Deux (deux ?) minutes pour l'hôtel de Hilbert
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- Опубліковано 5 лют 2015
- Parce que, même si le problème est un peu plus connu, l'hôtel de Hilbert est infiniment cool, et l'argument de la diagonale de Cantor l'est strictement plus !
Choux rom & co : eljjdx.canalblog.com/
Musique : TAM / @tamdu44 - Наука та технологія
★☆☆☆☆
Pire hôtel où j'ai passé mon séjour.
Le patron nous demandait tout le temps de changer de chambre pour loger d'autres clients !
HONTEUX !
Aizxiuzh ouais j’ai due marcher de la chambre 3664 à la chambre 13424896 c’est un scandale (en plus les fruits ne sont pas bon quand on me les apporter il était pourris !)
En plus de ça, la femme de ménage est exploitée. C'est un calvaire pour elle.
@@cloudragone3491 rassure moi ils étaient de dimension 3-4 pas plus
Au dela de 7 y a tellement de peau que ça me dégoute
@@ulysse113 Et bah même pas figure toi. Ils sont arriver en dimensions 5, alors que j'avais demander des dimensions 3, c'est honteux
@@Tetra._0 De base l'infini n'a pas de fin, donc on ne peut pas dire que l'on ne s'est pas rendu à la dernière chambre d'un hôtel infini.
1:50 Gros footing pour certain client
Noukkis je plainds "l'infinitième" client qui va devoir se deplacer ... "infinie fois"
Jean Bonbeure linfibitieme client n'existe pas, c'est la toute la subtilité de l'infini
Oui enfin le client qui avait comme numéro de chambre le nombre de graham, va devoir marcher un moment. Et encore cela reste le début de l'hotel.@@cptn_n3m012
@@Bouroski1 oui ça je dis pas le contraire !
@@cptn_n3m012 Et aussi celui qui avait comme numéro g64^g64^g64^........^g64 et tout ça g64 fois au carré avec g64 le nombre de graham. J'ose même pas imaginer ce processus avec celui étant à la chambre g65 ou g(g64).....
On attend encore cette autre histoire ;)
Allons nous continuer ce débat sans nous occuper du vrai problème?
ou sont les piles de la télécommande!!!!! :p
Le patron de l’hôtel est blindé maintenant !
A l'infini alors !!!
Il est tjrs blindé sans jamais s'enrichir. Il a une infinité d'argent
N'empêche que le gérant il doit être pété de thunes...
Ou pas. L'entretien de l'hôtel, le salaire des femmes de ménage, etc. doit lui coûter une somme infinie d'argent.
@@danielmarero334 imahine dans ton compte en banque il y a marqué F.I
Sauf si le client de la chambre n lui donne n€
J'ai vue toute tes vidéo et franchement je m'en lasse pas, vous faîtes un travaille remarquable ! J'aurai aimé avoir un prof comme vous 😊
Je me souviens de cela, je l'avais lu étant gamine dans un Science et vie Junior ^^ Et là on se dit : Bon sang, mais c'est bien sûr !
+Entre mes... couvertures Sur l'Hôtel de Hilbert ? Je me souviens d'avoir vaguement compris , mais c'est quand même beaucoup plus clair avec El jj
@@tesseract2144 pareil
ah oui je me rapelle de ce hors série !
Enorme ! Merci science étonnante pour la découverte de cette chaine ! Ca me donne envie de refaire des maths, et notamment de vraiment étudier cette "théorie" !
En fait c'est Jawad le patron de l'hôtel de Hilbert... :o
même chez o>
J'adore ces vidéos. C'est exactement le genre de vidéos traitant des maths que je cherchais. Bravo!
Super comme d'habitude ! Je suis vraiment fan !
loupiotable Avec ce fantastique logiciel de dessin vectoriel qu'est... Geogebra !
Mes professeurs de mathématique sont fans de Geogebra.
1:40 Je suis pas sûr de moi, mais ton égalité en haut à droite, si on retire l'infini de N, on a 1=0. C'est pas un peu bizarre?
@@ht2897 Bonne chance pour retirer l'infini...
@@ht2897 Les opérations avec l'"infini" n'obéissent pas aux règles de calcul habituelles. Ce que veut vraiment dire cette égalité c'est que si vous avez un ensemble dénombrable (que vous pouvez mettre en correspondance un à un avec les entiers naturels, en bijection avec N) et que vous ajoutez un élément à cet ensemble, il reste dénombrable.
j'avais vu une autre vidéo où le problème de l'infinité de bus de taille infinie était traité avec les nombres premiers : passager du bus n à la place m va dans la chambre p^n où p est le m-ième nombre premier. je trouve que c'est plus compréhensible que votre formule car on comprend tout de suite pourquoi il ne peut y avoir qu'un client par chambre.
super boulot je suis en train de visionner toutes les vidéos de la chaîne.
Yes ! J'adore votre pédagogie ! Peut être aurait-on pu dire qu'on évoquer la diagonale de Cantor afin que les curieux puissent aller demander à la Wikibible de quoi il s'agit plus précisément mais bref ce n'est qu'un détail.
Je vous trouve personnellement tout à fait à la hauteur de grands UA-camr "culturel".
Comme quoi quand on est pédagogue ce job est facile et maintenant où est votre million de dollar ?
Je me suis plongé dans cette théorie pour un oral du bac, bah c’est si complexe 😂😂😂
Très détaillé et très bien expliquer
Mais personnellement j'aime bien ta chaîne car elle présente des problèmes méconnus et la c'est un problème très connu (je trouve)
Mais c'est mon avi , il peut aussi être bien d'apprendre les bases aux gens.
Mais j ai beaucoup aimé bien évidemment
Super vidéo . Deux minute optimisé ^^
Tiens, mon cerveau est en train de couler de mes oreilles... il doit avoir fondu.
