老師上碰撞的幾%解或是什麼必殺的樣子
符合各種不同程度的學生需求
:)
先給推了 不然別人以為我看不懂
哈哈~~其實不會有多少人連到這邊啦~~
快破Ｗ了啦
實際上熱傳考慮的更多，甚至是流體是層流或紊流，管壁平不平，圓管或方管還是其他形狀，都要代上不同的經驗公式來求熱傳值，不過那太崩潰了，基本上老師的這樣就很詳細了。
物理真的很妙
明明原始題目敘述那麼少
卻可以用假設變數的方式
推導出跟用直觀想法一樣的答案
其實跟物理無關，而是跟「真實感」有關
任何題目，只要考慮到真實感，都需要各式各樣可能影響答案的參數
我的嘗試是把整道題目當成是一根鐵棒
x = 0的boundary condition是 T = 80
然後有一個能量流失的值，而這個值與 T(x = L ) 成正比
不過就沒有考慮水從出來到接觸到水管的時間
受教了！謝謝
請算出熱平衡後要耗費得水費？
請算出會被媽媽打幾下
以後洗澡應該要跪著洗了
躺著泰國洗會更棒，哈哈....
好認真的老師，大推，希望有後續類似的影片~~
不用求微积分也行。热水80度，冷水20度，热水受返回温水浇洗后是T1，返回温水温度T2当然就是T1与20度混合后=(T1+20)/2
接下来求T1的表达式
热传导系数是m(0
對一個死文組的人來說把這段影片從頭到尾看完沒有快轉，是不是滿了不起的～？
那種感覺就像一個正常人看discovery動物交配影片─無法體會
這是何苦呢？不過真的了不起，我錄完之後都不想看第二次耶。
其實還蠻好看的，方程式和圖表都自動幫我們解好畫好了，根本愉悅~
我。。。我刚跳到最后，，就看到了你的留言。。。我是学美术的。。
老師的解釋好詳細啊！普通版的淺顯易懂，這個版本的又能多學到很多~希望以後都有這樣需要思考的問題
接觸時間無限大的時候 等式就會還原普通版,其中一個方法就係水管無限長，而且無熱流失四周
香港遊客路過 支持有心講物理的人👍
讚啊！看得很過癮呀！雖然微分程式計算過程完全不知道怎麼演算的 XD，
不過解說過程大致都聽得懂，超有趣的~^o^
希望以後佑老師能儘量分享許多關於科學的趣事。
的確是很詳盡的公式演算解說，給人的第一個感覺就是回到了。。。啊～求學時代。
該時代整天就是學一些算得再準也與事實不符的程式，因為外在的差數太多太大且無法一一代入，不過當無外因或外因差數微小時，這些還挺管用的。再言，佑可以兼個補習班老師來造福廣大學子哦～
普通版我看的很開心 我知足就好 開始看無啦😆
13:55。空氣導熱係數很差沒錯，可是熱水拿遠拿近來沖，實際上溫差是有感的。
如果不單單只是熱傳導，就像Cooling Tower那種熱交換，效果是很大的。
其實還有很多被簡化跟忽略了，講到了熱傳導，那這模型也還牽扯到熱交換器原理，效率。
要深入下去是講不完的...，我覺得一般版的就很棒了，有原理跟概念。
好老師
看老師做像很簡單，但要自己做卻有很多因素也沒有考慮x_x。很有心和詳細的教導，希望有更多類似的題目>
有個狀況還沒有考慮到，就是來自熱水管源頭的熱傳導，也就是水接觸瞬間時的熱傳導有2個方向，一方是向管壁散失熱量，另一方是接收上方未降溫水的熱傳導，由於熱水管內的水是在高壓狀態下，水管內導熱係數肯定比減壓過的蓮蓬頭水還要高，這導致如果不是極端溫差是不可能造成降溫效果的。
雖然文組表示完全看不懂，可是還是支持老師做這種深入教學的影片 :)
很詳細的解說，謝謝老師
這邊真的說得蠻詳細的..混合後接近50度還是會比較接近現實狀況.
