素数×整数3大解法の難問【今週の数オリ#10】
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- Опубліковано 24 вер 2023
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毎週火曜6:30は今週の数オリ（数学オリンピック）です！
国内や海外の数学オリンピックの問題をベースに、大学入試にもつながる思考のプロセスや考え方を一緒にアウトプットしましょう。
ルールとしては、必ずコメントで学んだ気づきや発見をアウトプットをしていきましょう！習慣にしたいね。
整数問題全パターン解説で学んだ３大解法は早速使えます。
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#今週の数オリ
#数学オリンピック
#passlabo
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](/img/n.gif)
めっちゃ面白い！！
自分は因数分解までは同じでしたが、
まずp=2のとき、代入してq=7
次にq-2≠0⇒q≠2⇒qは奇数より左辺はq-2(奇数)とq+1(偶数)の偶奇が一致しない、またp=2のときはもう検証したのでp≠2のとき⇒pは奇数を利用して、右辺もp^3(奇数)とp^2+1(偶数)と偶奇が一致しない。
よって
p^3=q-2(奇数同士)
,p^2+1=q+1(偶数同士)
の連立方程式を解きその解が素数でなかったため解はp=2,q=7のみとしてしまいました。
よく考えればpが素数⇒p^2+1が合成数じゃないとはならないですし、公約数のことは一切考慮してなかったので自分がしたのは穴だらけの解法でした。
これを高校生くらいの歳で完答できる方は尊敬します。
数ヶ月前の動画に長文失礼しました。いつも楽しく勉強させてもらってます。これからも応援しています!!
この問題解いててマジ楽しい
けど、疲れた頭で解くのは疲れる
パスラボ視聴の治安悪くなってる？？
控え目に表現して神
むずいけど、オモロイ😊
解けませんでした。
きっと答えはp=2,3だけなのでしょうね。pが5以上の素数のとき、mod6やmod4の考察などから、p=6m-1、q=12n+1の形の場合しかないことまで導きましたが、この先を絞り切れませんでした。
多項式のみによって構成される不定方程式で、1つでも解がある場合は、基本的にmodでは解けないと思った方が良いですよ。
このビデオは私達にとってとてもいいです😂
スパムのマネしているのいるけど、最悪の場合垢バンされちゃうよ。
これ名作だなあ(動画未視聴
mod6でやりました
mod6でどうやって絞るのか教えてください。
同上
@@user-qm4xb5uz5p 左辺の式間違ってません？+2ですよね？そして、この場合、mod6で0になる場合があり、右辺と一致します。
1:22
2:00
2:59🫨
4:00
4:23
時間はかかるけど2,3試してそれ以上は6の倍数の隣にあることを使ってごちゃごちゃしとけばなんやかんやでmod6使わずともなんとか解ける希ガス
まだ解けん❗困った。
鈴木先生の昔の動画見てみたら、オジサン当時は解けてたよ…。
@@MISOKUSO ご返信ありがとうございます。
あ、アッチで前に出てますかッ⁉️
なら、退化してるじゃないですかッ（笑）❗
前半は同じ
後半の場合分け(q-2とq+1が互いに素の時)
ここで、pは素数かつgcd(q-2,q+1)=1
より、q-2がp³の倍数かq+1がp³の倍数かに分かれる。
q+1がp³の倍数の時、自然数kを用いて、q+1=p³k
与式に代入すると、
p²+1=k(p³k-3)
k=(p²+1)/(p³k-3)
ここで、kは自然数で分母の方が増加量が明らか多い。つまり、右辺は単調減少であり、pが3以上のとき、1を超えないため不適。(kの値が増加すると、分子が不利になることから、p,kの値はかなり小さいと予測可能)
→p=2,k=1
q-2がp³の倍数の時も同様の議論で、適するp,kがないことがわかる。
本動画と大差ないですが、自分はこのようにときました。
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完璧すぎる
んー？何言ってんだ...？
捻くれすぎ