Sinon super vidéo !
Incroyable le splash screen final
Perso, j'aurais logé tout le petit monde des infinis entre 0 et 1 dans une seule chambre sachant qu'ils auront beau faire, ils ne pourront jamais totalement l'occuper.
Et je pourrai dire que je suis le seul hôtel à loger une infinité de clients au prix d'un seul.
Ce qui fera alors de moi, mathématiquement, l'hôtelier le plus honnête possible.
Imbattable.
Et dire qu'on ne comprend toujours pas pourquoi l'équipe de France n'est pas descendu du bus en 2010, comme quoi, la connerie est infinie!
Salut, ça fait un bout de temps que cette vidéo est sortie et je ne sais pas si tu verras ce commentaire mais j'aimerais savoir comment tu as fait pour faire les dessins et les animations.
est ce par la diagonalisation que l'on passe de aleph1 à aleph2,puis3,4,5,etc. ?je veux dire que l'on construit aleph2,puis aleph3,4,5etc. ?
Vous connaissez le logiciel Géotortue ? Je pense que cela pourait vous intéresser.
Pourquoi ne pas parler d'Achille et la Tortue dans une prochaine vidéo ?
j'adore la pseudo phrase de Hortefeux a 1:27
bonne continuation
heuu... si c'est un hotel particulier du genre fractale oui on peut loger tout les clients de 0 à 1 dans des chambres différentes
Comme d'habitude, une bonne vidéo. On te l'a peut être déjà demandé, mais avec quel logiciel tu réalise tes images ?
ah oe en 8 ans il t'as pas répondu miskin
@@HAMZABENHAJLARBI-cb9ck gros miskin
paint
Le omega-ième abonné. Excellent ! C'est moi ?
Fantastique !
Mais comment tu connais Beaumont-Pied-De-Boeuf???
Salut ! Tes vidéos sont excellentes ! J'ai néanmoins un problème avec un passage de celle-ci. Sur la démonstration de l'impossibilité d'une correspondance un-un entre l'ensemble des entiers naturels et l’ensemble des réels. J'ai appris cette démonstration de façon assez sommaire, et j'ai l'impression que ce que tu dis ne colle pas avec ce que je sais (d'où mon propos, qui a l'air d'une objection, mais est en fait une question : est-ce que ce que tu dis est la même chose que ce que je dis ?). Tu dis "puisque si sa chambre est la chambre numéro n, alors la n-ième décimale posera forcément problème". J'ai l'impression que ce que tu dis veut dire "on ne saurait pas quel chiffre il aurait à la n-ième décimale, on n'aurait plus de technique pour construire notre nombre". Mais ça n'est pas problématique. ça ne montre pas que ce nombre ne peut pas être construit. Si on part de ton exemple, et qu'on considère seulement les 4 premières correspondances que tu donnes (0, 1, 2 et 3).Et disons que le nombre que l'on essaie de construire, "n", est le 4ème sur la liste. Alors n = 0,4581. Et voilà, c'est bon, on a fait correspondre le nombre "n" à 4. Ce n'est pas la n-ième décimale qui pose problème. Ce n'est pas une question de problème dans la construction d'un nombre. Toute la démonstration de Cantor repose sur le fait que l'on peut bel et bien construire ce nombre.
Ce que montre Cantor, c'est que quelle que soit la liste (de correspondance de nombre entre les réels et les naturels) que tu prends, le nombre "n" ne s'y trouvera pas. "n" est un réel qui existe bel et bien, mais dont on peut donner une formule telle qu'il ne sera jamais mis en bijection avec les entiers naturels. Si on prend, comme tu l'expliques très bien, une décimale à chaque nombre réel d'une liste, et qu'on change cette décimale en ajoutant "1", alors le nombre qu'on obtient à la fin est différent de tous les nombres de la liste, que celle-ci soit finie (dans ce cas, "n" est un nombre décimal) ou infinie (dans ce cas, n est un nombre réel, c'est-à-dire un nombre avec une infinité de chiffres après la virgule, sans qu'il n'y ait de régularité dans leur apparition). Or, cette méthode permet bien de donner un nombre réel existant. Mais ce nombre réel ne sera jamais, par sa définition même, dans la liste de correspondance.
Laisse tomber. Le mec qui fait la vidéo n est pas matheux, ça se voit....il débite ce qu il a lu sur Wikipedia, en faisant de jolis montages...
Bah si c’est bien la n-ieme décimale qui posera problème ! Car le nombre 0,34809…. au la même n-ieme décimal que le n-ieme nombre de la listes ! Sauf que quand on ajoute 1 à chacune de décimales crée ( en passant de 9 à 0) le n-ieme nombre ne sera plus le même ! Alors le nombre qu’on a créé pourrait avoir exactement toutes les mêmes décimal que le n-ieme nombre de la liste ( par un grand hasard) sauf la n-ieme décimale qui serait différent du n-ieme nombre de la liste du fait du procédé précédent ! Je sais pas si ce fut clair ! Mais c’est bel et bien la n-ieme décimale qui posera problème car c’est la seule dont on sera sur qui sera différente de la n-ieme décimale du n-ieme nombre ! J’espère avoir été clair et puis bon répondre 6 ans après je sais pas si tu verras ce commentaire !
Le dernier décalage de l'histoire que l'on m'avait appris c'était par décomposition par nombre entier: on prend le premier bus on lui associe le premier nombre entier 2, le client de la place n du bus ira dans 2**(n+1) ème chambre, puis le second bus on lui associe le nombre premier suivant, et chacun est logé selon la puissance. Par décomposition en nombre entier la distribution est injective mais il est vrai qu'elle n'est pas surjective ( chambre 6 innocuppée par exemple).