如果混合後是35度.
在最後平衡時.混合後的水和熱水之間要做溫度交換直到溫度完全相同
目前最好的熱交換器都難有這種效果.就算真要有.也要有很長的平衡時間
實在不怎麼實際
这个极限温度Tmin可以简单的来算，热力学第二定律，就是最终流到浴缸的水（经过热水管加热后）肯定还是50度。所以（2（Tmin）+（80度））/3=50度，解Tmin=（50*3-80）/2=35度
不考慮時間因素與外在因素，熱水80度與冷水20度流量比為1:1，混合出水(平衡)為50度2n，用出水50度2n(降溫)熱水80度1n，做循環。最終會使得熱水變成原先平衡值50度1n（理想值），考量傳導效果混合出水為35~50度之間。
如果題目改成，熱水變成100度，冷水20度，流量比為1:1，混合出水(平衡)為60度2n，→熱水變成原先平衡值60度1n（理想值），考量傳導效果混合出水就是40~60度之間？對嗎。
不知為何，讓我想到滑輪？會不會用滑輪公式也可以算出一樣的答案？
這個影片也是個實驗吧，想知道原來的科普受眾（多為學生?）有多少比例會想瞭解更深入、接近實際情況的物理函數。
但實際上，觀看人數又會被此影片標題&預覽圖所影響，
真希望也有能探討觀看數之變數的心理學公式阿阿阿～
大一新生沒看過熱傳導的@@(高中不是資優班😅)
不過我還是支持佑系列科學影片繼續出版😄😄
呵呵，空氣熱傳導、水的熱汽揮發，都也是影響的重要因素
e.g. 熱水器同樣設定恆溫 50 度
夏天和冬天的實際出水溫度，就會明顯降低了
換了不同的蓮蓬頭，材質、出水方式、與熱水管接觸前的滯空時間差，都會漸漸改變
這也關係到浴室的通風性，空氣流通率，空氣流通率越高，空氣中的水汽溫度就越容易下降
e.x. 即便水的熱傳導率不那麼高，但實際換算時需考量到水的可朔性三維接觸面積，其實速度還是很快的 ( e.g. 1.冬天在玉山拿盆熱水灑向空中、在煉鋼爐上滴了汗下去 )
很有趣👍😄
很詳細的解釋 希望下次還有這種認真的解題過程
還有兩點
1. 噴出的水能不能全都接觸到水管會影響熱傳導的算式
2. 噴出的水的流速應該比熱水管裏的水的流速快？
今天理了一下思緒
閣下這種計算方式應該是把管子直接當成白體 (輻射率 0) 管壁當成極薄 且導熱係數極大
以各種假設條件
熱水管外壁溫度會是80度
以50度水澆上去
假設管徑20mm 長100mm
冷熱水流量各 1L/min
水與管外壁熱對流係數h假設為 2000 W/m^2K
Q=hA ΔT (熱對流公式)
管內外熱量流動約為1.884瓦
折合約0.027 千卡/分
以上面流量做計算
熱水管會和前溫度應為79.973度
冷熱水會合後為49.9865度
由熱水管上滴落為50度
因冷水大約就是室溫， 混合後的溫水澆到熱水管壁可保溫而減少熱散失。實際做出的實驗結果， 應該是出水的水溫可更熱。
謝謝老師詳細說明~~~
超棒的教學，
真的把學過的東西運用，
從來沒想過要這樣處理:))
連學數學的我
看到微分方程
也默默地拿起筆複習了~~
看完普通版没过瘾，但看高手版直接晕菜了……能否这样再把题目再简化一下：直接把莲蓬头插入热水管，不考虑热量流失（当然需要在哪开个洞以免水管爆掉……）。这样的话莲蓬头流出的水温是莲蓬头+热水管的水温x的函数f(x)。而莲蓬头+热水管的水温是(f(x)+80)/2。得到一个递归函数f(x)=((f(x)+80)/2+20)/2。算出来f(x)=160/3=50.3333度。这样解对吗？算是中手版？
很棒的物理解題，希望多出點詭論解題的影片
老師講解的很詳細耶 真的很喜歡你的影片 大1的我吸收了很多知識呢 ~
不……我居然看懂了……虽然我没学过但是大抵的逻辑还是懂了……
不確定是否能忽略垂直方向的熱傳導。
h 為高度，
考慮厚度 delta(h) 極薄的切片，
水平貢獻的 dH/dt 約與此切片與高溫水的接觸面積成正比，又和 delta(h) 成正比；
垂直貢獻的 dH/dt 和 T(h)'' · delta(h) 成正比。
兩者的比值為 C·T(h)''，C 是一個和材質與配置有關的常數。在 T(h) 是指數函數的情況下T(h)'' 並不小，所以必須對配置有所假設才可忽略這個效應。
化工系都白讀了ＸＤ
老師還是跟當年一樣令人佩服
老師你邊界條件的設定似乎有問題。管內1m的水除了和管外2m的水接觸之外，應該也和上方新加入的80度熱水接觸吧？這塊是不能忽視，既然時間都拉長到三次循環以上，怎麼沒有考量到新水？
這樣的邊界條件比較像是在探討2m的水不斷的循環降溫的封閉系統，但蓮蓬頭是有新水源加入的開放系統。
所以，考慮到1m的水還需要跟源源不絕的水管水平衡，這題的答案應該是...
不會降溫吧。
至少我家蓮蓬頭是這樣啦
感觉这个解法有个bug，不过我不太确定。这是假设高温水管处相邻两段水T(t)与T(t+dt)是绝热无热交换的，热交换只发生于冲洗的低温水和高温水中。如果T(t)与T(t+dt)处的水可以有热交换，我们还能用之前的T_A(t)=H+2/3(H-L)(1-exp(-Kt/2ms))公式嘛？
嗯，水管內的每一段前後的水之間熱交換的確沒有考慮。
管外的水處於開放空間
計算熱交換時不能用2m的質量來考慮
老師
雖然有學過微積分 不過那三個等式求解還是霧煞煞XD
跪求過程阿阿~~~
把聯立微分方程寫成矩陣 在對角化把它猜拆成獨立的的微分方程就能解了 別聽他們虎扯
學過工程數學的我看得懂但如果自己寫那又是另外一回事…所以流體力學差點被當XD
空氣的導熱低？
在冰冷的環境裡，尿尿都結冰？
一桶熱水，放在室溫下，一下子就變涼了。
而且導熱跟面積有關係的話，灑出來的水，與空氣的接觸面積，是很大的。
至於真空的導熱，有沒有想過熱傳導的3種方式？
1 接觸、2 對流、3 輻射，
真空的極端例子就是 太陽發的熱 傳導到地球。 如果因真空而不會散失熱量，那地球就維持絕對0度。 或冬夏溫差不會那麼大..。
可參考保溫杯的構造，與上頭的材質。
所以，您的推演，是假設水一出蓮蓬頭就碰到熱水管吧…
應該不會有影響
蓮蓬頭中的水對熱水管的水的影響（吸收熱量）應該小於室溫對熱水管的影響而且熱平衡的速度沒有那麼快
需考慮內部和管壁和外部水接觸的面積，請注意它只是可能千分之二或萬分之一的接觸， **不是混合** ，路徑又短，所以，認定是不會有影響！
晕，原来还有高级版。最后的推论是对的。我就加一个问题。如果喷到冷水管上呢？喷到混合管上呢 ？
实际流出的水的温度曲线如何？
结论还是一样的。