à 2'26 : est-on OK pour dire que si l'hôtel est déjà complet à l'arrivée de l'infinité de bus contenant chacun une infinité de passagers, ça fonctionne quand même ? (il suffit juste de refaire la 1ere bijection effectuée... non ?). / dernière partie : pourquoi ne pas faire une infinité de travaux ? Il suffit que l'hotel s'élève à l'infini, avec une infinité d'étages. Qu'au-dessus de l'étage 1 il y ait l'étage 1,1 puis 1,2 etc.
Bonsoir
Comment peut-on démontrer que l'infini de R vaut (2^aleph0), c'est à dire comment montrer que l'ensemble des parties de N est en bijection avec l'ensemble R ?
On va passer par des intermédiaires.
On a une bijection f entre P(N) et {0;1}^N définie par
f(A) = (u_n) tel que pour tout n€N, u_n = 0 si n n'est pas dans A, et 1 si n est dans A
Puis ensuite, on a une bijection g entre {0;1}^N et [0;1] avec l'écriture en base 2 des réels.
Puis on sait qu'il y a une bijection entre [0;1] et R.
Je ne sais pas si c'est clair.
très intéressant :D
Je revisionne votre vidéo le jour de l'infirmation de l'hypothèse du continu
D'ou viens le nom de la chaîne ?
on avait dit deux minutes ! Ma classe se sent lésée ! BTW excellente explication ! Merci
Est ou existe
Les deux formes des verbes et sont souvent considérées comme synonymes.
Pourtant, le fait d'être et le fait d'exister ("se manifester en dehors de soi") ne peuvent s'appliquer aux mêmes types d'entités.
Disons, par convention, que :
J’ai délibérément cherché cette vidéo sur un problème dont je ne comprends pas l’énoncé. L’hôtel est infini, mis dès le début il est bien dit qu’il est rempli. Donc à quoi bon faire toutes ces démonstrations?
Quel est le problème à ce qu'il soit infini et rempli ?
J'ai une question totalement bete, mais qui m’empêche de dormir :c
Entre 0 et 1, il y a une infinité de nombre (si j'ai bien suivi). Entre 1 et 2 aussi. Alors entre 0 et 2, il y a plus de nombre qu'entre 0 et 1 ?
Eh bien... Non, il y en a rigoureusement autant ! En fait, par la fonction x -> 2x, on peut faire correspondre à chaque nombre de l'intervalle [0;1] un nombre de l'intervalle [0;2] (son double). A chaque nombre de [0;1] correspond un nombre de [0;2], c'est donc qu'il y a bien autant de nombre dans chaque intervalle.
Pfiou, j'ai pas compris grand chose mais je vais pouvoir dormir plus tôt, merci !
Du coup si j'ai bien compris, il est impossible d'exprimer le nombre 0,458072... (le contre-exemple) en enlevant la virgule (en gros utiliser toutes les décimales de ce nombre afin de créér un nombre entier ) ?
+Troll Attitude je sais pas
+Troll Attitude Non parce que si tu fais, tu obtient un nombre infini de chiffres et aucun entier n'a un nombre inifini de chiffres (les entiers ont un nombre de chiffres aussi grand que l'on veut, mais jamais infini)
bonjour,
J'ai un souci avec la diagonale... Si on utilise le même raisonnement avec l'écriture décimale des rationnels, on démontre que cardQ>cardN...où est l'erreur????
Si mes souvenirs de fac sont bons, un réel est la limite d'une suite de Cauchi, et cela me semble étrange de faire un raisonnement sans utiliser la def précise des objets étudiés. j'ai un vague souvenir d'une démo que cardR>cardN qui avait duré une bonne(?) heure
En fait, le problème dans votre raisonnement vient du fait que le nombre que vous obtenez qui ne se trouve alors pas dans la liste (grâce à l'argument de la diagonale) ne sera tout simplement pas un rationnel. En effet, les nombres irrationnels ont aussi un développement décimal, et le nombre que vous produisez n'a pas de raison d'être rationnel.
Et pour répondre à votre deuxième question, la définition par les suites de Cauchy est un moyen de définir R, mais n'est pas particulièrement utile pour les manipuler. C'est pourquoi on préfère souvent (mais pas toujours) utiliser leur écriture décimale. Quand on manipule un objet en mathématiques, il n'est pas particulièrement nécessaire de revenir systématiquement à sa définition. Si nous connaissons une propriété équivalente, il est tout à fait possible de l'utiliser, si celle-ci se révèle plus utile.
Barbubabytoman
Compris...merci...et finalement, le nombre construit avec les chiffres de la diagonale correspond au critère de Cauchi!!!! Donc c'est un réel, et pas dieu sait quel monstre
J'adore le "quand y en a un ça va, c'est quand il y en a une infinité qu'il y a des problèmes"
Oui c'est très intéressant comme résonnement. La démonstration est très ludique. Mais concrètement il démontre une chose fondamentale : le paradoxe entre la conception et la perception même du concept de l'infini en mathématique et de sa réalité physique. L' "infini de n + 1 = infini de n" est vrai et faux en même temps puisque le concept même de l'infini suppose que l'on ne peut lui ajouter ni lui retirer. Si l'on suppose ajouter ou retirer à l'infini, c'est qu'on le suppose fini. C'est tout le mystère de ce paradoxe de l'infini puisque physiquement on peut lui ajouter ou lui retirer...
Ce paradoxe démontre les limites du raisonnement et de la sémantique des valeurs numériques.
"puisque le concept même de l'infini suppose que l'on ne peut lui ajouter ni lui retirer."
Pourquoi cela ?
@@DanielBWilliams tu peux lui retirer mais tu ne poura jamais ariver a un nombre réel et pour lui ajouter c plus compliquer car l inf c la limite des chifres réel on peux pas le franchire (sa si en reste sur la logic des nombre réel ) car inf+1 ne fait pas partie de l'ensemble des réel (je suis sur a 99%)
bonsoir! je viens de voir le même sujet sur science étonnante qui conseille votre vidéo (ce qui est fort sympa) et j'ai donc malheureusement toujours la même question : si l 'hôtel est complet comment fait le premier client pour se déplacer puisque le deuxième ne peut pas se déplacer puisque le troisième client ne peut pas se déplacer etc........???? merci! et à bientôt!
Voyons plutôt les choses autrement :
- L'hotel est plein.
- On fait sortir chaque client de l'hotel. Il est maintenant vide.
- On fait rentrer chaque client dans la chambre d'à côté. Il est maintenant plein, sauf la chambre n°1.
bonsoir!et merci pour la réponse ! l'analogie avec l'hôtel est quand même bizarre: ce n'est pas le fait de sortir tous les clients qui crée une place supplémentaire, à l'infini il devrait manquer une place pour un malheureux dernier client,mais dernier pour l'infini c'est pas de suite!!! c'est sans doute pour ça que ça marche! "le dénombrement" ou "bijection décalée" (je ne sais pas si je suis clair) c'est mieux quand même!! non? à bientôt!
C'est évidemment mieux (car plus rigoureux) de dire que "l'application x->x+1 est une bijection de N dans N" que "on peut libérer une place dans l'hotel pourtant plein de Hilbert". La deuxième formulation est simplement une façon de "sentir" ce que signifie mathématiquement l'infini, ce que ne permettent pas les équations pour quelqu'un qui n'y est pas habitué.
bonsoir! ah! ouais! comme ça je comprends ! si ça aide ; moi ça avait tendance à me bloquer! à bientôt et merci pour vos réponses!
Pourquoi est-ce que le nombre infini de décimales pose problème pour les loger dans l'hôtel alors qu'on peut effectuer le même procédé avec le nombre de chiffres d'un entier ?
Non vous ne pourrez pas effectuer le même procédé avec les chiffres d'un entier, tout simplement car l'objet que vous formerez alors avec l'argument diagonal aura une infinité de chiffres (à gauche de la virgule j'entends), et un tel objet n'est pas un nombre entier.
Lorsque le deplacement est a comence depuis la chambre 0 , il peut s'effectuer a l'infini puisque chaque client va esperer trouver une chambre au numero n+1 tout au long de la nuit, plus la clientele est nombreuse , plus la permutation va durer.
merci!!
J'adore
Et baaaah ... J'ai pas compris la partie la plus importante ^^' Pourquoi le nombre qu'on fabrique (0.4581072..) ne peut pas se trouver dans la liste des chambres ?
Sinon comme d'habitude c'est structuré et on ne s'y perds pas, on voit où va l'épisode et ce qu'on démontre. Bon épisode !
C'est vrai que je n'ai pas bien détaillé dans la vidéo.
En fait, le nombre 0.4581072..., par construction, a sa première décimale différente de celle 1er nombre de la liste, sa deuxième décimale différente de celle du deuxième nombre de la liste, etc : sa n-ième décimale est différente de celle du n-ième nombre.
Du coup, si 0.4581072... était (par exemple) à la 42e place, alors sa 42é décimale devrait être différente de sa 42e décimale. Et ça, c'est impossible !
Au final, quel que soit la façon dont on liste les nombres, on pourra toujours fabriquer un contre-exemple comme ça.
J'y vois un peu plus clair mais qu'est ce qui nous empêche de ne pas décaller tout le monde dans l'hotel (n -> n+1) et de mettre ce nombre en premier et ainsi de suite pour ceux que l'on construira ! J'ai un bug dans mon raisonnement qui me pousse à penser que c'est en voulant attribuer une chambre spécifique à des invités spécifiques que l'on n'y arrive pas...
Rien ne nous empêche de faire cela.
Ce que l'on dit juste, c'est que si on imagine que l'on a déjà casé tous les gens numérotés sur le segment [0;1] dans l'hôtel, alors il y a un problème, car quelqu'un n'est pas casé dans l'hôtel.
C'est contradictoire: on part du principe que tout le monde est rangé, et on arrive à la conclusion qu'une personne n'est pas rangée.
@@theocapazza4063 parce qu'on passerait un temps infini à faire ça et le but c'est de loger les clients pour la nuit 🙃 ok c'est con comme réponse mais il doit y avoir un axiome du choix dans ta proposition 😂
Mais du coup comment les chambres sont toutes occupées ( 0:39 ) s’il y a une infinité de chambres ?
C'est une expérience pensée: l'expérience commence avec l'hôtel rempli. Dans ce cas là, autant s'étonner aussi qu'il y a un lit dans chaque chambre alors que l'hôtel est infini, de même pour le papier peint, les fenêtres, etc.
1:53 3:30 qqn peux penser a celui qui est a la chambre TREE(G) ?
Moi je n'ai pas compris le problème qui pose heberger le cilent n-ième du [0,1] formé avec la transformaton du nombre formé par les chiffres decimales i-èmes des clients i=1,...,n.
Pouvez-vous expliquer ce que vous proposez ? Donnez un exemple.
Je ne comprends pas un truc : s'il y a une infinité de clients et que toute les chambres sont occupés, alors la chambre n+1 est aussi occupée et les clients ne peuvent pas se déplacer pour libérer une chambre ?
Sébastien E. Toi tu n'as rien compris... et ça me rassure parce que moi aussi
Sébastien E. Sauf que celui qui est dans la chambre n+1 va libérer la chambre en allant dans la chambre n+2, et ainsi de suite... Quel que soit la chambre que tu regarde, elle va être libérée par son occupant qui va aller dans la chambre suivante, et celui de la chambre précédente va pouvoir y aller. Et il n'y aura pas de "dernière chambre", puisqu'il y en a une infinité.