直觀：敏感度+速度的問題，就如同：其他條件不變下，(年輕人與老人的手指皮膚+瞬間捏熄蠟燭燈焰的速度)兩變因關係吧！
解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
雖然說 空氣導熱效果比較差
可是我洗澡時 蓮蓬頭 拉得遠一點 真的會比較不燙呀
跟蓮蓬頭出水處直接往皮膚碰差很多
所以還是要看 出水處 跟碰到皮膚 或者混合處之間的距離吧
沒辦法接受啦！還是太理想了，噴出的水流速不會和熱水管內的水流速相同啊
直接看結尾 *-不然會睡著-*
老師真的太認真了值得激賞，以一個數理程度極爛的人而言，我還是認真看完了哈哈哈，雖然都不太懂，但還是能理解一些！
所以換言之，以沖得到的管線長度以及時間而言，基本上要接近35是很難達成的事情吧？以大部分浴室都不會把熱水管外露的部分做的很長來看，哈哈！應該都是處在接近五十的狀況，以我粗淺的理解來看。
此外請教老師，是否還有水管材質的散熱與導熱能力的因素需要考量呢？好比塑膠管或金屬管的差異之類的。
你所說的那些因素的確是要代入，是放在小k那裡。
數學式的思考，與實驗室的思考，是大不相同的。先前的 "普通版" 其實是有待商榷的。而此次的 "高手版" ，可視為對前者的修正版。除非是在 "太空領域" ，否則，在現實的環境內，所謂的 "洗澡詭論" ，是不存在的。但就實驗室的思考而言，是可以成立的，唯一要在意的是，避免數學式的思考。
感謝佑來了 讓我再次享受到聽數學課睡著的學生日子.....已睡xd
其結果端視測量點為何處。如果在蓮蓬頭出口處，會得到略低於50度的結果，如果在澆在熱水管後流下來的地方測量，則會等於50度。
很詳細 很有趣
确实严谨，很满意
雖然解的很混直接把接觸時間跟熱傳係數面積那些通通包一塊當常數
不過結果跟我猜的一樣極限平衡35度 非極限會受傳導速率跟接觸時間影響
非極限會影響時間及平衡溫度~~雖然很混但是也是很有效率的作法。
虽然说这种方法可以做出35度的水温来，但是却不能拿来洗澡，35度的水还是要拿回去给80度降温，所以能量并没有损失呢。
同樣問題, 假設兩個單位的混水跟一個單位的熱水做熱平衡和熱傳導這個假設確實有點兒那個, 還有就是熱水管道也要達到熱平衡啊
其實這類問題最適合的解法是做FEM分析, 把所有物料特性跟大小都推進去跑模擬
超好，讲得好详细噢
感謝說明，影片解釋得非常清楚，C、u、K三個條件中，C最不重要
那麼有沒有辦法做個實驗證明確實能達到35度呢?
如果人為想作實驗的話，我覺得加大接觸面積跟延長接觸時間是比較容易作到的了，但難度還是不低。
史上最好的睡覺影片
這版本的解釋比較能接受。另外我想反問一個詭論(雖然看過那本書都知道的問題)。一個旋轉型的自動灑水器，一般噴水狀況下是順時針旋轉，那如果放到都是水的環境下，並且改用吸水的方式，會是順時針還是逆時針? (水去撞擊灑水器管壁，或著從白努力方程來考慮，將會有完全不一樣的答案，所以才很好奇)
其實撞擊力和白努力兩種效果是可以同時存在的，所以雖然效果抵觸，但結論會是力量大者獲勝。
如果是作用在 20C 的水管上呢? 應該會有不一樣的結果.
把這二種系統都獨自隔離起來, 相同的輸入, 會得到什麼相同的結果嗎?