C'est ça qui est à la fois incroyable et incompréhensible avec l'infini : il n'y a pas de fin, donc aucun endroit où un client se retrouve sans chambre.
niamor314 Je ne suis pas d'accord.
Il y a une infinité de chambre et *chaque chambre est occupée* donc n+1 ou n+ce_que_tu_veux est aussi occupée dans ce cas là
Sébastien E. Oui, toutes les chambres sont occupées, on est d'accord. Mais quand le directeur d'hôtel demande à tous les clients d'aller dans la chambre suivante, il n'y aura pas de problème, puisque la chambre où chaque personne atterrit vient d'être laissée libre par la personne qui vient de partir pour la chambre suivante.
En fait j'ai du mal à voir ce que tu ne comprends pas.
"Si sa chambre porte le numéro _n_, alors la _n_ e décimale posera problème"
Cela pose encore plus de problème pour le client de la chambre 0 qui n'a toujours pas trouvé la 0e décimale de son siège. ^^
Mais j'adore cette vidéo quand même. ^^
Ca correspond à la partie entière
Cyril Pujol Qui vaut 0 pour chaque nombre car on est dans [ 0 , 1 [
Effectivement, j'ai implicitement changé de convention entre deux phrases, ce qui donne un résultat pas vraiment rigoureux (ou faux, mais c'est une question de point de vue ;) )
Ou la réponse C : "C'est pour voir si vous suiviez". ;-)
Il fait du fric le gérant de l'hôtel 😂
Merci
Juste je comprends pas pr les nombres réels
Tu dis qu’il y aura tjr un client qui n’aura pas de chambre mais les autres clients n’ont qu’à se décaler non ( comme au début)
Sauf que même s'ils se décalent, il y a toujours quelqu'un à l'extérieur. En gros, on demande à ce que l'on puisse faire un décalage de tous les gens déjà présents dans l'hôtel pour que ça laisse des chambres de libres pour les nouveaux arrivants.
Mais là, peu importe comment on s'y prend, il n'y aura jamais assez de chambres. Peu importe comment on décale.
On peut voir les choses autrement : on suppose par l'absurde qu'il est possible de loger tout le monde, et on montre que malgré ça, il y a quelqu'un qui n'est pas logé. C'est une contradiction.
Les anciennes vidéos ,sur ce sujet ont disparue de you tube .Bon certains ,les ont gardé .
Finalement, le problème est de savoir si tel ou tel ensemble est dénombrable ?
Effectivement, c'est ça. Les premiers ensembles sont en bijection avec N, R ne l'est pas grâce à l'argument de la diagonale de cantor
J’ai vu ça aujourd’hui dans mon cours de dénombrement de MP eheh
C’est passionnant tout ça
Quel année ?
@@You_Bey comment ça quelle année ?
MP c’est 2ème année de Prépa
@@killihanma3146 Ah d’accord, je ne savais pas !
Bonjour, je sais que ça n'a aucun sens de faire ça puisqu'on ne se connait pas, mais j'espère que tout s'est bien passé et que tu es épanouis dans tes études.
Bon courage pour la suite.
J'ai de la peine a comprendre (bon en même temps je suis pas une bête en maths). L'infini a la base c'est l'infini ? On a autant de chambre que l'on veut non ? Je comprend bien les premières explication mais je bloque bien sure a l’explication sur les nombres réel. Même si je crois voir de quoi tu parle j'ai l'impression que l'on pourrait loger tout le monde simplement que cela prendrait une infinité de temps. Je vois qu'il y a 2 sortes d'inifni mais théoriquement il y en a pas un plus long que l'autre vu qu'il se finissent pas. Je vois juste cet infini des nombres réel plus "dense". Bref en tout cas c'est cool de voir que beaucoup de scientifiques on pensé a des choses quasi impensable (surtout pour moi). J'aime beaucoup ta chaine même si je viens de la découvrir. Bonne continuation :)
Essaie de voir l'infini de N (l'infini classique) comme un nombre fini très très grand (bon, l'hôtel ne construit pas plus de chambres, donc va falloir soit une ouverture d'esprit, soit de la connaissance mathématique poussée ^^') Dans ce cas là tu peux "numéroter" les chambres, qui auront toutes un numéro avec un nombre fini de chiffres. Or, 1/3 ou encore pi-3, qui ont un nombre infini de décimales, n'auront pas de chambres (si on met 0,1 à la chambre 1; 0,11 dans la chambre 11 etc) et pourtant ils sont venus avec le bus des réels :)
Euhhhhh Rien pigé à l'hypothèse du continu.
Si je regarde sur Wikipedia, je comprendrai encore moins (ils sont grave côté vulgarisation :D )
Tu fais une vidéo où je passe mon bac ?
Merci pour ton superbe travail. C'est un réel plaisir.
Arghhh regardé sur Wikipédia. En fait, la "démonstration" fait intervenir Goëdel. Ok, j'atteinds mon niveau (profond) d'incompétence.
Bref, ponds nous vite une vidéo sur le sujet ;)
Oui l'hypothèse du continu est incroyablement compliquée hein, il n'a pas prétendu la résoudre dans cette vidéo, il en donne simplement la solution. Elle faisait partie des problèmes de Hilbert c'est vraiment une question mathématique difficile. Cantor a longtemps cherché à trouver des exemples d'ensembles qui ont un cardinal entre celui des nombres entiers et celui des nombres réels, il s'est par exemple intéressé à ce que l'on appelle "l'ensemble triadique de Cantor" (tu peux chercher sur internet c'est rigolo, je ne sais pas si on trouve des vulgarisations bien expliquées mais cet ensemble a des propriétés étonnantes). Mais finalement cet ensemble bizarre avait aussi le cardinal des nombres réels, et à force de chercher et de ne pas trouver il en a eu marre, et il a proposé son hypothèse du continu.
Si Cantor lui-même n'était pas capable de répondre à cette question ne t'attend pas à pouvoir y répondre facilement !
Bonjour : dans l'hypothèse de base, vous dites que l'hôtel est plein, s'il est plein,, il n'y a plus de chambres disponibles donc on ne peut pas pousser n vers n+1 ni n+1 vers n+2 etc, donc le ciient de la chambre zéro ne peut pas pousser son voisin..... en fait ,, quelque soit n, au début, la chambre n est occupée... donc pas de place !
"donc on ne peut pas pousser n vers n+1 ni n+1 vers n+2 etc"
Pourquoi ne pourrait-on pas ?
Voilà comment cela se passe:
1) Le gérant de l'hôtel demande à chacun de sortir de sa chambre, avec un micro magique qui envoie l'information dans toutes les chambres en même temps.
2) Tout le monde sort de sa chambre en même temps. A ce moment là, il n'y a plus personne dans aucun chambre, tout le monde est devant la porte de sa chambre.
3) Tout le monde se décale sur la chambre de droite.
4) Tout le monde rentre dans sa nouvelle chambre.
5) La chambre tout au début est donc libre.
@@DanielBWilliams Votre image est très bonne, mais c'est le texte du début qui pose un problème : dans l'hôtel aleph0, vers les 29 ième seconde il est dit "chaque chambre est occupée", c'est surtout ça que je voulais dire, car on ne peut pas occuper tout l'infini (enfin, je crois), mais je n'ai pas trouvé de meilleur vocabulaire (peut être en disant," chaque fois que vous choisissez un numéro de chambre il y a quelqu'un dedans", mais bon ça embrouille peut être encore plus. Merci pour votre réponse, effectivement,on sonne l'alerte incendie tout le monde sort, ensuite tous les autres bus arrivent et se mêlent au troupeau, on trouvrera de la place pour tout le monde !
Il me semble que dans cette représentation, chaque client va dans la chambre n+2 et non 2n...
Euh ben non...
3:18 et une fois que tout le monde est logé, peut-on leur demander de se regrouper par bus?
Oui
Je comprends pas au tout début, si toute les chambre sont pleines et que l'on dit à chacun de prendre la chambre n+1 pour laisser la chambre 0 libre alors il y aura toujours un client dehors pour changer de chambre car l'hotel est plein.
Si on fait entrer un client et que l'on en fait sortir un alors on a pas pu ajouter de clients dans l’hôtel.
Etape 1: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de sortir en même temps devant la porte de leur chambre.
Etape 2: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de se déplacer devant la porte de la chambre de droite.
Etape 3: on demande à tous les clients (sauf le nouveau) de rentrer dans chambre devant laquelle ils sont
Et voilà, tout le monde est dans une chambre, et la toute première est libre.
L'hôtel de Hilbert est complet, tout comme son espace... XD
Belle expérience de pensée. Pourtant, pardon, y a t-il un médiateur de la consommation dans cet hôtel ? C'est abusé quand même de demander plusieurs fois dans la même soirée de changer de chambre au nom de l'infini. Le gérant pourrait prendre les choses par l'autre bout et il ne dérangerait personne. Par ailleurs, dans le cas de l'impossibilité, je ne suis pas sûr qu'il y ait assez de clients pour remplir le nombre de sièges dans le bus et faire le compte des nouvelles chambres d'un bout ou de l'autre de l'hôtel.
Pour aborder ce problème de l'hôtel, il faut faire intervenir +sieurs infinités : celles du nombre de sièges dans le bus qui est préalable à la problématique de l'hôtel. Avant le gérant de l'hôtel, c'est le constructeur du bus qui a rencontré le problème. Par ailleurs, un autre problème est en amont, celui des naissances d'humains... Le problème est fragile dans l'exposé logique de la problématique, il me semble...
Je me permet de signaler un léger manque dans la construction du contre exemple, en effet l'écriture décimale n'étant pas unique (exemple 0.99999999... = 1) il faut prendre un peu plus de précautions avant d'affirmer que le nombre ainsi construit n'est pas déjà dans la liste.
ai je gagné mon concert de Grégoire ?
J'ai bien aimé ta vidéo par contre j'ai des questions (je note A l'infini):
Il y a une infinité de nombres entiers.Et entre 1 et 2 il y a 10^A nombres:
10^A=10*10*10...*10 = 10 + 90 + 900 + 9000... Et la somme d'une infinité de nombres positifs ne vaut pas A? Ensuite quand tu as dit que A*A = A; Je sais que 0*A = x; x n'importe quel nombre entre -A et A; 0 excepté mais si A*A = A alors 0*A =x =0*A*A = x*A or x*A vaut l'infini, ça voudrait dire que 5 = A...
Si on considère qu'il y a A personnage entassés alors chacun d'entre eux peut trouver une place: A*longueur d'une chambre = A; la longueur de l'hôtel est infinie mais A*épaisseur d'un personnage(dans le cas de l'entassement) = x = 1; c'est cohérent on peut faire entrer une infinité de bonhommes s'ils mesurent 0cm si ils mesurent plus alors il te faut un hôtel infiniment grand.
Thibaut Lescure En espérant que tu me répondra :)
alors autant les autres vidéo j'ai compris , autant celle la j'ai pris pipé ! ! même en la regardant 3 fois .
Et si le gérant de l'hôtel renumérote les chambres en utilisant les nombres réels de 0 à 1 ?
Il case tout le monde, non ?
+Quentin CONSTANT non
+akanegally
Mais du coup ? Pourquoi ?
+Quentin CONSTANT ch'pas j'ai rien compris
+Quentin CONSTANT Ben tu ne fais que deplacer le problème. Quelle méthode tu utiliserais pour t'assurer que tous les nombres réels sont présents ?