熱水是持續加熱的狀態下 真的有那麼容易冷卻嗎 心理的一個疑問
可是撒出的水產生的水蒸氣對冷水也會傳導ㄟ，而且並不是所有的水都在同一時間同一位置做熱傳導。
影響變數真的要說還有很多啦
熱傳導還有輻射這一塊呢
用热力学接受不通的。。环境温度上升了。。所以散热会减少，最后水流温度一定是会上升的
一开始的环境温度是室温
后来变成了温水
老師真的很屌！
看了這個才知道平常變態變態的佑老師，認真起來有多厲害
結論的35度自相矛盾
可以想像電影中超能力者瞬間冰凍一座噴水池一樣，在水落地之前就直接結冰了。
這表示水流的速度根本跟不上熱傳導的速率，那既然如此，本片中的方程式就都寫錯了，
因為你的前提是，冷熱水混和後，繼續往蓮蓬頭流，不影響"原本"冷水管和熱水管裡面的水溫。
若能瞬間達成熱平衡，水管內的水將通通都是50度，再也不用計算了
認真給讚
這個好適合睡不著的時候看～
全部都有想過
就是t-C那邊真的楞了一下 對吼 ....... XD 我把一切想的太理想了
是不是忽略了80度的热水与混合后水的二次混合？
全部看完之後…完全不明白😂😂
其實我還是覺得直接用熱平衡方程會比較直觀
但用微分方程比較詳細一點
老師辛苦了
這一題沒那麼複雜.重要概念:不論蓮篷頭的水噴在熱水管或冷水管,最後落到下面澡盆的水溫度都是50度.狀況一: 蓮篷頭的水噴在熱水管,假設熱完全交換,熱水管的溫度會降到50度,與冷水混合後溫度會是35度 (50+20)/2=35,假設熱不完全交換,熱水管的溫度還是80度,與冷水混合後溫度會是50度 (80+20)/2=50.所以蓮篷頭出水溫度會介於35~50度之間.狀況二: 蓮篷頭的水噴在冷水管.假設熱完全交換,冷水管的溫度會升到50度,與熱水混合後溫度會是65度 (80+50)/2=65,假設熱不完全交換,冷水管的溫度還是20度,與熱水混合後溫度會是50度 (80+20)/2=50.所以蓮篷頭出水溫度會介於65~50之間.不要用那麼艱深的算式,打撃學習的興趣....
這是一場盛宴 不會打擾
有些人覺得很有趣啊
老师你好，请问每天时针分针秒针完全重合有多少次
为什么不考虑水没有接触到的管子的上面呢？
雖然看不懂可是感覺好有趣，雖然我已經放棄數學了orz
物理跟化學只要跟數學有關的已呈現放棄狀態…
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利害喔~~是這樣沒錯~~~的確要這樣，但是想說只影響階寬就沒多講，免得太複雜，想不到還是被眼尖的高手看出來了。
很多數學人被智障網友嘴砲，老師這部影片可以說是直接重擊了智障網友。
雖然他們永遠不會知道自己是智障
最大的額外因素是蒸氣
我真的很有興趣
可是…
我是文組的哈哈…很多概念都不懂
身為純文組，腦袋快燒掉，但是很爽
探讨c，也就是水管长度那里，1秒的黄线也应该是阶梯式的变化
是的，不論任時接觸時間，都必需是階梯式變化。
这个感觉用数理方程的方法来解更为方便一些。
之前就很喜歡老師上的物理課了
這部影片也一樣，雖然算式對我這個高三生有點畸形
不過在老師的講解下完全一目了然
Ray Scott 老師是高中老師還是大學教授啊
T(t)不等於80呀 忘記跟20那邊平衡
果然是用熱傳算才比較準ㄎㄎ
不過這是沒有考慮熱散失跟管壁厚度散失的狀況XD
嗯，雖然沒考慮，但應該準度應該夠高了~~
2ms 的s代表什么？
我想問問有關u：冲到水管的接觸時間
因為u越短就應該代表越多水冲過水龍頭，所以 u值不是越小越會低温嗎？
但是每次降溫的目標都是新的80度熱水，所以u越小會越來不及散熱。
感謝大大回覆了！我想起蒸餾器中的利氏冷凝器，是用水流冷卻蒸汽的 （當中也不斷加入水） 。當水流過的時間越短，就有長時間的大温差，冷卻得越好。
明明他們都是用水流冷卻，為什麼有這麼大的分别呢？
原來老師那麼注重洗澡
洗個澡都要想那麼多
老師可以想想穿內褲拍片的女粉絲減少率XD
你是不是忘記了最基本水的質量,還有latent heat
請問一下這是高中的課程嗎? (目前高一) .....