+Quentin CONSTANT En effet, le problème reste le même : supposons que tu renumérotes les les chambres à l'aide de nombres réels (entre 0 et 1). Si maintenant tu choisis un nombre réel dont sa première décimale (dans son "écriture" en nombre décimaux est différente de la 1ere décimale du numéro de la 1ere chambre, dont sa deuxieme décimale est différente de la 2eme décimale de la 2eme chambre et ainsi de suite, tu te rends compte que ce nombre réel ne correspond a aucun nouveau numéro de chambre ! C'est pourquoi tu ne peux pas renuméroter les chambres de façon a ce que tous les nombres réels de 0 à 1 soient le numéro d'une chambre. C'est exactement la démonstration de Cantor, nommée "Diagonale de Cantor".
0:31 si cet hôtel possède un nombre infini de chambre, pourquoi est-il complet ?
Pourquoi ne le serait-il pas ?
La notion mathématique d'ordinalité s'applique encore aux ensembles infinis, quand la notion de cardinalité ne s'y applique plus.
L'hôtel infini de Hilbert illustre une propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématique.
Contrairement à ce qui se passe pour les ensembles finis, une partie stricte d'un ensemble infini peut avoir autant d'éléments que l'ensemble.
Dans l'hôtel de Hilbert, en changeant l'ordre des occupants de l'hôtel, il est toujours possible de trouver une chambre à de nouveaux arrivants.
Mais, du fait de ces changements de chambre, on dort mal dans l'hôtel de Hilbert.
Après l'infinité de bus contenant chacun une infinité de clients, je m'attendais à ce qu'il sorte une infinité de portes avions contenant chacun une infinité de bus contenant chacun une infinité de clients (ça fait mal à la tête rien que d'imaginer tout ça)
Qu'en est-il entre l'infini des réels entre [0;1] et l'infini des réels entre [0;2] ?
Y en a-t-il un qui est plus grand que l'autre ?
+Kormarg Non, si tu fais correspondre à chaque nombre de [0,1] le double de celui-ci, tu es d'accord pour dire qu'a chaque réel x de [0,2] correspond un unique réel de [0,1] (x/2). Du coup puisque chaque élément de [0,2] peut être associé de manière unique à chaque élément de [0,1], ces deux ensemble ont le même nombre d'element.
Ok j'ai compris merci
Une question plus intéressante est: Y a t'il plus de points dans le carré [0;1[x[0;1[ que dans le segment [0; 1[ ? Et la réponse, c'est qu'il y en a autant ! Et c'est Cantor qui l'avait trouvé aussi ! Et la bijection consiste à prendre les écritures décimales des coordonnées du point de [0; 1[² et à prendre alternativement chacun des chiffres pour reformer un nombre réel unique.
Ex: avec (0,12345 ; 0,76543) ca donnerait 0,1726354453
Comment fait le client de la chambre N pour aller en chambre N+1 puisque toutes les chambres sont occupés ?
Celui de la chambre N+1 s'est déplacé à la chambre N+2.
Mais la chambre N+2 est occupée aussi, et la chambre n+3 aussi... Si toutes les chambres (jusqu'a l'infini) sont occupées, ça sert a quoi de déplacer les clients vers des chambres occupées ?
Justement, on demande à tout le monde de sortir en même temps, puis de se déplacer en même temps. Comme ça, chaque chambre est libre à ce moment là.
Oui ça je comprend, mais on dit dans le probleme que toutes les chambres sont occupées, donc c'est pas possible de trouver une place supplémentaire meme en sortant tlmonde des chambres occupées ou alors l'hotelier a menti et toutes les chambres ne sont pas occupées. L'infini comme il est décrit n'est pas une valeur fixe, car il permet de changer la valeur max de l'infini. si l'infini valait 10 et que les 10 chambres était occupées il n'y aurait pas de 11eme chambre. Dire que toutes les chambre sont occupées entrainent la confusion puisque toutes les chambres ne sont pas vraiment occupées. il y a toujours une nouvelle chambre dont on ignorait l'existence qui est construite a chaque fois que l'hotelier dit que toutes les chambres sont occupées.
Pourquoi est ce que ça modifie la valeur de l'infini de dire a tout le monde de sortir de sa chambre ?
Toutes les chambres sont belles et bien occupées.
Pourquoi dites-vous "c'est pas possible de trouver une place supplémentaire même en sortant tout le monde" ? Qu'est-ce qui vous permet de dire ça ?
Je retiens surtout que le gérant de l'hotel se fait une infinité de fric !
La diagonale de Cantor :)
C'est marrant car quand au collège on a appris les grands ensembles de nombres (N, Q, R etc) j'ai dit au prof que du coup R est plus grand que N et il m'a limite pris pour un con en mode "non l'infini c'est l'infini" 😂
Ah c'est dommage...
Sinon, tu peux juste envoyer la personne du bus x place y à la chambre (x+y)²+y !
On ne sait pas loger tout le monde ? No soucy, on demande à Jawad de dépanner
Soit la suite u(n)=1+2^2+2^4+2^6+!;;;;;;;;;jusqu'à l infini la première observation u(n) tend vers l infini mais par le calcul u(n)=-1/3 quel est l explication est ce l infini est borné est ce il y a le dialecte l infini moin l infini plus soit l intervalle [0;1] cette intervalle possède l infini des nombre 1/X il y a un question d obscurité de ce contexte
Est-ce qu'on pourrait pas mettre les réels 0; 0,1; 0,2; 0;3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1 dans les chambres de 0 à 10, puis mettre tous les réels avec une partie décimale de deux chiffres dans les chambres 11 à 91 (j'ai dit 91 comme première intuition hein) etc? Ainsi chaque réel aurait une chambre, il faut juste une infinité de chambres!
+Rom Frta Avec ça, tu loges tous les clients correspondants à un nombre décimal (avec un nombre fini de chiffres après la virgule), mais les clients 1/3, π et √2 n’auront pas de chambre.
+Craki Dans la suite des naturels on peut avoir 222... ou 333... ou tout un tas de nombres avec une infinité de décimales, mais ils sont quand même logés!
+Craki Je ne remets pas en cause le fait que ces deux infinies ne soient pas égales (je ne me permettrais pas, d'autant plus que j'en suis pratiquement convaincu).
+Rom Frta Comme l'as dit Craki, la répartition que tu proposes ne permettra de loger que les nombres dont le développement décimal possède un nombre fini de chiffres. Le nombre 0.3 sera loé dans la chambre n°3, le nombre 0.33 dans la chambre n°33, et ainsi de suite. Sauf que pour loger le nombre 1/3 = 0.333 (avec une infinité de '3'), il faudrait qu'il existe une chambre 333... (avec un nombre infini de '3'). mais cette chambre n'existe pas, car les numéros portés par les chambres portent un nombre qui ne possède qu'un nombre fini de chiffres.
+El Jj Je commence à comprendre, mais est-ce que vu que le nombre de chambres est infini on ne peut pas parler de numéro avec un nombre de décimales infini?
comme quoi vaut mieux être à l'avant du bus .... :)
Bonjour, puisque N est infini pourquoi ne peut on pas faire la bijection suivante a tout nombre décimal 0,xyz.... on attribut la chambre xyz.... puisque N est infini cette chambre existe forcement quelque part dans l’infini .... exemple : 0,132148 est dans la chambre 132148 ...
1/3 = 0,333... est dans quelle chambre ?
Barbubabytoman dans la chambre 333333333333333333333......
@@issatams535 Malheureusement, un tel nombre entier n'existe pas. Un nombre entier n'a qu'un nombre fini de chiffres, et là vous en proposez un avec une infinité.
Vu autrement, quel est le dernier chiffre de votre nombre ?
Barbubabytoman au même titre qu’un nombre décimal quel est le dernier chiffre de 1/3 ? l’infini est infini si nous arrivons a considérer une infini vers la droite nous pouvons considérer une infini vers la gauche un nombre décimal n’est ni plus ni moins qu’un entier avec un séparateur au même titre que l’on séparer les milliers les millions par une apostrophe on sépare les décimales mais ce n’est qu’une règle d’écriture
@@issatams535 Les nombres entiers sont définis de manière à avoir un premier chiffre et un dernier chiffre. Ce n'est pas le cas des nombres rationnels qui n'ont pas forcément de dernier chiffre après la virgule. Si vous manipulez un nombre qui a une infinité de chiffres avant la virgule, alors ça ne sera pas un nombre entier.
Que l'on soit clair, vous avez le droit d'essayer de manipuler les nombres comme les vôtres, mais il ne s'agira juste pas de nombres entiers, en tout cas pas selon la définition classique, et c'est la définition classique qui est utilisée dans cette vidéo.
Ci il y a un nombre infiny de chambre il peuvent pas être plein au début psk le mot plein n’est pas infinité
En quoi est-il impossible qu'il soit plein et infini ?
on pourrait loger les personne comprise entre 0 et 1 dans un chambre infiniment grande ( tardis ?) et ducoup LA on peut loger une infinité de bus avec des gens infiniment compacté entre 0 et 1 dedans
Mon cerveau vient de griller.
Et si le gérant de l'hôtel reprend l'infinité de client qui ne peuvent pas avoir de chambre et qu'il refait comme dans ton premier exemple, il demande à tous les clients qui ont une chambre de ce décaler en laissant une chambre de vide entre 2 il pourra alors donner une chambre vide à l'infinité de client qui n'en avait pas. Et donc les 2 infinis se valent. Non ?
Non car il restera encore une infinité à caser donc il faudrait une infinité d'operations de c genre pour caler tout le monde
Oui mais à la limite c'est pas si con il suffit de répéter l'opération une infinité de fois ? Après le problème c'est que je ne suis pas sûr que ça puisse se traduire mathématiquement...
c'est un grand moment de ma vie, je ne pensais pas que cela allait m'arriver un jour, mais le temps que je prends à taper ce message me porteras surement préjudice , mais bon, allez , je me lance : FirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirstFirst
5:30 C'est la n+1 -ième décimale qui pose problème, pas la n-ième. Bonne continuation
B. L. pourquoi ?
Pas besoin de deplacer toutl meonde de deux fois son nombre puisque certain vont certainement mourir dans le trajet: infinie --> 2infinie
J'ai toujours était une bonne grosse brelle en Math, je vais pas vous le cacher, seulement dans le domaine de la science et de la physique, j'accepte chaque concepts issu du domaine de ma compréhension.
J'accepte même que l'univers soit parti de rien et la définition du rien en lui même !
Mais quand j'ai appris qu'un infini est plus grand que l'infini traditionnel je vous avoue que.... j'ai tellement peiné à comprendre que mon cerveau à exploser et j'en reviens toujours pas.
Alors j'espère très vite comprendre cette notion qui me dépasse totalement
+Robin Theulman c'est plus facile de gérer l'infini quand ya pas de virgule en gros, parce que ya des pairs et des impairs ça aide plus que dans les nombres pas entier
G pas compris pk les réel son plus grand
Parce qu'on peut caser les entiers dans R, mais pas les réels dans N.
3:20 on peut même en faire une matrice de n lignes et n colonnes
Laisse tomber le mec n est pas matheux...il ne dout rien comprendre aux math....
J'ai vraiment l'habitude de la philosophie analytique et de la métaphysique, c'est même ma passion, mais la philosophie des maths sur les infinis j'ai beaucoup de mal à ne pas trouver ça bullshit, parce qu'aucun exemple n'est réalisable. Des le premier client, on provoque un mouvement perpétuel dans l'hôtel, il y a pour toujours un client en train de changer de chambre.